От всей души поздравляю Вас с Днём рождения и желаю Вам творческих успехов!
Как оказалось, мы тут недавно "повыясняли" наши личные взгляды на современную физику и мне очень понравился Ваш выдержанный и корректный стиль. Простите, немного погорячился в своей первой реакции, которая, конечно же, была направлена на крайне неудачный, по моему скромному мнению, учебник, явно перешедший все допустимые научные этические барьеры между балансом законов и теорий.
Кстати, оказалось, что я с Вами уже давно знаком, когда случайно пару месяцев назад, из любопытства и настороженностью ( с моими-то ортодоксальными классическими взглядами на физику), просмотрел на сайте видеозапись Вашей лекции на современные проблемы физики и мне, честно говоря, очень понравился Ваш взвешенный и я бы сказал корректный подход к современным веяниям в физике, что мне лично очень понравилось, хотя моё отношение к современной физике Вы уже представляете.
Рад был познакомиться персонально!
Ещё раз от всей души поздравляю Вас, желаю Вам прежде всего отличного здоровья и, конечно же, творческих успехов на ниве преподавательской деятельности!
P.S. Во мне ,видимо, есть какая-то нереальзованаая тяга к преподаванию, которая и заставляет меня писать эти подробные графоманские комментарии на Вашем сайте. Вы уж тут приглядывайте, пожалуйста, за мной иногда, чтобы во время исправить мои вполне возможные заблуждения и ошибки. Всего Вам самого наилучшего.
Илья, постараюсь ответить кратко на поставленный вопрос. Начнем с пространства и времени в классической механике.
У Ньютона вводилось понятие абсолютного пространства и времени как элементов общего описания расстояний до материальных объектов и временных интервалов между регистрируемыми событиями. В физическом эксперименте можно определить расстояние только между конкретными материальными телами независимо от конкретного способа измерения. Это касается и линейки, и радиолокационного дальномера. Нельзя измерить расстояние до пустой точки, где нет материальных тел. Это очевидно при использовании радара. Если же мы используем линейку, то она сама служит материальным объектом, концы которого указывают расстояние. Поэтому изначально не существует никакого пространства.
Объединяя множество измерений расстояний между объектами, мы приходим к выводу, что их можно собрать в одну математическую схему, которую называют трехмерным евклидовым пространством. В этом смысле абсолютное пространство классической мехники - это просто удобный математический способ собрать воедино все измерения расстояний. Данная математическая конструкция нематериальна по своему смыслу. Материальный объект имеет массу, энергию и т.д. Абсолютное пространство никаких физических свойств не имеет. Можно сказать, что первый закон Ньютона фиксирует этот факт. Пространство и время не влияют на физические процесссы.
Что же мы имеем в Специальной теории относительности (СТО)? Согласно закону инерции, и в СТО пространство-время никаким образом не должно влиять на физические процессы. Оно остается нематериальным. У него нет ни энергии, ни массы, ни других возможных атрибутов материи. Однако в следующих постулатах СТО в противоречие этому факту вводятся специфические свойства пространства и времени, связанные с преобразованиями Лоренца.
В классической механике преобразования Галилея оставляют все свойства материальных тел неизменными в силу нематериальности пространства и времени. Но в СТО преобразования Лоренца приводят к изменению длин материальных тел и длительностей интервалов времени в различных системах отсчета. Это измеримые эффекты, т.е. они являются свойствами материальных тел. Что является причиной изменения этих масштабов? Очевидно, что эти изменения не связаны с другими материальными телами. В преобразованиях Лоренца есть только относительная скорость движения систем отсчета. Поэтому приходится считать, что изменения масштабов при переходе от одной системы отсчета к другой являются свойствами только самого пространства-времени. Но оно у нас не материально! В результате мы приписали нематериальному пространству-времени свойства материальных тел, что и порождает всевозможные парадоксы.
Самый известный - это парадокс близнецов, предъявленный Ланжевеном в 1911 году. Один близнец остается на Земле, другой улетает на звездолете к другим мирам со скоростями, близкими к скорости света. По возвращении тот близнец, который оставался на Земле, должен был бы биологически состариться значительно больше, чем тот, который улетал. Это с точки зрения СТО, ведь длительность полета в разных системах отсчета разная. Но с другой стороны, согласно первому закону инерции (аналог первого закона Ньютона) все физические законы в инерциальных системах отсчета должны идти совершенно одинаково. Оба близнеца не ощущают никакого движения. И клетки в их организме должны стареть одинаково. Возникает парадокс. Его пытаются разрешить с помощью указания на неэквивалентность систем отсчета близнецов, связанную с теми обязательными ускорениями, которые необходимы, чтобы достичь субсветовых скоростей, и обратного торможения корабля при возвращении.
Действительно, звездолету сначала надо ускориться, затем затормозить, затем опять ускориться при возвращении и опять затормозить при подлете к Земле. Получается, что именно из-за того, что одна система отсчета является неинерциальной, возникает расхождение в показаниях часов. Однако парадокс остается. В чем, собственно, проявляется различие в ощущениях братьев? Единственным отличием является сила инерции, но сила инерции - это не какая-то реальная сила. Реальной силой является сила реакции опоры, которая приводит к тому, что один из братьев ускоряется вместе с кораблем. Получается, что если вы прижимаетесь к стенке, то ваши биологические часы начинают идти медленнее? Никаких других физических механизмов нет.
В Общей теории относительности (ОТО) дела обстоят еще хуже. Теперь для описания гравитационного поля, т.е. измеримого поля ускорений, которое возникает вблизи любого материального объекта, мы наделяем пространство-время (нематериальное!!!) свойствами кривизны. В чем проявляется нематериальность пространства-времени ОТО?
Во-первых, локально оно совпадает с пространством-временем СТО.
Во-вторых, в ОТО вообще нет инерциальных систем отсчета. Оказывается, в ОТО даже нет привычной основы для указания на независимость материи от пространства.
И в-третьих, оно не имеет опять никаких материальных атрибутов. Это проявляется в частности в том, что простраству-времени невозможно приписать определенную энергию и массу. Это основная проблема ОТО. В частности, поэтому не удается построить квантовую теорию гравитации.
Отсюда видно, как возникают все парадоксы этих теорий. Идея о том, что кривизна пространства очень просто и органично объясняет гравитационное поле, и по сути должна объяснять и электромагнитное, является очень привлекательной. Поэтому от нее отказываться нельзя. Тогда необходимо видоизменить теорию так, чтобы в ней появился материальный объект, играющий роль физического пространства. Такую идею высказывал до Эйнштейна Клиффорд. Однако он не предложил какой-либо физической конструкции для описания такого пространства. Как пишут, Эйнштейн хотел реализовать именно идею Клиффорда. Но в ОТО это не удалось сделать. В ОТО материя и простраство-времени - разные сущности, причем вторая - нематериальна.
Вот, собственно, основные соображения. Часть этих рассуждений можно найти у Бриллюэна в книжке "Новый взгляд на теорию относительности".
Сегодня - День рождения не только Альберта Эйнштейна, но и руководителя Лаборатории космических исследований Виктора нашего Михайловича Журавлёва!
Виктор Михайлович! Праздничный, но серьёзный вопрос: вот Вы пишете, что пространство-время - нематериально, и непонимание этого - проблема современной физики. Я считаю постранство-время особым способом отношений материальных объектов, то есть склонен к реляционной их концепции.
Однако, скажите - что Вы понимаете под "материей", "материальностью" и, если пространство-время - нематериально, то каково же оно?
Виктор Михайлович, поздравляю Вас с Днём рождения! Желаю Вам и на следующих витках орбиты вокруг Солнца совершить немало прорывов в знании о Космосе и завлечь на небесные сферы новые юные пытливые умы!
С уважением, Иванов И.П. - от себя лично и от группы "Солярис".
В околофизической среде любят произносить названия, типа Теория Всего, как предел мечтаний физика. Для современных физиков - это не более, чем способ указать на то, что, возможно, удастся построить общую теорию для тех видов материи, которые мы называем элементарными частицами, атомами, молекулами и т.д.
Но для ее объяснения придется вводить и вводят в теорию новые формы материи, для которых теорий нет. Более того, нет и достоверных экспериментальных фактов. Те же кварки - это лишь способ объяснить некоторые закономерности в структуре элементарных частиц. Но их наблюдать в современном эксперименте нельзя. Получается что-то вроде средневековой схоластики. Скорее всего кварков и нет в реальности, но они дают удобный способ рассуждать и что-то рассчитать То же самое касается и бозона Хиггса.
Так что можно лишь говорить об успешности той или иной теории в объяснении определенного круга явлений. Следующие теории избавятся от достаточно одиозных элементов современных теорий, но будут вынуждены вводить новые, для которых не будет достоверных сведений. Идеальные математические объекты с симметриями служили всегда подпоркой наших знаний в условиях недостатка информации. Так ведется с первых физических теорий, начиная с Аристотеля и Архимеда.
Меня волнуют проблемы классической механики без попыток вторжения в смежные области новой физики, к коим я не имею никакого отношения и поэтому не собираюсь их обсуждать. Каждому своё поле для пахоты, по призванию и способностям.
Скажем честно, что ЛЮБЫЕ ЗАКОНЫ (не исключая и Ньютоновские), а уж тем более ещё не полностью доказанная опытами ТЕОРИЯ, не являются АБСОЛЮТНОЙ ИСТИНОЙ в последней инстанции, поскольку даже каждый закон и теория имеют весьма органиченные области своего применения, т.к. обеспечивают правильный результат только в ограниченном диапазоне внешних условий для их применения, либо оговоренных самим законом, а чаще и не оговоренных, но со времен наложенных другими физиками. Рано или поздно, но почти все они, по мере развития знаний, будут уточнены или даже отвергнуты в попытке создания ЕДИНОГО ЗАКОНА, объединяющегго все знания об окружающем нас мире, но только после точного подтверждения физическими опытами. Однако, смею Вам заметить, что все попытки создания универсальных и многофункциональных машин в технике, как показывает практика, ВСЕГДА ОКАЗЫВАЮТСЯ МЕНЕЕ ЭФФЕКТИВНЫМИ И ПРОВАЛЬНЫМИ, чем более простые, но УЗКО-СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ машины и устройства. Меня, как инженера-механика, интересующимися расчётом тректорий тел Солнечной системы на малых скоростях движения все поправки высшего порядка малости мало волнуют, так же, как и возмущающие воздействия от относительно далёких космических тел и планет с величиной их уровня, сравнимом с уровниями достижимой точности вычислений. Чисто инженерный прагматичный подход для получения синицы в руках, вместо журавля в небе, поскольку некогда тратить силы и время на обсчёт всего и вся на свете, если оно видно только под микроскопом при решении данного конкретного вопроса. А поскольку всё с мире относительно, то "и невозвожность возврата к классической механике", видимо надо рассматривать с Вашей научной позиции в области новой физики, вышедшей на новый уровень космических околосветовых скоростей со своими очень сложными проблемами. А с позиции иженеров-механиков, которым надо создавать работающие и неразваливающиеся от воздействия разного рода ускорений машины и механизмы ничего кроме законов классической механики пока ещё больше не требуется. Да, для Вас, первопроходцев новой физики больших скоростей, "возврат не возможен", а для инженеров "уход в область околосветовых скоростей пока и не нужен." Увы, диалектика жизни.
По моему скромному мнению, сближение позиций должно состояться только после окончательной проверки всех новых теорий на практике, и вот только тогда и возникнут основания для их симбиоза в виде ЕДИНОГО НОВОГО ЗАКОНА взамен ПРЕДЫДУЩЕГО ЗАКОНА на страницах учебников физики как истины в последней инстанции, по крайней мере для меня. А пока, на мой скромный взгляд, место им на страницах специализированных научных изданий и журналов для обсуждения и поисков путей их реального подтверждения на практике в физических опытах, а не в учебниках для начальной школы.
В общем, "ребята, давайте жить дружно" в нашей общей песочнице и не посягать на чужие куличики, а только любоваться ими издалека, не разрушая чужие, а создавая свои собственные, давая лишь доброжелательный замечания со стороны по внешнему виду куличиков соседа. И быть выдержанными и мудрыми, как премудрые пескари.
С уважением. Георгий 14.03.2020г. 09час.35мин. Время моск.
Существует такая околофизическая деятельность, которая старательно ищет ошибки в современных теориях физики, в особенности в Специальной теории относительности (СТО). Общую теорию относительности (ОТО) трогают гораздо меньше по той причине, что она гораздо сложней для понимания. По этой же причине еще меньше трогают квантовую теорию. На чем обычно строятся попытки опровергнуть эти теории? Как правило, они связаны с тем, что сами физики обнаруживают и обсуждают те или иные парадоксы этих теорий и трудности их интерпретации.
Например, уже больше ста лет обсуждается парадокс близнецов, сформулированный Полем Ланжевеном в 1911 году. С точки зрения некоторых физиков считается, что парадокс разрешен, а с точки зрения другой части - нет. Парадокс имеет форму легко воспринимаемой притчи и поэтому обсуждается всеми - и понимающими СТО, и не понимающими СТО. Такие парадоксы - очень благодатная почва для альтернативных суждений. Существует ли в реальности трудность СТО, связанная с этим парадоксом? На мой взгляд - существует. Проблема в том, что в СТО нематериальный объект пространство-время наделяется физическими свойствами, что и приводит к парадоксам.
В ОТО существует еще больше парадоксов и трудностей. Например, самая главная проблема ОТО - это невозможность приписать гравитационному полю в форме искривленного пространства-времеми какую-то определенную энергию. Это, в частности, не позволяет уже больше ста лет построить квантовую теорию гравитации. На мой взгляд, эта проблема возникает из того, что и в ОТО нематериальному пространству-времени приписываются физически измеримые свойства. О чем-то похожем говорили физики и раньше. Например, в книжке Бриллюэна "Новый взгляд на теорию отностельности" (ее легко найти в Интернете) высказывалось много разных идей о том, что нужно сделать, чтобы объяснить парадоксы.
Это я пишу к тому, что очень часто люди, поверхностно знающие суть проблемы, обвиняют современных физиков в тупом догматизме. На самом деле проблема не столько в том, чтобы найти парадокс, а в том, чтобы создать теорию, исправляющую парадоксы. Те, кто обвиняют современную физику в догматизме, как правило, предложить что-то полезное не в состоянии. Однако, как показывает опыт последних лет 200, для исправления парадоксов необходимо радикально менять суть теорий, но таким образом, что старые достижения остаются в силе. Последнее сейчас называется принципом соответствия. Поэтому, если уж браться за формулировку парадоксов, то надо это делать с целью найти путь к улучшению теории, а не просто взять ее и отвергнуть.
Возврат к классической механике не возможен, поскольку она не объясняет множество наблюдаемых явлений. К сожалению, есть мало книг, в которых описывают то, как менялись взгляды физиков. Современные учебники содержат описание уже построенного здания, когда все леса и подпорки, которые были необходимы для его построения, уже убраны. Поэтому в учебниках редко проглядывают те споры и дискуссии, которые в конце концов привели к современной физике. В ней сейчас много заблуждений, но многие из них станут ясны только после создания новой теории. Можно надеяться , что это произойдет в ближайшее время.
Ваша статья, как бальзам на рану. Когда слышу или читаю, что Солнцу светить ещё миллиарды лет, у меня всегда возникает внутренний протест. Какие миллиарды лет, если внутри Солнца постоянно происходят неуправляемые термоядерные реакции, вспышки, смена магнитных полюсов, турбулентность нестационарных процессов?
Первая же фраза статьи:
У Солнца нет поверхности
настраивает на понимание, что Солнце может в непредсказуемый момент стать источником реальной опасности для жизни на Земле. Да, Солнце создает условия для жизни человечества, но необходимо осознавать, что наша жизнь зависит от процессов на Солнце и может измениться гораздо раньше миллиарда лет.
Искренняя благодарность за этот материал. Он созвучен моему представлению, что должна в первую очередь доносить наука всем людям, живущим на Земле.
Но поскольку вы анонсировали еще и современный взгляд на законы Ньютона, сделаю небольшое дополнение. Хотя сам Ньютон свой закон формулировал в форме $F=ma$, сейчас такой подход следует считать неточным. Дело в том, что закон должен отражать некоторую экспериментальную закономерность с уже определенными величинами. Однако сила $F$ как количественная характеристика некоторого физического фактора так или иначе опять связана со вторым законом Ньютона. Вы специально этому посвятили несколько разделов для определения силы. Поэтому более правильная формулировка второго закона Ньютона должна выглядеть так. "Отношение ускорений различных тел, помещенных в одну и ту же физическую обстановку, относятся друг к другу, как обратное отношение их масс". Другими словами:
$$
\frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1},~~\frac{a_2}{a_3}=\frac{m_3}{m_2}, ~~\frac{a_1}{a_3}=\frac{m_3}{m_1},\cdots
$$
Отсюда:
$$
m_1a_1=m_2a_2=m_3a_3=\cdots=F
$$
Величина $F$, однозначно характеризующая воздействие физической обстановки на тела, называется силой. Ускорение $a$ является чисто геометрической величиной, не требующей дополнительного определения. Масса $m$ - некоторый параметр, характеризующий количество вещества. Теперь становится ясно, что сила $F$ - есть физический фактор, вытекающий из второго закона Ньютона. Задача физики - это выяснение того, как $F$ связана с физической обстановкой.
Я здесь не стал уточнять, что ускорение и сила являются векторами. Это очевидное расширение закона. Есть еще одно расширение, связанное с тем, что само тело может изменять физическую обстановку. Так обстоят дела в законе Всемирного тяготения и законе Кулона, например. В этих законах сила, вызывающая ускорение, зависит от массы или заряда самого тела. Однако в этом случае второй закон Ньютона должен формулироваться для пробных тел (с бесконечно малыми массами и зарядами), что обеспечиваает сушествование напряженностей полей. Это дает более точное понимание того, с чем мы имеем дело в теории тяготения и электродинамике. Это же сразу высвечивает трудности этих теорий. На макромасштабах проблем нет. Но в микромире и массы, и заряды частиц, таких как электроны, протоны и т.д., не могут иметь массу и заряд меньше определенной величины. Минимальная масса электрона - масса покоя, а заряд всегда кратен заряду электрона. Поэтому на этом уровне второй закон Ньютона уже не может рассматриваться как фундаментальный. Но это уже другая история.
Как рассчитать сложное движение тела в неинерциальной системе отсчёта.
Оглавление:
1. Понятие об инерциальной и неинерциальной системах отсчёта (или системах координат).
2. Основные теоремы для системы рассматриваемых космических тел.
3. Сложное движение материальной точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений.
3.1 Основные определения. Абсолютная и относительная производные вектора.
3.2 Теорема о сложении скоростей для двух систем координат.
3.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).
3.4 Применение основных теорем механики в неинерциальных системах отсчёт
Выбор системы отсчёта для расчёта траектории тела относительно неё представляется весьма важным начальным фактором, определяющим, в итоге, теоретически обоснованную надёжность расчётов траекторий космических тел. Рассмотрим подробнее вопрос выбора и размещения начала системы координат и проведём анализ всех возможных видов «кажущихся» ускорений, появляющихся в неинерциальных системах отсчёта вследствие их вращения и ускоренного перемещения начала системы отсчёта.
Понятие об инерциальной и неинерциальной системах отсчёта (или системах координат).
«ИНЕРЦИАЛЬНАЯ ситема отсчёта это такая система отсчёта, в которой справедлив закон движения по инерции свободной материальной точки, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют взаимно уравновешенные силы) и при этом тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения по отношению к такой системе отсчёта.
Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к инерциальной поступательно, равномерно и прямолинейно, является также инерциальной. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных инерциальных систем, обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый «принцип относительности Галилея»). т.е. законы и уравнения механики не изменяются при: линейных сдвигах системы по осям координат, при угловых поворотах вокруг осей координат на некоторый угол, при «сдвиге по времени» (на dt) и при разных значениях равномерной поступательной скорости самой системы координат.
Помимо закона инерции, в любой инерциальной системе справедливы все три закона механики Ньютона, закон притяжения тел и законы сохранения количества движения (импульса), момента количества движения и движения центра инерции (или центра масс) для замкнутых, т. е. не подверженных внешним воздействиям, систем (см. подробнее первую статью данного цикла, посвящённую законам Ньютона и его Определениям I-VI).
Строго говоря, понятие об инерциальной системе является идеальной абстракцией. Реальная система отсчёта связывается всегда с каким-нибудь конкретным телом (Землёй, корпусом корабля или самолёта и т. п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. А поскольку в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звёздам и т. д.), то любая реальная система отсчёта может рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной степенью приближения. С очень высокой степенью точности инерциальной системой можно считать Солнечную систему с началом в центре Солнца (точнее, в центре масс (центре инерции) Солнечной системы, т.е. в барической системе отсчёта) и с осями, направленным на далёкие звёзды. Такая инерциальная система используется в задачах небесной механики и космонавтики. Для решения большинства технических задач инерциальной системой практически может служить система, жёстко связанная с Землёй, а в случаях, требующих большей точности (напр., в гироскопии), - с началом в центре Земли и осями, направленными на звёзды.
Если система отсчёта движется по отношению к инерциальной системе с линейным ускорением и(или) вращается, то она является НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ ОТСЧЁТА. При этом выражения всех вышеназванных законов, записанные в инерциальной системе требуют введения дополнительных членов, компенсирующих отличия в движении неинерциальной системы (её ускорения и вращения) от инерциальной.
Объясняется это тем, что ПО ОТНОШЕНИЮ К НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЁТА МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА, находящаяся под воздействием реальных сил, (например, сил гравитационного притяжения между космическими телами) и не испытывающая воздействия никаких дополнительных реальных сил со стороны неинерциальной системы), ДОЛЖНА БЫТЬ ОСВОБОЖДЕНА НАМИ В ЕЁ ДИНАМИЧЕСИХ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИТЕМЫ ОТ ФАКТИЧЕСКИ ПРИПИСЫВАЕМЫХ ЭТОМУ ТЕЛУ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ «КАЖУЩИХСЯ» (МНИМЫХ И РЕАЛЬНО НЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ, КОТОРЫЕ НЕ ВЫЗВАНЫ ДЕЙСТВИЯМИ НИКАКИХ РЕАЛЬНЫХ СИЛ, А ПОЯВЛЯЮЩИХСЯ ТОЛЬКО ИЗ-ЗА НАЛИЧИЯ «УСКОРИТЕЛЬНЫХ» ЭВОЛЮЦИЙ У САМОЙ НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ (относительно инерциальной системы), КОТОРЫЕ ОНА СО СВОЕЙ СТОРОНЫ (со своей, например, кружащейся вращающейся «больной головы» перекладывает на «здоровую» голову, т.е. на реально не вращающееся рассматриваемее нами тело, заставляя его также кружиться, как и она сама кружится при этом даже не подозревая ничего о собственном вращении, считая себя НЕ кружащейся!) ПРИПИСЫВАЕТ РАССМАТРИВАЕМОМУ НАМИ ТЕЛУ и которые вызваны следующими параметрами движения, присущими неинерциальной системе отсчёта:
1. ЛИНЕЙНЫМ УСКОРЕНИЕМ и НАЛИЧИЕМ при этом ЛИНЕЙНОЙ СКОРОСТИ начала неинерциальной системы,
2. ВРАЩЕНИЕМ ВОКРУГ НАЧАЛА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА (центростремительное ускорение вращения), а также и, возможно,
3. УСКОРЕННЫМ ВРАЩЕНИЕМ (угловое ускорение), и, наконец,
4. КОРИОЛИСОЫМ УСКОРЕНИЕМ, возникающим только при одновременном наличии линейной скорости перемещения тела относительно неинерциальной системы и угловой скорости вращения системы.
Примечание: Уважаемые читатели, кому не хочется тратить время (на чтение методики вывода ускорений в неинерциальных системах), могут сразу переходить к последнюю часть раздела 3.4 к выражениям (33) и (34) для ускорений в неинерциальной системе отсчёта.
2. Основные теоремы для системы рассматриваемых космических тел.
Давным-давно, в годы моей юности, в начале 60х годов, в школьном курсе физики А.В.Пёрышкина теоремы для систем тел не рассматривались, а преподавались в высшей школе в курсе «Теоретической механики». А вот в современных учебниках для 10 классов профильного и даже базовых уровней, в частности, двух разных учебниках под редакцией Г.Я.Мякишева, уже излагаются многие вопросы из курса теоретической механики такие, например, как закон сохранения импульса системы, о котором и пойдёт ниже речь как об основополагающем законе для выбора места расположения рациональной системы координат по расчёту космических траекторий.
Все теоретические формулы и большинство нижеследующих описаний взяты мной из понравившегося мне учебного пособия для студентов Московского Физтеха (МФТИ) (М.А. Айзерман «Классическая механика», Издание третье, Москва, Издательство Физико-математической литературы, 2005г, 380с.).
«Книга отличается систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета», не встречавшемся ранее мне в обычных учебниках по «Теоретической механике» для студентов ВТУЗ-ов. Книга помогла взглянуть по новому на многие вопросы, связанные с рассмотрением инерциальных и неинерциальных систем отсчёта в механике. Поэтому большинство теоретических выражений и некоторых идей, изложенных ниже, позаимствовано из данной книги со ссылками на неё в соответствующих местах.
Количество движения системы материальных точек. (стр.72-74 книги)
Рассмотрим понятия о количестве движения системы тел, центре инерции системы, теорему об изменении количества движения системы (или теорему о движении центра системы) и сделаем вывод о постоянстве скорости движения центра инерции для замкнутой (не подверженной внешним воздействиям) системы тел в современном изложении.
Введём основные понятие о системе рассматриваемых тел (mi, где mi – масса тела с №=i, i=1,2…n; n-число тел в системе).
*) Далее во всех символах знака суммирования (Σ) подразумевается суммирование по i от 1 до n, т.е. по всем телам системы тел.
Второй закон механики был сформулирован И. Ньютоном в труде «Начала…» в следующем виде:
«Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору все действующих на систему внешних сил», а это и есть ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ:
Центром инерции системы, для которой рассчитываются расстояния (ri) от начала исходной инерциальной системы координат до тел, является точка С, задаваемая радиусом-вектором rc:
rc = Σ (mi · ri) / Σ mi; где: M =Σ mi называется МАССОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ ……….... (3)
Кстати, при воздействии однородного поля тяжести понятие ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СОВПАДАЕТ с понятием ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ материального ТЕЛА : rц.т. = Σ (Gi · ri) / Σ Gi;
Дифференцирование по времени выр. (3) даёт позволяет найти выражении для ВЕКТОРА СКОРОСТИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ:
Из равенства (4) следует, что Q = Σ (mi · Vi) = M · Vc; ……………..……………………. (5)
В итоге, количество движения системы тел равно произведению МАССЫ системы на СКОРОСТЬ ЕЁ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ.
Дифференцирование по времени выр. (5) позволяет выразить второй закон механики Ньютона для материальной точки, которая помещена в центре инерции системы и движется вместе с ним как точка с массой, равной массе системы тел M, к которой приложена равнодействующая всех внешних сил Fвнешняя:
Выр. (6) следует новый вариант теоремы об изменении количества движения системы, называемый как ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТОЧЕК :
«При движении системы материальных точек её центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, помещённая в центре инерции системы, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на все точки системы».
Введём понятие замкнутой системы точек, которая движется только под влиянием внутренних взаимодействий, т.е. взаимодействий материальных точек, входящих в систему. Это, конечно, условное понятие, т.к. в реальном мире все объекты взаимосвязаны гравитационными взаимодействиями в принципе при любых расстояниях между материальными объектами. Однако при идеализации задачи можно пренебречь относительно слабыми взаимодействиями других внешних объектов по сравнению с взаимодействиями точек, входящими в систему. Так, например, два небесных тела Землю и Луну, можно считать замкнутой системой, если интересует лишь взаимное движение между ними и пренебрегают воздействием на них остальных небесных тел, в том числе Солнца и других планет. Или, например, три небесных тела Солнце, Землю и Луну считают замкнутой системой, если учитывают лишь взаимодействие между этими телами и пренебрегают воздействием других планет Солнечной системы на их движение. Солнечная система в целом является примером замкнутой системы лишь в тех случаях, когда считают возможным пренебречь воздействием на тела Солнечной системы других внешних материальных объектов Вселенной. (стр.43)
У замкнутых систем, по их определению, Fвнешняя = 0, и тогда из выр.6 следует, что
Поэтому закон сохранения количества движения можно сформулировать так:
«ЦЕНТР ИНЕРЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ДВИЖЕТСЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ (быть может и равной нулю)».
Можно сравнить эту теорему с её изложением у Ньютона в Следствии IV к 3-му Закону:
«Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»
Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то и центр инерции движется так, что проекция скорости центра инерции на эту ось остаётся постоянной.
Далее будет весьма удобно вводить в рассмотрение систему отсчёта, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчёта будем называть далее ЦЕНТРАЛЬНОЙ. В том случае, когда скорость центра инерции системы точек ПОСТОЯННА, ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИСТЕМА является ИНЕРЦИАЛЬНОЙ.
Из §3 Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент) (стр.74-76):
Выберем в нашей инерциальной системе произвольную точку А, которую назовём полюсом, и относительно которой определим момент от вектора количества движения каждой из материальных точек системы qi (= mi · Vi ) относительно этого полюса А с учётом вектора расстояния точки ri до полюса А в виде векторного произведения:
Вектор Ki называется моментом количества движения i-ой точки относительно полюса А. Символ «х» является символом ВЕКТОРНОГО произведения двух векторов.
*) Справка: Для определении положения и направления вектора Ki, являющегося результатом векторного произведения двух векторов ri и Vi в декартовой системе координат,
используется правило ПРАВОЙ руки (но не левой!), когда три пальца правой руки (большой, указательный и средний) распрямляем во взаимно перпендикулярные положения друг относительно друга (моделируя этим направления трёх осей декартовой системы координат), то при совмещении по направлению двух пальцев с первым (ri) и вторым векторами (Vi) из векторного произведения и при выполнении КРАТЧАЙШЕГО ПОВОРОТА от первого вектора ко второму (при взгляде на конец третьего пальца правой руки в сторону его основания) (этот кратчайший) ПОВОРОТ от первого вектора ко второму должен быть ВИДЕН ПРОТИВ ДВИЖЕНИЯ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ. Тогда третий палец и будет отображать положение и направление итогового вектора (K), являющегося результатом векторного произведения двух исходных векторов (ri × mi·Vi) в выр.(8).
Главным моментом количества движения всей системы материальных точек будет их векторная сумма всех моментов материальных точек системы относительно полюса А, т.е. кинетическим моментом системы:
KА = Σ KАi = (ri × mi·Vi );
Если точку полюса А, используемую выше для расчёта кинетического момента, расположить в центре инерции системы, то получим, опуская вывод, ТЕОРЕМУ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ ТОЧЕК при воздействии на систему момента от внешних сил, приложенных к токам системы относительно центра инерции системы:
(dKА / dt) = M A внеш. ………………………………………………………… (9)
Производная от кинетического момента системы материальных точек (относительно неподвижного полюса А) равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно этого же полюса.
Для замкнутых систем выполняется условие MA внеш. = 0, т.к. на материальные точки ЗАКНУТОЙ системы (по определению) не действуют внешние силы и момент нечем создавать. Отсюда следует ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА:
При движении ЗАМКНУТОЙ системы материальных точек её кинетический момент относительно любого неподвижного полюса НЕ МЕНЯЕТСЯ.
3. Сложное движение материальной точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений.
При написании данного весьма важного раздела взята за основу глава XIII «Сложное движение точки» (учебник для ВТУЗ-ов, Н.В.Бутенин, Я.Л.Лунц, Д.Р.Меркин «Курс классической механики» том I Статика и Кинематика, издание 4, Москва «НАУКА», 1985г, стр.203-208) как простое и типичное изложение для инженеров-механиков, смысл которого весьма прост и состоит во взятии сначала производной по времени от радиуса-вектора рассматриваемой точки, проведённого из начала неинерциальной системы отсчёта к рассматриваемой точке, для получения её вектора скорости, а затем во взятии производной по времени уже от вектора скорости точки для получения её вектора относительного ускорения в неинерциальной системе отсчёта.
3.1 Основные определения. Абсолютная и относительная производные вектора.
В этом разделе будет рассмотрен вывод выражения для первой производной от радиуса-вектора рассматриваемой точки по времени для получения выражения её вектора скорости и использованием правил дифференцирования векторов из курса линейной алгебры.
Рассмотрим движение одной и той же материальной точки М относительно двух систем: неподвижной инерциальной (назовём её: абсолютной) Системы Координат (СК) и неинерциальной (назовём её – подвижной СК) с центром в точке A, движущейся в самом общем виде с линейным ускорением начала системы координат и вращением относительно него с вектором угловой скорости ω.
Будем называть «АБСОЛЮТНЫМ» (или СЛОЖНЫМ) движением материальной точки М её движение относительно неподвижной инерциальной системы. Движение точки по отношению к подвижной системе назовём ОТНОСИТЕЛЬНЫМ. Под ПЕРЕНОСНЫМ движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.
Зададим в подвижной СК расстояние от её начала до материальной точки М вектором расстояния r. Абсолютное движение точки М названо ещё и сложным потому, что ниже представим его ещё и как сумму двух движений: переносного движения самой подвижной системы координат относительно неподвижной системы и относительного движения точки М в подвижной системе. Поскольку нам понадобится операция дифференцирования по времени вектора расстояния r, определённого в подвижной системе координат, то введём понятие абсолютной и относительной производных.
Пусть задан вектор расстояния r(t) в подвижной СК, имеющий три проекции на оси подвижной СК: rx, ry, rz . Если ввести понятие трёх единичных векторов подвижной системы i, j, k,(их ещё называют ортами системы координат, в данном случае это орты подвижной СК) то вектор r может быть представлен в виде геометрической суммы трёх своих составляющих проекций на оси подвижной СК:
r (t) = rx i + ry j + rzk. *) ........................................................................................... (10)
*) знак скалярного умножения в виде точки (·), который должен стоять перед единичными векторами опущен для упрощения записи как в выр.(10), так и во всех нижеследующих выражениях.
Продифференцируем обе части равенства (10) по времени, имея в виду, что единичные вектора подвижной СК (i(t), j(t), k(t)) несмотря на свою постоянную длину, равную единице, из-за вращения СК также вращаются в пространстве и поэтому являются функцией времени и обладают тангенциальными линейными скоростями, приложенными к концам единичным векторов и перпендикулярными самим векторам, точно так же, как, например, вектор линейной скорости кругового вращения перпендикулярен вектору-радиусу вращающейся с постоянной скоростью точки и являются функцией времени. Напоминаем о правиле для взятия производной по времени от произведения двух функций U(t) и V(t), зависящих от времени, состоящем в том, что полная производная от произведения двух функций, зависящих от времени, равна произведению производной по времени от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную по времени от второй функции, т.е.:
(d(U V) / dt) = (dU/dt) V + U (dV/dt) ………………………………………………..(11)
что в применении дифференцирования по времени к выражению (10) после группировки членов даёт:
(dr/dt) = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k + rx (di/dt) + ry (dj/dt) + rz (dk/dt). ….(12)
Сумма первых трёх слагаемых представляет собой производную вектора rотносительно подвижной СК. Если бы мы поставили своей задачей изучать изменение вектора r по отношению к подвижной СК, то мы учитывали бы при этом лишь изменения проекций вектора на оси этой системы координат, т.е. только сумму первых трёх слагаемых.
Действительно, собственное движение самой системы, в которой мы, например, оказались (например, на Землю) нас обычно не интересует, и мы, будучи помещены в начало любой системы отсчёта сами как бы и не вращаемся и не движемся, а лишь наблюдаем за вращениями и перемещениями окружающих тел относительно нас, т.е. относительно начала системы отсчёта, поскольку всё в мире относительно. При этом сама система отсчёта реально не «подозревает» о собственном вращении относительно какой-либо другой системы отсчёта (ведь она самодостаточна ) и её вращение мы можем наблюдаем лишь с позиций другой системе отсчёта, например, инерциальной. Но эти относительные рассуждения не должны нас отрывать от суровой действительности, и РАССМАТРИВАТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДРУГИХ СИСТЕМ ОТСЧЁТА МЫ ОБЯЗАНЫ ТОЛЬКО С ПОЗИЦИЙ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЁТА, т.к. только для них были выведены все законы движения, открытые Ньютоном, и применение которых мы хотим распространить также и на неинерциальные системы отсчёта.
Назовём сумму первых трёх слагаемых в (12) ОТНОСИТЕЛЬНОЙ, ИЛИ ЛОКАЛЬНОЙ производной и обозначим её как (dr/dt)отн.:
(dr/dt)отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k . ……….……………………………………..… (13)
Для преобразования трёх последних слагаемых в выр. (12) вспомним векторное выражение связи между линейной скоростью вращения любой точки твёрдого тела (V) и её вектором угловой скорости вращения (ω) и заданном векторе расстоянии до рассматриваемой точки вращающегося тела (r).
Из рассмотрения теории вращения твёрдого тела (с вектором угловой скорости вращения ω), имеющего одну неподвижную точку, известно выражение в виде векторного произведения для определения линейной скорости любой точки твердого тела, вызванной этим вращением (194 стр):
V = (ω × r). *) …………………………………………………..…………………… (14)
*) Примечание: Символами векторного произведения в данном комментарии являются круглые скобки для двух перемножаемых векторов, написанных жирным шрифтом, с символом векторного произведения между ними в виде знака умножения: «×» (см.выр.14).
Определим величину модуля вектора линейной скорости вращения | V | , раскрыв правило для векторного произведения (14):
Где φ – угол вежду вектором угловой скорости ω, направленного по оси мгновенного вращения твёрдого тела, проходящей через неподвижную точку, относительно которой и вращается тело,
и направлением вектора расстояния r от неподвижной точки до рассматриваемой вращающейся произвольной точки тела, а rнорм. - это модуль расстояние (длина нормали) от точки тела до мгновенной оси вращения тела, т.е. это радиус вращения обычного вращения точки тела по кругу, плоскость которого перпендикулярна мгновенной оси вращения.
Подставив в выр. (14) вместо вектора полного расстояния до точки (r) последовательно единичные вектора подвижной СК i, j, kполучим выражения для их производных по времени, не забывая, что длина этих единичных векторов постоянна и равна 1:
Вышеприведенные производные есть тангенциальные скорости (т.е. перпендикулярные плоскостям, проходящем через вектор вращения СК ω и какую-либо из осей СК ) единичных векторов вращающейся СК.
Поэтому сумма последних трёх слагаемых из выр. (12) может быть преобразована к виду:
где: (dr/dt)отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k. … (13)
Таким образом, абсолютная производная по времени вектора в неподвижной системе координат равна сумме относительной производной этого же вектора в подвижной СК и добавочного вектора линейной скорости, вызванного вращением подвижной СК, и равного векторному произведению угловой скорости вращения подвижной СК на вектор расстояния до рассматриваемой материальной точки.
3.2 Теорема о сложении скоростей для двух систем координат.
Напомним, что мы рассматриваем движение одной и той же материальной точки М относительно двух систем: неподвижной (инерциальной СК) и подвижной (неинерциальной СК) с центром в точке А, движущейся в самом общем виде с линейным ускорением начала системы координат и вращением относительно него с вектором угловой скорости ω.
Найдём связь между следующими скоростями:
Абсолютной скоростью (V) материальной точки М относительно неподвижной инерциальной СК.
Относительной скоростью (Vr) по отношению к подвижной неинерциальной СК. Относительная скорость является движением относительно подвижной СК и по своей сути похожа на абсолютную скорость точки, являющуюся точно таким же движением, но по отношению к своей инерциальной СК.
А вот ПЕРЕНОСНАЯ скорость это нечто особенное из области «оптической иллюзии», когда собственное вращение и ускоренное перемещение начала подвижной СК целиком и полностью приписывается собственному движению точки М, поскольку само начало подвижной СК считает себя неподвижным и невращающимся центром, впрочем, как и все другие системы отсчёта, не исключая и инерциальные СК, это их коренное свойство, назовём манией собственного величия любой СК в виде её мирового центра - начала её системы координат («пупа»), вокруг которого всё и должно вертеться и двигаться, хотя с точки зрения другой, «трезвомыслящей» инерциальной СК, точка М переносную скорость (а в дальнейшем и разные виды вращательных ускорений) РЕАЛЬНО НА САМОМ ДЕЛЕ НЕ РАЗВИВАЕТ.
В итоге, переносной скоростью (Ve) материальной точки М, является скорость точки подвижной СК которая в данный момент совпадает с точкой Ми именно скорость этой совпавшей точки подвижной СК и приписывается точке М (без всякого наложения на неё какой-либо физической связи со стороны самой подвижной СК), но фиктивно и чисто внешне приписываемая точке М за счёт простого оптического слежения за ней из начала неинерциальной СК.
Пусть заданы два радиус-вектора расстояний: первый от начала неподвижной СК до рассматриваемой нами материальной точки R(t) и от начала неподвижной СК до начала подвижной СК RА(t) и замыкает этот треугольник векторов радиус-вектор r(t), который определяет положение точки М в подвижной СК, т.е.
R = RA + r ……………………..….………………………………………………. (19)
Для выяснения связи между векторами скоростей продифференцируем по времени треугольник векторов расстояний (выр.19):
Немного ранее была специально для этого вычислена производная для радиус-вектора dr/dt (см. выр.18). Очевидно и то, что производная по времени от радиус-вектора начала подвижной СК (dRA/dt) равна вектору скорости начала подвижной СК, т.е. VA , а производная от радиус-вектора дальности точки М в подвижной СК – (dr/dt) отн. есть ни что иное, как вектор относительной cкорости Vrточки М в подвижной СК. Подставим всё это в выр.20:
V =VA + (ω × r) + (dr/dt)отн.;
V= (VA+(ω × r)) +Vr. - Абсолютная скорость как сумма переносной и относительной скоростей .(21)
Вектор абсолютной скорости равен векторной сумме переносной и относительной скоростей:
V = Ve + Vr; где: V - абсолютная скорость …………………………………….…… (22)
где: Ve= VA + (ω × r); - переносная скорость ………...……………....…………... (23)
Vr = (dr/dt) отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k. - относительная скорость .... (24)
В итоге, получили формулировку для теоремы о сложении скоростей:
Абсолютная скорость точки относительно неподвижной СК равна геометрической сумме векторов переносной и относительной скоростей.
Выр.22 применяют для определения скорости космического тела в моменты перехода на границе «сферы переключения межпланетных траекторий» для нахождения начального значения вектора как относительной скорости при ВХОДЕ в «сферу» из неподвижной, например, Солнечной СК в СК какой-либо планеты по выр 25, вытекающему из выр. 22:
Vr = V – Ve, …..…....……………………………………………………………. (25)
где: Ve = VA + (ω × r) – переносная скорость, а VA - орбитальная скорость планеты относительно Солнца, ω – угловая скорость собственного вращения планетной СК (если применена инерциальная, не вращающаяся планетная СК, то ω = 0 и Ve =VA), а радиус-вектор r равен радиусу «сферы переключения межпланетных траекторий». При выходе из «сферы» для определения начального значения скорости тела в Солнечной СК применяют выр.22.
В итоге, выр.23 для ПЕРЕНОСНОЙ СКОРОСТИ (Ve), вызванная скоростными эволюциями начала подвижной СК, ПРИПИСЫВАЕТ материальной точке М, НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ РЕАЛЬНО, «ФИКТИВНУЮ» и ИЛЛЮЗОРНУЮ СКОРОСТЬ (относительно начала подвижной СК), не вызванную НИКАКИМИ ФИЗИЧЕСКИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ на материальную точку М, а объяснимую лишь эффектом визуального перемещения точки М относительно начала подвижной СК.
Например, можно запросто «разогнать» относительную скорость тела М в подвижной СК, не прикладывая никаких реальных сил к материальному телу, до околосветовых скоростей при умеренной угловой скорости вращения ω лишь самой подвижной СК.Это напоминает опыт Майкельсона по определению скорости света, где в качестве подвижной СК выступает легкая, быстро вращающаяся СК в виде платформы с закреплённой на ней зеркальной призмой, отражающей луч света. Ну и как тут не назвать все эти кажущиеся, нереальные скорости, возникающие в подвижной вращающейся СК из-за её собственного вращения, не иначе как МНИМЫМИ И «ФИКТИВНЫМИ», а вот такие же «фиктивные» иллюзорные ускорения и, соответствующие им разные виды «сил инерции», рассмотрим в следующем разделе.
Вот что написал в своих «Началах…» И.Ньютон по этому поводу:
«Причины происхождения, которыми различаются истинные и кажущиеся движения, суть те силы, которые надо к телам приложить, чтобы произвести эти движения. Истинное абсолютное движение не может ни произойти, ни измениться иначе, как от действия сил, приложенных непосредственно к самому движущемуся телу, тогда как относительное движение тела может быть и произведено, и изменено без приложения сил к этому телу; достаточно, чтобы силы были приложены к телам, по отношению к которым это движение определяется.»
*) Примечание: Добавим, что, так термин «относительное движение» у Ньютона в инерциальной системе на современном языке соответствует понятию «переносное движение» в неинерциальной системе, которое можно создать вообще без всяких сил, сообщив вращение или линейную скорость началу неинерциальной системы координат.
3.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).
Для нахождения абсолютного ускорения точки по отношению к инерциальной системе координат продифференцируем по времени выр.21 теоремы сложения скоростей для абсолютной скорости:
V = (VA + (ω × r)) + Vr;
где: Vr = (dr/dt) отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k. – относительная скорость …(21)
где: ранее было выведено выр. : dr/dt = (dr/dt)отн. + (ω × r). …….(18)
Абсолютную производную для вектора относительной скорости Vr найдём по универсальной формуле (18) для взятия производной от векторов в двух системах: неподвижной и подвижной
В этом выражении (dVr / dt)отн. есть относительная производная вектора Vr по времени и, следовательно, представляет собой относительное ускорение Wr, т.е. ускорение точки по отношению к подвижной СК:
Wr = (dVr/dt)отн. = (d2rx/dt2) i + (d2ry/dt2) j + (d2rz/dt2) k. - относительное ускорение …(28)
Используя подстановку равенств (18), (13), (25) и (26) в формулу (24) преобразуем её:
где: WA= (dVА /dt) и (dω/dt) линейное и угловое ускорения начала подвижной СК.
Для того, чтобы выделить только переносное ускорение We для материальной точки М, которое ей приписывается наблюдателем жёстко зафиксированным к началу подвижной СК вращающимся вместе с подвижной СК, отслеживать ПЕРЕНОСНОЕ движение подвижной СК, т.е. перемещение точки М относительно подвижной СК (ускорение той точки, жёстко закреплённой относительно осей подвижной СК, с которой в данный момент ТОЛЬКО совпадает СВОБОДНАЯ И НИКАК НЕ СВЯЗАННАЯ с подвижной СК движущаяся материальная точка, сложное движение которой мы и пытаемся определить), закрепим точку в подвижной СК, т.е. положим Vr = 0 и Wr = 0. В этом случае из выр.(27) будем иметь выр. для переносного ускорения We, которое испытывает точка ЖЁСТКО ЗАФИКСИРОВАННАЯ относительно подвижной СК, т.е. представляющая единое твёрдое тело вместе с осями подвижной системы координат:
We = WA + ((dω/dt) × r) + (ω × (ω × r)). – Это переносное ускорение ……………. (30)
Итак, это и есть переносное ускорение точки свободного твёрдого тела, с которым жёстко связана подвижная СК и которая в данный момент совпадает с рассматриваемой нами материальной точкой М, и которой формально приписываются все эти «иллюзорные» ускорения. Переносное ускорение представляет собой сумму линейного ускорения начала подвижной СК ( WA ) с вектором (dω/dt × r), называемого ВРАЩАТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ. При вращении вокруг неподвижной оси направления векторов (dω/dt) и ω всегда совпадают и поэтому вектора скорости и касательного ускорения направлены вдоль одной и той же прямой по касательной траектории. Последний дополнительный вектор в переносном ускорении (ω × (ω × r)) называют осесимметричным ускорением.
По аналогии с анализом выр. (14) ( V = (ω × r) ) в виде выр.(15) для модуля скорости вращающееся точки ( | V | = | ω ||r | sin(φ) = | ω| rнорм. ) можно показать, что модуль вектора
| ω × ( ω × r)| = | ω | 2|r | sin(φ) = | ω |2rнорм. в отличие от модуля скорости (во вращательном движении по кругу, плоскость которого перпендикулярна мгновенной оси вращения) направлен не по касательной к кругу вращения с радиусом вращения rнорм, а по нормали к траектории вращения вокруг мгновенной оси , т.е. вдоль вектора rнорм и направлен к оси мгновенного вращения, как бывает обычно направлен вектор центростремительного ускорения при вращении по кругу с радиусом rнорм. Это и есть осесимметричное ускорение, увлекающее точки твёрдого тела во вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения. Естественно оно и породит в подвижной системе противоположно ему направленное всем известное ЦЕНТРОБЕЖНОЕ УСКОРЕНИЕ.
В итоге, имеем выражение для полного ускорения материальной точки:
W = We + Wr + (2ω × Vr) . …..……………………………………….……. (31)
Ускорение, определяемое членом (2ω × Vr), называется поворотным или кориолисовым ускорением, т.е. кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости перносного движения на скорость точки в её относительном движении:
Итак, имеем
W = We+ Wr + Wc. -Абсолютное (полное) ускорение относительно неподвижной СК …... (33)
где: Wr = (dVr/dt)отн.=(d2rx/dt2) i + (d2ry/dt2) j + (d2rz/dt2) k. -Относительное ускорение(28)
We = WA + ((dω/dt) × r) + (ω × (ω × r)). –Переносное ускорение(30)
Это и есть содержание теоремы Кориолиса: Абсолютное ускорение точки можно рассматривать как геометрическую сумму переносного, относительного и кориолисова ускорений за счёт введения в рассмотрение подвижной СК, начало которой обладает линейной переносной скоростью ( VA ) и ускорением ( WA ), а также вращается с угловой скоростью (ω), имеющей в общем виде и угловое ускорении( dω/dt ) и при наличии скорости перемещения рассматриваемой точки относительного подвижной СК (Vr). Направление кориолисова ускорения определяется как и для всех векторных произведения в помощью правила правой руки, описанного в начале статьи (см. справку под выр.(8).
3.4 Применение основных теорем механики в неинерциальных системах отсчёта
(Данный раздел написан по материалам §8.гл.3 книги «Классическая механика» М.А.Айзерман.стр.106-110).
Рассмотрим движение материальной точки в неинерциальной системы в сравнении с её же движением относительно инерциальной системы. Наблюдатель, находящийся в инерциальной СК, имеет право для изучения динамики движения тоски применять законы механики и в частности второй закон Ньютона:
mi Wi = Fi. ………………………………………………………………………. (35)
где Wi – проекции ускорения точки относительно инерциальной системы на её оси x,y,z.
Попытка применить второй закон в неинерциальной системе приведёт к тому, что закон Ньютона не будет выполняться, т.к. умножение массы точки на ускорение, которое наблюдается в неинерциальной системе, приведёт к получению силы отличающейся от реально действующей на точку силы в законе (35). Разница вызвана появлением дополнительных ускорений в неинерциальной системе (см.выр. 33,28,30 и34), вызванных неинерциальностью системы: вращением осей системы координат с угловой скоростью (ω) и наличием линейного ускорения у начала сиcтему координат (WA). Движение точки mi можно считать сложным движением:
Движение точки mi относительно инерциальной системы можно рассматривать как АБСОЛЮТНОЕ, движение точки mi относительно неинерциальной системы – как ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, а движение неинерциальной системы относительно инерциальной системы отсчёта – как ПЕРЕНОСНОЕ. Тогда в соответствии с выр.33:
W (абс) = We (пер) + Wr (отн.) + Wc (кор.) ………………………………………………… (36)
В качестве ускорения в левой части выр.36 фигурирует ускорение точки mi относительно инерциальной системы, т.е. как раз то ускорение, которое теперь, рассматривая движение точки mi как сложное, мы назвали АБСОЛЮТНЫМ, подставляя выр.36 во второй закон Ньютона (выр.35), получаем:
mi (We (пер) + Wr (отн.) + Wc (кор.)) = Fi.
Перепишем это соотношение для определения ОТНОСИТЕЛЬНОГО ускорения, что позволит записать второй закон Ньютона применительно к НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе отсчёта:
mi Wr (отн.) = Fi - mi We (пер.) - mi Wc (кор.) ………………………………………… (37)
*) Примечание: Для инженерного применения больше подходит вариант выр. 37 БЕЗ ПЕРЕХОДА к инерционным силам, а сразу в ускорениях для каждого из рассматриваемого i-го тела системы тел:
Wri(отн.) = Fi / mi - Wei(пер.) - Wci (кор.) ……………………………………..……… (38)
Формулу (37) можно трактовать как запись второго закона Ньютона применительно к НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе отсчёта. В правой части появляются два новых члена в виде двух «сил» переносной (Ji пер) и кориолисовой (Ji кор), поскольку имеют размерность силы как произведение массы тела на ускорение, и в итоге получаем:
mi Wr (отн.) = Fi + Ji пер. + Ji кор. ……………….……………………………………..… (39)
где: Ji пер. = - mi We (пер.), Ji кор. = - mi Wc (кор.) ……….. (40)
Новые два вектора в правой части формулы (38) имеют размерность силы и называются СИЛАМИ ИНЕРЦИИ: вектор Ji пер. называется ПЕРЕНОСНОЙ силой инерции, а вектор Ji кор. – КОРИЛИСОВОЙ силой инерции. Обратите внимание, что НАПРАВЛЕНИЕ сил инерции ПРОТИВОПОЛОЖНО направлению соответствующих ускорений!
Таким образом, мы установили, что второй закон Ньютона может быть применён и в неинерциальных системах отсчёта, если к силам, действующим на каждую точку , добавить переносную и кориолисову силы инерции!
Если все силы делятся на внешние и внутренние, то СИЛЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСЯТСЯ К ВНЕШНИМ СИЛАМ. Так, например, теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента, можно записать так:
(dQ/dt) = Fвнешняя+ Ji пер. +Ji кор. ……………….…………………………………………….… (41)
(dKА/dt) = MA внеш. + MAJпер + MAJкор. ……………………………………………….…. (42)
Для нас представляет особый интерес ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЁТА, расположенная в центре масс системы тел и которая движется поступательно относительно инерциальной системы так, что в любой момент времени скорость (ускорение) всех её точек СОВПАДАЕТ со скоростью (ускорением) ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ рассматриваемой системы материальных точек. В центральной системе КОРИОЛИСОВЫХ сил НЕТ ( так как переносное движение ПОСТУПАТЕЛЬНО и ω = 0) и для связанного с ней наблюдателя центр инерции рассматриваемой системы материальных точек НЕПОДВИЖЕН (Vc = Wc = 0). Поэтому для такого наблюдателя из формулы Q = M (dVc/dt) = 0 всегда (т.е. не только для замкнутых систем, но и при любых внешних силах!): количество движения системы СОХРАНЯЕТСЯ равным нулю во время движения. Из теоремы о движении центра инерции:
M (dVc/dt) = R = Rвнешн. + Jпер. = 0.
следует, что в центральной системе главный вектор все сил, приложенных к точкам системы (включая силы инерции) равен нулю.
Георгий 04.02.2020г 23ч 50мин. Время моск.
P.S. В следующей теме будут проанализированы все виды ускорений, появляющихся в неинерциальных системах отсчёта в теореме Кориолиса с акцентом на анализ кориолисова ускорения, вызывающего интересные дискуссии о «правильности» выражения для него, поскольку многих смущает множитель 2 в выражении для кориолисова ускорения (2ω × Vr) особенно в случае, когда вектор относительной скорости Vr направлен тангенциально, т.е перпендикулярно радиусу-вектору рассматриваемой точки и его ускорение совпадает по направлению и накладывается на центростремительное ускорение, вызываемое обычным вращением точки, относительно начала подвижной системы координат с угловой скоростью систем ω, но кориолисово ускорение при этом превышает по своей величине в 2 раза обычное центростремительное вращательное ускорение.
1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе
2. Определения в книге «Начала».
3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела
3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат
4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ
5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.
6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра
7.1 Устройство динамометра
7.2 Устройство акселерометра
7.3 Описание принципа работы акселерометра
7.4 О колебательном характере процесса измерении ускорения
7.5 Методы снижения колебательности процесса измерения ускорения
7.6. О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты
7.7. Тарировка акселерометра
8. Пример использования акселерометров в системах управления летательными аппаратами
1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе
Первый том «Начал» был представлен Исааком Ньютоном Королевскому обществу в 1686г., а полностью труд Ньютона под названием «Математические начала натуральной философии» (на современном языке - «Математические основы физики») в трёх томах вышел через год, в 1687г. Тираж (около 300 экземпляров) был распродан за 4 года — для того времени очень быстро. Два экземпляра этого редчайшего издания хранятся в России; один из них Королевское общество в годы войны (1943г) подарило Академии наук СССР на празднование 300-летнего юбилея Ньютона.
Далее Вашему вниманию, уважаемый читатель, предлагаются выдержки из книги серии «Великие умы России» Елены Сельцовой «Алексей Николаевич Крылов». Москва 2017г. о выдающемся переводчике «Начал» И.Ньютона на русский язык А.Н.Крылове - механике, математике и кораблестроителе.
В 1914г выпускник-отличник Морской академии Алексей Николаевич Крылов (03.06.1863 – 26.10.1945) (и её будущий профессор, имя которого будет присвоено позже Морской академии), приступает к переводу с латинского (языка для научных публикаций того времени) «Начал» Исаака Ньютона и в 1916г книга была напечатана полностью с дополнениями в оригинальный текст Ньютона более чем 200 замечаний переводчика размером от пары строк до нескольких листов. В этом же году Крылов был избран действительным членом Российской Академии наук, а позже и членом Академии наук СССР.
Сразу по окончании с отличием Академии Крылов был зачислен в Главное гидрографическое управление, где выполняет свой первый научный труд по расчёту делений для нового дефлектора - прибора, измеряющего действующую на компас магнитную силу, заменяющего ручные расчёты поправок к дополнительному устройству, автоматически корректирующему показания компаса с учётом влияния намагниченности металлических корпусов кораблей, сменивших деревянные суда, которые не искажали показания магнитного компаса. Неоднократные крушения в 19 веке металлических кораблей из-за ошибочных показаний компаса, вызванных девиацией показаний, привели к разработке вышеупомянутого прибора коррекции показаний компаса. Крылов изучив предложенный французский вариант «дромоскопа», построенного на основе приближённой формулы девиации и приводящего к значительным ошибкам, предложил на основе точной формулы девиации своего научного руководителя (основоположника учения о девиации И.П.де-Колонга) новый вариант «дромоскопа», который благодаря простоте оказался в 7 раз дешевле французского прибора. По окончании преподавательской деятельности (в 75 лет) он возвращается к научным изысканиям по компасному делу. За эти работы и курс лекций о девиации А.Н. Крылов был удостоен Сталинской премии 1-й степени в 1941г, а в 1943г. ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.
В начале своей научной деятельности Крылов читал, по совету своего научного руководителя, необходимые для работы сочинения Гаусса на латыни. Только тогда будущий академик осознал важность знания этого языка: «Много раз в течение моей жизни и научной деятельности мне с пользой служила латынь… Я свободно разбирался в элементарно простой латыни Эйлера, несколько труднее в превосходной латыни Ньютона и ещё труднее в чисто классической латыни Гаусса и Якоби». По иронии судьбы, Крылов в детстве, обращаясь к отцу с просьбой разрешить учиться на морского офицера в училище, мотивировал свою просьбу нежеланием «зубрить никому не нужные латынь и греческий». Однако из-за развившейся близорукости к моменту окончания училища мечта о флотской жизни с кругосветными путешествиями оказалась неосуществима.
У англичан перевод «Начал» Ньютона есть только в виде подстрочника. В мире нет издания, подобного переводу А.Н. Крылова. Автор стремился не только сохранить смысл подлинника, но и следил за чистотой русского языка, отказавшись от знаменитой жёсткости языка Ньютона. Крылов писал, что «там, где сейчас принято говорить «сохраняет своё состояние движения», в «Началах» можно прочесть «продолжает упорно пребывать в своём состоянии»; на языке Ньютона сила не прикладывается к телу, а «вдавливается» или «втискивается» в него и т.п. Поэтому с целью приближения текста к современному способу изложения «в переводе принята менее выразительная, но общеупотребительная теперь терминология».
В 1916г. в Петрограде вышла книга «Начал» И.Ньютона в переводе профессора А.Н.Крылова под названием «УЧЕНIЕ о ПРЕДѢЛАХЪ, какъ оно изложено у Ньютона». Это единственный случай, когда переводчиком «Начал» стал выдающийся учёный.
Именно в этой книге «Начал» И.Ньютон сформулировал три закона классической механики и закон тяготения ("закон обратных квадратов", как его называл сам Ньютон и который им был опубликован до написания "Начал"), а также изложил свой вариант (независимо от Лейбница) математического анализа бесконечно малых приращений (метод «флюксий» у Ньютона в отличие от метода дифференциального исчисления у Лейбница, утвердившегося в науке вместо «флюксий» Ньютона) и развил метод вариации произвольных постоянных эллиптического движения применительно к анализу движения Луны, так что уравнении Лагранжа были, по-видимому, предвосхищены в книге Ньютона.
Далее приведены небольшие отрывки из предисловия Л.С.Полака к изданию «Начал» в серии «Классики науки» под названием: «Исаак Ньютон Математические начала натуральной философии» под редакцией Л.С.Полака, Москва ,«НАУКА» 1989. Репринтное издание 1936г. 687стр.
« Школьные годы делают ньютонианцами всех людей на нашей планете… Мы впитываем в нашу духовную плоть три аксиомы (закона) Ньютона, его пространство и время, его закон всемирного тяготения и многое другое… Не случайно Лагранж назвал «Начала» «величайшим произведением человеческого ума».
Открытию закона всемирного тяготения в Англии предшествует период волнующих исканий: Гук, всегдашний противник и оппонент Ньютона, Галлей, восторженный поклонник его и Рен, великий архитектор и учёный, в 1684г. втроём обсуждают в Лондоне вопрос о движении тел под действием силы притяжения; здесь Гук заявляет, что у него уже готово решение, но он откладывает сообщение о нём. Время идёт, и Галлей замечает, что мистер Гук «не так хорош, как его слова», и однажды обращается к Ньютону с вопросом: какая должна быть орбита тела, движущегося вокруг центра притяжения под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния? Ньютон немедленно отвечает, что это, конечно же, эллипс и что он уже с 1679г. владеет решением задачи. С этого момента и начинается работа Ньютона, приведшая к созданию «Начал».
Знание тогдашней науки и работ современников видно из анализа состава библиотеки Ньютона. В ней 2100 томов по алхимии и химии, математике и физике, естественным наукам, теологии и классической древности.
Универсальность открытой Ньютоном динамической системы была неожиданностью для его современников…
Ньютон не случайно назвал свой великий труд «Математическими началами» . Математика для него была главным орудием в физических исследованиях. Но Ньютон никогда не терял связи с экспериментом, и в этом его сила. Его изумительное искусство в постановке многочисленных опытов заложило основы экспериментального исследования современного типа. Сам Ньютон писал, что тем, чего он достиг «обязан только усердию и упорной мысли».
Великий труд Ньютона и переворот, произведенный им, не следует рассматривать как результат линейного развития более ранних идей. Если в разработке и применении двух первых законов (аксиом) движения у него были предшественники, то третий закон полностью принадлежит Ньютону и никем не оспаривался.
Как известно, Ньютон сформулировал закон тяготения (закон обратных квадратов), определяющий движение небесных тел в классическом пространстве, до того, как написал «Начала», с успехом приложив его к анализу притяжения между Солнцем и планетами. Однако только согласно его третьему закону гравитация не могла далее рассматриваться как некое изолированное свойство, присущее одному центральному телу Солнечной системы. Она должна быть присуща Луне, каждой планете, комете и звезде во Вселенной – мысль, вероятно, одна из глубочайших, когда-либо приходивших человеческому уму…
В заключение необходимо подчеркнуть воистину бесчисленные подтверждения положений, развитых Ньютоном в «Началах». В течение последних десятилетий они получили решающее «космическое» доказательство: достаточно вспомнить о прецизионных экспериментах, поставленных с помощью искусственных спутников Земли и подтвердивших с высокой точностью уравнения Ньютона.»
В начале своей книги Ньютон даёт восемь Определений(I-VIII) и итоговое Поучение:
2. Определения в книге «Начала».
Определение I
« Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её.»
Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под названиями тело или масса. Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками.
*) Примечание Крылова: Ни одно определение Ньютона не вызвало столько критических замечаний и столько толкований. Термин «Количество материи» составляет как бы одно слово «материя», но при дальнейшем развитии науки не удержался и в современной терминологии заменён равносильным ему термином «масса».
Необходимо так же иметь в виду, что в то время при установлении меры для какой-либо величины устанавливалась лишь её пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда не говорили, как теперь (когда делается предположение о принятой единице массы), «площадь прямоугольника равняется произведению его основания на высоту», а говорили «площадь прямоугольника пропорциональна его основанию и высоте».
До Ньютона понятие о массе не вводилось, а рассматривался лишь вес и при старинной терминологии понятно, что плотность не определялась как масса единицы объёма вещества, а говорилось, что плотность тела пропорциональна его весу и обратно пропорциональна его объёму. Имея это в виду, можно ньютоново определение, придерживаясь теперешней терминологии, выразить так:
«Масса есть мера количества вещества, пропорциональная его плотности и объёму»
Определения II
«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»
Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его, значит для массы, вдвое большей, при равных скоростях оно двойное, при двойной же скорости – четверное.
Определение III
« Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»
Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на неё.
От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врождённая сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление и как напор. Как сопротивление – поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить своё состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор – телам движущимся.
Но движение и покой, при обычном их рассмотрении, различаются лишь в отношении одного к другому, ибо не всегда находится в покое то, что таковым простому взгляду представляется.
Определение IV
«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, что бы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»
Сила проявляется единственно только в действии, и по прекращении действия в теле не остаётся. Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы.
Определение V
«Центростремительная сила есть та, с которою ТЕЛА к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся.»
Такова сила тяжести, под действием которой тела стремятся к центру Земли, магнитная сила, которою железо притягивается к магниту, и та сила, каковою бы она ни была, которою планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и вынуждаются обращаться по кривым линиям. Камень, вращаемый в праще, стремится удалиться от вращающей пращу руки, и этим свои стремлением натягивает пращу тем сильнее, чем быстрее вращение, и как только его пустят, то камень улетает.
Силу, противоположную сказанному стремлению, которою праща постоянно оттягивает камень к руке и удерживает его на круге, т.е. силу направленную к руке или к центру описываемого круга, я и называю центростремительной.
Но тело может испытывать воздействия не только со стороны тел, с которыми оно соприкасается. Оно может подвергаться воздействиям также со стороны различного рода силовых полей, возбуждаемых другими телами. Поэтому вопрос сводится к тому, как убедиться в том, что воздействиям со стороны силовых полей тело не подвергается. Брошенное тело, если бы силы тяжести не было, не отклонялось бы к Земле, а уходило бы в небесное пространство по прямой линии равномерно, если бы не было и сопротивления воздуха. Своею тяжестью оно оттягивается от прямолинейного пути и постоянно отклоняется к Земле в большей или меньшей степени, сообразно напряжению силы тяжести и скорости движения.
Увеличивая скорость свинцового ядра, брошенного горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, можно по желанию увеличить и дальность полёта и уменьшить кривизну линии, по которой ядро движется, так чтобы заставить его упасть как можно далее от горы и можно было бы окружить всю Землю или даже уйти в небесные пространства и продолжить удаляться до бесконечности. Подобно тому, как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, если она ей подвержена, или же иною силою, которая влечёт её к Земле, может быть отклоняема от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите. Если бы сила была меньше соответствующей этой орбите, то она отклонила бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то отклонила бы её более, чем следует, и приблизила бы её от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины.
Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении на заданной орбите с данною скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силой будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.»
*) Вот так Ньютон вводит, поразившее всех современников, понятие о Динамической системе, или как её часто называют механики "Задача расчёта динамики" движения тела!
3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
(Далее, (в кавычках «…») приводятся цитаты из учебника: Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том1. Механика 2005г. МФТИ. и из «Начал»И.Ньютона)
В качестве Первого закона движения Ньютон принял закон инерции, высказанный в частной форме еще Галилеем.
Согласно этому закону тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.
Для примера, приведём, два равноценных варианта Первого закона из «Начал» в переводе А.Н. Крылова:
«Всякое тело продолжает пребывать в своём состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояние», или как второй вариант этого же перевода:
«Всякое тело удерживает своё состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние».
Такое тело называется свободным, а его движение — свободным движением или движением по инерции. Свободных тел, говоря точно, не существует. Они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга. Представив себе, что эти воздействия беспредельно уменьшаются, мы и приходим в пределе к представлению о свободном теле и свободном движении.
Итак, всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить величину (модуль) или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. У разных тел оно проявляется в разной степени. Так, сообщить одно и то же ускорение большому камню значительно труднее, чем маленькому мячику. Мера инертности тела называется его массой, которая пропорциональна количеству вещества в теле. Чем больше масса тела, тем оно инертней и тем труднее изменить вектор скорости этого тела.
В качестве эталона для измерения массы тел условились взять массу определенного тела и считать её равной единице. Тогда массы всех остальных тел определятся однозначно.
В физике в качестве основной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эталонной гири из сплава иридия с платиной, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов. Приближенно килограмм равен массе кубического дециметра чистой воды при температуре 4 °С. Тысячная доля килограмма называется граммом».
3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела
« Здесь, однако, возникает следующая трудность. Как убедиться в том, что тело не подвержено внешним воздействиям? Об этом нельзя судить только по отсутствию ускорений. Нужны какие-то другие независимые способы. Иначе закон инерции потерял бы всякое содержание. Вполне удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует.
В отсутствие внешних воздействий мы убеждаемся по отсутствию растягивающих пружин или веревок, которые тянут тело, по отсутствию тел, которые давят на него, т. д.
Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромагнитным силам, сильным и слабым взаимодействиям. Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные - на расстояниях порядка 10-13 см, слабые на расстояниях порядка 10-16 см. В макромире, который только и изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.
Электромагнитные и гравитационные силы, напротив, являются силами дальнодействующими. С расстоянием они убывают медленно. Если это статические силы, то они убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Если же они переменные (электромагнитные волны), то убывание происходит еще медленнее — обратно пропорционально расстоянию. Только благодаря электромагнитным волнам (свет, радиоизлучение, рентгеновское излучение), исходящим от планет, звезд, пульсаров, галактик и пр., мы и знаем о существовании этих небесных объектов. Поэтому нет оснований утверждать, что удаленные источники не возбуждают заметных электромагнитных и гравитационных полей в рассматриваемой нами области пространства. Однако в отсутствие электромагнитных полей всегда можно убедиться, так как они действуют по-разному на положительные и отрицательные заряды, из которых состоят тела. Под действием таких полей возникло бы некоторое разделение положительных и отрицательных зарядов, которое можно было бы обнаружить на опыте. Заряженный шарик, помещенный в одну и ту же точку пространства, двигался бы по-разному в зависимости от того, заряжен он положительно или отрицательно. Все имеющиеся факты не противоречат утверждению, что удаленные тела Вселенной не возбуждают сколько-нибудь заметных статических электромагнитных полей в малых областях пространства (порядка размеров Солнечной системы или Галактики).
О гравитационных полях этого нельзя сказать с той же уверенностью. Но если бы такие поля и существовали, то с ними можно было бы не считаться. Дело в том, что всем телам, независимо от их состава, одно и то же гравитационное поле сообщает в точности одинаковое ускорение. Статическое гравитационное поле удаленных тел Вселенной в малых областях пространства можно считать практически однородным.
Можно ввести систему отсчета, свободно падающую в таком однородном гравитационном поле. На явлениях, происходящих в такой системе отсчета, наличие этого однородного гравитационного поля никак не сказывается. Здесь все происходит в точности так же, как в кабине космического корабля, свободно движущегося в космическом пространстве. В такой кабине космонавты не чувствуют наличия поля тяготения (невесомость)».
*) примечание: см. также ниже раздел 7.6. О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты.
3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат
« В кинематике выбор системы отсчета не был существенным. Все системы отсчета кинематически эквивалентны. Не так обстоит дело в динамике.
Уже закон инерции с особой остротой ставит вопрос о выборе системы отсчета. Одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно, реально движущееся равномерно тело будет казаться движущимся ускоренно.
Отсюда следует, что закон инерции не может быть справедлив во всех системах отсчета. Без указания системы отсчета он просто теряет смысл. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчета. Содержание закона инерции, в сущности, сводится к утверждению, что существует по крайней мере одна инерциальная система отсчета.
Попробуем взять гелиоцентрическую систему отсчета, иначе называемую системой Коперника (по имени польского астронома Николая Коперника (1473—1543)). Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы), а координатные оси являются прямыми, направленными на три удаленные звезды и не лежащими в одной плоскости. Материальными объектами, с помощью которых реализуются эти оси, являются световые лучи, приходящие от звезд в Солнечную систему. Из-за относительного движения звезд углы между координатными осями в системе Коперника не остаются постоянными, а медленно изменяются с течением времени. Однако ввиду колоссальности расстояний до звезд изменения направлений координатных осей происходят настолько медленно, что, как правило, их можно не принимать во внимание. Система Коперника практически является инерциальной системой, по крайней мере при изучении движений, происходящих в масштабе нашей планетной (Солнечной) системы.
Неинерциальность Земной системы отсчета объясняется тем, что Земля, во-первых, вращается вокруг собственной оси и, во-вторых, - вокруг Солнца, т. е. движется ускоренно относительно системы Коперника. Впрочем, оба эти вращения происходят медленно. Поэтому по отношению к громадному кругу явлений происходящих на Земле Земная система отсчета ведет себя практически как инерциальная система. Обычные, сравнительно грубые наблюдения и опыты над движением тел не позволяют обнаружить отступления от инерциальности земной системы отсчета. Для этого требуются более точные и тонкие опыты.
Вот почему при установлении основных законов динамики можно начать с изучения движения тел относительно Земли, отвлекаясь от её вращения, т. е. принять Землю за приблизительно инерциальную систему отсчета.»
*) Примечание: Рассуждения выше относятся, конечно же не к полётам спутников вокруг Земли, а к анализу движения обычных относительно небольших по масштабам расстояний земных тел. Например, при учёте движений, связанных с большими расстояниями, необходим учёт неинерциальности Земли, как, например, влияния силы Кориолиса для рек, или изменение ускорения притяжения на полюсе и экваторе и т.п.
4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ
« Общие законы движения Ньютон сформулировал с использованием понятия СИЛЫ. Представление о силе возникает в связи с ощущением мускульного усилия, которое у нас возникает при поднятии тяжелых тел или при приведении их в движение.
Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую скорость тела. В инерциальной системе отсчета производная от скорости материальной точки по времени представляется уравнением.
Эти уравнения выведены при условии, что масса тела является постоянной величиной и независящей от скорости тела.
m * (dv/dt) = F; или, в другом виде: (dv/dt) = F / m; (4.1)
m * (d2r/dt2) = F; или, в другом виде: (d2r/dt2 ) = F / m; (4.2)
Величина F называется результирующей (геометрической суммой всех сил по правилу параллелограмма) силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Очевидно, что сила F является вектором (обладает направлением в пространстве), поскольку она равна производной вектора скорости по времени, или же второй производной от координаты тела.
Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная от скорости (или ускорение) равна действующей на неё результирующей силе, отнесённой к массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения — уравнениями движения материальной точки.
Конечно, если движение тела (материальной точки) известно, т. е. известны ее координаты как функции времени t, то простым дифференцированием по времени (t) можно определить величину действующей силы (представляющей собой геометрическую сумму всех сил, действующих на тело) как функцию того же времени.»
В связи с отсутствием понятия ускорения второй закон у Ньютона формулируется в виде изменения количества движения, т.е. изменения величины произведения массы на скорость тела (при постоянстве массы тела) так:
«Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой , по которой эта сила действует».
Примечание Крылова: В непосредственной связи со вторым законом находится Лемма X, в которой показывается, что в пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени. Эта Лемма в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению.
5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.
« Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки. Одну из сил, согласно Ньютону, иногда называют действием, а другую — противодействием.
Формулируют третий закон следующим образом:
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
Следует, однако, заметить, что «действие» по своей физической природе ничем не отличается от «противодействия». Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или наличием электрического поля, то и противодействующая сила обусловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодавление. Действие — давление камня на стол — обусловлено деформацией камня, противодействие давление стола на камень — обусловлено деформацией стола. В основе подразделения сил на «действующие» и «противодействующие» лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие.
Так, если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим противодействие, — телега.
Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих тел является активным, а какое пассивным. Какую из сил назвать действием и какую противодействием - это в большинстве случаев вопрос соглашения. »
Формулировка Третьего закона у Ньютона:
«Действию всегда есть равное противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.»
Если какое-нибудь тело, ударившись о другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своём собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений.
И вот весьма важное Следствие IV, посволяющее выбрать точку для размещения начала системы координат, в которой планируется рассчитывать траектории движения различных тел, т.е. решать Динамическую задачу, как её поставил сам Ньютон выше в ОпределенииV.
Следствие IV
«Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»
Следовательно, по отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела. Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их.
*) Примечание: В современном механике центр тяжести заменяется на более точное понятие центра масс системы, или центра инерции системы(см., например, книгу М.А. Айзермана "Классическая механика", стр.73).
Центр тяжести и центр инерции системытел практически совпадают при условии размещения рассматриваемых тел в однородном внешнем поле ускорения от притяжения планетой или Солнцем, т.е. постоянном по величине внещнего ускорения и действии его на все тела системы по параллельным линиям, проще говоря, при постоянном векторе внешнего ускорения. Использование центра инерции системы тел Солнечной системы для размещения в нём начала инерциальной систем отсчёта (это, так называемая, барическая система (барсистема)) будет весьма правильным решением для избавления её от всех вращательных движений, присущих даже самому Солнцу из-за его вращении вокруг центра масс Солнечной системы, расположенныму, иногда даже вне пределов сферы самого Солнца (например, при "параде планет", когда они выстраиваются в одну линию относительно Солнца и совместным количеством движения сильнее всего смещают центр инерции относительно центра масс Солнца.
Следствие V
« ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ друг по отношению к другу тел, заключённых в каком-либо пространстве, ОДИНАКОВЫ, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения.»
Следствие VI
« Если несколько тел, движущихся как бы то ни было друг относительно друга, будут подвержены действию равных ускоряющих сил, направленных по параллельным между собою прямым, то эти тела будут двигаться друг относительно друга так же, как если бы сказанные силы на них не действовали.»
Так как эти силы, действуя на все тела одинаково (соответственно массам движущихся тел) и по направлению параллельным, будут сообщать всем телам одинаковые скорости (по второму закону), то они ни в чём не изменят ни положений, ни движений тел друг относительно друга.
*) Примечание:
Именно это Следствие VI, было использовано автором данного комментария (метод "обращения движения в обратную сторону" относительно вектора внешнего ускорения от Солнца, т.е. его векторное вычитание из центров масс для всех рассматриваемых тел) для обоснования перехода расчёта движения Луны относительно Земли из Солнечной системы координат (задачи "трёх тел") в Земную (задаче "двух тел"), естественно с учётом некоторой фактической неодинаковости как по величине внешнего ускорения Солнца, так и небольшой их непараллельности для Луны и Земли, да к тому же и при наличии годового вращения гравитационного поля Солнца относительно Земной группы тел. Однако, за счёт применения метода учёта ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ (а неполной величины!) от внешнего возмущающего ускорения Солнца, т.е. компенсации влияния этой неоднородности относительно начала Земной системы отсчёта практически удалось скомпенсировать влияние всех этих отклонений от идеальных условий, оговоренных в данном СледствииVI. Кроме того начало системы отсчёта (с учётом того, какие тела рассматриваются) также размещается ещё и в центре инерции рассматриваемой системы тел (в её барцентре, см. выше примечание к Следствию IV).
6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
« Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения (его закон "обратных квадратов"), согласно которому любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:
F = G * (M*m) / r2 ; (6.1)
Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения.
Коэффициент пропорциональности G, входящий в формулу и введённый позже в употребление, один и тот же по величине для всех тел. В этом смысле коэффициент G является универсальной постоянной. Это одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной.
Измерения G современными методами привели к следующему результату на сегодняшний день:
G = (6,6725 ±0,0005) * 10-8 дин * см2 * г-2 = (6,6726±0,0005)-10-11H * м2 * кг-2.
Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала. Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимно притягиваются с силой F = 6,67 • 10-11 Н = 6,67 • 10-6 дин. »
Для тел, находящихся в гравитационной области Земли, закон всемирного тяготения запишется так:
Fпр.= G * (MЗемли *mтела) / (r тело-цмЗемли) 2; (6.2)
где r тело-цмЗемли - расстояние от центра масс тела до центра масс Земли.
Логично объединить три параметра в один, называемый ускорением земного притяжения:
g (r) = G * MЗемли / r тело-цмЗемли 2 ; (6.3)
И тогда сила притяжения Земли примет простое выражение по типу 2-го закона Ньютона для сил.
Fпр. = g (r) * m тела; (6.4)
Для тел, расположенных на поверхности Земли (уровне океана), ускорение земного притяжения было получено опытным путём для общепринятого среднего радиуса Земли (rЗемли = 6,371*106 м).
g 0 = G *MЗемли / r цмЗемли 2 = 9,78 (на экваторе) или 9,81 (на полюсе)м/сек2 ≈9,80 м/сек2 (6.5)
Как следует из всемирного закона тяготения (6.1) ускорение земного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телом и центром массы Земли.
Логично избавиться при определении ускорения притяжения g(r) от произведения двух неизменных параметров (G * MЗемли), поделив выр. 6.3 на 6.5 .
В итоге, получено выражение для ускорения гравитации в околоземном пространстве.
g = g 0 * (r цмЗемли / rтело - цмЗемли )2 ; (6.6)
После подстановки расстояния до центра масс Земли (r тело-цмЗемли) в виде суммы высоты полёта над уровнем океана (rg0) (т.е. расстояние от тела до высоты определения значения g0) и среднего радиуса Земли (rЗемли) получим более подходящее для орбитальных полётов выражение для g :
g(rg0) = g 0 * ( r цмЗемли / (rцмЗемли + rg0 ) )2 ; (6.7)
где: g 0 ≈ 9.8 м/сек2 , rg0[м] – расстояние (оно же высота полёта над океаном) от тела до среднего уровня (поверхности) Земли, на которой и было определено ускорение g 0, средний радиус Земли - rцмЗемли = 6,3781*106 м.
7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра.
При описании 2-го закона было введено понятие СИЛЫ, которое возникает у человека в связи с ощущением мускульного усилия, которое он должен развить при поднятии разных по массе тел или при приведении их в движение из состояния покоя. Для объективного измерения величины силы можно, например, использовать пружинные весы, называемые в физике динамометром (измерителем силы).
На рис.1 показан более сложный прибор, называемый акселерометром, который тоже построен на базе пружины, но на нижнем конце пружины у него подвешено тело, определённой и постоянной массы для данного прибора.
7.1 Устройство динамометра.
Динамометр устроен ещё проще, чем акселерометр. К нижнему свободному концу пружины вместо измерительного тела подсоединена жёсткая тяга, выведенная через отверстие в дне корпуса наружу, к которой можно приложить внешнее усилие, например, нажать ею на какой-либо тело или же подвесить груз определённой массы, а, следовательно, и определённой силы. Например, в условиях гравитации на поверхности Земли сила притяжения груза к Земле будет равна в соответствии со 2-м законом
чем на Земле, и динамометр покажет для гири массой в 1 кг измеренное значение силы веса ~ 0,17кГ на Луне вместо 1кГ на Земле. А человек массой 100кг на Луне будет давить на поверхность Луны с силой ~ 17кГ, вместо 100кГ в условиях Земли. (Извиняюсь за применение устаревшей системы единиц (1кГ-силы вместо 9,81Ньютонов), но так как-то привычнее для нашего поколения.)
7.2 Устройство акселерометра.
Для летательных аппаратов (сокращённо ЛА) необходимо уметь определять на борту ЛА собственную траекторию полёта, скорость и ускорение движение аппарата относительно поверхности Земли., чтобы долететь в нужную точку над поверхностью Земли. Для этого система управления ЛА снабжается тремя датчиками ускорений, называемыми блоком акселерометров с осями чувствительности, направленными строго по трём осям связанной системы ЛА. Интегрирование показаний акселерометров (после их предварительного проектирования из связанной системы в невращающуюся систему координат с использованием показаний углов ориентации связанной системы относительно невращающейся, получаемых от дополнительных гироскопических датчиков углов) позволяет определить сначала величины проекций текущего ускорения центра масс ЛА, которые непрерывно интегрируются по времени с целью получения составляющих скоростей, а параллельно с этим идёт интегрирование самих составляющих скоростей, позволяющее рассчитать уже декартовые координаты ЛА, т.е. его траекторию полёта в этой невращающейся системе отсчёта.
Акселерометр представляет собой дальнейшее развитие динамометра, к которому в нижней части пружины жёстко прикреплено измерительное тело определённой и постоянной массы (далее просто тело) и помещённое (в отличие от динамометра) в полностью закрытый и герметичный корпус прибора. Принципиальная разница между ними состоит в том, что динамометр, обычно используют для измерения сил в статических неускоренных режимах, например, определения силы веса различных тел, т.е. их взвешивания в быту или для измерения сил в физических опытах. А акселерометр применяют для измерения линейных ускорений движущегося объекта, т.е. в динамических режимах полёта ЛА, когда динамометр дополнительно снабжают небольшим измерительным телом постоянной массы, подвешенным на измерительной пружине, что позволяет производить измерения величины силы (по величине растяжения пружины), действующей на это измерительное тело при РАЗНЫХ величинах внешнего ускорения, сообщаемых корпусу прибора в виде геометрической суммы силы тяги двигателя и аэродинамического сопротивления атмосферы Земли. При этом измеренная величиа силы, приложенной к постоянной по величине измерительной массе, пропорциональна ускорению, действующему на акселерометр в соответствии со вторым законом Ньютона, что и означает измерение акселерометром величины внешнего ускорения, действующего на корпус прибора.
Внешнее измеряемое ускорение объекта сообщается корпусу акселерометра, закреплённого на движущемся объекте в нужном для измерения направлении, а тело, подвешенное на пружине, сопротивляясь по закону инерции этому разгону, вынуждено из-за упругой силы всё более растягивающейся пружины двигаться, в итоге, с тем же внешним ускорением, что и корпус прибора. При этом по установившейся величине растяжения пружины можно, как и в динамометре, определить по шкале величину силы, приложенной к измерительному телу прибора, а поделив измеренную силу на известную постоянную измерительную массу тела, подвешенного к пружине, вычислить величину ускорения тела, которое в установившемся режиме соответствует величине внешнего ускорения, сообщаемого корпусу прибора за счёт его механической связи с корпусом ЛА. Реально градуровка акселерометра выполнена не в величинах силы, а в величинах ускорения, а иногда и в величине перегрузки, показывающей во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение на поверхности Земли(=9,81 м/сек2).
На рис.1 и схематично показано устройство пружинного акселерометра. Далее для простоты будем называть акселерометр просто прибором. Каким же способом формируется в приборе сигнал об ускорении? Величина смещения пружины (Х) может быть измерена в акселерометре, например, потенциометрическим способом, с помощью жёстко закреплённого на подвешенном к пружине теле электрического металлического контакта (щётки), скользящего по проволочному линейному потенциометру, закреплённому на корпусе прибора и запитанному постоянным эталонным напряжением. При этом со скользящего контакта может быть получено измеренное напряжение U Wi измер., пропорциональное величине растяжения пружины (Х) под действующим на тело ускорением и снятое с потенциометра напряжение можно пересчитать либо в единицы линейного ускорения, например, в [м/сек2], либо в уровнях перегрузки, n =Wi измер / g0, где g0=9,81м/сек2 – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли. Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз ускорение, сообщаемое телу, превышает ускорение свободного падения, иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает обычную земную силу притяжения.
7.3 Описание принципа работы акселерометра.
Если корпус прибора покоится, т.е. не движется с линейным ускорением вдоль оси пружины прибора (назовём её измерительной осью прибора, вдоль которой производится измерение ускорения), то его пружина находится в свободном ненапряжённом (не сжата и не растянута) состоянии, тело прикреплённой к ней также сохраняет состояние покоя и показания прибора нулевые (нет ускорения). Когда ЛА начнёт разгон для набора скорости за счёт включения тяги двигателя на максимальный режим центр масс ЛА и все тела на борту аппарата начнут двигаться с ускорением, например, величиной Wi изм., то корпус прибора, с измерительной осью выставленной вдоль продольной оси ЛА, также начнёт ускоряться с этим же самым ускорением, поскольку прибор жёстко закреплён на ЛА. Тело, повешенное на пружине и стремящееся сохранить свою скорость по 1-му закону инерции, начнёт также разгоняться в сторону этого ускорения за счёт всё большего растяжения пружины и, соответственно, возрастающему усилию растянутой пружины в соответствии с законом Гука (по выр.4.2).
Через небольшой интервал времени (так называемую "постоянную времени прибора"), когда ускорение тела прибора сравняется с ускорением его корпуса величина растяжения пружины Х покажет на шкале пружины ускорение, измеренное прибором (см. выр.4.3).
Из 4.3 следует, что измеряемое ускорение однозначно определяется величиной растяжения пружины X (см. выр.4.4), поскольку коэффициент жёсткости пружины (k) и масса измерительного тела прибора (mтела) являются конструктивной постоянной прибора (kконстр). А величины коэффициента жёсткости пружины и массы тела выбираются разработчиками прибора такими, чтобы обеспечить прибору требуемый диапазон измеряемых ускорений с учётом ограничений на длину прибора, а значит и на максимальный диапазон растяжений для пружины (Хмин-Х мах).
Wi изм. = (k / mтела ) * X = k констр * Х; (4.4)
7. О колебательном характере процесса измерении ускорения
Рассмотрим работу прибора при скачкообразном появлении внешнего УСКОРЕНИЯ, сообщаемого корпусу прибора скачком от нуля до некоторого значения (Wi измер.) постоянной величины (для простоты рассуждений), что имеет место, например, при включении двигателя самолёта на полную тягу в момент начала разгона самолёта.
Корпус прибора (будучи закреплённым на объекте, например, вдоль продольной оси самолёта) вместе с верхней точкой подвеса пружины к корпусу прибора начнёт двигаться с приложенным внешним ускорением (Wi измер.), однако тело подвешенное к противоположному свободному концу пружины в соответствии с 1-м законом инерции будет стремиться сохранить своё свободное неускоренное состояние покоя и расстояние между измерительным телом и точкой подвеса прижины к корпусу прибора начннёт возрастать, но при этом растяжение пружины Х начнёт увеличиваться, что приведёт к появлению в точке соединения пружины с телом соответствующей нарастающей упругой силы пружины: Fпр = k * Х , которая приведёт в соответствии со 2-законом Ньютона к появлению УСКОРЕНИЯ у тела, т.е. к его ускоренному движению в направлении упругой силы пружины:
(d2Х/dt2) = Fпр / mтела = (k * Х) / mтела (4.5)
При этом первый интеграл от этого ускорения даст скорость движения (V=dХ/dt) тела, а второй интеграл – величину отклонения пружины от её свободного состояния (Х).
Процесс увеличения растяжения пружины (Х) будет продолжаться пока всё возрастающая упругая сила пружины НЕ СООБЩИТ телу, подвешенному на пружине ускорение равное внешнему измеряемому ускорению (Wi измер.) . Когда внешнее ускорение корпуса прибора и ускорение тела, подвешенного на пружине, совпадут, то по величине растяжения пружины Х с учётом тарировки пружины (об этом несколько ниже) можно получить данные о величине внешнего ускорении Wiизмер. Назовём эту величину растяжения пружины балансировочным значением измеренного внешнего ускорения (ХWiизм), а соответствующее ему напряжение сигнала прибора, снимаемое со щётки потенциометра, U Wi измер.
Однако процесс растяжения пружины в момент сравнивания внешнего ускорения с ускорением тела может и НЕ прекратится, а продолжиться и будет носить далее характер слабо затухающих синусоидальных колебаний относительно балансировочного значения ХWiизм. Колебательность тела на пружине появится, если в конструкцию прибора не будет заложено специальных мер демпфирования этих колебаний (см. Рис. 2 для случая с kдемпф1=0).
Причина этих колебаний в том, что незадемпфированное тело не остановится в момент совпадения ускорений корпуса и тела прибора, а продолжит движение в ту же сторону внешнего ускорения из-за набранной к этому моменту скорости тела (см. выше упоминание о первом интеграле от ускорения тела, равным скорости движения тела V) и будет в соответствии с 1-м законом инерции по-прежнему продолжать увеличивать растяжение пружины Х по инерции с набранной им скоростью. Теперь уже добавочная сила пружины из-за её дополнительного растяжения (Х-ХWiизм) начнёт процесс гашения этой скорости до нуля. После того как дополнительное растяжение пружины, вызванное инерцией тела за счёт набранной скорости, остановит тело, обнулив его скорость, оно начнёт своё ускоренное движение в обратную сторону к положению балансировочного значения (ХWiизм), потому что пружина будет растянута сверх балансировочного положения и избыточное растяжение пружины (Х >ХWiизм), которое погасило скорость движения тела до нуля, продолжит её уменьшать, вызвав рост скорости уже в обратном направлении. На обратном пути тело также может проскочить балансировочное положение ХWiизм, поскольку опять может накопить какую-то скорость в процессе ускоренного движения к положению равновесия, равную интегралу от ускорения, и процесс колебаний продолжится. Колебания измерительного тела смогут затухнуть ТОЛЬКО при наличии сил, тормозящих скорость перемещения тела, например, силы трения тела о стенки корпуса прибора.
7.5 Методы снижения колебательности процесса измерения ускорения
Для борьбы с колебательным характером переходного процесса от одного уровня измеряемого ускорения к другому новому значению, необходимо приложить к колеблющемуся телу дополнительную силу, тормозящую скорость его движения и пропорциональную величине скорости, т.е. демпфирующую (гасящую скорость тела) силу, выражаемую формулой:
Fдемпф.= - kдемпф * V; (4.6)
где: минус означает, что демпфирующая сила всегда направлена противоположно вектору скорости.
Если поделить демпфирующую силу на массу тела, то, в соответствии со 2-м законом получим величину ускорения (см. 4.7), гасящего избыточную скорость движения тела, что нам и нужно для демпфирования колебаний тела относительно балансировочного положения.
Wдемпф.= - (kдемпф *V) / m тела; (4.7)
Таких тормозящих сил есть немало в природе, например, это всем известная СИЛА ТРЕНИЯ измерительного тела о стенки цилиндра, относительно которых тело скользит и испытвает тормозящее влияние от силы трения. Однако технически сложно подобрать стабильную по условиям эксплуатации величину требуемого коэффициента демпфирования (kдемпф) для сил трения. Можно воспользоваться также СИЛОЙ ВОЗДУШНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ, когда воздух, заключённый с двух сторон от измерительного тела в герметичной области перемещения тела при движении тела сжимается в области, на которую надвигается измерительное тело и начинает перетекать в соседнюю высвобождаемую телом область с разряжением воздуха через специально спрофилированные продольные шлицы с определённой калиброванной площадью. При этом тело выполняет роль поршня сжимающего воздух и чем меньше площадь щели для перетекания воздуха тем сильнее сжимается воздух и растёт сила, противодействующая перемещению тела, иначе говоря тем больше значение коэффициента демпфирования kдемпф. Вспомните, например, резкий рост ваших усилий при попытке увеличения скорости накачивания велосипедным насосом.
Регулируя величину площади сечения для перетекания воздуха между полостями разделёнными измерительным телом) можно подобрать такое значение kдемпф у прибора, при котором переходный процесс будет носить быстрозатухающий колебательный характер и даже апериодический, т.е. плавно подходящий к значению ХWiизм (без перерегулирования), т.е. Х(t) =< ХWiизм. (см., например, на Рис.2 процесс при kдемпф3).
Однако, у всех без исключения способов демпфирования есть общий неизбежный недостаток, связанный с тем, что введение дополнительных сил демпфирования СНИЖАЕТ скорость растяжения пружины (dX/dt) в сравнении с вариантом без демпфирования (kдемрф=0). Поэтому время выхода на момент измерения, когда Х ~= ХWiизм, (т.е. величина постоянной времени акселерометра, которую желательно иметь как можно меньше для снижения запаздывания при управлении подвижными маневрирующими ЛА типа зенитных ракет) будет несколько больше, чем при слабозатухающем процессе.
Но и показания слабозатухающего переходного процесса (с kдемпф1=0) нам вовсе не нужны из-за их замусоренности свободными колебаниями измерительного тела не имеющими ничего общего с реальным измеряемым ускорением. Апериодический процесс измерения (с kдемпф3) весьма затянут по времени нарастания выходного сигнала и также вносит свои искажения, состоящие в занижении показаний относительно реального измеряемого ускорения. При интенсивном входном знакопеременном измеряемом ускорении его показания будут сильно занижены относительно реального измеряемого ускорения.
В итоге, на практике выбирают обычно вариант с kдемпф=kдемпф2 с небольшим забросом в 5-10% от ступенчатого входного уровня измеряемой величины (кривая синего цвета) и обладающий неплохой средней скоростью нарастания выходного сигнала при некоторой неизбежной дополнительной потере в быстроте реакции прибора на входное ускорение (небольшом росте постоянной времени запаздывания) мы получаем лучшую точность измеренного ускорения, менее «засорённую» паразитными собственными колебаниями измерительного тела в переходном процессе измерения. (сравните три процесса на Рис.2 ).
Можно также привести ещё один пример уже электромагнитного демпфирования колебаний, когда электропроводящая пластинка, закреплённая на теле акселерометра будет перемещаться вместе с ним без физического контакта над постоянным линейным магнитом, закреплённым в корпусе прибора. При относительном перемещении в пластинке за счёт поля магнита в ней будут наводиться токи (так называемые токи Фуко), которые взаимодействуя своими полями с полем внешнего постоянного магнита будут тормозить скорость относительного перемещения пластинки над магнитом. Этот метод демпфирования часто используют в стрелочных электроизмерительных приборах для демпфирования колебаний измерительной стрелки.
7.6 О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты.
Как уже отмечалось выше, акселерометр принципиально не способен измерять ускорение, вызванное действием гравитации на прибор, т.к однородное гравитационное поле, воздействуя ОДИНАКОВО на все элементарные массы прибора, сообщает ОДНО И ТО ЖЕ УСКОРЕНИЕ всем частям прибора и поэтому НЕ ВОЗНИКАЕТ НИКАКИХ РАЗНОСТНЫХ СИЛ между подвижной и неподвижными частями прибора, а поскольку нет разностных сил, то и нет перемещений, нет растяжения пружины и нет никаких показаний прибора.
Поэтому УСКОРЕНИЕ свободного падения космического корабля на какую-либо планету или Солнце под действием их гравитационного притяжения НЕ МОЖЕТ БЫТЬ измерено на борту корабля никакими внутренними приборами без привлечения какой-либо дополнительной внешней информации о притягивающей нас планете или звезде.
Измерить в космическом полёте гравитационное ускорение от ближайшей планеты можно только с првлечением на помощь ВНЕШНЕЙ информации, например, при локации планет радиолучом с получением отраженного сигнала и выделением информации о скорости сближения с притягивающей планетой и вычислении производной от скорости для определения ускорения в направлении на планету, либо с применением обработки оптических данных по временному параллаксу центра притяжения на фоне неподвижных звёзд.
В режиме «свободного падения» физическое ощущение состояния «невесомости» человеком никак не будет зависеть, как и у акселерометра, от самой величины гравитационного ускорения будь оно величиной 1*g (при полёте вокруг Земли в орбитальной станции) или, например, 25*g (при свободном падении на Юпитер).
Это поразительный случай воздействия на человека гравитационной ускорения от воздействия массовой силы притяжения, когда он может лететь с любым по величине линейным ускорением, не ощущая никакой физической нагрузки от величины этого ускорения на свои внутренние органы, а находясь лишь в сотоянии лёгкой «невесомости». Поскольку человек при свободном падении к притягивающему центру планеты, как и акселерометр, НЕ испытывает действия дополнительных разностных внутренних сил, поддерживающих внутренние органы человека относительно его скелета в нужном положении, (например, как брюшная мышечная диафрагма удерживает верхнюю массу органов человека от их опускания вниз к тазу под действием сил притяжения на поверхности Земли), поскольку все его органы и скелет летят с одинаковым гравитационным ускорением и нулевыми относительными скоростями.
Практика показала, что максимально-допустимое для здоровья человека ускорение от внешних негравитационных сил, например, от аэродинамической подъёмной силы, при совершении самолётом интенсивных манёвров уклонения, составляет порядка (8-12)*g даже для тренированных лётчиков (и то в течение нескольких секунд) с использованием специальных противоперегрузочных костюмов. Естественно, наибольшую перегрузку человек может выдержать в лежачем положении относительно вектора действия перегрузки в направлении грудь-спина, т.е. в направлении, перпендикулярном позвоночнику тела, а не вдоль его, поскольку при этом величина возможных смещений внутренних органов при появлении в органах сил, противодействующих большим перегрузочным силам, гораздо меньше, чем в направлении вдоль позвоночника и тем самым снижается величина опасных больших относительных растяжений внутренних органов, могущих привести к разрыву тканей внутренних органов.
7.7 Тарировка акселерометра
Несмотря на то, что акселерометр не может в принципе измерять ускорение от действия гравитации, однако, если его поставить продольной осью вертикально на поверхность Земли, то он покажет ускорение, численно равное гравитационному ускорению g0 = 9.8 м/сек2 , правда, направленному в другую сторону, т.е. вверх, хотя при этом корпус прибора покоится на Земле с нулевым истинным ускорением!
Кажущийся парадокс объясняется тем, что акселерометр при этом измеряет не ускорение гравитации, а ускорение от ДРУГОЙ СИЛЫ – СИЛЫ ОПОРЫ корпуса на Землю, которая численно равна силе притяжения к Земле в соответствии с 3-им законом Ньютона , т.к. тело находится в покое на поверхности земли и обе силы друг друга уравновешивают. Однако из двух взаимно-уравновешенных сил прибор может реагировать ТОЛЬКО на одну из сил – на реакцию опоры Земли и измеряет её величину, передаваемую от корпуса прибора через верхнюю точку подвеса на пружину, идущую к измерительному телу, т.е. для тела акселерометра реакция опоры земли является ВНЕШНЕЙ негравитационной силой, ускорение от которой он и измеряет.
И, наоборот, если акселерометр начнёт свободно падать с некоторой высоты под действием только одной гравитационной силы притяжения Земли, то пружина его примет своё несжатое свободное ненапряжённое состояние и прибор покажет НУЛЕВОЕ ускорение, поскольку все элементарные массы частей прибора испытываю ОДНО И ТО ЖЕ ускорение свободного падения, но при этом НИКАКИХ РАЗНОСТНЫХ УСКОРЕНИЙ между корпуса прибора и его измерительным телом НЕТ, то и измерить ускорение он не может, хотя весь прибор пребывает в состоянии свободного падения под ДЕЙСТВИЕМ ОДНОЙ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли и падает с ускорением свободного падения, равным g, а показания его будут всё равно нулевыми, не зависящими от величины реального гравитационного ускорения свободно падающего тела.
В условиях полёта над Землёй эту ошибку в показаниях ВЕРТИКАЛЬНОГО ускорения на 1*g компенсируют довольно просто за счёт программного вычитания из измеренного вертикального «кажущегося» ускорения расчётной величины ускорения g(h) с учётом её зависимоcти от высоты полёта над Землёй (см выр.6.7).
Немного о тарировке показаний акселерометра.
Для точной тарировки акселерометра в широком диапазоне измеряемых ускорений можно использовать, например, вращающуюся центрифугу, предварительно направив измерительную ось акселерометра точно на ось вращения центрифуги, и замеряя при этом сигнал напряжения с акселерометра и ставя ему в соответствие расчётную величину центростремительного ускорения, определяемую по известной формуле:
Wцентр.= Ω2 * R;
где: Ω - угловая скорость вращения центрифуги в [рад/сек], а R – расстояние в [м] от оси вращения до акселерометра, а точнее - до центра масс измерительного тела, подвешенного на пружине.
Кроме того, прибор можно промасштабировать не в только единицах линейного ускорения в [м/сек2], а и в уровнях перегрузки, n = Wi измер / g0, где g0 = 9,81м/сек2 – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли. Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение свободного падения, или иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает нормальную силу веса земной гравитации.
При этом вполне допустим и нелинейный характер тарировочной кривой с отступлением от области линейной упругости пружины при крайних значениях ускорений, лишь бы характеристики жёсткости пружины были стабильны и повторяемы при повторных циклах измерений (т.е. при отсутствии остаточных деформаций у измерительной пружины прибора) и тогда точное измеренное значение ускорения будет определено с учетом его тарировочного графика.
8. Пример использования акселерометров
в системах управления летательными аппаратами.
Для измерения величины ускорения, с которым движется вдоль заданного направления какой-либо объект, например, самолёт или ракета, следует использовать акселерометр, измеряющий линейное ускорение вдоль своей измерительной оси.
Для определения полного вектора ускорения объекта, летящего в трёхмерном пространстве, например, самолёта или ракеты, необходимо и достаточно расположить ТРИ датчика ускорений по трём декартовым взаимно-перпендикулярным осям (OX1, OY1, OZ1) , связанными с телом, (см.рис.3). Этих 3-х датчиков будет необходимо и достаточно, чтобы определить пространственную траекторию движения данного объекта в 3-мерном пространстве, и его полную СКОРОСТЬ и УСКОРЕНИЕ относительно земной системы координат (с.к.) .
При этом надо только предварительно пересчитать (спроектировать) измеренные ускорения из связанной системы координат объекта (OX1, OY1, OZ1) в земную систему координат (OXз, ОYз, OZз). А для этого на борту объекта понадобятся ещё дополнительные гироскопические приборы для определения УГЛОВОГО положения объекта (углы тангажа, рыскания и крена) относительно земной системы координат. Методика проектирование ускорений между связанной и земной системами координат в данной статье рассматривать не будем.
Затем, за счёт интегрирования УСКОРЕНИЙ, спроектированных в земную систему координат, получим сначала проекции СКОРОСТЕЙ движения относительно земной системы координат, а после интегрирования скоростей получим и ДЕКАРТОВЫЕ КООРДИНАТЫ объекта в земной с.к., т.е. его полную траекторию.
Кстати, по вертикальной оси земной системы координат OYз надо добавить ускорение свободного падения g(h) со знаком минус (см.ниже выр. 6.7), к измеренному акселерометром «кажущемуся» вертикальному ускорению поскольку, как уже неоднократно отмечалось, он не способен измерять ускорение от воздействия гравитации Земли на движение летательного аппарата. Это и понятно, т.к. например, в горизонтальном полёте акселерометр измерит вертикальное ускорение от подъёмной силы корпуса, равной численно силе притяжения аппарата к земле. Вычтя из этого измеренного ускорения акселерометра, называемого «кажущимся», и численно равного g , вышеупомянутую поправку в виде (– g) , получим в сумме НУЛЕВОЕ вертикальное ускорение, а, следовательно, и нулевую вертикальную скорость в режиме горизонтального полёта, что полностью соответствует горизонтальному полёту летательного аппарата.
P.S. Следующая публикация будет на тему вывода уравнений для скорости и ускорения тел для так называемого (в теоретической механике) "сложного движения" точки, позволяющих распространить методику расчёта динамики движения тела, применяемую в инерциальных системах с использованием законов Ньютона, на неинерциальные вращающихся системы и движущиеся в общем случае с линейным ускорением начала системы координат.
Уважаемая RMR_astra, слово телескоп у меня тесно связано с именем Сергей Дроздов. Сергей был по-настоящему влюблен в астрономию. На одной из лекций по космосу учитель из Вешкаймы рассказал, что у него в классе есть ученик, который из кастрюли сделал телескоп и каждую ночь смотрит через это приспособление в небо. Запрещают родители, учителя, потому что на уроках он просто засыпает, но с его упорством справиться не могут.
Где-то на нашем сайте есть комментарий Сергея под сообщением о создании нового телескопа, в котором он написал, что, наверное, умер бы от голода рядом, его бы не смогли оторвать от такого телескопа.
Сергей Дроздов стал профессиональным астрономом, из сельской школы поступил и уже окончил Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга (ГАИШ).
Серёжа, мы помним о тебе, ты и нас воодушевил своей мечтой.
С интересом прочла Вашу последнюю статью. Со всем согласна. Приливы и отливы наблюдаются на Земле и в океанах, и, несравненно меньшей амплитуды, на суше. На Луне из-за наступившей синхронизации выпуклости не смещаются, поэтому Луна имеет яйцеобразную форму.
Я совершенно с Вами согласна, что одновременно действуют и оказывают влияние разные явления. Следующая цитата полнее объясняет причины разогрева Ио.
«В настоящее время наиболее вероятным энергетическим источником вулканизма на Ио считают приливный разогрев недр спутника. Как и большинство спутников в Солнечной системе, Ио обращается вокруг Юпитера синхронно, т.е. период осевого вращения спутника равен периоду его обращения вокруг планеты. Ио находится на орбите близко расположенной к Юпитеру, в результате чего образуется приливной горб величиной в несколько километров. Небольшой эксцентриситет орбиты (0,004) приводит к явлениям, аналогичным либрациям Луны в процессе ее вращения вокруг Земли. Одновременно, под влиянием соседних Европы и Ганимеда возникают возмущения эксцентриситета орбиты, что вызывает периодические изменения амплитуды приливных деформаций в коре Ио. Такая постоянная пульсация предположительно тонкой коры (толщиной не более 20 - 30 км) обеспечивает энерговыделение, достаточное для расплава недр спутника, что и выражается в интенсивной вулканической активности» (В.В.Шевченко «Наша уникальная Солнечная система»).
Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?
У многих (и даже весьма продвинутых "специалистов") этот вопрос заканчивается ответом, что, видимо, Закон притяжения Ньютона не работает, поэтому ответим на этот вопрос подробно с разбором типичных ошибок в трёх пунктах в полном соответствии с законами механики Ньютона.
Во-первых, если в вопросе сравнивается влияние силы гравитационного притяжения между Луной и Солнцем с силой притяжения между Луной и Землёй, то следует быть последовательным до конца и обязательно учитывать силу притяжения Солнцем не только Луны, но и Земли.
Во-вторых, РАССМАТРИВАТЬ ВЛИЯНИЕ на относительное движение двух тел в общей постановке с учётом третьего тела (Солнца) ТОЛЬКО ВЕЛИЧИН СИЛ (или ИХ ОТНОШЕНИЙ) БЕЗ ПЕРЕСЧЁТА ЭТИХ СИЛ В УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых двух тел, обладающих к тому же разными массами, с позиций законов механики просто НЕГРАМОТНО, хотя именно в данной конкретной формулировке рассмотрения сил, приложенных только к одному и тому же телу (Луне) допустимо.
А если ещё, например, сообщить, что СИЛА притяжения Земли Солнцем в 178 раз БОЛЬШЕ СИЛЫ притяжения между Луной и Землёй (сравните с отношением сил для Луны: 2-2,5 раза), то по навязанной (и физически безграмотной) логике РАССМОТРЕНИЯ СООТНОШЕНИЯ СИЛ Земля явно обойдёт Луну в стремлении к разбеганию друг от друга. Это логический тупик.
Далее без ВТОРОГО закона механики Ньютона нам никак не сдвинуться с насиженного места: Ускорение тела РАВНО действующей на него результирующей СИЛЕ, ОТНЕСЁННОЙ К МАССЕ ТЕЛА. При этом вектор ускорения тела направлен по вектору результирующей силы.
Именно в таком виде второй закона и необходим всем механикам, поскольку их интересует ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ тела под воздействием результирующей силы, чтобы определить УСКОРЕНИЯ, СКОРОСТИ И ТРАЕКТОРИЮ ДВИЖЕНИЯ тела по времени его движения. А для этого надо РАССЧИТЫВАТЬ по второму закону механики ТЕКУЩЕЕ УСКОРЕНИЕ центра масс рассматриваемого тела и ИНТЕГРИРОВАТЬ по времени его составляющие в выбранной нами инерциальной системе координат (для космических расчётов это практически всегда инерциальные (невращающиеся) системы координат), определяя при этом составляющие СКОРОСТИ тела. Одновременно производится интегрирование и для составляющих скоростей (повторное интегрирование ускорений), позволяющее получить текущие КООРДИНАТЫ тела, т.е. ЕГО ТРАЕКТОРИЮ. Спасибо сэру Ньютону и другим учёным за все 4 закона механики 16 -18 веков (от Галилея и Гука до Лагранжа, Д’Аламбера и Эйлера).
Из второго закона следует, что для РАСЧЁТА ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА НЕОБХОДИМА только ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, вызываемого воздействием на тело РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ВСЕХ СИЛ и отнесённой (для пересчёта в ускорение) к МАССЕ тела.
Типичный пример из космоса: массы у взаимно притягивающихся тел, как правило, РАЗНЫЕ, а силы притяжения друг к другу ОДИНАКОВЫЕ (см. чуть ниже Закон всемирного тяготения – он ведь одинаков для притягивающихся друг к другу тел: сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс взаимно притягивающихся тел), поэтому, например, ускорение сближения Луны в сторону Земли как более лёгкого тела будет в 81 раз больше ускорения сближения Земли с Луной только потому, что масса Земли во столько же раз больше массы Луны. Показательный пример влияния инерционности тел (их массы) на ускорения тел.
В ИГНОРИРОВАНИИ второго ЗАКОНА МЕХАНИКИ И КРОЕТСЯ ОСНОВНАЯ ОШИБКА в постановке данного вопроса о Луне. Для анализа движения тел ВАЖНЫ НЕ ВЕЛИЧИНЫ СИЛ или ИХ ОТНОШЕНИЙ ДРУГ К ДРУГУ, а УСКОРЕНИЯ, вызываемые воздействием эти сил и определяемые с учётом влияния свойства инертности тел (их массы).
Далее обратимся к закону всемирного тяготения Ньютона и проанализируем , вытекающую из этого закона, формулу для гравитационного ускорения тел, притягиваемых Солнцем:
Fs = G· m · Ms/ R2 = (G · Ms/ R2) · m = gs · m; (1) где: gs = G · Ms / R2; (2)
где: Fs[Н] - сила притяжения Солнцем тела массой m[кг],
Ms[кг]- масса Солнца, R[м] - расстояние от центра масс тела до центра масс Солнца,
Данные по массе Солнца, Земли и Луны в [кг]: 1,98885·1030, 5,9726·1024, 7,3477·1022
gs[м/сек2] - гравитационное центростремительное ускорение, приложенное к центру масс притягиваемого тела (массой m), находящегося на расстоянии Rот центра масс Солнца.
Из выражения (2) следует, что ВЕЛИЧИНА ГРАВИТАЦИОННОГО УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем (gs) ЗАВИСИТ ТОЛЬКО ОТ РАССТОЯНИЯ до его центра масс (в обратной квадратической зависимости от расстояния) и НЕ ЗАВИСИТ ОТ ВЕЛИЧИНЫ МАССЫ ПРИТЯГИВАЕМОГО ТЕЛА! ВСЕ ТЕЛА на одном и том же расстоянии от Солнца УСКОРЯЮТСЯ К СОЛНЦУ С ОДИНАКОВЫМ ГРАВИТАЦИОННЫМ УСКОРЕНИЕМ (от пера и молотка до Луны и Земли).
Благодаря этому уникальному свойству СИЛУ гравитационного ПРИТЯЖЕНИЯ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ физики выделяют особо и называют их МАССОВЫМИ СИЛАМИ (в отличие от всех остальных физических (ВНЕШНИХ по отношению к телу) сил, например, силы тяги реактивного двигателя или силы сопротивления воздуха), т.е. силами действующими одинаково на каждую единицу массы внутри любого тела, а полная (суммарная) сила (от воздействия единичных массовых сил на тело), естественно, пропорциональна ВЕЛИЧИНЕ МАССЫ ТЕЛА m и определяется как произведение массы тела, либо на гравитационное ускорение тела: Fs = gs · m (сила притяжения), либо на линейное ускорение Fi = а · m (сила инерции). Кстати, масса, учитываемая в формуле для силы притяжения называется ГРАВИТАЦИОННОЙ, а для сил инерции - ИНЕРЦИОННОЙ. У физиков были подозрения об их возможном различии, но на сегодняшний день они считаются практически СОВПАДАЮЩИМИ по величине., т.е. механизм воздействия сил гравитации и сил инерции осуществляется через одну и ту же массу тела.
Рассчитаем величину гравитационного ускорения от притяжения Солнцем на расстоянии радиуса орбиты Земли (орбита Земли близка к круговой):
g солнце-земля = G · Ms/ (Rs-земля)2 = 6.67·10-11 · 1.99·1030 /(1.49·1011)2 = 5.98·10-3 [м/сек2].
Как видим, ускорение свободного падения Земли на Солнце невелико (~0,006 [м/сек2])из-за очень большого расстояния до Солнца (149,6 млн.км).
Что же мы видим (для многих это станет большой новостью): с одной стороны, с точки зрения закона всемирного притяжения, практическое РАВЕНСТВО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ ДЛЯ ЛУНЫ И ЗЕМЛИ под воздействием СИЛ притяжения Солнцем из-за практически одинакового расстояния до Солнца, а, с другой стороны, СИЛЫ притяжения Луныи Земли к Солнцу, отнесённые к равным по величине силам взаимного притяжения Луны и Земли, составляют 2-2,5 раза (для Луны) и 178 раз (для Земли), что вызвано различием в ~ 81 раз их масс.
Как говорится, почувствуйте РАЗНИЦУ В РЕАЛЬНОМ ВЛИЯНИИ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем, выраженную в УСКОРЕНИЯХ для Луны и Земли (ОНИ ОДИНАКОВЫЕ) и в ВЕЛИЧИНАХ (относительных) тех же самых СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ к Солнцу, сообщивших эти одинаковые ускорения (САМИ СИЛЫ СУЩЕСТВЕННО РАЗНЫЕ из-за различия их масс!: 2-2,5 и 178) Хотя кто-то решит, что в "попугаях" (отношениях сил) он подлиннее будет. Да разве из РАССМОТРЕНИЯ СИЛ для Луны и Земли можно увидеть хоть какой-нибудь намёк на то, что они одновременно падают практически С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ центростремительным УСКОРЕНИЕМ к Солнцу?
Поскольку Луна изменяет своё расстояние до Солнца относительно орбиты Земли максимум на ~ 405 700км, то это приводит к изменению относительно среднего солнечного гравитационного ускорения для Луны (5,98 ·10-3 ) на +- 0.03[м/сек2], что составляет не более, чем +- 0.5% в моменты нахождения Луны в областях, близких к прямой линии Солнце-Земля, т.е. вмоменты новолуния или полнолуния. Поэтому с достаточной для практики точностью, можно считать гравитационное поле Солнца практически ОДНОРОДНЫМ (постоянным) вдоль траектории Земли и в пределах области, «ометаемой» радиусом-вектором Луны в относительном вращении вокруг Земли.
В третьих, однородность (постоянство) центростремительного ускорения означает, что ВСЕ тела, вращающиеся вокруг Земли (предлагаю назвать их «Земной группой тел», включая Луну и орбитальные спутники Земли или Луны), вместе со своим местным основным «гравитатором» (Землёй) свободно падают на Солнце с практически одним и тем же центростремительным гравитационным ускорением.
Примечание: слово «гравитатор», удобное для рассуждений, присваиваем САМОМУ массивному телу из некоторой совокупности тел составляющих гравитационную группу, УДЕРЖИВАЕМУЮ этим «гравитатором» на орбитах вокруг себя на его гравитационном "поводке". Именем «гравитатора» и называется группа рассматриваемых тел, вращающихся вокруг него. Например, Солнечная система («гравитатор» - Солнце, которое удерживает все планеты с их спутниками и прочие тела Солнечной системы), Земная группа тел («гравитатор» - Земля, удерживающая Луну и все их спутники).
Возникает вполне очевидная идея мысленно ВЫЧЕСТЬ ПОСТОЯННЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца из центра масс каждого тела Земной группы (включая и Землю) ведь ПРИ ЭТОМ ПРАКТИЧЕСКИ НИЧЕГО НЕ ИЗМЕНИТСЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ движения тел Земной группы, т.к. они в наших расчётах ВСЕ ПЕРЕСТАНУТ ОДИНАКОВО УСКОРЯТЬСЯ к центру масс Солнца, сохраняя относительные скорости и положения между собой, а в уравнениях для тел останутся лишь ускорения от ВЗАИМНЫХ ПРИТЯЖЕНИЙ МЕЖДУ ВСЕМИ ТЕЛАМИ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ. Эта идея не нова и была высказана ещё А.Эйнштейном в его мысленном примере со СВОБОДНО ПАДАЮЩИМ к центру Земли ЛИФТОМ и телами в нём (так называемый «Лифт Эйнштейна»). Если сказать кратко, то это метод ОБРАЩЕНИЯ движения в обратную сторону на одну и ту же величину вектора гравитационного ускорения от Солнца для рассматриваемой нами Земной группы тел.
Такой подход фактически приводит к ЗАМЕНЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ для расчёта траекторий: вместо СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ (с полной постановкой задачи движения для "трёх тел", учитывающей ускоренное движение к Солнцу и, естественно, с расстояниями в ~150 млн.км от Солнца до Земли и Луны) ПЕРЕХОДИМ К ЗЕМНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ (невращающейся) СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с рассмотрением задачи движения "двух тел", в которой УЖЕ НЕТ УЧЁТА ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА, а расстояния не превышают размеров самых дальних орбит для Земной группы тел, например, для Луны с радиусом орбиты до ~400 тыс.км.
Кстати, в солнечной системе координат траектория Луны выглядит весьма необычно для земного наблюдателя: в виде узенькой растянутой спиральки намотанной на почти круговую орбиту Земли с 13 периодами спиральки (полнолуний) за год обращения Земли вокруг Солнца, и амплитудой отклонений Луны от орбиты Земли +- 0,4 млн.км при радиусе орбиты Земли 149,6 млн.км. Но этот вид доступен для наблюдателя из космоса, находящегося над Солнцем и смотрящего по нормали на плоскость орбиты Земли.
Конечно, надо сразу отметить, что этот приём НЕ АБСОЛЮТНО ТОЧЕН, А ПРАКТИЧЕСКИ ТОЧЕН, поскольку гравитационное поле от ускорения притяжения Солнцем Земли и Луны немного ИЗМЕНЯЕТСЯ ПО ВЕЛИЧИНЕ (+- 0.5% в крайних участках орбиты Луны относительно Солнца из-за изменения расстояния до него, да И ПО НАПРАВЛЕНИЮ (из-за вращения Земли вокруг Солнца в один оборот за год), что и приводит к НЕОДНОРОДНОСТИ этого поля, которая повлечёт за собой постепенное накопление ошибок в расчётах в сравнении с полной постановкой движения "трёх тел" в Солнечной системе координат. Однако это весьма небольшие относительные ошибки второго порядка малости и их можно устранить несложными мерами.
В итоге, с достаточной для практики точностью, можно рассчитывать относительные траектории тел внутри Земной группы в ЗЕМНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с учётом всех внутренних гравитационных сил взаимного притяжения между телами земной группы, ПОЛНОСТЬЮ ИСКЛЮЧИВ из уравнений движения УЧЁТ ВНЕШНЕГО ДЛЯ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ центростремительного УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА С УЧЁТОМ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ для сегодняшней орбиты Луны вокруг Земли.
Как оказалось, практически нас не должны волновать силы притяжения Солнцем Луны и Земли при рассмотрении вращения Луны вокруг Земли. Зря в рассматриваемом вопросе сравнивается сила взаимного притяжения Луны и Земли с силой притяжения от Солнца, т.к. силы притяжения Солнца сообщают ВСЕМ ТЕЛАМ Земной группы ОДИНАКОВЫЕ центростремительные УСКОРЕНИЯ, которые «работают» ЛИШЬ НА ПЛАВНОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ИХ ПОЛЁТА вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ ОДИНАКОВОЕ ДЛЯ ВСЕЙ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ: Земли (до почти круговой орбиты) и Луны с едва заметной (под микроскопом) спиралевидностью относительно основной круговой орбиты Земли из-за того что она является спутником Земли), практически не влияя при этом на относительные движения тел Земной группы. Благодаря хорошей ОДНОРОДНОСТИ гравитационного ускорения от Солнца в области орбит Земной группы тел нет и практически заметного влияния Солнца на относительную траекторию Луны вокруг Земли. В итоге, удалось упростить расчёт траекторий с полной постановки "задачи трёх тел" (Солнце, Земля и Луна) до более простой "задачи двух тел" (Земля и Луна), отказавшись при этом от учёта сил притяжения Солнцем на Землю и Луну из-за практического равенства ускорений, вызываемых этими силами.
Для дальнейшего повышения точности расчётов в Земной системе координат очевиден весьма простой и понятный способ повышения точности расчётов в Земной инерциальной системе координат за счёт введения небольших ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК к УСКОРЕНИЯМ всех тел Земной группы, вычисленных в виде ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ УЧИТЫВАЕМОГО ВОЗМУЩАЮЩЕГО ФАКТОРА: ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ для каждого из анализируемых тел, (в нашем случае Луны), ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАЧЕНИЯ ЭТОГО ЖЕ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ЦЕНТРЕ ЗЕМНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, в котором поправка , естественно, всегда нулевая по определению! Действительно, ну зачем учитывать полный эффект от практически одинакового для всех тел полного вектора ускорения от Солнца (нас ведь не интересует как все тела с одинаковым ускорением "падают" на Солнце, а круговую орбиту Земли мы можем рассчитать отдельно, да и от траекторных "спиралек" Луны в Солнечной системе координат нам нет никакого толку. А вот для повышения точности расчёта траектории Луны относительно Земли, естественно, подходит Земная инерциальная (невращающаяся) система координат. При этом целесообразно использовать метод ПОПРАВОК, состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых тел относительно значения этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в центре Земной инерциальной системы координат, иначе говоря, ЭТО ТОЧНЫЙ УЧЁТ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем для Земной группы тел.
Кстати, при таком ВЕКТОРНОМ подходе УЧИТЫВАЮТСЯ НЕ ТОЛЬКО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН ВЕКТОРНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнца, НО И МЕДЛЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ (поворот на один оборот за год) ОДНОРОДНОГО "ПОЛЯ" ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА относительно начала Земной инерциальной (невращающейся) системы координат . Информация о положении Солнца относительно Земной группы тел ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ РАСЧЁТА НЕБОЛЬШИХ ПОПРАВОК ОТ ОДНИХ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от Солнца С УЧЁТОМ НАПРАВЛЕНИЯ на Солнце и РАССТОЯНИЯ до него.
Нам ничто не помешает, применить этот же подход к учёту гравитационных возмущений от любых планет Солнечной системы. Аналогично можно применить эту методику для расчета движения, например, «лунника», вышедшего на орбиту вокруг Луны уже в Лунной системе координат, игнорируя при этом полный вектор ускорения притяжения от Земли, но учитывая его неоднородность (изменение) относительно центра масс Луны для спутника на орбите Луны методом поправок (приращений) и также поступить с векторами любых других возмущающих ускорений, например, от Солнца и остальных его планет. При этом придётся определять НАПРАВЛЕНИЯ и РАССТОЯНИЯ до учитываемых "возмутителей" с их ГРАВИТАЦИОННЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ УСКОРЕНИЕМ, НО НЕ В ЕГО ПОЛНОМ ВИДЕ, а только В ВИДЕ ВЕКТОРНОГО ОТКЛОНЕНИЯ (приложенного в рассчитываемому телу ) ОТ ЕГО ЖЕ возмущающего ЗНАЧЕНИЯ относительно центра выбранной системы координат, т.е. с учётом только одной НЕОДНОРОДНОСТИ от возмущающего ускорения.
В итоге, вопрос о возможном сходе Луны с орбиты вокруг Земли с УЧЁТОМ РАССМОТРЕНИЯ ВЕЛИЧИН СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ (или СООТНОШЕНИЯ СИЛ ), ДЕЙСТВУЮЩИХ на Луну от Солнца и от Земли , НЕ МОЖЕТ ДАТЬ, в принципе, ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА из-за своей ОШИБОЧНОСТИ по причине ПРАКТИЧЕСКИ НЕЗАМЕТНОГО ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА НА ОРБИТУ Луны вокруг Земли ПРИ СУЩЕСТВУЮЩИХ на сегодня РАССТОЯНИЯХ от Земли до Луны (~ 400 тыс.км). Из всего вышеизложенного вытекает, что ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЁТОВ ТРАЕКТОРИЙ ТЕЛ ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем по законам механики НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ, зависящее от разности расстояний Луны и Земли относительно Солнца, иначе говоря, надо рассматривать влияние на орбиту Луны вокруг Земли ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ (ПРИРАЩЕНИЯ) СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнца, вычисляемую относительно Земли.
Если теоретически рассмотреть постепенное увеличение размеров орбиты Луны относительно существующей на сегодня, то рост неоднородности притяжения Солнца приведёт к нарастающему смещению (деформации) условной середины орбиты Луны оносительно Земли в сторону Солнца вплоть до момента схода Луны с орбиты Земли на минимальных расстояниях от Солнца, когда ПРИРАЩЕНИЕ силы притяжения Луны Солнцем (рассчитанное относительно значения этой же силы для центра масс Земли) , отрывающее Луну от Земли, приблизится по своей величине к силе притяжения Луны Землёй и скомпенсирует её воздействие на Луну. Здесь, для простоты рассуждений, допустимо рассуждать в терминах сил, поскольку все они воздействуют на одно и то же тело (Луну), но надо всегда переходить от сил, поделив их на массу тела, к ускорениям тела.
Однако вернёмся от катаклизмов к устоявшимся веками орбитам космичесих тел: ЛЮБАЯ ПЛАНЕТА со своими спутниками в Солнечной системе ЯВЛЯЕТСЯ в гравитационном рассмотрении вполне АВТОНОМНОЙ (самостоятельной) СИСТЕМОЙ, неплохо "защищающей" орбиты своих спутников от гравитационного влияния (возмущения) ВНЕШНЕГО "гравитатора" ( например, Солнца) по отношению к местному "гравитатору" (Земле) БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ в определённой окрестности относительно центра масс местного "гравитатора" ЗОНЫ С ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТЬЮ гравитационного УСКОРЕНИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ ВНЕШНЕГО "ГРАВИТАТОРА" из-за большого расстояния до него.
А ведь, действительно, в чём-то и правы оказались наши предки, считая, что Солнце вращается вокруг Земли и поэтому мы можем спокойно не учитывать его влияния на наши дела в Земной группе. И хотя это, конечно же, шутка, но в ней есть и большая доля правды: каждый МЕСТНЫЙ "ГРАВИТАТОР" со своей группой тел ПО ОТНОШЕНИЮ К СВОЕМУ ВНЕШНЕМУ "ГРАВИТАТОРУ" ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО УМЕНЬШЕННОЙ МАЛОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ И ВПОЛНЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ КОПИЕЙ, например, Земная группа тел является малой копией самой Солнечной системы. Земная группа тел всегда готова отправиться в самостоятельный полёт в космос, покинув Солнечную систему, вместе со своими спутниками и Луной в поисках нового для себя внешнего "гравитатора", если сможет сойти с орбиты вокруг Солнца, получив, например, необходимую для этого немалую дополнительную скорость для этого ухода, например, за счёт появления большой неоднородности возмущающего ускорения при сближении двух разных галактик на близкое расстояние. Так же и Солнечная система, в свою очередь, является миниатюрной копией звёздного скопления нашей галактики «Млечный путь», а наша галактика - миниатюрой копией в ближайшем скоплении галактик в Метагалактике и т.д. Причём каждая из них живёт по своим гравитационным законам от своего основного местного «гравитатора» для рассматриваемой группы тел, траектории которых могут заметно возмущаться в движениях вокруг него ЛИШЬ ПРИ ДОВОЛЬНО БОЛЬШИХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ от вышестоящего по иерархии БЛИЖАЙШЕГО ВНЕШНЕГО «ГРАВИТАТОРА». Чёткая гравитационная иерархия, напоминающая армейскую иерархию (Главнокомандующий руководит Всеми починёнными ему силами через приказы своему ближайшему, нижестоящему по должности, командующему, а тот - своему нижестоящему и т.д. до солдата. Вот только интересно, кто выступает в роли Главнокомандующего "гравитатора" в космосе, очень надеюсь, что это не "тёмные" силы, а что-то светлое).
Как видим, вышестоящий по массе «гравитатор», например, Солнце, не даст раздуться "местной лягушке" (Земной группе тел) "до размеров вола" за счёт высоких орбит её спутников, и сорвёт их с орбиты вращения вокруг Земли за счёт неоднородности своего влияния, сделав их своими солнечными спутниками. Луна пока ещё спутник Земли, но если она будет и дальше по непонятным причинам продолжать удаляться от Земли на несколько сантиметров в год, то сойдёт с орбиты спутника Земли на самостоятельную солнечную орбиту, избавившись при этом от существующих сейчас малозаметных 13 годовых спиралек на своей новой солнечной орбите и может быть повышена до статуса планеты, а нашим потомкам придётся создавать искусственное освещение в ночное время с земной орбиты спутниковыми "зонтиками" из почти невесомой отражающей солнечный свет плёнки (это уже не шутка: китайцы уже провели первые орбитальные испытания с целью экономии на освещении по ночам).
Поскольку "повторение - мать учения", то подведём основные итоги:
1. Надо быть внимательными при постановке задач расчёта траекторий и учитывать влияние притяжения от какого-либо тела для всех остальных рассматриваемых тел БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЙ. Если, например, учитываем притяжение Луны Солнцем, то это уже задача движения "Трёх тел", рассматриваемая в Солнечной системе, и необходимо учесть так же и силу притяжении Земли Солнцем.
2. Крайне ОШИБОЧНО пытаться оценивать движение тел (хотя бы и качественно: сойдёт или не сойдёт Луна с орбиты вращения вокруг Земли) ПО ВЕЛИЧИНАМ СИЛ, действующих на них, ИЛИ ИХ ОТНОШЕНИЯМ! Необходим ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ учёт влияния МАССЫ ТЕЛ (как их характерного свойства ИНЕРЦИОННОСТИ сопротивляться разгону по воздействием силы) для ПЕРЕСЧЁТА действующих на тела СИЛ в соответствующие им УСКОРЕНИЯ (путём деления результирующей силы на величину массы тела по второму закону механики), которые и позволят решить все задачи движения (определить скорость и траекторию тела путём интегрирорования ускорения и скорости тела.).
3. С достаточной для практики точностью МОЖНО НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА на траектории спутников Земли (например, вращения Луны вокруг Земли) и рассчитывать траектории в Земной инерциальной (невращающейся) системе координат благодаря практически однородному (постоянному) вектору гравитационного Солнечного ускорения , поскольку ускоренное падение ВСЕХ тел Земной группы (Земли и Луны) с одним и тем же по величине ускорением в сторону Солнца практически не влияет на относительные движения тел, вызываемых внутренними силами гравитации между телами Земной группы. Для повышения точности расчётов траекторий тел в Земной системе координат достаточно ввести УЧЁТ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ от Солнца за счёт применения метода ПОПРАВОК (или иначе, ПРИРАЩЕНИЙ), состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из тел относительно значения этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в центре Земной системы координат, что позволяет учесть влияние ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от Солнца вокруг Земли (без рассмотрения влияния полного значения этого вектора).
4. И всё-таки Луна, несмотря на все «теории», ЯВЛЯЕТСЯ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ для земных наблюдателей и продолжает вращаться, в целом, согласно всем законам классической механики, включая закон всемирного притяжения Ньютона, о чём свидетельствуют также и расчёты автора этого комментария по своей программе, специально созданной для решения задачи движения 4-ёх космических тел в полной постановке (см. уравнения движения на примере Задачи трёх тел в книге Г.Н.Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г, Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`).
5. Главный вывод. Из всего вышеизложенного вытекает, что рассматриваемый вопрос был сформулирован с точки зрения законов физики НЕГРАМОТНО и влечёт за собой "бытовой" вывод о "неработающем" законе всемирной гравитации Ньютона, якобы не объясняющему эффект от сравнения величин сил, приложенных к Луне, и явно противоречащий наблюдаемой нами при этом действительности - стабильному вращению Луны вокруг Земли. Виноват не закон, а ошибочное, навязанное вопросом, сравнение сил, действующих на Луну. Не надо рассматривать никаких СООТНОШЕНИЙ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны к Солнцу и Земле при анализе вращения Луны вокруг Земли, т.к. они абсолютно бесполезны, как мартышке очки. ОШИБКА СОСТОИТ В УЧЁТЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, которая ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ на относительное вращение Луны вокруг Земли при сегодняшней величине орбиты Луны (её апогее и перигее).
ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ_ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС Земли, зависящее от разности расстояний Луны и Земли относительно Солнца. Поскольку анализируется движение Луны вокруг Земли, то и приращение определяется относительно центра масс Земли. ПРИРАЩЕНИЕ от силы притяжения Луны Солнцем по аналогии с математикой означает взятие дифференциала от силы, а не учёт текущей величины силы, а это две большие разницы. Иначе говоря, надо рассматривать наряду с силой притяжения Луны Землёй НЕ ВЕЛИЧИНУ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, а только влияние её ПРИРАЩЕНИЯ (НЕОДНОРОДНОСТИ) относительно Земли. И, естественно, необходимо всегда пересчитывать силы в ускорения, как того требует второй закон механики, для проведения дальнейших расчётов скорости и траектории рассматриваемого тела за счёт первого и второго интегрирования суммарного вектора ускорения центра масс тела в выбранной системе кординат (так называемый "расчёт динамики движения" тела).
Так что студентам не стоит сомневаться в законах Ньютона: они проверены столетиями наблюдений и практикой их применения. Хотя и несущественные поправки возможны, но только из-за влияния пока неизвестных источников космических гравитационных возмущений.
В заключение две цитаты:
«В истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона. » С.И.Вавилов.
( С.И.Вавилов (1891-1951) - советский физик, основатель научной школы физической оптики в СССР, действительный член (1932) и президент АН СССР (1945-1951), общественный деятель и популяризатор науки. Лауреат четырёх Сталинских премий.)
( Первый том «Начал» с изложением трёх законов механики Исаак Ньютон (1642-1727) представил Королевскому обществу в 1686г., а полностью труд Ньютона под названием «Математические начала натуральной философии» (или на современном языке «Математические основы физики» ) в трёх томах вышел через год, в 1687г. тиражом около 300 экземпляров. Два экземпляра этого редчайшего издания хранятся в России; один из них Королевское общество в годы войны (1943) подарило Академии наук СССР на празднование 300-летнего юбилея Ньютона. Талантливый перевод (с учётом терминов современной механики) "Начал" Ньютона с латинского (научного языка для того времени) на русский язык был сделан в 1916г. известным теоретиком и практиком кораблестроительного дела А.Н.Крыловым (1863-1945). . Он дополнил текст Ньютона более чем 200 замечаниями.)
«Законы классической механики и вытекающие из них логические следствия ... с высокой точностью описывают и предопределяют движение и равновесие макротел в природе и механике, служат надёжным фундаментом как практических расчётов, так и исследований в области физики и других естественных наук.»А.Ю. Ишлинский (Заключение из книги "Классическая механика и силы инерции")
(А.Ю. Ишлинский (1913-2003) - академик АН СССР, а затем РАН, доктор ф-м наук и профессор МГУ, директор Института механики и Проблем механики, лауреат Ленинской и Государственных приемий СССР и РФ., посвятивший свою научную и профессиональную деятельность решению сложнейших задач космической механики в области динамики твёрдого тела и теории гироскопов, работал совместно с С.П.Королёвым и М.В.Келдышем. Его книгу "Классическая механика и силы инерции" (320стр.) настоятельно рекомендую всем интересующимся механикой в качестве первого основного пособия по классической механике.)
P.S. Вопрос закрыт. Луна продолжает оставаться спутником Земли, несмотря ни на какие удивительные, на первый взгляд, отношения сил, действующих на неё. Надеюсь, что этот комментарий кому-то помог понять какие силы реально определяют вращение Луны вокруг Земли с точки зрения законов механики.
Кстати, в нижеприведенных комментариях прошлых лет по данному вопросу о Луне увидел типичные неграмотные попытки объяснять что-либо с использованием термина "ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ" без оглядки на то, в какой системе координат рассматривается данный вопрос. Да НЕТ ЭТОЙ ФИКТИВНОЙ силы, как и, так называемых, СИЛ ИНЕРЦИИ в РЕАЛЬНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ и соответственно в ИНЕРЦИАЛЬНЫХ (невращающихся) системах координат. ЗАБУДЬТЕ про них в инерциальных системах, как кошмарный сон! Для расчёта параметров космической ТРАЕКТОРИИ ТЕЛА, как и в данном комментарии, ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ТОЛЬКО ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, в которых единственными учитываемыми силами являются силы гравитационного взаимного притяжения между всеми рассматриваемыми телами без всяких там центробежных сил инерции. ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ как силы инерции во вращательном движении ВЫНУЖДЕННО ВВОДЯТСЯ ТОЛЬКО В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ ВРАЩАЮЩИХСЯ системах ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ИЗ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА в такой вращающейся системе! Большое спасибо за это Д'Аламберу, Лагранжу и Эйлеру.
Вот, например, почему геостационарный спутник, с которого принимаются сигналы ТВ за счёт НЕПОДВИЖНОЙ земной спутниковой антенны, не падает с орбиты под действием силы притяжения Земли, хотя и висит всё время НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЫСОТЕ В ПЛОСКОСТИ ЭКВАТОРА ЗЕМЛИ над одним и тем же местом над Землёй (в зените прямо над чьей-то головой) ? Да потому, что мы разглядываем его, находясь на поверхности Земли, которая ВРАЩАЕТСЯ с угловой скоростью один оборот в сутки, т.е. в НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе, и чтобы получить в этой системе ПРАВИЛЬНЫЙ результат (постоянную высоту спутника, а не его ускоренное свободное падение ) БЫЛИ ПРОСТО ВЫНУЖДЕНЫ ДОБАВИТЬ в УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ к силе притяжения спутника Землёй ФИКТИВНУЮ, НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ в природе, так называемую, ЦЕНТРОБЕЖНУЮ СИЛУ, численно равную РЕАЛЬНОЙ силе притяжения спутника к Земле, но НАПРАВЛЕННУЮ В ОБРАТНУЮ СТОРОНУ так, что, в итоге, СУММА СИЛ, действующих на спутник, ОБНУЛЯЕТСЯ И спутник не падает в такой вращающейся системе координат. А вот в инерциальной НЕвращающейся системе, направленной на какую-либо далёкую неподвижную звезду и началом координат в центре масс Земли, на спутник действует ТОЛЬКО ОДНА ЕДИНСТВЕННАЯ РЕАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ СИЛА - СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ к Земле (она же ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА), под действием которой он ВСЁ ВРЕМЯ ФАКТИЧЕСКИ свободно ПАДАЕТ к центру Земли, но БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ у него орбитальной скорости, соответствующей значению первой космической скорости (~7,9 км/сек), центростремительное ускорение от воздействия силы притяжения СПОСОБНО ТОЛЬКО ПОВОРАЧИВАТЬ ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТИ СПУТНИКА, не меняя его величины, что и приводит к получению из уравнений движения тела к круговой орбите вокруг Земли). А теперь оцените разницу: в "инерциалке" мы получили расчёт траектории тела, его круговую орбиту, а в "неинерциалке" имеем лишь баланс взаимно уравновешенных сил реальной (сила притяжения) и фиктивной (центробежная), т.е "замороженную" во времени, СТАТИЧНУЮ картинку расположения тел друг относительно друга и, естественно, постоянную высоту спутника и накаких траекторий полёта. Так что, если вам "ехать" (рассчитывать орбиту тела), а не любоваться "шашечками" на такси, то Вам прямой путь в ИНЕРЦИАЛЬНУЮ систему координат, где нет НИКАКИХ фиктивных ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ, а только физические реальные и понятные, так называемые, Ньтоновские силы гравитационного притяжения (см. выше упомянутую книгу А.Ю. Ишлинского). В качестве типичного примера использования статики тел в НЕИНЕРЦАЛЬНОЙ системе можно назвать рисунок со "сферой Хилла" (см.его в интернете), где рассмотрено положение 5 "либрационных" точек (L1-L5) с так называемым "равновесным" состоянием для мелких тел относительно Солнца и Земли, ПОЛУЧЕННЫЙ в НЕинерциальной вращающейся системе координат с продольной осью направенной из центра масс Солнца к центру масс Земли (точнее из барцентра - общего центра, вокруг которого вращается не только Земля, но и Солнце с весьма небольшим радисом орбиты вокруг барцентра) и вращающеся с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, но теперь уже с учётом, естественно, центробежных сил, приложенных КО ВСЕМ рассматриваемым телам, не исключая даже Солнца из-за его вращения вокруг барцентра.
Примечание: Конечно же, надо отметить, что именно в НЕинерциальных системах и проводятся самые сложные расчёты траекторий и динамических нагрузок (зачем тогда был бы нужнен курс Теоретической механики), например, в сложных механизмах машин для определения динамических и инерционных нагрузок (теперь уже с обязательным учётом всех видов "сил инерции", а точнее , ускорений от них (переносное, кориолисовое и ускоренно-вращательное, появляющееся только при ускоренном вращении неинерциальной ситемы координат). Однако для расчётов траекторий тел в космосе по причине их простоты относительно сложных механизмов целесообразно применять инерциальные системы координат, где "царствуют" только Ньютоновские силы взаимного гравитационного притяжения между телам и нет, даже в помине, фиктивных сил инерции в том числе и центробежной силы, побившей все мыслимые и немыслимые рекорды по её бездумному применению там, где её никогда не должно быть, а именно в инерциальных системах координат (невращающихся и движущихся без линейного ускорения их начала координат).
А вот вопрос об оценке величины "критического" расстояния Луны от Земли, при котором Луна безусловно сойдёт с орбиты вокруг Земли и перестанет быть спутником Земли , а так же размышления о впечатляющем изобилии разных сфер для Земли ( "сфера действия", "сфера влияния", "сфера притяжения" и "сфера Хилла") обсудим в другом комментарии.
Это дополнительные данные к комментарию "А не многовато ли будет разных "сфер" (...) для планеты Земля?" от 23.01.2020г
Привожу данные по оценке радиуса «Сферы удержания спутников» для Луны. Для этого были найдены дальности безусловной потери Луной своих спутников в трёх положениях относительно Земли: её перигее (соответствующему полнолунию), апогее (соответствующему новолунию) и на среднем расстоянии (в первой и третьей четверти фаз Луны), рассчитанные графически на Рис.1 и Рис.2 с применением метода приращений при учёте возмущающих ускорений от Земли и Солнца (см. методику определения Приращений от гравитационных возмущений в начале упомянутого комментария при определении аналогичного радиуса сферы для планеты Земля на рис.1).
Рис1. Рисунок с гравитационным ускорением от Луны в момент её перигея (в полнолуние) при расстоянии от Луны до Земли 356 тыс.км., а также с возмущающими приращениями от ускорений притяжения Земли и Солнца в зависимости от расстояния до центра масс Луны.
Рис2. Рисунок с гравитационным ускорением от Луны в момент её апогея (в новолуние) при расстоянии от Луны до Земли 407 тыс.км., а также с возмущающими приращениями от ускорений притяжения Земли и Солнца в зависимости от расстояния до центра масс Луны. Зелёным цветом приведены данные для 1 и 3 четвертей фаз Луны, т.е. среднего расстояния от Луны до Земли в 384,4 тыс.км.
Как следует из рис.1 и рис.2 Радиус удержания (а точнее, радиус безусловной потери спутника Луной) существенно зависит от положения Луны относительно Земли из-за изменения расстояний в апогее и перигее Луны относительно Земли. Влияние возмущений от притяжения Солнцем малозаметно и им можно практически пренебречь: от 0,33% (в полнолуние), 0,48% (в 1-3 четвертях) до 0,53% (в новолуние) от величины ускорения Луны на соответствующих радиусах удержания спутников. А сами значения радиусов безусловной потери спутников Луной составили соответственно ~59 000 км (в полнолуние) , ~64 500 км (в 1-3 четверти) и ~ 68 000 км (в новолуние) (см. рис.1 и рис.2). Выбираем наименьшее из этих значений как верхнюю оценку значения для радиуса удержания ~59 000 км, гарантирующую удержание спутника НЕЗАВИСИМО ОТ ФАЗ ЛУНЫ
Кроме того, с учётом того факта, что величина безусловной потери Землёй своих спутнков (~1,68млн.км, см.рис.1 вышеупомянутый комментарий от 23.01.2020г ) как оценка сверху завышена относительно величины радиуса сферы Хилла для Земли (~1,5млн.км) на ~12% , то и для Луны возьмём этот же % запаса для получения величины безусловного радиуса удержания искусственных спутников Луной независимо от её фаз относительно Земли: 59 000км / 1,12 = 52 700 = ~53000км.
Как видим, оценка величина радиуса «сферы удержания Луной своих спутников» (аналог радиуса сферы Хилла для Луны) составила ~53000км.
А не многовато ли будет разных «сфер» (действия, влияния, притяжения, и «Хилла») для планеты Земля?
В одном из последних комментариев к вопросу «О том, что сила притяжения Луны к Солнцу больше в 2,2 раза, чем к Земле» есть ссылка на статью: К.В.ХОЛШЕВНИКОВА «Луна - спутник или планета?» (http://www.astronet.ru/db/msg/1167143 ), заинтриговавшая своим неординарным названием и с рассмотрением трёх гравитационных «сфер» для планеты Земля. Мне как инженеру-механику по динамике полёта, далёкому от космических дел, такое изобилие понятий о «сферах» вокруг Земли показалось избыточным и захотелось разобраться в них и понять их предназначение.
В предыдущем комментарии по вопросу «Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?» было показано с позиций Закона притяжения тел и второго закона Ньютона, что из двух действующих на Луну сил (сил притяжения к Солнцу и к Земле) МОЖНО ПРАКТИЧЕСКИ НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны к Солнцу НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли благодаря высокой ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ от этой силы при существующих размерах орбиты Луны. При этом для получения более точных расчётов в Земной инерциальной системе координат необходимо ВМЕСТО СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ от Солнца УЧИТЫВАТЬ ЛИШЬ ЕЁ ВЕКТОРНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ (метод ПОПРАВОК, или ПРИРАЩЕНИЙ) относительно вектора силы притяжения в центре Земной системы координат, что позволяет УЧЕСТЬ ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ векторного ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ от Солнца на движение Луны вокруг Земли. Далее, в соответствии со вторым законом механики, вместо величин сил используем только соответствующие им ускорения тел (как принято у инженеров-механиков при расчёте динамики полёта тел).
Для начала оценим максимальное расстояния Луны от Земли, на котором Земля ещё способна удерживать Луну (да и любое материальное тело, независимо от величины его массы) на своей орбите в качестве своего спутника. Понятно, что достаточным условием схода Луны или любого спутника с орбиты Земли будет такое максимальное расстояние от Земли, при котором вышеупомянутое ПРИРАЩЕНИЕ ОТ УСКОРЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ относительно центра масс Земли (за счёт того, что Луна будет находиться ближе к Солнцу, чем Земля) сравняется с ускорением притяжения от Земли, т.е. произойдёт КОМПЕНСАЦИЯ ускорения притяжения Земли приращением ускорения от Солнца (ускорения противоположно направлены) и Луна сойдёт с орбиты вокруг Земли на самом близком к Солнцу расстоянии (в её «новолуние» относительно Земли), двигаясь в начале схода по касательной к уже бывшей своей орбите относительно Земли.
На рис.1 показан график изменения гравитационного ускорения от Земли (gЗемли – тёмного цвета) и график ПРИРАЩЕНИЯ ускорения от Солнца относительно Земли (dgС-З – красного цвета), в зависимости от расстояния R (от центра масс Земли по оси абсцисс, направленной к центру масс Солнца).
Как видим, приращение ускорения от Солнца применительно к Земной системе координат(СК), начинается с нуля в центре масс Земли в полном соответствии с общепринятым МЕТОДОМ ПРИРАЩЕНИЙ, когда вектор ускорения притяжения от Солнца, рассчитанный для начала применяемой СК, расположенной, в данном случае, в центре масс Земли, ВЕКТОРНО ВЫЧИТАЕТСЯ из своего же значения В ЦЕНТРЕ СК (поэтому-то и ВСЕГДА получаем НУЛЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ МЕТОДА ПРИРАЩЕНИЙ в начале принятой для расчётов СК), но одновременно этот же самый вектор от Солнца, определённый для начала СК, опять же векторно (с учётом трёхмерности СК) вычитается и из ТЕКУЩЕГО значения вектора УСКОРЕНИЯ от Солнца, но ВЫЧИСЛЕННОГО уже ДЛЯ ЦЕНТРА МАСС АНАЛИЗИРУЕМОГО ТЕЛА (Луны), движение которого мы и определяем в выбранной нами Земной СК. Этот, учитываемый в уравнениях движения для тела, РАЗНОСТНЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца НАЗЫВАЕТСЯ УЧИТЫВАЕМЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ФАКТОРОМ (в данном случае ВОЗМУЩЕНИЕМ от притяжения Солнцем на траекторию тела в Земной СК) и, как видно из рис.1, приращение имеет практически линейный характер, несмотря на обратно-квадратическую зависимость в законе притяжения, благодаря сравнительно небольшой величине рассматриваемого интервала дальности (до 3 млн.км) при расстоянии до Солнца 149,6 млн.км.
Точка пересечения на рис.1 графика ускорения от притяжения Землёй и графика ВОЗМУЩАЮЩИХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнцем, где они сравниваются, и определяет искомое нами «критическое расстояние» удержания Землёй на своей орбите любых спутников независимо от величины их массы (ведь ускорения от гравитационного притяжения для всех тел на одном и том же расстоянии от притягивающего тела ОДИНАКОВЫ по величине, будь то искусственный спутник или Луна). Максимально возможное («критическое») расстояние удержания тел гравитационным притяжением от Земли с учётом возмущений от Солнца получилось равным ~1,68 млн.км. При этом притягивающее ускорение от Земли, воздействующее на тела при этой максимальной дальности, составило ~140·10-6 [м/сек2].
Понятно, что это лишь оценка «критического» расстояния сверху, как говорят математики, а реальное значение должно быть несколько меньше, но на сколько?
Благодаря наличию у автора данного комментария программы, созданной им для расчёта траекторий движений 4-ёх космических тел в полной постановке(число учитываемых тел несложно было увеличить, но 4-ёх тел было вполне достаточно для учёта ещё и спутников) в соответствии с простой и вполне понятной методикой из книги: Г.Н. Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г, Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`) была определена (за счёт серии расчётов) величина «критического начального расстояния» до Луны относительно Земли, при котором происходит устойчивое удержание Луны Землёй на протяжении 3-5 годовых оборотов Земли вокруг Солнца, и которое в итоге составило максимум ~ 1,60 млн.км при начальном значении орбитальной скорости Луны относительно Земли 0.1415 км/сек (с допустимым из условий захвата Луны Землёй разбросом по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно Земли не более +-0,0015 км/сек, т.е. .(+-1,1%). Это уже полностью «выжатый», как лимон, максимум по «критическому» расстоянию (например, уже при начальной дальности до Луны в 1,61 млн.км не удалось получить стабильного удержания Луны на орбите вокруг Земли, т.к . происходил сход Луны с орбиты уже вначале второго годового витка вокруг Солнца ).
На такой предельной дальности удержания орбита Луны весьма далека от круговой и представляет из себя очень вытянутый эллипс с большой полуосью эллипса, равной начальному расстоянию до Луны (1,6 млн.км), а малая полуось эллипса очень мала и приближается к 0,05-0,2 млн.км относительно Земли. При меньшей начальной дальности до Луны, например, 1.50 млн.км начальная орбитальная скорости Луны, при которой происходил устойчивый переход к орбите спутника Земли, составила 0,114 +-0,014 км/сек. Уменьшение начальной дальности до Луны относительно её предельного значения сопровождается расширением допустимого разброса по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно , например, до +-12% на расстоянии 1,5 млн.км, вместо +-1,1% для предельной дальности 1,6 млн.км..
Как видим, получились весьма близкие результаты по предельной дальности (1,60 млн.км по программе расчёта для «Трёх тел» и 1,68 млн.км по графической оценке из рис.1), хотя были опасения получить меньшую величину дальности в программных расчётах из-за возможного влияния динамического заброса в процессе втягивании Луны из начальных условий в установившийся режим вращения вокруг Земли.
Далее приведены некоторые характерные скриншоты данной программы.
На первом скриншоте (начальная дальность до Луны R0л=1,59 млн.км с начальной орбитальной скоростью её относительно Земли V0л=0.132 км/сек ) произошёл сход Луны (красная траектория) с орбиты Земли (тёмно-синяя траектория), начавшийся где-то в конце первой половины годового витка.
На втором показан момент соударения Луны с Землёй в начале второй половины первого годового витка (R0л=1,50 млн.км и V0л=0,09 км/сек), определяемый специальной процедурой в программе по моменту смены знака скорости их сближения, чтобы не проскочить момент соударения с учётом реальных диаметров Земли и Луны и с выдачей аварийного сообщения о целесообразности продолжения счёта текущего варианта.
На третьем (R0л=1,59 млн.км и V0л=0,14 км/сек) показано устойчивое вращение Луны вокруг Земли уже на начало 6-го годового витка.
К сожалению, правая часть скриншота не видна, где выводится информация по году, дню, часам, мин и сек текущего варианта расчёта. Все вращения Земли и Луны поисходят против часовой стрелки, что сделано для соответствия реальным направлениям вращения Луны и Земли при виде на плоскость эклиптики и на северный полюс Земли. Кстати, закручивание Луны относительно Земли в другую сторону (по часовой стрелке) за счёт её размешения ближе к Солнцу в момент начала счёта, практически не влияет на результаты расчётов максималной дальности. В дальнейшем будет добавлен вывод на это же поле графика относительной траектории вращения Луны вокруг Земли в удобном масштабе. Для этого есть все данные, но требутся огранизовать сам вывод на поле графика.
Примечание: Cправка о ПК и методе интегрирования в программе. Время счёта данной программой на ПК 10-летней давности с 4-ёх ядерным процессором "Quad Q6600" и тактовой частотой работы 2,4ГГц одного годового витка Земли вокруг Солнца составляет 7мин 47сек. при использовании для интегрирвания дифференциальных уравнений движения тел шага счёта 0.25сек с применением метода Адамса 4-го порядка точности с использованием подхода явного (метод Адамса-Бошфорта 4-го порядка) и подхода неявного (3-х шаговая неявная формула Адамса-Мултона ), что повысило точность и устойчивость расчётов, которые проходили и при шаге счёта 0,50 сек, но для гарантии точности расчётов был использован всё же более мелкий шаг интегрирования по времени 0.25сек. Кстати, при сравнении с решением задач самонаведения ЛА, где траектории гораздо более изменчивые (с боковыми перегрузками, превышающими в несколько десятков раз ускорение от притяжения Землёй), шаг интегрирования дифуравнений практически такой же (0,125 сек при применении стандартного метода Рунге-Кутта). Следует отметить, неожиданный факт довольно высоких требований к шагу интегрирования дифуравнений при расчёте таких малоповоротливых космических тел.
Годовое вращение гравитационного поля от Солнца существенно влияет на эволюцию удлинённых орбит спутников Земли, поскольку спутники стремятся сохранить положение плоскости своей орбиты стабильным относительно неподвижных далёких звёзд, а Солнце непрерывно поворачиваясь относительно плоскостей орбит спутников Земли на 360 градусов в течении земного года, влияет на орбиту Луны с разных направлений (влияние неоднородности поля гравитации Солнца не только по величине, по и по направлению), превращая выше найденное «критическое расстояние» из одной точки (в новолуние) по мере поворота Солнца относительно инерциальной Земной СК в геометрическое место точек в виде круга относительно Земли за один годовой оборот.
Так называемая «сфера Хилла» задаёт максимально-возможную дальность удержания спутников, величина радиуса которой составляет от 0.94 до 1,5 млн.км. (по данным из статьи «К.В.ХОЛШЕВНИКОВ Луна - спутник или планета?»). А по данным из ниже рассматриваемой книги В.И.Левантовского величина радиуса «сферы Хилла» равна 1,5 млн.км для Земли. Как видим, расчёты по программе в полной постановке для «Трёх тел» практически весьма близки к максимальной величине расстояния «сферы Хилла» (1,60 и 1,50 млн.км).
Поиск в интернете информации о разных гравитационных сферах для Земли привёл к интересной книге В.И.Левантовского ( «Механика космического полёта в элементарном изложении» 3 издание, 1980г.) в главе2, параграф 7 «Сфера действия и приближённый метод расчёта траекторий», стр. 68-72).
Автор рассматривает в ней методику приближённого расчёт траекторий полёта от Земли к другим планетам Солнечной системы. Например, в начальной фазе после старта с Земли расчёт ведётся в Земной Системе Координат (СК) с применением упрощённых «кеплеровых» траекторий и рассмотренного ранее (в моём комментарии от 16.12.2019г) метода Поправок (Приращений) при учёте возмущающего влияния неоднородности гравитационного поля Солнца. По мере увеличения расстояния от Земли и приближении к «сфере Хилла» для бортового компьютера межпланетной космической станции наступает пора переходить к расчёту траектории её полета из Земной СК в Солнечную СК, поскольку ОТНОСИТЕЛЬНАЯ величина в методе ПОПРАВОК приращения ускорения от Солнца, отнесённая к величине текущего ускорения от притяжения Землёй, начинает быстро нарастать, с 0,5% на дальности орбиты Луны (~0,4 млн.км) до, например, 68% на дальности 1,5 млн.км.
Расстояние от Земли, на котором космические баллистики считают нужным переходить (для обеспечения требуемой точности в определении параметров движения космической стации) от расчёта траектории в текущей системе координат (например, Земной СК) к расчёту в другой системе координат (соответственно, к Солнечной СК) и называется в книге «СФЕРОЙ ДЕЙСТВИЯ» Земли.
Для оценки этого расстояния автор книги рассмотрел величины ВОЗМУЩАЮЩИХ ПОПРАВОК, отнесённых к основному ускорению (в %) в каждой из систем координат: Земной СК (с возмущением от Солнца) и в Солнечной СК (с возмущением от Земли) для двух значений дальности (0,5 и 1,5 млн.км.) от Земли, и показал что на малой дальности выгоднее расчёт в Земной СК, а на большей – в Солнечной с точки зрения МЕНЬШЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ДОЛИ ПОПРАВОК относительно земного ускорения (в Земной СК) и солнечного ускорения (в Солнечной СК).
Было решено построить для данного комментария (отсутствующие в рассматриваемой книге) графики этих относительных поправок в [%] по дальности от Земли в направлении на Солнце, рассчитанные для двух систем координат Земной и Солнечной. Отметим, что методика определения поправок для Земной СК уже ранее была описана, а вот расчёт поправки при определении траектории в Солнечной СК состоит в том, что надо брать ПРИРАЩЕНИЕ от теперь уже ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ ЗЕМЛИ для центра масс межпланетной станции относительно ускорения от Земли на расстоянии до центра масс Солнца, т.к. расчёт идёт уже в Солнечной СК. Однако ВЕЛИЧИНА ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ на расстоянии до центра масс Солнца в ~149,6 млн.км, оказывается совсем незаметной (0,018·10-6 [м/сек2]) (для справки, на оценке максимальной дальности сверху по удержания тел Землёй в ~1,68 млн.км ускорение от Земли равно ~140·10-6 [м/сек2](см. рис.1) ), и поэтому ПРИРАЩЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ Земли для текущего положения центра масс станции просто РАВНО ВЕЛИЧИНЕ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ (ведь из неё вычитается почти нулевая величина), но ОТНЕСЁННОЙ уже к УСКОРЕНИЮ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ Солнца, т.к. это поправки в СОЛНЕЧНОЙ СК от Земного возмущающего ускорения, то и относить их надо к величине ускорения от Солнца, поскольку расчёт идёт в Солнечной СК.
На рис2. приведены два графика для этих ОТНОСИТЕЛЬНЫХ поправок (в зависимости от расстояния от Земли) для расчётов в Солнечной СК: gЗ = gЗемли / gСолнца; (тёмно-зелёный цвет) и в Земной СК: dgC= ( gС(при (Rc – R)) – gС(при Rc) ) / gЗемли (красный цвет);
где Rc =149,6 млн.км – расстояние от Земли до Солнца, R – расстояние от Земли в направлении на центр масс Солнца.
На рис.2 отмечены 4 характерных точки («т.1» - «т.4»). На первый взгляд, с точки зрения равной погрешности вычислений как в Земной, так и Солнечной системе явно подходит точка «т.3», т.к в ней доля поправки одинакова для обеих СК и равна 10,3% при дальности от Земли 0,8 млн.км, которую и можно было бы принять за значение «сферы действия» Земли для перехода между расчётами в Земной и Солнечной СК.
« «Сфера действия тяготения» - небесного тела, область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел… Если тело находится внутри С. д. т. какой-либо планеты, то его движение целесообразно изучать в системе координат, связанной с этой планетой; притягивающее же действие Солнца учитывать как возмущение (см. Небесная механика). При нахождении С. д. т. планеты притяжением всех других планет пренебрегают.
С. д. т. планеты определяется следующим образом. Если R есть ускорение, сообщаемое некоторому телу Солнцем в его гелиоцентрическом (отнесённом к центру Солнца) движении, а F — возмущающее ускорение со стороны планеты; если, с другой стороны, R1 есть ускорение, сообщаемое телу планетой в её планетоцентрическом движении, аF1 — возмущающее ускорение, вносимое в это движение притяжением Солнца, то С. д. т. планеты является область, в которой выполняется неравенство: F1/R1 < F/R.За пределами этой области выгоднее за основу принимать гелиоцентрическое движение.»
Смысл членов этого неравенства из статьи БСЭ и в данном комментарии ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ с долями поправок, нарисованными на рис.2 , F1/R1= dgC , а F/R = gЗ и поэтому неравенство F1/R1 < F/R эквивалентно неравенству в наших обозначениях: dgC < gЗ .
Если взглянуть на рис.2 , то это означает только то, что величина радиуса «сферы дальности тяготения» для планеты Земля, где целесообразно вести расчёты в Земной СК должна быть согласно неравенству менее 0,8 млн.км, где красная кривая (dgC) начинает идти ниже тёмно-зелёной кривой (gЗ), т.е. слева от «т.3» по дальности. Иначе говоря, данное условие в БСЭ, написанное для любых планет Солнечной системы. Однако по предложенному в этой статье выражению для расчёта С. д. т. её радиус для планеты Земли составляет 0,929 млн.км., что близко в значению, которое было приведено в книге В.И.Левантовского (см. ниже).
Необходимо отметить принципиальную ошибку в первой строке из статьи БСЭ, определяющую С. д. т. как «область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел».Это неправильно, если посмотрите на рис.2, то в диапазоне дальности от ~260 тыс.км («т.1») до ~800 тыс.км. («т.3») сила притяжения Солнцем БОЛЬШЕ силы притяжения от Земли от 1 до 10 раз (см. параметр Fс-з на рис.2), т.е. в 2/3 области по радиусу сферы С. д. т. , или в 96,5% объёма сферы, С. д. т. притяжение от Солнце превышает притяжение от Земли!
Надо было написать, что ««Сфера действия тяготения» небесного тела это область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над ПРИРАЩЕНИЕМ притяжений всех других небесных тел, рассчитанных относительно центра масс тела»
А вот с точки зрения относительной погрешности в определении величины дальности ситуация в Солнечной СК гораздо тяжелее, чем в Земной СК, поскольку расстояние до Солнца в ~ 100 раз больше, чем до Земли.Например, при появлении ошибки в сторону завышения дальности до Солнца (относительно «т.3» ) на 0.30% и 0,37% (от величины дальности до Солнца, равной для точки «т.3» 148,8млн.км (=149,6-0,8 млн.км) приведёт к ПОЯВЛЕНИЮ ОШИБКИ, вкравшейся в ВЕЛИЧИНУ ПОПРАВКИ, равной 35% и 90%) от величины текущего Солнечного ускорения (для станции), т.е «т.3» как бы условно сместится вдоль графика относительных поправок (график тёмного цвета) из-за ошибочной дальности до Солнца в положение поправок, соответствующих точкам «т.2 » и «т.1», что приведёт к СУЩЕСТВННЫМ ОШИБКАМ в поправках при расчёте траектории относительно реальной точной дальности, соответствующей дальности «т.3».
А вот в Земной СК благодаря меньшей дальности от межпланетной станции та же величина относительной ошибки в завышении дальности до станции на 0,37% от истинной приведёт к появлению дополнительной погрешности поправки всего в 0.12% от ускорения Земли (график красного цвета). И только при уж совсем невероятном завышении расчётной дальности до Земли В ДВА РАЗА для точки «т.3» приведёт к ошибке в 74% от величины текущего земного ускорения.
С учётом более существенного влияния точности определения текущей дальности в Солнечной СК желательно увеличить радиус «сферы действия», сместив его от точки «т.3», в направлнии к точке «т.4» и даже далее, поскольку расчёт траектории межпланетной станции в Земной СК может быть продолжен и за пределами дальности «сферы Хилла», но уже при больших относительных величинах Поправок возмущения от Солнца , превышающих 100% от земного текущего ускорения для станции., что и подтверждает введение взамен «сферы действия» новой сферы на ту же тему (перехода между расчётными траекториями в разных системах координат для межпланетных траекторий) с названием «СФЕРА ВЛИЯНИЯ», отличающуюся лишь ещё большим значением её радиуса
Вот как «СФЕРА ВЛИЯНИЯ» описана у В.И.Левантовского: «При использовании упрощённого метода расчёта космических траекторий основные погрешности накапливаются при расчёте движения в районе границы «сферы действия». Поэтому некоторые авторы считают, что для большинства случаев расчёта более высокие точности дают области разграничения между центральными полями тяготения, определяемые иначе, чем это сделано выше. Предлагалось, например, считать соответствующую область вокруг Земли, имеющей радиус 3-4 млн.км. На основании энергетических соображений для подобной «СФЕРЫ ВЛИЯНИЯ» выводился радиус, равный... » (далее следует выражение для сферы влияния. (см. в книге.))
Но и это ещё далеко не все факторы, которые могут быть приняты во внимание баллистиками космических перелётов при выборе величины «сферы действия», например, можно учесть влияние на точность расчёта параметров траектории ограниченных характеристик бортового вычислителя.
В книге В.И.Левантовского приведено КОНКРЕТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ для определения «СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ» для любых планет и дающее для Земли величину 0,925 млн.км., которая, как следует из рис.2, лишь на 16% больше дальности для точки «т.3» (с дальностью 0,8 млн.км. и на которой относительные величины поправок для обеих СК равны и составляют 10%), что обеспечивает близкие между собой значения относительных поправок от текущих ускорения в Земной (16%) и Солнечной (8%) системах координат.
Смысл введения понятий «сфера действия» и «сфера влияния» стал понятен.
Далее В.И. Левантовский приводит сравнительное описание «сферы действия» и «сферы Хилла»:
« Единственный смысл понятия «сферы действия» заключается именно в границе разделения двух кеплеровых траекторий (рассчитываемых в разных системах координат, например, Земной и Солнечной *)примечание моё). В частности, «сфера действия» планеты вовсе не совпадает с той областью пространства, в которой планета способна вечно удерживать свой спутник. Эта область называется «сферой Хилла» для планеты относительно Солнца. Внутри «сферы Хилла» тело может находиться неограниченно долго, несмотря на возмущения со стороны Солнца, если только в начальный момент оно имело эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Эта сфера больше сферы действия. «Сфера Хилла» для Земли относительно Солнца имеет радиус 1,5 млн.км.».
Свои значения максимальной дальности удержания спутников на орбите Земли, являющихся такими же оценками, как и «сфера Хилла», мы уже определили в начале этого комментария.
Как мне кажется, получилось неплохое совпадение результатов оценки сферы удержания спутников Землёй: 1,50 млн.км. («сфера Хилла»), 1,60 млн.км (Задача «Трёх тел») и 1,68 млн.км (дальность безусловной потери спутников Землёй, т.е. верхнее ограничение на дальность удержания спутников Землёй).
И, наконец, автор в деликатной форме высказал своё твёрдое отрицательное отношение к понятию «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» (с чем и я полностью согласен):
«В отличие от «сферы действия» и «сферы Хилла» «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» планеты относительно Солнца, определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения от планеты и от Солнца, НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ.
Луна находится глубоко в сфере действия Земли. Поэтому мы предпочитаем рассматривать геоцентрическое движение Луны и считать её спутником Земли. И отказываемся считать Луну самостоятельной планетой ввиду слишком больших гравитационных возмущений её гелиоцентрического движения со стороны Земли. Любопытно, что орбита Луны (см. «т.2») лежит вне сферы притяжения Земли («т.1» имеющей радиус притяжения примерно 260 000 км.), т.е. Луна сильнее притягивается Солнцем, чем Землёй».
*)примечания по номерам точек мои.
А ведь именно критике такого подхода, учитывающего СООТНОШЕНИЕ СИЛ (и положенного в основупонятия «сферы притяжения»), действующих на тело, был, в основном, и посвящён мой предыдущий комментарий (от 16.12.2019г) по этому вопросу с привлечением закона притяжения и второго закона Ньютона. Основной вывод этого комментария состоял с том, ПРИТЯЖЕНИЕ Луны Солнцем ВООБЩЕ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА относительное ВРАЩЕНИЕ ЛУНЫ ВОКРУГ Земли при существующей на сегодня орбите Луны. При анализе ещё больших размеров орбит (для межпланетных станций) необходим ТОЛЬКО ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ УЧЁТ НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от ускорения Солнцем в виде ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК (ПРИРАЩЕНИЙ) этого ускорения для рассматриваемого тела относительно ВЕКТОРА этого же ускорения, рассчитанного для начала системы координат, в которой и рассчитываются траектория тела.В терминах математики эта ПОПРАВКА представляет собой УЧЁТ ТОЛЬКО ДИФФЕРЕНЦИАЛА (иначе Приращения) ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ Солнца относительно начала системы координат для рассматриваемого тела ВМЕСТО УЧЁТА ПОЛНОГО ВЕКТОРА этого же ускорения для тела. А это, согласитесь, далеко не одно и то же, так как величина силы может быть большой и в то же самое время при этом обладать почти нулевой скоростью векторного изменения своей величины при малом изменении расстояния до Солнца относительно полного расстояния до него, а значит и обеспечивать НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОПРАВКИ от влияния этой силы, что и наблюдается в диапазоне дальности от низких орбит искусственных спутников Земли (в несколько сотен километров над Землёй) вплоть до орбиты Луны относительно Земли (см.красный график на рис.2).
Например, на расстояниях более, чем у «сферы притяжения» с её 260 тыс.км («т.1» на рис.2) УСКОРЕНИЯ от СОЛНЦА НАЧИНАЮТ ПРЕВЫШАТЬ УСКОРЕНИЯ от притяжения Землёй, достигая превышения в 2,2 раза на орбите Луны (см. параметр F=Fc/Fз для точки «т.2» ) , что отнюдь не мешает Земле стабильно удерживать Луну на своей Земной орбите. И только в области максимальной дальности «сферы Хилла» (~ 1,5 млн.км.), на границе которой сила притяжения Солнцем уже в ~34! раза превышает силу притяжения от Земли или даже ещё дальше: на её теоретическоё оценке «сверху», т.е. в «т.4» (где Солнце притягивает в ~40,5раз сильнее, чем Земля), когда ПРИРАЩЕНИЕ от солнечного ускорения (а не его полное значение!) ПОЛНОСТЬЮ СКОМПЕНСИРУЕТ УСКОРЕНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли, земные спутники безусловно сойдут с орбиты вокруг Земли и станут спутниками Солнца.
Всё вышеизложенное, а так же контрольные расчёты на полной модели «трёх тел», подтверждает ПОЛНУЮ БЕСПОЛЕЗНОСТЬ И ОШИБОЧНОСТЬ (для понимания истинных причин удержания планетами своих спутников) ПРИМЕНЕНИЯ различных значений «СООТНОШЕНИЯ СИЛ», учитывающих воздействие силы притяжения Солнцем.
Пора подводить итоги рассмотрения пяти терминов «сфер» для планеты Земля:
Во-первых, прежде всего, ОТМЕТИМ самую важную и, на мой взгляд, единственную из всех вышерассмотренных «сфер», достойную общедоступного применения и упоминания для всех планет Солнечной системы - «Сферу Хилла» как конкретную по смыслу и значению, и определяющей радиус ~ 1,5 млн.км. для планеты Земля, внутри которого различные тела могут находиться неограниченно долго на орбитах вокруг планеты, несмотря на возмущения со стороны Солнца. Это действительно важная и необходимая характеристика для любой планеты!
Расчёты значения этой же дальности «удержания», проведенные автором данного комментария, полностью подтверждают эту величину «Сферы Хилла» применительно к планете Земля, которая равна 1.50 млн.км, видимо, с небольшим запасом в меньшую сторону.
Определение этой же предельной дальности для Земли (с применением расчётов на полной задаче для «Трёх тел») дала максимум в 1,60 млн.км (при дальности в 1,61 млн.км спутники срываются Солнцем с орбит вокруг Земли). При этом на рис.1 определено ВЕРХНЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ на величину предельной дальности: ~1,68 млн.км, которая и является безусловным ограничением сверху на дальность удержания Земных спутников, приводящей к безусловнойной потере спутников Землёй, т.е. к их сходу с относительной орбиты вокруг Земли на самостоятельные орбиты вокруг Солнца.
Как мне кажется, можно было бы ввести в широкое употребление отечественный и понятный любому термин, например, «Сфера удержания спутников планетой» в противовес «Сфере Хилла», требующей обязательного разъяснений её смысла при первом знакомстве с этим термином.
Во-вторых, для всех интересующихся проблемами космических полётов (за исключением узких специалистов по космической динамике), можно было бы объединить вместе вышерассмотренные «сферы» ( «сфера действия» и «сфера влияния») несмотря на существенно разные величины их значений для Земли (0.925 млн.км. и 3-4 млн.км соответственно) как предназначенные для одной и той же цели: использования величины радиуса этих сфер в качестве границы для стыковки двух «кеплеровых» траекторий, рассчитанных в разных системах координат при расчёте межпланетных траекторий полёта, где в зависимости от предпочтительного выбора какого-либо фактора, влияющего на точность расчёта траекторий, меняется и величина радиуса этих сфер в довольно широких диапазоне.
По моему, вместо этих двух «сфер» на одну и ту же тему и к тому же с весьма неудачными названиями («сферы действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния») целесообразнее для широкого употребления общественностью (специалисты сами разберутся без нас с внутренним применением этих терминов) ввести ОДНУ НОВУЮ СФЕРУ с понятным для всех читающих названием: «Сфера стыковки межпланетных траекторий», рассчитываемых в двух системах координат. Иначе говоря, это сфера, по достижении которой к траектории межпланетной станции применяется «метод сопряжённых конических сечений» в связи с переходом расчёта траектории из одной системы координат в другую. Однако встаёт вопрос, а какое конкретное значение ей присвоить, исходя из разных радиусов этих сфер?
Существующие же названия этих сфер для планеты («сфера действия тяготения», «сфера действия», «сфера влияния») невольно вызывают странные мысли о не бесконечном распространении силы гравитационного притяжения планеты в окружающем нас пространстве.
Немалый разнобой в величине радиуса этих «сфер» (до 4 раз) несмотря на одно и то же их предназначение - стыковку траекторий, рассчитываемых в разных системах координат, лишь свидетельствует о субъективном характере выбора значений их радиусов, а потому эти «сферы», по-моему, и не должны носить таких названий для планет, намекающих на какие-то ограничения их гравитации и ассоциирующиеся именно так у подавляющего большинства читателей, поскольку сами названия не сообщают об их истинном и весьма скромном предназначении что-то где-то там поменять внутри компьютера в алгоритме расчёта траекторий! Да какое же это имеет отношение к гравитации планеты, чтобы создавать столько разных впечатляющих названий «сфер», предназначенных для одного и того же применения? Конечно, краткость – сестра таланта, но не до такой же глубины пропасти между названием термина с его узким предназначением и к тому же с подвижным значением величины радиуса.
Вот «сфера Хилла», например, даёт действительно ценную информацию о гравитационных возможностях планеты по удержанию своих спутников! А вышеупомянутые сферы лишь свидетельствуют о недоговорённости между собой специалистов по баллистике в величине радиуса этих «сфер».
В-третьих, в отличие от всех остальных сфер, рассмотренных выше, «Сфера притяжения» планеты относительно Солнца, определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения (а так же равны и силы, поскольку они приложены к одному и тому же телу) от планеты и от Солнца, НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ (см. выше ссылку на книгу В.И.Левантовского, стр.71), а если сказать прямо и честно, не взирая на личности, то ЯВЛЯЕТСЯ не только БЕСПОЛЕЗНОЙ, а , с инженерной точки зрения, ОШИБОЧНОЙ И ВРЕДНОЙ как способствующей поддержанию и распространению ошибочного обывательского ЗАБЛУЖДЕНИЯ О ПРЯМОМ ВЛИЯНИИ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли В ВИДЕ УЧЁТА так называемого «СООТНОШЕНИЯ СИЛ» (отношения силы притяжения от Солнца к силе притяжения Землёй, равного единице для «сферы притяжения»).
А что самое печальное при этом, что СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ОКАЗЫВАЕТ НИКАКОГО ВЛИЯНИЯ НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли как её не учитывай в любых числовых соотношениях, т.к. она лишь искривляет траектории полёта Земли, Луны и их спутников с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ (от воздействия этой силы притяжения Солнца) до почти круговых орбит вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЯ НА ИХ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ траектории вокруг Земли БЛАГОДАРЯ ВЕСЬМА ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТИ ускорения от воздействия этой самой силы притяжения от Солнца в области сегодняшней орбиты Луны.
Достаточно лишь напомнить о том, что увеличение радиуса орбиты спутника Земли, например, с ~260 тыс.км («сфера притяжения») до 1,5 млн.км («сфера Хилла») сопровождается стремительным ростом величины «Соотношения сил» (отношения силы притяжения от Солнца к силе притяжении от Земли) с 1 до 34 (см. величину параметра F, равному отношению силы притяжения от Солнца к силе притяжения от Земли для выделенных точек на рис.2), хотя внутри «сферы Хилла» Земля, не взирая ни на какие большие величины «Соотношения сил» устойчиво удерживает все свои спутники независимо от величины их массы, вплоть до Луны, что и свидетельствует о полной бесполезности (или «Не играет никакой роли в космодинамике» - по В.И.Левантовскому) применения понятия «Соотношения сил».
Фактически СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем начинает оказывать своё влияние на относительные траектории спутников Земли только при больших радиусах их орбит, сравнимых с орбитой Луны и более, из-за роста неоднородности гравитационного поля ускорения от Солнца на траектории полёта спутников Земли, НО ТОЛЬКО НЕ НАПРЯМУЮ, А ЗА СЧЁТ ОДНОГО ПРИРАЩЕНИЯ СВОЕГО ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ на рассматриваемое тела (например, Луну) относительно значения этого же самого вектора ускорения в начале применяемой системы координат, например, в центре масс Земли для Земной СК, если в ней рассчитывается траектория Луны вокруг Земли. А ведь ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ и ПОЛНАЯ ВЕЛИЧИНА ЭТОГО ВЕКТОРА, что эквивалентно применению термина «Соотношение сил (ускорений)», ведь не одно и то же, как не совпадает в математике понятие о дифференциале ( приращении) силы и величине самой силы.
В итоге, «Сфера притяжения» из всех рассмотренных «сфер» для планет, по моему твёрдому убеждению, вообще не имеет никакого права на своё существование как не только бесполезная, но и вредная по своей сути, искажающая в задаче «Трёх тел» реальную механику вращения тела относительно другого для малоподготовленных читателей из-за чисто формального рассмотрения величины «соотношения сил», при том, что величина этой силы притяжения от Солнца не оказывает никакого практического влияния на относительное вращение Луны вокруг Земли при существующей орбите Луны.
P.S. Что же, в итоге, можно выделить и рекомендовать из рассмотренного изобилия «сфер», достойных общедоступного упоминания на просторах Интернета? По «Гамбургскому счёту», только одну «сферу» - «сферу Хилла» и больше никаких других из вышерассмотренных так называемых «сфер», за серьёзными названиями которых нет единой величины радиуса «сфер», несмотря на одно и то же их предназначение. Только «Сфера Хилла» представляет важную и конкретную по величине характеристику гравитационных возможностей планеты в условиях её подчинённого положения относительно гравитационного поля звезды по имени «Солнце» И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ МАКСИМАЛЬНЫЙ ВОЗМОЖНЫЙ РАДИУС СФЕРЫ, внутри которой планета может стабильно удерживать свои спутники от гравитационных притязаний Солнца по срыву спутников с их относительных траекторий вращения вокруг планеты.
По моему скромному мнению, упоминание «сфер» с названиями («сфера действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»), НЕ ОТРАЖАЮЩИМИ ИХ ОДИНАКОВОГО РЕАЛЬНОГО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЯ переходить из одной системы координат в другую при расчёте межпланетных траекторий, следует ограничить кругом специалистов их и предложивших для своих же расчётов. Либо раскрыть их истинный смысл, заменив их названия на более понятное: «Сфера стыковки межпланетных траекторий». Видимо, только «солидность» названий этих «сфер» и позволила им закрепиться в умах пользователей Интернета, поверивших в серьёзность их смысла и поставивших их в один ряд с единственной и действительно важной для планет характеристикой - «Сферой Хилла».
В итоге, всё изобилие названий гравитационных "сфер" для планеты Земля оказалось на удивление однообразным и малополезным для широкой публики в Интернете, несмотря на свои солидные названия.
Однако, Со Старым Новым Годом и новыми понятными названиями для «сфер»!
До ближайшей встречи на Лунных орбитах, поскольку на наших глазах разворачивается уже не "киношная", а реальная гонка полётов человека на Луну. Определим параметры «сферы удержания спутников» для Луны.
Поскольку я небольшой знаток космических проблем и литературы на эту тему, то и моя версия с эксцентриситетом без учёта эффектов деформации тел уж и не знаю, как появилась у меня, скорее всего где-то прочитал в своё время. Упомянутый Вами эффект дифференциального действия мне кажется не совсем подходящим именно для Луны как скорее уже довольно "старого" и остывшего тела, хотя вроде бы и наблюдали на ней некоторые признаки вулканических извержений (а может это были световые и пылевые эффекты от больших звездолётов инопланетян?). Возможно, что у Луны могла сформироваться некоторая эллипсность ("вытянутость") в поперечном сечении ещё в её молодом возрасте, когда поверхность была более подвижна и пластична.
В обоснование моей версии о Луне привожу скриншот и цитату из Википедии из раздела "Селенология" (https://ru.wikipedia.org/wiki/Луна):
"Любопытно, что центр масс Луны располагается примерно в 2 км от геометрического центра по направлению к Земле."
Конкретно для Луны имеет место именно смещение центра масс из-за её асимметрии расположении больших более плотных областей масс по её объёму, о чём свидетельствует и рис о гравитационной аномалии на поверхности Луны, где показано 5 крупных областей тёмно-красного цвета с повышенной гравитационной аномалией ("масконы"- от "mass concentracion") на видимой стороне Луны, чего нет в таком же заметном виде на обратной стороне, а есть, наоборот, области тёмно-синего цвета с пониженной гравитацией. Если бы для Луны наблюдалось влияние упругого изменения формы тела в поперечном сечениии в направлении к Земле, то оно сопровождалось бы изменением только формы сечения (из оружности в эллипс), при изменении которой практически не происходит смещения центра масс относительно геометрического центра фигуры (точно так же как, например, и у симметричной гантели нет смещения центра масс относительно её геометрического центра), а у Луны есть смещение центра масс на 2 км, что лишь свидетельствует об аномальном распределении масс Луны с различной плотностью.
Упомянутое Вами объяснение за счёт появления эксцентриситета вследствие упругих деформаций, на мой взгляд, больше подходит для спутников с наличием больших жидких морей, как, например, у Земли. Тогда на ближайшей стороне к планете образуется выпуклость жидкой поверхности океана в сторону планеты, а на противоположной, как ни странно, также образуется точно такая же выпуклость, появление которой многие не могут объяснить. А всё очень просто. Ведь ускорение спутника к притягивающей его планете приложено в его центре массы, а его передняя половина, обращённая к притягивающей планете в своих верхних слоях испытывает чуть БОЛЬШЕЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ускорение притяжения от планеты, чем его собственный центр массы из-за разницы в расстояниях до притягивающего центра масс планеты. А вот обратная сторона спутника, по той же причине (из-за разницы в расстояниях), испытывает почти такое же по величине УМЕНЬШЕНИЕ ускорения притяжения к планете относительно основного ускорения центра масс спутника за счёт БОЛЬШЕГО расстояния до планеты относительно центра масс спутника. В итоге из-за заметной "неоднородности" поля притяжения планеты, передняя половина спутника, обращённая к планете, дополнительно ускоряется относительно своего центра масс спутника, а его противоположная, тыловая, половина, наоборот, дополнительно отстаёт почти на ту же самую величину по ускорению относительно основного ускорения центра масс спутника, и поэтому точно также повышает на ту же величину свой уровень океана из-за отставания "местного тылового" ускорения. Вот и образуется своеобразная симметричная эллипсность поверхности океана с двумя одинаковыми «горбами» в поперечном сечении в плоскости орбиты спутника, которая направлена своей несколько большей полуосью на центр масс притягивающей планеты. На ваш вопрос о расчётах могу сообщить, что проводил лишь расчёт разницы в ускорениях для крайних точек Земли из-за притяжения Луной. Результаты расчётов совпали с сответствующими данными из энцикопедии и даже обнаружилась незначительная и непринципиальная неточность в статье.
Воздействием этой заметной "неоднородности" гравитационного поля по диаметру спутника (или планеты), наиболее проявляющейся только при повышенном отношении диаметра рассматриваемого тела к расстоянию до притягивающего более массивного тела, объясняются многие эффекты, например, постепенное увеличение периода вращения тела (увеличении длины суток в часах) из-за сил трения, тормозящих вращение тела, при эволюциях приливных «горбов» по поверхности океанов. Можно упомянуть и о появлении описанного ранее мною эффекта "гантели" за счёт эллипсности поверхности океана, приводящего к затягиванию в синхронизацию периода собственного и орбитального вращений рассматриваемого тела. И хотя "гантель" и состоит из воды, но она всё-таки вязкая и обладает небольшими силами трения.
Кстати, также именно этой разницей в ускорениях в крайних противоположных областях рассматриваемого тела относительно притягивающей планеты, объясняется появление опасной для тела пары сил, стремящейся оторвать крайние части тела спутника друг от друга (разорвать его напополам), вплоть до вполне возможного его разрушения при опасном постепенном сближении с планетой, или Солнцем. из-за резкого нарастания "неоднородности" (разности) ускорений притяжения в крайних точках диаметра тела спутника относительно направления на центр притяжения планеты. Вспомнил впечатляющие кадры полуразвалившейся Луны в небе Земли, по моему, из фильма "Интерстеллар".
Конечно же, при наличии заметных деформаций формы тела спутника под действием этой пары "разрывающих" сил гораздо эффективней, чем воды океанов с их жидким трением, и приведут в появлению "стабилизирующего" момента, препятствующему собственному вращению спутника и даже к его "разогреву" из-за выделения тепла при механической неупругой деформации тела. Правда, выделение тепла характерно, по-моему, только для этапа предшествующего появлению устойчивой синхронизации, когда тело спутника интенсивно "разминается и замешивается" подобно тесту. Однако после входа в режим устойчивой синхронизации деформированное состояние тела как бы "заморозится" и выделение тепла резко снизится. (В связи с выделением тепла, вспомнил впечатляющие кадры из документального фильма о добыче руды в открытых карьерах и задымлении от саморазогрева покрышек из-за их знакопеременных деформаций у гигантских карьерных самосвалов ("Белазов"), перевозящих несколько сотен тонн породы за один рейс. Однако, информации об оценке величин возможной деформации, например, Луны, у меня нет, и поэтому надо дожидаться соответствующих оценок от специалистов (в области упругих состояний тел), а к таковым я не отношусь.
Главное, чтобы наши читатели узнали о многообразии вариантов причин, объясняющих это довольно интересное явление и поняли, что это не какое-то там удивительное, случайное и редкое совпадение периодов собственного и орбитального периодов вращения спутника, а вполне объяснимое и часто встречающееся в космосе явление, которое может быть вызвано совокупностью разных причин, приводящих к асимметрии в поперечном сечении вращающегося тела в направлении на центр масс планеты, притягивающкй к себе спутник и заканчивающейся в итоге одним и тем же результатом - поворотом спутника одной своей стороной к планете при достижении небольшой, предшествующей этому моменту синхронизации, скорости вращении спутника вокруг собственной оси.
Ваша статья «Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны»настолько актуальна, что ее надо опубликовать в соответствующем научном жунале.
Ваше объяснение синхронизации вращения Луны несовпадением центра масс с геометрическим центром, безусловно, справедливо, но оно не единственное.
В астрономической литературе это явление объяснается более эффективным, дифференциальным действием притяжения. Ближайшая к планете сторона спутника притягивается к планете сильнее, чем противоположная. Это приводит к растяжению спутника, образованию выпуклостей с двух сторон: большей в направлении планеты и меньшей с противоположной. Движение спутника по орбите заставляет выпуклости всегда быть направлеными на(от) планету, то есть смещаться по телу планеты в сторону, противоположную освому вращению. Осевое вращение замедляется, пока ни становится равным периоду орбитального движения.
Я расчеты не проводила, но, думаю, что вторая причина эффективнее первой. Синхронный спутник Юпитера Ио деформируется и поэтому разогревается так, что на его поверхности действует множество вулканов, а на синхронном спутнике Юпитера Европе – под ледяной поверхностью – жидкий океан.
Ту же природу имеют приливы и отливы на Земле под действием дифференциального притяжения Луны.
Интересно, не проводили ли Вы расчеты. Желаю дальнейших успехов!
Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»
при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны.
В предыдущем комментарии, опубликованном 27.01.2020, была произведена оценка величины радиуса «сферы удержания Луной своих спутников» (аналог радиуса "сферы Хилла" для Луны) которая составила ~53000км, гарантирующей удержание спутников независимо от фаз Луны, поскольку был взят за основу наихудший вариант для удержания спутников в фазе полнолуния Луны при минимальной дальности от Луны до Земли в 356 тысяч км.
В данном комментарии определена для Луны величина радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий» при подлёте к ней с целью выхода на орбиту её спутника. Аналогичный расчёт был ранее проведен в комментарии по поводу «сфер», относящихся к планете Земля, от 28.01.2020.(см. Рис.2). Там же можно прочитать подробнее о методике расчёта относительных поправок от возмущающих факторов. Ниже приведен Рис.1, построенный аналогично Рис.2 для Земли и посчитанный по той же методике, но уже применительно к Луне.
На Рис.1 приведены относительные доли поправок от «возмущающего» притяжения Земли (=dgз – красная кривая) при расчёте траектории Лунного Космического Аппарата (ЛКА) в Лунной Системе Координат (СК) и в Земной СК, когда «возмущающим» фактором является, наоборот, учёт приращения от притяжения Луной (=dgл – зелёная кривая) при подлёте аппарата к ней. В соответствии с ранее описанным принципом равенства долей от возмущающего фактора для одного и того же тела, но рассчитанных в разных системах координат на границе, равной радиусу «сферы переключения», это будет дальность до точки т.3 на Рис.1, которая определяет это расстояние в ~48 тыс.км от центра масс Луны.
С учётом фактической разницы в значениях для радиуса "сферы", получаемых из формулы и из графического решения для точки "т.3" (когда совпадают величины долей возмущающих факторов в разных системах координат), которая для «сферы переключения» планеты Земля (равного 0,929 млн.км(по формуле) / 0,800 млн.км (по графику рис.2 в т.3)) в относительном виде составила 1,16 ( т.е. 16% завышение радиуса по формуле относительно дальности точки "т.3"). Применим величину этого же поправочного множителя и для Луны. Тогда Rсферы Луны: 48тыс.км*1,16=55,7 тыс.км, или ~ 56 тыс.км.Как видим, радиус «сферы удержания спутников» в ~ 53тыс.км (см. предыдущий комментарий от 27.02.2020) и радиус «сферы переключения межпланетных траекторий»(~56 тыс.км) для Луны весьма близки. В то время как для Земли они отличаются в ~1,6 раза, т.е. 1,5 млн.км (дальность удержания, «сфера»Хилла) и 0,929 млн.км («сфера переключения» по общепринятой формуле для неё). Вызвано всё это гораздо большей относительной величиной соотношения масс Луны и Земли относительно величины соотношения масс Земли и Солнца. Поэтому и диапазон изменения соотношения сил притяжения Земли к Луне составил всего ~3,3 раза на границе удержания спутников для Луны (см. параметр Fз/л для точки "т.4"), вместо ~ 40 раз для аналогичной точки "т.4" для Земли (см.Рис.2 комментария от 28.01.2020).
Отметим, что дальность до точки "т.4" (~59 тыс.км) уже была ранее определена на Рис.1 в предыдущем комментарии от 27.01.2020, а здесь, на рис.1 этой же точке соответствует величина возмущающей поправки в 100% от ускорения притяжения тел Луной в явном виде, когда приращение ускорения от «возмущающего» фактора Земли сравнивается по величине с ускорением от притяжения основного тела (Луны), тогда и выполняется условие для гарантированной потери Луной своего спутника.
Если рассмотреть радиусы орбит спутников с одинаковой долей неоднородности от возмущений, характерной, например, для Луны на её орбите относительно Земли (не более 1 % возмущения от притяжения Луны Солнцем при среднем радиусе орбиты Луны ~380 тыс.км), то аналогичный радиус (при том же уровне возмущения не более 1% от Земли относительно основного ускорения Луны) для СПУТНИКОВ Луны составляет порядка ~13 тыс.км. (см. выше рис.1 красная кривая).
Кстати, низкие орбиты спутников, проходящие на высоте в несколько десятков километров над поверхностью Луны, подвержены влиянию только неравномерности гравитационного поля Луны и позволяют путём точного измерения высоты пролёта спутника над поверхностью Луны (конечно, с поправками на местные холмы и горы рельефа Луны) за счёт многих оборотов весьма точно определить реальное положение центра масс Луны относительно его средней сферической поверхности (своего рода, уровня океана, имеющегося у Земли, и которого, к сожалению, нет у Луны).
Определение величины эксцентриситета в положении центра масс Луны относительно геометрического центра её сферы позволит тем самым объяснить причину синхронизации периода вращения Луны вокруг собственной оси с её периодом вращения вокруг Земли, поскольку Луна повёрнута всегда одной и той же стороной к Земле именно из-за наличия такого эксцентриситета вследствие неравномерного распределения масс разной плотности по объёму её сферы.
Объяснение синхронному вращению Луны даёт так называемый "гантельный эффект". Если вывести на орбиту планеты удлинённое тело в разнесёнными массами на его концах (типа дополнительно вытянутой гантели), то горизонтальное положение гантели на орбите, параллельное нижележащей поверхности планеты (местному горизонту) будет НЕУСТОЙЧИВЫМ положением равновесия, которое будет нарушено при небольшом угловом уходе от этого положения, например, из-за кажущегося вращения гантели относительно планеты, поскольку гантель стремится сохранить неподвижным своё положение в пространстве относительно звёзд, а местный горизонт вращается относительно гантели с угловой скоростью вращения спутника вокруг планеты. А вот ВЕРТИКАЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГАНТЕЛИ к местному горизонту, т.е. разворот продольной оси гантели на центр притяжения планеты, когда одна из половин разнесённой массы тела находится ближе к центру притяжения планеты, чем другая половина, является УСТОЙЧИВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИЯ за счёт разницы в силах притяжения для каждой из половин гантели (из-за разного расстояния до центра притяжения планеты при одинаковых плечах для половинных масс гантели относительно их общего центра масс гантели) при любом угловом отклонении от вертикального положения возникает ненулевой стабилизирующий момент от этой пары сил, разворачивающий продольную ось гантели, проходящую через центры двух её разнесённых масс, по направлению на центр притяжения планеты.
По той же причине возникнет внутренний момент стабилизации и у Луны, если у неё есть такой эксцентриситет (смещение) положения центра масс Луны относительно её геометрического центра сферы. В итоге, эсцентриситет центра масс Луны вызовет появление момента, стабилизирующего положение внутренней линии в теле Луны (направленной от положения реального центра масс Луны на геометрический центр её сферы) по направлению на центр масс Земли. Иначе говоря, Луна станет вынужденно поворачиваться к Земле своим более высоким по удельному весу вкраплением внутри её тела, смещённым относительно геометрического центра её правильной сферы. Если бы внутреннее распределение масс было симметричным по радиусу во все стороны относительно её оси симметрии, то причин для возникновения такого момента бы не было и период собственного вращения Луны вокруг своей оси мог бы быть каким-то другим, отличным от существующего на сегодня, и тогда бы мы могли периодически лицезреть обратную сторону Луны ( и "Гюльчатай (Луна), открыла бы нам своё и второе, невидимое личико."), которое сейчас наблюдает и исследует лишь один шустрый китайский "нефритовый заяц". ("Ну, заец, погоди!", прилёта нашего Волка). Кстати, таких спутников, как Луна, обращённых своей одной стороной к своей планете, в нашей Солнечной системы не мало, поинтересуйтесь сами. Видно не так просто было природе создавать тела с практически идеальной симметрией распределения внутренних масс относительно оси её симметрии.
P.S. Теперь, уважаемые читатели, отслеживая информацию о радиусах орбит лунных космических аппаратов Вы знаете, по крайней мере, что максимальный допустимый радиус орбиты для «лунников» реально не будет превышать 59 тыс.км, радиус "сферы переключения межпланетных траекторий" составляет ~ 56 тыс.км, а орбиты лунного космического аппарата, практически не подверженные воздействию возмущений из-за неоднородности гравитационного поля Земли, должны иметь радиус менее ~13 тыс.км.
С Вашим первым утверждением я не согласен, но согласен с уважаемым Георгием, однако со вторым Вашим утвержденим по поводу Рогозина я полностью согласен. Хотелось бы согласиться с Георгием, но пока оснований для оптимизма мало. Однако еще есть время и, надеюсь, оно скоро наступит.
Уважаемая RMR_astra, большое спасибо за оценку моих заметок. В ближайшие дни Вас и всех читателей данного сайта ждёт ещё одно небольшое, но весьма оригинальное и неожиданное для большинства читателей сообщение, связанное с расчётами траекторий аппратов очень близко подлетевших к Солнцу таких, например, как зонд "Паркер", о существовании которого я ещё и пару недель назад ничего не знал.
Выражаю Вам, RMR_astra, БОЛЬШУЮ БЛАГОДАРНОСТЬ за Ваше сообщение о зонде "Паркер"!
Действительно, ПОРАЗИТЕЛЬНО ИНТЕРЕСНЫЙ ПРОЕКТ, миссия которого позволит пролить свет на не только на излучения Солнца (ну и каламбур), но и прояснить многие вопросы, связанные с механикой полёта тел в таких экстремальных близких условий пролёта у центральной звезды планетной системы и даже оценить многие интересные вопросы, связанные, например, с формированием гравитацонного поля вокруг звезды (т.к. есть некоторые оригинальные теории по этому поводу) и многое чего другого.
Обидно, что эти данные, наверняка, не будут доступны всем нашим заинтересованным в этих вопросах учёным, а очень жаль. Упустили мы инициативу, превратившись в "извозчиков" на МКС, вместо реализации по настоящему интересных космических исследований, прежде всего Луны и вот таких оригинальных запусков зонда к Солнцу... Ну не нужны нам на сегодняшнем этапе развития никакие марсы и прочие безжизненные планеты вместе с безумными и авантюрными идеями их колонизации. Пора начинать наводить порядок на самой Земле (хотя бы с мусором в океанах и в ближем космосе по расчистке от космического "мусора" на орбитах, пока ещё не поздно) и начать в ближайшее время серьёзное освоение Луны, на которую, уверяю Вас, ещё не ступала нога ни одного человека, ну а в американском шоу можно всякое показать, на это они мастера ... Как бы не проиграть нам в этом возобновившемся соревновании прежде всего китайцам. Очень уж медленно и неуверенно раскачиваемся, отодвигая даты запусков всё дальше и дальше. Надо бросить все силы на освоение Луны - вот наша приоритетная задача на ближйшие десятилетия в космических программах, а не марсовые прожекты по поиску каких-то там следов бывших цивизизаций, от которых нам никакого проку нет на данном этапе развития космической техники.
Я верю в Вас, Д.О. Рогозин. Вы же патриот отечества! Дмитрий Олегович, не подведите! Пора всерьёз браться за Луну, ещё можно успеть! Выполните мечту Сергея Павловича Королёва:
В п е р ё д , к Л у н е ! П о к а ж е м н а ч т о е щ ё с п о с о б н а Р о с с и я !
Интересный познавательный материал. Преклоняюсь перед теми, кто занимается проектами, не приносящими быструю прибыль:
Заинтересовало, какая же страна выделила средства на запуск космического аппарата к планете Меркурий. Почти не сомневаясь, что Роскосмос не участвует в этом проекте, а только США, с удивлением узнала, что
«Бепи Коломбо» — совместная космическая автоматическая миссия Европейского космического агентства и Японского агентства аэрокосмических исследований по исследованию Меркурия. Проектная стоимость программы 350 млн евро.
Уважаемый Георгий, спасибо и за поздравления и за оценку моей выдержанности и корректности по отношению к современной физике!
Уважаемый Виктор Михайлович!
От всей души поздравляю Вас с Днём рождения и желаю Вам творческих успехов!
Как оказалось, мы тут недавно "повыясняли" наши личные взгляды на современную физику и мне очень понравился Ваш выдержанный и корректный стиль. Простите, немного погорячился в своей первой реакции, которая, конечно же, была направлена на крайне неудачный, по моему скромному мнению, учебник, явно перешедший все допустимые научные этические барьеры между балансом законов и теорий.
Кстати, оказалось, что я с Вами уже давно знаком, когда случайно пару месяцев назад, из любопытства и настороженностью ( с моими-то ортодоксальными классическими взглядами на физику), просмотрел на сайте видеозапись Вашей лекции на современные проблемы физики и мне, честно говоря, очень понравился Ваш взвешенный и я бы сказал корректный подход к современным веяниям в физике, что мне лично очень понравилось, хотя моё отношение к современной физике Вы уже представляете.
Рад был познакомиться персонально!
Ещё раз от всей души поздравляю Вас, желаю Вам прежде всего отличного здоровья и, конечно же, творческих успехов на ниве преподавательской деятельности!
P.S. Во мне ,видимо, есть какая-то нереальзованаая тяга к преподаванию, которая и заставляет меня писать эти подробные графоманские комментарии на Вашем сайте. Вы уж тут приглядывайте, пожалуйста, за мной иногда, чтобы во время исправить мои вполне возможные заблуждения и ошибки. Всего Вам самого наилучшего.
Георгий. 15.03.2020г 10ч.25мин Время моск.
Илья, постараюсь ответить кратко на поставленный вопрос. Начнем с пространства и времени в классической механике.
У Ньютона вводилось понятие абсолютного пространства и времени как элементов общего описания расстояний до материальных объектов и временных интервалов между регистрируемыми событиями. В физическом эксперименте можно определить расстояние только между конкретными материальными телами независимо от конкретного способа измерения. Это касается и линейки, и радиолокационного дальномера. Нельзя измерить расстояние до пустой точки, где нет материальных тел. Это очевидно при использовании радара. Если же мы используем линейку, то она сама служит материальным объектом, концы которого указывают расстояние. Поэтому изначально не существует никакого пространства.
Объединяя множество измерений расстояний между объектами, мы приходим к выводу, что их можно собрать в одну математическую схему, которую называют трехмерным евклидовым пространством. В этом смысле абсолютное пространство классической мехники - это просто удобный математический способ собрать воедино все измерения расстояний. Данная математическая конструкция нематериальна по своему смыслу. Материальный объект имеет массу, энергию и т.д. Абсолютное пространство никаких физических свойств не имеет. Можно сказать, что первый закон Ньютона фиксирует этот факт. Пространство и время не влияют на физические процесссы.
Что же мы имеем в Специальной теории относительности (СТО)? Согласно закону инерции, и в СТО пространство-время никаким образом не должно влиять на физические процессы. Оно остается нематериальным. У него нет ни энергии, ни массы, ни других возможных атрибутов материи. Однако в следующих постулатах СТО в противоречие этому факту вводятся специфические свойства пространства и времени, связанные с преобразованиями Лоренца.
В классической механике преобразования Галилея оставляют все свойства материальных тел неизменными в силу нематериальности пространства и времени. Но в СТО преобразования Лоренца приводят к изменению длин материальных тел и длительностей интервалов времени в различных системах отсчета. Это измеримые эффекты, т.е. они являются свойствами материальных тел. Что является причиной изменения этих масштабов? Очевидно, что эти изменения не связаны с другими материальными телами. В преобразованиях Лоренца есть только относительная скорость движения систем отсчета. Поэтому приходится считать, что изменения масштабов при переходе от одной системы отсчета к другой являются свойствами только самого пространства-времени. Но оно у нас не материально! В результате мы приписали нематериальному пространству-времени свойства материальных тел, что и порождает всевозможные парадоксы.
Самый известный - это парадокс близнецов, предъявленный Ланжевеном в 1911 году. Один близнец остается на Земле, другой улетает на звездолете к другим мирам со скоростями, близкими к скорости света. По возвращении тот близнец, который оставался на Земле, должен был бы биологически состариться значительно больше, чем тот, который улетал. Это с точки зрения СТО, ведь длительность полета в разных системах отсчета разная. Но с другой стороны, согласно первому закону инерции (аналог первого закона Ньютона) все физические законы в инерциальных системах отсчета должны идти совершенно одинаково. Оба близнеца не ощущают никакого движения. И клетки в их организме должны стареть одинаково. Возникает парадокс. Его пытаются разрешить с помощью указания на неэквивалентность систем отсчета близнецов, связанную с теми обязательными ускорениями, которые необходимы, чтобы достичь субсветовых скоростей, и обратного торможения корабля при возвращении.
Действительно, звездолету сначала надо ускориться, затем затормозить, затем опять ускориться при возвращении и опять затормозить при подлете к Земле. Получается, что именно из-за того, что одна система отсчета является неинерциальной, возникает расхождение в показаниях часов. Однако парадокс остается. В чем, собственно, проявляется различие в ощущениях братьев? Единственным отличием является сила инерции, но сила инерции - это не какая-то реальная сила. Реальной силой является сила реакции опоры, которая приводит к тому, что один из братьев ускоряется вместе с кораблем. Получается, что если вы прижимаетесь к стенке, то ваши биологические часы начинают идти медленнее? Никаких других физических механизмов нет.
В Общей теории относительности (ОТО) дела обстоят еще хуже. Теперь для описания гравитационного поля, т.е. измеримого поля ускорений, которое возникает вблизи любого материального объекта, мы наделяем пространство-время (нематериальное!!!) свойствами кривизны. В чем проявляется нематериальность пространства-времени ОТО?
Во-первых, локально оно совпадает с пространством-временем СТО.
Во-вторых, в ОТО вообще нет инерциальных систем отсчета. Оказывается, в ОТО даже нет привычной основы для указания на независимость материи от пространства.
И в-третьих, оно не имеет опять никаких материальных атрибутов. Это проявляется в частности в том, что простраству-времени невозможно приписать определенную энергию и массу. Это основная проблема ОТО. В частности, поэтому не удается построить квантовую теорию гравитации.
Отсюда видно, как возникают все парадоксы этих теорий. Идея о том, что кривизна пространства очень просто и органично объясняет гравитационное поле, и по сути должна объяснять и электромагнитное, является очень привлекательной. Поэтому от нее отказываться нельзя. Тогда необходимо видоизменить теорию так, чтобы в ней появился материальный объект, играющий роль физического пространства. Такую идею высказывал до Эйнштейна Клиффорд. Однако он не предложил какой-либо физической конструкции для описания такого пространства. Как пишут, Эйнштейн хотел реализовать именно идею Клиффорда. Но в ОТО это не удалось сделать. В ОТО материя и простраство-времени - разные сущности, причем вторая - нематериальна.
Вот, собственно, основные соображения. Часть этих рассуждений можно найти у Бриллюэна в книжке "Новый взгляд на теорию относительности".
Илья! Большое спасибо за поздравление!
Сегодня - День рождения не только Альберта Эйнштейна, но и руководителя Лаборатории космических исследований Виктора нашего Михайловича Журавлёва!
Виктор Михайлович! Праздничный, но серьёзный вопрос: вот Вы пишете, что пространство-время - нематериально, и непонимание этого - проблема современной физики. Я считаю постранство-время особым способом отношений материальных объектов, то есть склонен к реляционной их концепции.
Однако, скажите - что Вы понимаете под "материей", "материальностью" и, если пространство-время - нематериально, то каково же оно?
Виктор Михайлович, поздравляю Вас с Днём рождения! Желаю Вам и на следующих витках орбиты вокруг Солнца совершить немало прорывов в знании о Космосе и завлечь на небесные сферы новые юные пытливые умы!
С уважением, Иванов И.П. - от себя лично и от группы "Солярис".
В околофизической среде любят произносить названия, типа Теория Всего, как предел мечтаний физика. Для современных физиков - это не более, чем способ указать на то, что, возможно, удастся построить общую теорию для тех видов материи, которые мы называем элементарными частицами, атомами, молекулами и т.д.
Но для ее объяснения придется вводить и вводят в теорию новые формы материи, для которых теорий нет. Более того, нет и достоверных экспериментальных фактов. Те же кварки - это лишь способ объяснить некоторые закономерности в структуре элементарных частиц. Но их наблюдать в современном эксперименте нельзя. Получается что-то вроде средневековой схоластики. Скорее всего кварков и нет в реальности, но они дают удобный способ рассуждать и что-то рассчитать То же самое касается и бозона Хиггса.
Так что можно лишь говорить об успешности той или иной теории в объяснении определенного круга явлений. Следующие теории избавятся от достаточно одиозных элементов современных теорий, но будут вынуждены вводить новые, для которых не будет достоверных сведений. Идеальные математические объекты с симметриями служили всегда подпоркой наших знаний в условиях недостатка информации. Так ведется с первых физических теорий, начиная с Аристотеля и Архимеда.
Меня волнуют проблемы классической механики без попыток вторжения в смежные области новой физики, к коим я не имею никакого отношения и поэтому не собираюсь их обсуждать. Каждому своё поле для пахоты, по призванию и способностям.
Скажем честно, что ЛЮБЫЕ ЗАКОНЫ (не исключая и Ньютоновские), а уж тем более ещё не полностью доказанная опытами ТЕОРИЯ, не являются АБСОЛЮТНОЙ ИСТИНОЙ в последней инстанции, поскольку даже каждый закон и теория имеют весьма органиченные области своего применения, т.к. обеспечивают правильный результат только в ограниченном диапазоне внешних условий для их применения, либо оговоренных самим законом, а чаще и не оговоренных, но со времен наложенных другими физиками. Рано или поздно, но почти все они, по мере развития знаний, будут уточнены или даже отвергнуты в попытке создания ЕДИНОГО ЗАКОНА, объединяющегго все знания об окружающем нас мире, но только после точного подтверждения физическими опытами. Однако, смею Вам заметить, что все попытки создания универсальных и многофункциональных машин в технике, как показывает практика, ВСЕГДА ОКАЗЫВАЮТСЯ МЕНЕЕ ЭФФЕКТИВНЫМИ И ПРОВАЛЬНЫМИ, чем более простые, но УЗКО-СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ машины и устройства. Меня, как инженера-механика, интересующимися расчётом тректорий тел Солнечной системы на малых скоростях движения все поправки высшего порядка малости мало волнуют, так же, как и возмущающие воздействия от относительно далёких космических тел и планет с величиной их уровня, сравнимом с уровниями достижимой точности вычислений. Чисто инженерный прагматичный подход для получения синицы в руках, вместо журавля в небе, поскольку некогда тратить силы и время на обсчёт всего и вся на свете, если оно видно только под микроскопом при решении данного конкретного вопроса. А поскольку всё с мире относительно, то "и невозвожность возврата к классической механике", видимо надо рассматривать с Вашей научной позиции в области новой физики, вышедшей на новый уровень космических околосветовых скоростей со своими очень сложными проблемами. А с позиции иженеров-механиков, которым надо создавать работающие и неразваливающиеся от воздействия разного рода ускорений машины и механизмы ничего кроме законов классической механики пока ещё больше не требуется. Да, для Вас, первопроходцев новой физики больших скоростей, "возврат не возможен", а для инженеров "уход в область околосветовых скоростей пока и не нужен." Увы, диалектика жизни.
По моему скромному мнению, сближение позиций должно состояться только после окончательной проверки всех новых теорий на практике, и вот только тогда и возникнут основания для их симбиоза в виде ЕДИНОГО НОВОГО ЗАКОНА взамен ПРЕДЫДУЩЕГО ЗАКОНА на страницах учебников физики как истины в последней инстанции, по крайней мере для меня. А пока, на мой скромный взгляд, место им на страницах специализированных научных изданий и журналов для обсуждения и поисков путей их реального подтверждения на практике в физических опытах, а не в учебниках для начальной школы.
В общем, "ребята, давайте жить дружно" в нашей общей песочнице и не посягать на чужие куличики, а только любоваться ими издалека, не разрушая чужие, а создавая свои собственные, давая лишь доброжелательный замечания со стороны по внешнему виду куличиков соседа. И быть выдержанными и мудрыми, как премудрые пескари.
С уважением. Георгий 14.03.2020г. 09час.35мин. Время моск.
Существует такая околофизическая деятельность, которая старательно ищет ошибки в современных теориях физики, в особенности в Специальной теории относительности (СТО). Общую теорию относительности (ОТО) трогают гораздо меньше по той причине, что она гораздо сложней для понимания. По этой же причине еще меньше трогают квантовую теорию. На чем обычно строятся попытки опровергнуть эти теории? Как правило, они связаны с тем, что сами физики обнаруживают и обсуждают те или иные парадоксы этих теорий и трудности их интерпретации.
Например, уже больше ста лет обсуждается парадокс близнецов, сформулированный Полем Ланжевеном в 1911 году. С точки зрения некоторых физиков считается, что парадокс разрешен, а с точки зрения другой части - нет. Парадокс имеет форму легко воспринимаемой притчи и поэтому обсуждается всеми - и понимающими СТО, и не понимающими СТО. Такие парадоксы - очень благодатная почва для альтернативных суждений. Существует ли в реальности трудность СТО, связанная с этим парадоксом? На мой взгляд - существует. Проблема в том, что в СТО нематериальный объект пространство-время наделяется физическими свойствами, что и приводит к парадоксам.
В ОТО существует еще больше парадоксов и трудностей. Например, самая главная проблема ОТО - это невозможность приписать гравитационному полю в форме искривленного пространства-времеми какую-то определенную энергию. Это, в частности, не позволяет уже больше ста лет построить квантовую теорию гравитации. На мой взгляд, эта проблема возникает из того, что и в ОТО нематериальному пространству-времени приписываются физически измеримые свойства. О чем-то похожем говорили физики и раньше. Например, в книжке Бриллюэна "Новый взгляд на теорию отностельности" (ее легко найти в Интернете) высказывалось много разных идей о том, что нужно сделать, чтобы объяснить парадоксы.
Это я пишу к тому, что очень часто люди, поверхностно знающие суть проблемы, обвиняют современных физиков в тупом догматизме. На самом деле проблема не столько в том, чтобы найти парадокс, а в том, чтобы создать теорию, исправляющую парадоксы. Те, кто обвиняют современную физику в догматизме, как правило, предложить что-то полезное не в состоянии. Однако, как показывает опыт последних лет 200, для исправления парадоксов необходимо радикально менять суть теорий, но таким образом, что старые достижения остаются в силе. Последнее сейчас называется принципом соответствия. Поэтому, если уж браться за формулировку парадоксов, то надо это делать с целью найти путь к улучшению теории, а не просто взять ее и отвергнуть.
Возврат к классической механике не возможен, поскольку она не объясняет множество наблюдаемых явлений. К сожалению, есть мало книг, в которых описывают то, как менялись взгляды физиков. Современные учебники содержат описание уже построенного здания, когда все леса и подпорки, которые были необходимы для его построения, уже убраны. Поэтому в учебниках редко проглядывают те споры и дискуссии, которые в конце концов привели к современной физике. В ней сейчас много заблуждений, но многие из них станут ясны только после создания новой теории. Можно надеяться , что это произойдет в ближайшее время.
Уважаемая RMR_astra!
Ваша статья, как бальзам на рану. Когда слышу или читаю, что Солнцу светить ещё миллиарды лет, у меня всегда возникает внутренний протест. Какие миллиарды лет, если внутри Солнца постоянно происходят неуправляемые термоядерные реакции, вспышки, смена магнитных полюсов, турбулентность нестационарных процессов?
Первая же фраза статьи:
настраивает на понимание, что Солнце может в непредсказуемый момент стать источником реальной опасности для жизни на Земле. Да, Солнце создает условия для жизни человечества, но необходимо осознавать, что наша жизнь зависит от процессов на Солнце и может измениться гораздо раньше миллиарда лет.
Искренняя благодарность за этот материал. Он созвучен моему представлению, что должна в первую очередь доносить наука всем людям, живущим на Земле.
Уважаемый Георгий!
Интересный экскурс в историю физики. Спасибо!
Но поскольку вы анонсировали еще и современный взгляд на законы Ньютона, сделаю небольшое дополнение. Хотя сам Ньютон свой закон формулировал в форме $F=ma$, сейчас такой подход следует считать неточным. Дело в том, что закон должен отражать некоторую экспериментальную закономерность с уже определенными величинами. Однако сила $F$ как количественная характеристика некоторого физического фактора так или иначе опять связана со вторым законом Ньютона. Вы специально этому посвятили несколько разделов для определения силы. Поэтому более правильная формулировка второго закона Ньютона должна выглядеть так. "Отношение ускорений различных тел, помещенных в одну и ту же физическую обстановку, относятся друг к другу, как обратное отношение их масс". Другими словами:
$$
\frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1},~~\frac{a_2}{a_3}=\frac{m_3}{m_2}, ~~\frac{a_1}{a_3}=\frac{m_3}{m_1},\cdots
$$
Отсюда:
$$
m_1a_1=m_2a_2=m_3a_3=\cdots=F
$$
Величина $F$, однозначно характеризующая воздействие физической обстановки на тела, называется силой. Ускорение $a$ является чисто геометрической величиной, не требующей дополнительного определения. Масса $m$ - некоторый параметр, характеризующий количество вещества. Теперь становится ясно, что сила $F$ - есть физический фактор, вытекающий из второго закона Ньютона. Задача физики - это выяснение того, как $F$ связана с физической обстановкой.
Я здесь не стал уточнять, что ускорение и сила являются векторами. Это очевидное расширение закона. Есть еще одно расширение, связанное с тем, что само тело может изменять физическую обстановку. Так обстоят дела в законе Всемирного тяготения и законе Кулона, например. В этих законах сила, вызывающая ускорение, зависит от массы или заряда самого тела. Однако в этом случае второй закон Ньютона должен формулироваться для пробных тел (с бесконечно малыми массами и зарядами), что обеспечиваает сушествование напряженностей полей. Это дает более точное понимание того, с чем мы имеем дело в теории тяготения и электродинамике. Это же сразу высвечивает трудности этих теорий. На макромасштабах проблем нет. Но в микромире и массы, и заряды частиц, таких как электроны, протоны и т.д., не могут иметь массу и заряд меньше определенной величины. Минимальная масса электрона - масса покоя, а заряд всегда кратен заряду электрона. Поэтому на этом уровне второй закон Ньютона уже не может рассматриваться как фундаментальный. Но это уже другая история.
Как рассчитать сложное движение тела в неинерциальной системе отсчёта.
Оглавление:
1. Понятие об инерциальной и неинерциальной системах отсчёта (или системах координат).
2. Основные теоремы для системы рассматриваемых космических тел.
3. Сложное движение материальной точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений.
3.1 Основные определения. Абсолютная и относительная производные вектора.
3.2 Теорема о сложении скоростей для двух систем координат.
3.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).
3.4 Применение основных теорем механики в неинерциальных системах отсчёт
Выбор системы отсчёта для расчёта траектории тела относительно неё представляется весьма важным начальным фактором, определяющим, в итоге, теоретически обоснованную надёжность расчётов траекторий космических тел. Рассмотрим подробнее вопрос выбора и размещения начала системы координат и проведём анализ всех возможных видов «кажущихся» ускорений, появляющихся в неинерциальных системах отсчёта вследствие их вращения и ускоренного перемещения начала системы отсчёта.
« ИНЕРЦИАЛЬНАЯ ситема отсчёта это такая система отсчёта, в которой справедлив закон движения по инерции свободной материальной точки, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют взаимно уравновешенные силы) и при этом тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения по отношению к такой системе отсчёта.
Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к инерциальной поступательно, равномерно и прямолинейно, является также инерциальной. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных инерциальных систем, обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый «принцип относительности Галилея»). т.е. законы и уравнения механики не изменяются при: линейных сдвигах системы по осям координат, при угловых поворотах вокруг осей координат на некоторый угол, при «сдвиге по времени» (на dt) и при разных значениях равномерной поступательной скорости самой системы координат.
Помимо закона инерции, в любой инерциальной системе справедливы все три закона механики Ньютона, закон притяжения тел и законы сохранения количества движения (импульса), момента количества движения и движения центра инерции (или центра масс) для замкнутых, т. е. не подверженных внешним воздействиям, систем (см. подробнее первую статью данного цикла, посвящённую законам Ньютона и его Определениям I-VI).
Строго говоря, понятие об инерциальной системе является идеальной абстракцией. Реальная система отсчёта связывается всегда с каким-нибудь конкретным телом (Землёй, корпусом корабля или самолёта и т. п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. А поскольку в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звёздам и т. д.), то любая реальная система отсчёта может рассматриваться как инерциальная лишь с той или иной степенью приближения. С очень высокой степенью точности инерциальной системой можно считать Солнечную систему с началом в центре Солнца (точнее, в центре масс (центре инерции) Солнечной системы, т.е. в барической системе отсчёта) и с осями, направленным на далёкие звёзды. Такая инерциальная система используется в задачах небесной механики и космонавтики. Для решения большинства технических задач инерциальной системой практически может служить система, жёстко связанная с Землёй, а в случаях, требующих большей точности (напр., в гироскопии), - с началом в центре Земли и осями, направленными на звёзды.
Если система отсчёта движется по отношению к инерциальной системе с линейным ускорением и(или) вращается, то она является НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ ОТСЧЁТА. При этом выражения всех вышеназванных законов, записанные в инерциальной системе требуют введения дополнительных членов, компенсирующих отличия в движении неинерциальной системы (её ускорения и вращения) от инерциальной.
Объясняется это тем, что ПО ОТНОШЕНИЮ К НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЁТА МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА, находящаяся под воздействием реальных сил, (например, сил гравитационного притяжения между космическими телами) и не испытывающая воздействия никаких дополнительных реальных сил со стороны неинерциальной системы), ДОЛЖНА БЫТЬ ОСВОБОЖДЕНА НАМИ В ЕЁ ДИНАМИЧЕСИХ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИТЕМЫ ОТ ФАКТИЧЕСКИ ПРИПИСЫВАЕМЫХ ЭТОМУ ТЕЛУ В ЭТОЙ СИСТЕМЕ «КАЖУЩИХСЯ» (МНИМЫХ И РЕАЛЬНО НЕ СУЩЕСТВУЮЩИХ) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ, КОТОРЫЕ НЕ ВЫЗВАНЫ ДЕЙСТВИЯМИ НИКАКИХ РЕАЛЬНЫХ СИЛ, А ПОЯВЛЯЮЩИХСЯ ТОЛЬКО ИЗ-ЗА НАЛИЧИЯ «УСКОРИТЕЛЬНЫХ» ЭВОЛЮЦИЙ У САМОЙ НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ (относительно инерциальной системы), КОТОРЫЕ ОНА СО СВОЕЙ СТОРОНЫ (со своей, например, кружащейся вращающейся «больной головы» перекладывает на «здоровую» голову, т.е. на реально не вращающееся рассматриваемее нами тело, заставляя его также кружиться, как и она сама кружится при этом даже не подозревая ничего о собственном вращении, считая себя НЕ кружащейся!) ПРИПИСЫВАЕТ РАССМАТРИВАЕМОМУ НАМИ ТЕЛУ и которые вызваны следующими параметрами движения, присущими неинерциальной системе отсчёта:
1. ЛИНЕЙНЫМ УСКОРЕНИЕМ и НАЛИЧИЕМ при этом ЛИНЕЙНОЙ СКОРОСТИ начала неинерциальной системы,
2. ВРАЩЕНИЕМ ВОКРУГ НАЧАЛА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА (центростремительное ускорение вращения), а также и, возможно,
3. УСКОРЕННЫМ ВРАЩЕНИЕМ (угловое ускорение), и, наконец,
4. КОРИОЛИСОЫМ УСКОРЕНИЕМ, возникающим только при одновременном наличии линейной скорости перемещения тела относительно неинерциальной системы и угловой скорости вращения системы.
Примечание: Уважаемые читатели, кому не хочется тратить время (на чтение методики вывода ускорений в неинерциальных системах), могут сразу переходить к последнюю часть раздела 3.4 к выражениям (33) и (34) для ускорений в неинерциальной системе отсчёта.
2. Основные теоремы для системы рассматриваемых космических тел.
Давным-давно, в годы моей юности, в начале 60х годов, в школьном курсе физики А.В.Пёрышкина теоремы для систем тел не рассматривались, а преподавались в высшей школе в курсе «Теоретической механики». А вот в современных учебниках для 10 классов профильного и даже базовых уровней, в частности, двух разных учебниках под редакцией Г.Я.Мякишева, уже излагаются многие вопросы из курса теоретической механики такие, например, как закон сохранения импульса системы, о котором и пойдёт ниже речь как об основополагающем законе для выбора места расположения рациональной системы координат по расчёту космических траекторий.
Все теоретические формулы и большинство нижеследующих описаний взяты мной из понравившегося мне учебного пособия для студентов Московского Физтеха (МФТИ) (М.А. Айзерман «Классическая механика», Издание третье, Москва, Издательство Физико-математической литературы, 2005г, 380с.).
«Книга отличается систематически проведенным подходом, опирающимся на инвариантность и ковариантность законов и уравнений механики по отношению к преобразованиям систем отсчета», не встречавшемся ранее мне в обычных учебниках по «Теоретической механике» для студентов ВТУЗ-ов. Книга помогла взглянуть по новому на многие вопросы, связанные с рассмотрением инерциальных и неинерциальных систем отсчёта в механике. Поэтому большинство теоретических выражений и некоторых идей, изложенных ниже, позаимствовано из данной книги со ссылками на неё в соответствующих местах.
Количество движения системы материальных точек. (стр.72-74 книги)
Рассмотрим понятия о количестве движения системы тел, центре инерции системы, теорему об изменении количества движения системы (или теорему о движении центра системы) и сделаем вывод о постоянстве скорости движения центра инерции для замкнутой (не подверженной внешним воздействиям) системы тел в современном изложении.
Введём основные понятие о системе рассматриваемых тел (mi, где mi – масса тела с №=i, i=1,2…n; n-число тел в системе).
*) Далее во всех символах знака суммирования (Σ) подразумевается суммирование по i от 1 до n, т.е. по всем телам системы тел.
Количество движения сиcтемы тел есть вектор Q :
Q = Σ qi = Σ (mi · Vi); где жирным шрифтом обозначены векторные величины… (1)
Второй закон механики был сформулирован И. Ньютоном в труде «Начала…» в следующем виде:
«Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору все действующих на систему внешних сил», а это и есть ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ:
(dQ / dt) = Σ (mi· dVi / dt) = Σ (Fi) = Fвнешняя …………….……………………….. (2)
Центром инерции системы, для которой рассчитываются расстояния (ri) от начала исходной инерциальной системы координат до тел, является точка С, задаваемая радиусом-вектором rc :
rc = Σ (mi · ri) / Σ mi ; где: M = Σ mi называется МАССОЙ СИСТЕМЫ ТЕЛ ……….... (3)
Кстати, при воздействии однородного поля тяжести понятие ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СОВПАДАЕТ с понятием ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ материального ТЕЛА : rц.т. = Σ (Gi · ri) / Σ Gi ;
Дифференцирование по времени выр. (3) даёт позволяет найти выражении для ВЕКТОРА СКОРОСТИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ:
Vc = Σ (mi · Vi) / Σ mi ; ……………………………………………………………. (4)
Из равенства (4) следует, что Q = Σ (mi · Vi) = M · Vc ; ……………..……………………. (5)
В итоге, количество движения системы тел равно произведению МАССЫ системы на СКОРОСТЬ ЕЁ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ.
Дифференцирование по времени выр. (5) позволяет выразить второй закон механики Ньютона для материальной точки, которая помещена в центре инерции системы и движется вместе с ним как точка с массой, равной массе системы тел M, к которой приложена равнодействующая всех внешних сил Fвнешняя:
(dQ / dt) = M · (dVc / dt) = Fвнешняя ………….……….…………..……………….. (6)
Выр. (6) следует новый вариант теоремы об изменении количества движения системы, называемый как ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТОЧЕК :
«При движении системы материальных точек её центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, помещённая в центре инерции системы, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на все точки системы».
Введём понятие замкнутой системы точек, которая движется только под влиянием внутренних взаимодействий, т.е. взаимодействий материальных точек, входящих в систему. Это, конечно, условное понятие, т.к. в реальном мире все объекты взаимосвязаны гравитационными взаимодействиями в принципе при любых расстояниях между материальными объектами. Однако при идеализации задачи можно пренебречь относительно слабыми взаимодействиями других внешних объектов по сравнению с взаимодействиями точек, входящими в систему. Так, например, два небесных тела Землю и Луну, можно считать замкнутой системой, если интересует лишь взаимное движение между ними и пренебрегают воздействием на них остальных небесных тел, в том числе Солнца и других планет. Или, например, три небесных тела Солнце, Землю и Луну считают замкнутой системой, если учитывают лишь взаимодействие между этими телами и пренебрегают воздействием других планет Солнечной системы на их движение. Солнечная система в целом является примером замкнутой системы лишь в тех случаях, когда считают возможным пренебречь воздействием на тела Солнечной системы других внешних материальных объектов Вселенной. (стр.43)
У замкнутых систем, по их определению, Fвнешняя = 0, и тогда из выр.6 следует, что
(dVc / dt) = 0 ; а, следовательно и Vc = const; …………………………………… (7)
Поэтому закон сохранения количества движения можно сформулировать так:
«ЦЕНТР ИНЕРЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ДВИЖЕТСЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ (быть может и равной нулю)».
Можно сравнить эту теорему с её изложением у Ньютона в Следствии IV к 3-му Закону:
«Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»
Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то и центр инерции движется так, что проекция скорости центра инерции на эту ось остаётся постоянной.
Далее будет весьма удобно вводить в рассмотрение систему отсчёта, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчёта будем называть далее ЦЕНТРАЛЬНОЙ. В том случае, когда скорость центра инерции системы точек ПОСТОЯННА, ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИСТЕМА является ИНЕРЦИАЛЬНОЙ.
Из §3 Момент количества движения системы материальных точек (кинетический момент) (стр.74-76):
Выберем в нашей инерциальной системе произвольную точку А, которую назовём полюсом, и относительно которой определим момент от вектора количества движения каждой из материальных точек системы qi (= mi · Vi ) относительно этого полюса А с учётом вектора расстояния точки ri до полюса А в виде векторного произведения:
KАi = (ri × qi) = (ri × mi·Vi) …………………………….………………………… (8)
Вектор Ki называется моментом количества движения i-ой точки относительно полюса А. Символ «х» является символом ВЕКТОРНОГО произведения двух векторов.
*) Справка: Для определении положения и направления вектора Ki, являющегося результатом векторного произведения двух векторов ri и Vi в декартовой системе координат,
используется правило ПРАВОЙ руки (но не левой!), когда три пальца правой руки (большой, указательный и средний) распрямляем во взаимно перпендикулярные положения друг относительно друга (моделируя этим направления трёх осей декартовой системы координат), то при совмещении по направлению двух пальцев с первым (ri) и вторым векторами (Vi) из векторного произведения и при выполнении КРАТЧАЙШЕГО ПОВОРОТА от первого вектора ко второму (при взгляде на конец третьего пальца правой руки в сторону его основания) (этот кратчайший) ПОВОРОТ от первого вектора ко второму должен быть ВИДЕН ПРОТИВ ДВИЖЕНИЯ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ. Тогда третий палец и будет отображать положение и направление итогового вектора (K), являющегося результатом векторного произведения двух исходных векторов (ri × mi·Vi) в выр.(8).
Главным моментом количества движения всей системы материальных точек будет их векторная сумма всех моментов материальных точек системы относительно полюса А, т.е. кинетическим моментом системы:
KА = Σ KАi = (ri × mi·Vi );
Если точку полюса А, используемую выше для расчёта кинетического момента, расположить в центре инерции системы, то получим, опуская вывод, ТЕОРЕМУ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ ТОЧЕК при воздействии на систему момента от внешних сил, приложенных к токам системы относительно центра инерции системы:
(dKА / dt) = M A внеш. ………………………………………………………… (9)
Производная от кинетического момента системы материальных точек (относительно неподвижного полюса А) равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно этого же полюса.
Для замкнутых систем выполняется условие M A внеш. = 0, т.к. на материальные точки ЗАКНУТОЙ системы (по определению) не действуют внешние силы и момент нечем создавать. Отсюда следует ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА:
При движении ЗАМКНУТОЙ системы материальных точек её кинетический момент относительно любого неподвижного полюса НЕ МЕНЯЕТСЯ.
3. Сложное движение материальной точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений.
При написании данного весьма важного раздела взята за основу глава XIII «Сложное движение точки» (учебник для ВТУЗ-ов, Н.В.Бутенин, Я.Л.Лунц, Д.Р.Меркин «Курс классической механики» том I Статика и Кинематика, издание 4, Москва «НАУКА», 1985г, стр.203-208) как простое и типичное изложение для инженеров-механиков, смысл которого весьма прост и состоит во взятии сначала производной по времени от радиуса-вектора рассматриваемой точки, проведённого из начала неинерциальной системы отсчёта к рассматриваемой точке, для получения её вектора скорости, а затем во взятии производной по времени уже от вектора скорости точки для получения её вектора относительного ускорения в неинерциальной системе отсчёта.
3.1 Основные определения. Абсолютная и относительная производные вектора.
В этом разделе будет рассмотрен вывод выражения для первой производной от радиуса-вектора рассматриваемой точки по времени для получения выражения её вектора скорости и использованием правил дифференцирования векторов из курса линейной алгебры.
Рассмотрим движение одной и той же материальной точки М относительно двух систем: неподвижной инерциальной (назовём её: абсолютной) Системы Координат (СК) и неинерциальной (назовём её – подвижной СК) с центром в точке A , движущейся в самом общем виде с линейным ускорением начала системы координат и вращением относительно него с вектором угловой скорости ω.
Будем называть «АБСОЛЮТНЫМ» (или СЛОЖНЫМ) движением материальной точки М её движение относительно неподвижной инерциальной системы. Движение точки по отношению к подвижной системе назовём ОТНОСИТЕЛЬНЫМ. Под ПЕРЕНОСНЫМ движением будем понимать движение подвижной системы координат относительно неподвижной.
Зададим в подвижной СК расстояние от её начала до материальной точки М вектором расстояния r. Абсолютное движение точки М названо ещё и сложным потому, что ниже представим его ещё и как сумму двух движений: переносного движения самой подвижной системы координат относительно неподвижной системы и относительного движения точки М в подвижной системе. Поскольку нам понадобится операция дифференцирования по времени вектора расстояния r, определённого в подвижной системе координат, то введём понятие абсолютной и относительной производных.
Пусть задан вектор расстояния r(t) в подвижной СК, имеющий три проекции на оси подвижной СК: rx, ry, rz . Если ввести понятие трёх единичных векторов подвижной системы i, j, k,(их ещё называют ортами системы координат, в данном случае это орты подвижной СК) то вектор r может быть представлен в виде геометрической суммы трёх своих составляющих проекций на оси подвижной СК:
r (t) = rx i + ry j + rz k. *) ........................................................................................... (10)
*) знак скалярного умножения в виде точки (·), который должен стоять перед единичными векторами опущен для упрощения записи как в выр.(10), так и во всех нижеследующих выражениях.
Продифференцируем обе части равенства (10) по времени, имея в виду, что единичные вектора подвижной СК (i(t), j(t), k(t)) несмотря на свою постоянную длину, равную единице, из-за вращения СК также вращаются в пространстве и поэтому являются функцией времени и обладают тангенциальными линейными скоростями, приложенными к концам единичным векторов и перпендикулярными самим векторам, точно так же, как, например, вектор линейной скорости кругового вращения перпендикулярен вектору-радиусу вращающейся с постоянной скоростью точки и являются функцией времени. Напоминаем о правиле для взятия производной по времени от произведения двух функций U(t) и V(t), зависящих от времени, состоящем в том, что полная производная от произведения двух функций, зависящих от времени, равна произведению производной по времени от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс произведение первой функции на производную по времени от второй функции, т.е.:
(d(U V) / dt) = (dU/dt) V + U (dV/dt) ………………………………………………..(11)
что в применении дифференцирования по времени к выражению (10) после группировки членов даёт:
(dr/dt) = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k + rx (di/dt) + ry (dj/dt) + rz (dk/dt). ….(12)
Сумма первых трёх слагаемых представляет собой производную вектора r относительно подвижной СК. Если бы мы поставили своей задачей изучать изменение вектора r по отношению к подвижной СК, то мы учитывали бы при этом лишь изменения проекций вектора на оси этой системы координат, т.е. только сумму первых трёх слагаемых.
Действительно, собственное движение самой системы, в которой мы, например, оказались (например, на Землю) нас обычно не интересует, и мы, будучи помещены в начало любой системы отсчёта сами как бы и не вращаемся и не движемся, а лишь наблюдаем за вращениями и перемещениями окружающих тел относительно нас, т.е. относительно начала системы отсчёта, поскольку всё в мире относительно. При этом сама система отсчёта реально не «подозревает» о собственном вращении относительно какой-либо другой системы отсчёта (ведь она самодостаточна ) и её вращение мы можем наблюдаем лишь с позиций другой системе отсчёта, например, инерциальной. Но эти относительные рассуждения не должны нас отрывать от суровой действительности, и РАССМАТРИВАТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ДРУГИХ СИСТЕМ ОТСЧЁТА МЫ ОБЯЗАНЫ ТОЛЬКО С ПОЗИЦИЙ ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЁТА, т.к. только для них были выведены все законы движения, открытые Ньютоном, и применение которых мы хотим распространить также и на неинерциальные системы отсчёта.
Назовём сумму первых трёх слагаемых в (12) ОТНОСИТЕЛЬНОЙ, ИЛИ ЛОКАЛЬНОЙ производной и обозначим её как (dr/dt)отн.:
(dr/dt)отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k . ……….……………………………………..… (13)
Для преобразования трёх последних слагаемых в выр. (12) вспомним векторное выражение связи между линейной скоростью вращения любой точки твёрдого тела (V) и её вектором угловой скорости вращения (ω) и заданном векторе расстоянии до рассматриваемой точки вращающегося тела (r).
Из рассмотрения теории вращения твёрдого тела (с вектором угловой скорости вращения ω), имеющего одну неподвижную точку, известно выражение в виде векторного произведения для определения линейной скорости любой точки твердого тела, вызванной этим вращением (194 стр):
V = (ω × r). *) …………………………………………………..…………………… (14)
*) Примечание: Символами векторного произведения в данном комментарии являются круглые скобки для двух перемножаемых векторов, написанных жирным шрифтом, с символом векторного произведения между ними в виде знака умножения: «×» (см.выр.14).
Определим величину модуля вектора линейной скорости вращения | V | , раскрыв правило для векторного произведения (14):
| V | = | ω | | r | sin(φ) = | ω | rнорм. . ……………….………………….………………………… (15)
Где φ – угол вежду вектором угловой скорости ω, направленного по оси мгновенного вращения твёрдого тела, проходящей через неподвижную точку, относительно которой и вращается тело,
и направлением вектора расстояния r от неподвижной точки до рассматриваемой вращающейся произвольной точки тела, а rнорм. - это модуль расстояние (длина нормали) от точки тела до мгновенной оси вращения тела, т.е. это радиус вращения обычного вращения точки тела по кругу, плоскость которого перпендикулярна мгновенной оси вращения.
Подставив в выр. (14) вместо вектора полного расстояния до точки (r) последовательно единичные вектора подвижной СК i, j, k получим выражения для их производных по времени, не забывая, что длина этих единичных векторов постоянна и равна 1:
V = (ω × r ). … (14)
(di/dt) = (ω × i); (dj/dt) = (ω × j); (dk/dt) = (ω × k). ……………..…..….…….… (16)
Вышеприведенные производные есть тангенциальные скорости (т.е. перпендикулярные плоскостям, проходящем через вектор вращения СК ω и какую-либо из осей СК ) единичных векторов вращающейся СК.
Поэтому сумма последних трёх слагаемых из выр. (12) может быть преобразована к виду:
rx (di/dt) + ry (dj/dt) + rz (dk/dt) = rx (ω × i) + ry (ω × j) + rz (ω × k) =
= (ω × (rx i + ry j + rz k))= (ω × r); ….…….……… (17)
где ω – вектор угловой скорости подвижной системы координат. И, следовательно:
dr/dt = (dr/dt)отн. + (ω × r). ………… …………………………………………. (18)
где: (dr/dt)отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k. … (13)
Таким образом, абсолютная производная по времени вектора в неподвижной системе координат равна сумме относительной производной этого же вектора в подвижной СК и добавочного вектора линейной скорости, вызванного вращением подвижной СК, и равного векторному произведению угловой скорости вращения подвижной СК на вектор расстояния до рассматриваемой материальной точки.
3.2 Теорема о сложении скоростей для двух систем координат.
Напомним, что мы рассматриваем движение одной и той же материальной точки М относительно двух систем: неподвижной (инерциальной СК) и подвижной (неинерциальной СК) с центром в точке А, движущейся в самом общем виде с линейным ускорением начала системы координат и вращением относительно него с вектором угловой скорости ω.
Найдём связь между следующими скоростями:
Абсолютной скоростью (V) материальной точки М относительно неподвижной инерциальной СК.
Относительной скоростью (Vr) по отношению к подвижной неинерциальной СК. Относительная скорость является движением относительно подвижной СК и по своей сути похожа на абсолютную скорость точки, являющуюся точно таким же движением, но по отношению к своей инерциальной СК.
А вот ПЕРЕНОСНАЯ скорость это нечто особенное из области «оптической иллюзии», когда собственное вращение и ускоренное перемещение начала подвижной СК целиком и полностью приписывается собственному движению точки М, поскольку само начало подвижной СК считает себя неподвижным и невращающимся центром, впрочем, как и все другие системы отсчёта, не исключая и инерциальные СК, это их коренное свойство, назовём манией собственного величия любой СК в виде её мирового центра - начала её системы координат («пупа»), вокруг которого всё и должно вертеться и двигаться, хотя с точки зрения другой, «трезвомыслящей» инерциальной СК, точка М переносную скорость (а в дальнейшем и разные виды вращательных ускорений) РЕАЛЬНО НА САМОМ ДЕЛЕ НЕ РАЗВИВАЕТ.
В итоге, переносной скоростью (Ve) материальной точки М, является скорость точки подвижной СК которая в данный момент совпадает с точкой М и именно скорость этой совпавшей точки подвижной СК и приписывается точке М (без всякого наложения на неё какой-либо физической связи со стороны самой подвижной СК), но фиктивно и чисто внешне приписываемая точке М за счёт простого оптического слежения за ней из начала неинерциальной СК.
Пусть заданы два радиус-вектора расстояний: первый от начала неподвижной СК до рассматриваемой нами материальной точки R(t) и от начала неподвижной СК до начала подвижной СК RА(t) и замыкает этот треугольник векторов радиус-вектор r(t), который определяет положение точки М в подвижной СК, т.е.
R = RA + r ……………………..….………………………………………………. (19)
Для выяснения связи между векторами скоростей продифференцируем по времени треугольник векторов расстояний (выр.19):
V = (dR /dt) = (dRA /dt) + (dr /dt) = VA + (dr /dt). .……………….……….…. (20)
где: (dr/dt) = (dr/dt)отн. + (ω × r) . см.(18)
Немного ранее была специально для этого вычислена производная для радиус-вектора dr/dt (см. выр.18). Очевидно и то, что производная по времени от радиус-вектора начала подвижной СК (dRA/dt) равна вектору скорости начала подвижной СК, т.е. VA , а производная от радиус-вектора дальности точки М в подвижной СК – (dr/dt) отн. есть ни что иное, как вектор относительной cкорости Vr точки М в подвижной СК. Подставим всё это в выр.20:
V =VA + (ω × r) + (dr/dt)отн.;
V= (VA+(ω × r)) +Vr. - Абсолютная скорость как сумма переносной и относительной скоростей .(21)
Вектор абсолютной скорости равен векторной сумме переносной и относительной скоростей:
V = Ve + Vr; где: V - абсолютная скорость …………………………………….…… (22)
где: Ve = VA + (ω × r); - переносная скорость ………...……………....…………... (23)
Vr = (dr/dt) отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k. - относительная скорость .... (24)
В итоге, получили формулировку для теоремы о сложении скоростей:
Абсолютная скорость точки относительно неподвижной СК равна геометрической сумме векторов переносной и относительной скоростей.
Выр.22 применяют для определения скорости космического тела в моменты перехода на границе «сферы переключения межпланетных траекторий» для нахождения начального значения вектора как относительной скорости при ВХОДЕ в «сферу» из неподвижной, например, Солнечной СК в СК какой-либо планеты по выр 25, вытекающему из выр. 22:
Vr = V – Ve, …..…....……………………………………………………………. (25)
где: Ve = VA + (ω × r) – переносная скорость, а VA - орбитальная скорость планеты относительно Солнца, ω – угловая скорость собственного вращения планетной СК (если применена инерциальная, не вращающаяся планетная СК, то ω = 0 и Ve =VA), а радиус-вектор r равен радиусу «сферы переключения межпланетных траекторий». При выходе из «сферы» для определения начального значения скорости тела в Солнечной СК применяют выр.22.
В итоге, выр.23 для ПЕРЕНОСНОЙ СКОРОСТИ (Ve), вызванная скоростными эволюциями начала подвижной СК, ПРИПИСЫВАЕТ материальной точке М, НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ РЕАЛЬНО, «ФИКТИВНУЮ» и ИЛЛЮЗОРНУЮ СКОРОСТЬ (относительно начала подвижной СК), не вызванную НИКАКИМИ ФИЗИЧЕСКИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ на материальную точку М, а объяснимую лишь эффектом визуального перемещения точки М относительно начала подвижной СК.
Например, можно запросто «разогнать» относительную скорость тела М в подвижной СК, не прикладывая никаких реальных сил к материальному телу, до околосветовых скоростей при умеренной угловой скорости вращения ω лишь самой подвижной СК. Это напоминает опыт Майкельсона по определению скорости света, где в качестве подвижной СК выступает легкая, быстро вращающаяся СК в виде платформы с закреплённой на ней зеркальной призмой, отражающей луч света. Ну и как тут не назвать все эти кажущиеся, нереальные скорости, возникающие в подвижной вращающейся СК из-за её собственного вращения, не иначе как МНИМЫМИ И «ФИКТИВНЫМИ», а вот такие же «фиктивные» иллюзорные ускорения и, соответствующие им разные виды «сил инерции», рассмотрим в следующем разделе.
Вот что написал в своих «Началах…» И.Ньютон по этому поводу:
«Причины происхождения, которыми различаются истинные и кажущиеся движения, суть те силы, которые надо к телам приложить, чтобы произвести эти движения. Истинное абсолютное движение не может ни произойти, ни измениться иначе, как от действия сил, приложенных непосредственно к самому движущемуся телу, тогда как относительное движение тела может быть и произведено, и изменено без приложения сил к этому телу; достаточно, чтобы силы были приложены к телам, по отношению к которым это движение определяется.»
*) Примечание: Добавим, что, так термин «относительное движение» у Ньютона в инерциальной системе на современном языке соответствует понятию «переносное движение» в неинерциальной системе, которое можно создать вообще без всяких сил, сообщив вращение или линейную скорость началу неинерциальной системы координат.
3.3 Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).
Для нахождения абсолютного ускорения точки по отношению к инерциальной системе координат продифференцируем по времени выр.21 теоремы сложения скоростей для абсолютной скорости:
V = (VA + (ω × r)) + Vr;
где: Vr = (dr/dt) отн. = (drx/dt) i + (dry/dt) j + (drz /dt) k. – относительная скорость …(21)
W = (dV/dt) = (dVA/dt) + [ ((dω/dt) × r) + (ω × (dr/dt)) ] + (dVr/dt). ………………… (26)
где: ранее было выведено выр. : dr/dt = (dr/dt)отн. + (ω × r). …….(18)
Абсолютную производную для вектора относительной скорости Vr найдём по универсальной формуле (18) для взятия производной от векторов в двух системах: неподвижной и подвижной
(dVr/dt) = (dVr/dt)отн. + (ω × Vr) . ……….……………………………………. (27)
В этом выражении (dVr / dt)отн. есть относительная производная вектора Vr по времени и, следовательно, представляет собой относительное ускорение Wr, т.е. ускорение точки по отношению к подвижной СК:
Wr = (dVr/dt)отн. = (d2rx/dt2) i + (d2ry/dt2) j + (d2rz/dt2) k. - относительное ускорение …(28)
Используя подстановку равенств (18), (13), (25) и (26) в формулу (24) преобразуем её:
W = WA + ((dω/dt) × r) + (ω × (Vr + (ω × r)) ) + Wr + (ω × Vr) .
W = WA + ((dω/dt) × r) + (ω × (ω × r)) + Wr + (2ω × Vr), ……………...…… (29)
где: WA = (dVА /dt) и (dω/dt) линейное и угловое ускорения начала подвижной СК.
Для того, чтобы выделить только переносное ускорение We для материальной точки М, которое ей приписывается наблюдателем жёстко зафиксированным к началу подвижной СК вращающимся вместе с подвижной СК, отслеживать ПЕРЕНОСНОЕ движение подвижной СК, т.е. перемещение точки М относительно подвижной СК (ускорение той точки, жёстко закреплённой относительно осей подвижной СК, с которой в данный момент ТОЛЬКО совпадает СВОБОДНАЯ И НИКАК НЕ СВЯЗАННАЯ с подвижной СК движущаяся материальная точка, сложное движение которой мы и пытаемся определить), закрепим точку в подвижной СК, т.е. положим Vr = 0 и Wr = 0. В этом случае из выр.(27) будем иметь выр. для переносного ускорения We, которое испытывает точка ЖЁСТКО ЗАФИКСИРОВАННАЯ относительно подвижной СК, т.е. представляющая единое твёрдое тело вместе с осями подвижной системы координат:
We = WA + ((dω/dt) × r) + (ω × (ω × r)). – Это переносное ускорение ……………. (30)
Итак, это и есть переносное ускорение точки свободного твёрдого тела, с которым жёстко связана подвижная СК и которая в данный момент совпадает с рассматриваемой нами материальной точкой М, и которой формально приписываются все эти «иллюзорные» ускорения. Переносное ускорение представляет собой сумму линейного ускорения начала подвижной СК ( WA ) с вектором (dω/dt × r), называемого ВРАЩАТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ. При вращении вокруг неподвижной оси направления векторов (dω/dt) и ω всегда совпадают и поэтому вектора скорости и касательного ускорения направлены вдоль одной и той же прямой по касательной траектории. Последний дополнительный вектор в переносном ускорении (ω × (ω × r)) называют осесимметричным ускорением.
По аналогии с анализом выр. (14) ( V = (ω × r ) ) в виде выр.(15) для модуля скорости вращающееся точки ( | V | = | ω | | r | sin(φ) = | ω | rнорм. ) можно показать, что модуль вектора
| ω × ( ω × r )| = | ω | 2 | r | sin(φ) = | ω |2 rнорм. в отличие от модуля скорости (во вращательном движении по кругу, плоскость которого перпендикулярна мгновенной оси вращения) направлен не по касательной к кругу вращения с радиусом вращения rнорм, а по нормали к траектории вращения вокруг мгновенной оси , т.е. вдоль вектора rнорм и направлен к оси мгновенного вращения, как бывает обычно направлен вектор центростремительного ускорения при вращении по кругу с радиусом rнорм. Это и есть осесимметричное ускорение, увлекающее точки твёрдого тела во вращательное движение вокруг мгновенной оси вращения. Естественно оно и породит в подвижной системе противоположно ему направленное всем известное ЦЕНТРОБЕЖНОЕ УСКОРЕНИЕ.
В итоге, имеем выражение для полного ускорения материальной точки:
W = We + Wr + (2ω × Vr) . …..……………………………………….……. (31)
Ускорение, определяемое членом (2ω × Vr), называется поворотным или кориолисовым ускорением, т.е. кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости перносного движения на скорость точки в её относительном движении:
Итак, имеем
W = We + Wr + Wc. -Абсолютное (полное) ускорение относительно неподвижной СК …... (33)
где: Wr = (dVr/dt)отн.=(d2rx/dt2) i + (d2ry/dt2) j + (d2rz/dt2) k. -Относительное ускорение(28)
We = WA + ((dω/dt) × r) + (ω × (ω × r)). –Переносное ускорение(30)
Wс = (2ω × Vr). - Кориолисово ускорение ……..………………… .………………..(34)
Это и есть содержание теоремы Кориолиса: Абсолютное ускорение точки можно рассматривать как геометрическую сумму переносного, относительного и кориолисова ускорений за счёт введения в рассмотрение подвижной СК, начало которой обладает линейной переносной скоростью ( VA ) и ускорением ( WA ), а также вращается с угловой скоростью (ω), имеющей в общем виде и угловое ускорении( dω/dt ) и при наличии скорости перемещения рассматриваемой точки относительного подвижной СК (Vr). Направление кориолисова ускорения определяется как и для всех векторных произведения в помощью правила правой руки, описанного в начале статьи (см. справку под выр.(8).
3.4 Применение основных теорем механики в неинерциальных системах отсчёта
(Данный раздел написан по материалам §8.гл.3 книги «Классическая механика» М.А.Айзерман.стр.106-110).
Рассмотрим движение материальной точки в неинерциальной системы в сравнении с её же движением относительно инерциальной системы. Наблюдатель, находящийся в инерциальной СК, имеет право для изучения динамики движения тоски применять законы механики и в частности второй закон Ньютона:
mi Wi = Fi. ………………………………………………………………………. (35)
где Wi – проекции ускорения точки относительно инерциальной системы на её оси x,y,z.
Попытка применить второй закон в неинерциальной системе приведёт к тому, что закон Ньютона не будет выполняться, т.к. умножение массы точки на ускорение, которое наблюдается в неинерциальной системе, приведёт к получению силы отличающейся от реально действующей на точку силы в законе (35). Разница вызвана появлением дополнительных ускорений в неинерциальной системе (см.выр. 33,28,30 и34), вызванных неинерциальностью системы: вращением осей системы координат с угловой скоростью (ω) и наличием линейного ускорения у начала сиcтему координат (WA). Движение точки mi можно считать сложным движением:
Движение точки mi относительно инерциальной системы можно рассматривать как АБСОЛЮТНОЕ, движение точки mi относительно неинерциальной системы – как ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, а движение неинерциальной системы относительно инерциальной системы отсчёта – как ПЕРЕНОСНОЕ. Тогда в соответствии с выр.33:
W (абс) = We (пер) + Wr (отн.) + Wc (кор.) ………………………………………………… (36)
В качестве ускорения в левой части выр.36 фигурирует ускорение точки mi относительно инерциальной системы, т.е. как раз то ускорение, которое теперь, рассматривая движение точки mi как сложное, мы назвали АБСОЛЮТНЫМ, подставляя выр.36 во второй закон Ньютона (выр.35), получаем:
mi (We (пер) + Wr (отн.) + Wc (кор.)) = Fi.
Перепишем это соотношение для определения ОТНОСИТЕЛЬНОГО ускорения, что позволит записать второй закон Ньютона применительно к НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе отсчёта:
mi Wr (отн.) = Fi - mi We (пер.) - mi Wc (кор.) ………………………………………… (37)
*) Примечание: Для инженерного применения больше подходит вариант выр. 37 БЕЗ ПЕРЕХОДА к инерционным силам, а сразу в ускорениях для каждого из рассматриваемого i-го тела системы тел:
Wri (отн.) = Fi / mi - Wei (пер.) - Wci (кор.) ……………………………………..……… (38)
Формулу (37) можно трактовать как запись второго закона Ньютона применительно к НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе отсчёта. В правой части появляются два новых члена в виде двух «сил» переносной (Ji пер) и кориолисовой (Ji кор), поскольку имеют размерность силы как произведение массы тела на ускорение, и в итоге получаем:
mi Wr (отн.) = Fi + Ji пер. + Ji кор. ……………….……………………………………..… (39)
где: Ji пер. = - mi We (пер.), Ji кор. = - mi Wc (кор.) ……….. (40)
Новые два вектора в правой части формулы (38) имеют размерность силы и называются СИЛАМИ ИНЕРЦИИ: вектор Ji пер. называется ПЕРЕНОСНОЙ силой инерции, а вектор Ji кор. – КОРИЛИСОВОЙ силой инерции. Обратите внимание, что НАПРАВЛЕНИЕ сил инерции ПРОТИВОПОЛОЖНО направлению соответствующих ускорений!
Таким образом, мы установили, что второй закон Ньютона может быть применён и в неинерциальных системах отсчёта, если к силам, действующим на каждую точку , добавить переносную и кориолисову силы инерции!
Если все силы делятся на внешние и внутренние, то СИЛЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСЯТСЯ К ВНЕШНИМ СИЛАМ. Так, например, теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента, можно записать так:
(dQ/dt) = Fвнешняя + Ji пер. + Ji кор. ……………….…………………………………………….… (41)
(dKА/dt) = MA внеш. + MA Jпер + MA Jкор. ……………………………………………….…. (42)
Для нас представляет особый интерес ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИСТЕМА ОТСЧЁТА, расположенная в центре масс системы тел и которая движется поступательно относительно инерциальной системы так, что в любой момент времени скорость (ускорение) всех её точек СОВПАДАЕТ со скоростью (ускорением) ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ рассматриваемой системы материальных точек. В центральной системе КОРИОЛИСОВЫХ сил НЕТ ( так как переносное движение ПОСТУПАТЕЛЬНО и ω = 0) и для связанного с ней наблюдателя центр инерции рассматриваемой системы материальных точек НЕПОДВИЖЕН (Vc = Wc = 0). Поэтому для такого наблюдателя из формулы Q = M (dVc/dt) = 0 всегда (т.е. не только для замкнутых систем, но и при любых внешних силах!): количество движения системы СОХРАНЯЕТСЯ равным нулю во время движения. Из теоремы о движении центра инерции:
M (dVc/dt) = R = Rвнешн. + Jпер. = 0.
следует, что в центральной системе главный вектор все сил, приложенных к точкам системы (включая силы инерции) равен нулю.
Георгий 04.02.2020г 23ч 50мин. Время моск.
P.S. В следующей теме будут проанализированы все виды ускорений, появляющихся в неинерциальных системах отсчёта в теореме Кориолиса с акцентом на анализ кориолисова ускорения, вызывающего интересные дискуссии о «правильности» выражения для него, поскольку многих смущает множитель 2 в выражении для кориолисова ускорения (2ω × Vr) особенно в случае, когда вектор относительной скорости Vr направлен тангенциально, т.е перпендикулярно радиусу-вектору рассматриваемой точки и его ускорение совпадает по направлению и накладывается на центростремительное ускорение, вызываемое обычным вращением точки, относительно начала подвижной системы координат с угловой скоростью систем ω, но кориолисово ускорение при этом превышает по своей величине в 2 раза обычное центростремительное вращательное ускорение.
Законы механики И.Ньютона в современном изложении
и их формулировка в «Началах».
Содержание:
1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе
2. Определения в книге «Начала».
3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела
3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат
4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ
5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.
6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра
7.1 Устройство динамометра
7.2 Устройство акселерометра
7.3 Описание принципа работы акселерометра
7.4 О колебательном характере процесса измерении ускорения
7.5 Методы снижения колебательности процесса измерения ускорения
7.6. О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты
7.7. Тарировка акселерометра
8. Пример использования акселерометров в системах управления летательными аппаратами
1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе
Первый том «Начал» был представлен Исааком Ньютоном Королевскому обществу в 1686г., а полностью труд Ньютона под названием «Математические начала натуральной философии» (на современном языке - «Математические основы физики») в трёх томах вышел через год, в 1687г. Тираж (около 300 экземпляров) был распродан за 4 года — для того времени очень быстро. Два экземпляра этого редчайшего издания хранятся в России; один из них Королевское общество в годы войны (1943г) подарило Академии наук СССР на празднование 300-летнего юбилея Ньютона.
Далее Вашему вниманию, уважаемый читатель, предлагаются выдержки из книги серии «Великие умы России» Елены Сельцовой «Алексей Николаевич Крылов». Москва 2017г. о выдающемся переводчике «Начал» И.Ньютона на русский язык А.Н.Крылове - механике, математике и кораблестроителе.
В 1914г выпускник-отличник Морской академии Алексей Николаевич Крылов (03.06.1863 – 26.10.1945) (и её будущий профессор, имя которого будет присвоено позже Морской академии), приступает к переводу с латинского (языка для научных публикаций того времени) «Начал» Исаака Ньютона и в 1916г книга была напечатана полностью с дополнениями в оригинальный текст Ньютона более чем 200 замечаний переводчика размером от пары строк до нескольких листов. В этом же году Крылов был избран действительным членом Российской Академии наук, а позже и членом Академии наук СССР.
Сразу по окончании с отличием Академии Крылов был зачислен в Главное гидрографическое управление, где выполняет свой первый научный труд по расчёту делений для нового дефлектора - прибора, измеряющего действующую на компас магнитную силу, заменяющего ручные расчёты поправок к дополнительному устройству, автоматически корректирующему показания компаса с учётом влияния намагниченности металлических корпусов кораблей, сменивших деревянные суда, которые не искажали показания магнитного компаса. Неоднократные крушения в 19 веке металлических кораблей из-за ошибочных показаний компаса, вызванных девиацией показаний, привели к разработке вышеупомянутого прибора коррекции показаний компаса. Крылов изучив предложенный французский вариант «дромоскопа», построенного на основе приближённой формулы девиации и приводящего к значительным ошибкам, предложил на основе точной формулы девиации своего научного руководителя (основоположника учения о девиации И.П.де-Колонга) новый вариант «дромоскопа», который благодаря простоте оказался в 7 раз дешевле французского прибора. По окончании преподавательской деятельности (в 75 лет) он возвращается к научным изысканиям по компасному делу. За эти работы и курс лекций о девиации А.Н. Крылов был удостоен Сталинской премии 1-й степени в 1941г, а в 1943г. ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.
В начале своей научной деятельности Крылов читал, по совету своего научного руководителя, необходимые для работы сочинения Гаусса на латыни. Только тогда будущий академик осознал важность знания этого языка: «Много раз в течение моей жизни и научной деятельности мне с пользой служила латынь… Я свободно разбирался в элементарно простой латыни Эйлера, несколько труднее в превосходной латыни Ньютона и ещё труднее в чисто классической латыни Гаусса и Якоби». По иронии судьбы, Крылов в детстве, обращаясь к отцу с просьбой разрешить учиться на морского офицера в училище, мотивировал свою просьбу нежеланием «зубрить никому не нужные латынь и греческий». Однако из-за развившейся близорукости к моменту окончания училища мечта о флотской жизни с кругосветными путешествиями оказалась неосуществима.
У англичан перевод «Начал» Ньютона есть только в виде подстрочника. В мире нет издания, подобного переводу А.Н. Крылова. Автор стремился не только сохранить смысл подлинника, но и следил за чистотой русского языка, отказавшись от знаменитой жёсткости языка Ньютона. Крылов писал, что «там, где сейчас принято говорить «сохраняет своё состояние движения», в «Началах» можно прочесть «продолжает упорно пребывать в своём состоянии»; на языке Ньютона сила не прикладывается к телу, а «вдавливается» или «втискивается» в него и т.п. Поэтому с целью приближения текста к современному способу изложения «в переводе принята менее выразительная, но общеупотребительная теперь терминология».
В 1916г. в Петрограде вышла книга «Начал» И.Ньютона в переводе профессора А.Н.Крылова под названием «УЧЕНIЕ о ПРЕДѢЛАХЪ, какъ оно изложено у Ньютона». Это единственный случай, когда переводчиком «Начал» стал выдающийся учёный.
Именно в этой книге «Начал» И.Ньютон сформулировал три закона классической механики и закон тяготения ("закон обратных квадратов", как его называл сам Ньютон и который им был опубликован до написания "Начал"), а также изложил свой вариант (независимо от Лейбница) математического анализа бесконечно малых приращений (метод «флюксий» у Ньютона в отличие от метода дифференциального исчисления у Лейбница, утвердившегося в науке вместо «флюксий» Ньютона) и развил метод вариации произвольных постоянных эллиптического движения применительно к анализу движения Луны, так что уравнении Лагранжа были, по-видимому, предвосхищены в книге Ньютона.
Далее приведены небольшие отрывки из предисловия Л.С.Полака к изданию «Начал» в серии «Классики науки» под названием: «Исаак Ньютон Математические начала натуральной философии» под редакцией Л.С.Полака, Москва ,«НАУКА» 1989. Репринтное издание 1936г. 687стр.
« Школьные годы делают ньютонианцами всех людей на нашей планете… Мы впитываем в нашу духовную плоть три аксиомы (закона) Ньютона, его пространство и время, его закон всемирного тяготения и многое другое… Не случайно Лагранж назвал «Начала» «величайшим произведением человеческого ума».
Открытию закона всемирного тяготения в Англии предшествует период волнующих исканий: Гук, всегдашний противник и оппонент Ньютона, Галлей, восторженный поклонник его и Рен, великий архитектор и учёный, в 1684г. втроём обсуждают в Лондоне вопрос о движении тел под действием силы притяжения; здесь Гук заявляет, что у него уже готово решение, но он откладывает сообщение о нём. Время идёт, и Галлей замечает, что мистер Гук «не так хорош, как его слова», и однажды обращается к Ньютону с вопросом: какая должна быть орбита тела, движущегося вокруг центра притяжения под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния? Ньютон немедленно отвечает, что это, конечно же, эллипс и что он уже с 1679г. владеет решением задачи. С этого момента и начинается работа Ньютона, приведшая к созданию «Начал».
Знание тогдашней науки и работ современников видно из анализа состава библиотеки Ньютона. В ней 2100 томов по алхимии и химии, математике и физике, естественным наукам, теологии и классической древности.
Универсальность открытой Ньютоном динамической системы была неожиданностью для его современников…
Ньютон не случайно назвал свой великий труд «Математическими началами» . Математика для него была главным орудием в физических исследованиях. Но Ньютон никогда не терял связи с экспериментом, и в этом его сила. Его изумительное искусство в постановке многочисленных опытов заложило основы экспериментального исследования современного типа. Сам Ньютон писал, что тем, чего он достиг «обязан только усердию и упорной мысли».
Великий труд Ньютона и переворот, произведенный им, не следует рассматривать как результат линейного развития более ранних идей. Если в разработке и применении двух первых законов (аксиом) движения у него были предшественники, то третий закон полностью принадлежит Ньютону и никем не оспаривался.
Как известно, Ньютон сформулировал закон тяготения (закон обратных квадратов), определяющий движение небесных тел в классическом пространстве, до того, как написал «Начала», с успехом приложив его к анализу притяжения между Солнцем и планетами. Однако только согласно его третьему закону гравитация не могла далее рассматриваться как некое изолированное свойство, присущее одному центральному телу Солнечной системы. Она должна быть присуща Луне, каждой планете, комете и звезде во Вселенной – мысль, вероятно, одна из глубочайших, когда-либо приходивших человеческому уму…
В заключение необходимо подчеркнуть воистину бесчисленные подтверждения положений, развитых Ньютоном в «Началах». В течение последних десятилетий они получили решающее «космическое» доказательство: достаточно вспомнить о прецизионных экспериментах, поставленных с помощью искусственных спутников Земли и подтвердивших с высокой точностью уравнения Ньютона.»
В начале своей книги Ньютон даёт восемь Определений(I-VIII) и итоговое Поучение:
2. Определения в книге «Начала».
Определение I
« Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её.»
Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под названиями тело или масса. Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками.
*) Примечание Крылова: Ни одно определение Ньютона не вызвало столько критических замечаний и столько толкований. Термин «Количество материи» составляет как бы одно слово «материя», но при дальнейшем развитии науки не удержался и в современной терминологии заменён равносильным ему термином «масса».
Необходимо так же иметь в виду, что в то время при установлении меры для какой-либо величины устанавливалась лишь её пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда не говорили, как теперь (когда делается предположение о принятой единице массы), «площадь прямоугольника равняется произведению его основания на высоту», а говорили «площадь прямоугольника пропорциональна его основанию и высоте».
До Ньютона понятие о массе не вводилось, а рассматривался лишь вес и при старинной терминологии понятно, что плотность не определялась как масса единицы объёма вещества, а говорилось, что плотность тела пропорциональна его весу и обратно пропорциональна его объёму. Имея это в виду, можно ньютоново определение, придерживаясь теперешней терминологии, выразить так:
«Масса есть мера количества вещества, пропорциональная его плотности и объёму»
Определения II
«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»
Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его, значит для массы, вдвое большей, при равных скоростях оно двойное, при двойной же скорости – четверное.
Определение III
« Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»
Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на неё.
От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врождённая сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление и как напор. Как сопротивление – поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить своё состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор – телам движущимся.
Но движение и покой, при обычном их рассмотрении, различаются лишь в отношении одного к другому, ибо не всегда находится в покое то, что таковым простому взгляду представляется.
Определение IV
«Приложенная сила есть действие, производимое над телом, что бы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»
Сила проявляется единственно только в действии, и по прекращении действия в теле не остаётся. Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы.
Определение V
«Центростремительная сила есть та, с которою ТЕЛА к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся.»
Такова сила тяжести, под действием которой тела стремятся к центру Земли, магнитная сила, которою железо притягивается к магниту, и та сила, каковою бы она ни была, которою планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и вынуждаются обращаться по кривым линиям. Камень, вращаемый в праще, стремится удалиться от вращающей пращу руки, и этим свои стремлением натягивает пращу тем сильнее, чем быстрее вращение, и как только его пустят, то камень улетает.
Силу, противоположную сказанному стремлению, которою праща постоянно оттягивает камень к руке и удерживает его на круге, т.е. силу направленную к руке или к центру описываемого круга, я и называю центростремительной.
Но тело может испытывать воздействия не только со стороны тел, с которыми оно соприкасается. Оно может подвергаться воздействиям также со стороны различного рода силовых полей, возбуждаемых другими телами. Поэтому вопрос сводится к тому, как убедиться в том, что воздействиям со стороны силовых полей тело не подвергается. Брошенное тело, если бы силы тяжести не было, не отклонялось бы к Земле, а уходило бы в небесное пространство по прямой линии равномерно, если бы не было и сопротивления воздуха. Своею тяжестью оно оттягивается от прямолинейного пути и постоянно отклоняется к Земле в большей или меньшей степени, сообразно напряжению силы тяжести и скорости движения.
Увеличивая скорость свинцового ядра, брошенного горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, можно по желанию увеличить и дальность полёта и уменьшить кривизну линии, по которой ядро движется, так чтобы заставить его упасть как можно далее от горы и можно было бы окружить всю Землю или даже уйти в небесные пространства и продолжить удаляться до бесконечности. Подобно тому, как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, если она ей подвержена, или же иною силою, которая влечёт её к Земле, может быть отклоняема от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите. Если бы сила была меньше соответствующей этой орбите, то она отклонила бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то отклонила бы её более, чем следует, и приблизила бы её от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины.
Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении на заданной орбите с данною скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силой будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.»
*) Вот так Ньютон вводит, поразившее всех современников, понятие о Динамической системе, или как её часто называют механики "Задача расчёта динамики" движения тела!
3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
(Далее, (в кавычках «…») приводятся цитаты из учебника: Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том1. Механика 2005г. МФТИ. и из «Начал»И.Ньютона)
В качестве Первого закона движения Ньютон принял закон инерции, высказанный в частной форме еще Галилеем.
Согласно этому закону тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно.
Для примера, приведём, два равноценных варианта Первого закона из «Начал» в переводе А.Н. Крылова:
«Всякое тело продолжает пребывать в своём состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояние», или как второй вариант этого же перевода:
«Всякое тело удерживает своё состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние».
Такое тело называется свободным, а его движение — свободным движением или движением по инерции. Свободных тел, говоря точно, не существует. Они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга. Представив себе, что эти воздействия беспредельно уменьшаются, мы и приходим в пределе к представлению о свободном теле и свободном движении.
Итак, всякое тело оказывает сопротивление при попытках изменить величину (модуль) или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. У разных тел оно проявляется в разной степени. Так, сообщить одно и то же ускорение большому камню значительно труднее, чем маленькому мячику. Мера инертности тела называется его массой, которая пропорциональна количеству вещества в теле. Чем больше масса тела, тем оно инертней и тем труднее изменить вектор скорости этого тела.
В качестве эталона для измерения массы тел условились взять массу определенного тела и считать её равной единице. Тогда массы всех остальных тел определятся однозначно.
В физике в качестве основной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эталонной гири из сплава иридия с платиной, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов. Приближенно килограмм равен массе кубического дециметра чистой воды при температуре 4 °С. Тысячная доля килограмма называется граммом».
3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела
« Здесь, однако, возникает следующая трудность. Как убедиться в том, что тело не подвержено внешним воздействиям? Об этом нельзя судить только по отсутствию ускорений. Нужны какие-то другие независимые способы. Иначе закон инерции потерял бы всякое содержание. Вполне удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует.
В отсутствие внешних воздействий мы убеждаемся по отсутствию растягивающих пружин или веревок, которые тянут тело, по отсутствию тел, которые давят на него, т. д.
Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромагнитным силам, сильным и слабым взаимодействиям. Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные - на расстояниях порядка 10-13 см, слабые на расстояниях порядка 10-16 см. В макромире, который только и изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.
Электромагнитные и гравитационные силы, напротив, являются силами дальнодействующими. С расстоянием они убывают медленно. Если это статические силы, то они убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Если же они переменные (электромагнитные волны), то убывание происходит еще медленнее — обратно пропорционально расстоянию. Только благодаря электромагнитным волнам (свет, радиоизлучение, рентгеновское излучение), исходящим от планет, звезд, пульсаров, галактик и пр., мы и знаем о существовании этих небесных объектов. Поэтому нет оснований утверждать, что удаленные источники не возбуждают заметных электромагнитных и гравитационных полей в рассматриваемой нами области пространства. Однако в отсутствие электромагнитных полей всегда можно убедиться, так как они действуют по-разному на положительные и отрицательные заряды, из которых состоят тела. Под действием таких полей возникло бы некоторое разделение положительных и отрицательных зарядов, которое можно было бы обнаружить на опыте. Заряженный шарик, помещенный в одну и ту же точку пространства, двигался бы по-разному в зависимости от того, заряжен он положительно или отрицательно. Все имеющиеся факты не противоречат утверждению, что удаленные тела Вселенной не возбуждают сколько-нибудь заметных статических электромагнитных полей в малых областях пространства (порядка размеров Солнечной системы или Галактики).
О гравитационных полях этого нельзя сказать с той же уверенностью. Но если бы такие поля и существовали, то с ними можно было бы не считаться. Дело в том, что всем телам, независимо от их состава, одно и то же гравитационное поле сообщает в точности одинаковое ускорение. Статическое гравитационное поле удаленных тел Вселенной в малых областях пространства можно считать практически однородным.
Можно ввести систему отсчета, свободно падающую в таком однородном гравитационном поле. На явлениях, происходящих в такой системе отсчета, наличие этого однородного гравитационного поля никак не сказывается. Здесь все происходит в точности так же, как в кабине космического корабля, свободно движущегося в космическом пространстве. В такой кабине космонавты не чувствуют наличия поля тяготения (невесомость)».
*) примечание: см. также ниже раздел 7.6. О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты.
3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат
« В кинематике выбор системы отсчета не был существенным. Все системы отсчета кинематически эквивалентны. Не так обстоит дело в динамике.
Уже закон инерции с особой остротой ставит вопрос о выборе системы отсчета. Одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно, реально движущееся равномерно тело будет казаться движущимся ускоренно.
Отсюда следует, что закон инерции не может быть справедлив во всех системах отсчета. Без указания системы отсчета он просто теряет смысл. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчета. Содержание закона инерции, в сущности, сводится к утверждению, что существует по крайней мере одна инерциальная система отсчета.
Попробуем взять гелиоцентрическую систему отсчета, иначе называемую системой Коперника (по имени польского астронома Николая Коперника (1473—1543)). Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы), а координатные оси являются прямыми, направленными на три удаленные звезды и не лежащими в одной плоскости. Материальными объектами, с помощью которых реализуются эти оси, являются световые лучи, приходящие от звезд в Солнечную систему. Из-за относительного движения звезд углы между координатными осями в системе Коперника не остаются постоянными, а медленно изменяются с течением времени. Однако ввиду колоссальности расстояний до звезд изменения направлений координатных осей происходят настолько медленно, что, как правило, их можно не принимать во внимание. Система Коперника практически является инерциальной системой, по крайней мере при изучении движений, происходящих в масштабе нашей планетной (Солнечной) системы.
Неинерциальность Земной системы отсчета объясняется тем, что Земля, во-первых, вращается вокруг собственной оси и, во-вторых, - вокруг Солнца, т. е. движется ускоренно относительно системы Коперника. Впрочем, оба эти вращения происходят медленно. Поэтому по отношению к громадному кругу явлений происходящих на Земле Земная система отсчета ведет себя практически как инерциальная система. Обычные, сравнительно грубые наблюдения и опыты над движением тел не позволяют обнаружить отступления от инерциальности земной системы отсчета. Для этого требуются более точные и тонкие опыты.
Вот почему при установлении основных законов динамики можно начать с изучения движения тел относительно Земли, отвлекаясь от её вращения, т. е. принять Землю за приблизительно инерциальную систему отсчета.»
*) Примечание: Рассуждения выше относятся, конечно же не к полётам спутников вокруг Земли, а к анализу движения обычных относительно небольших по масштабам расстояний земных тел. Например, при учёте движений, связанных с большими расстояниями, необходим учёт неинерциальности Земли, как, например, влияния силы Кориолиса для рек, или изменение ускорения притяжения на полюсе и экваторе и т.п.
4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ
« Общие законы движения Ньютон сформулировал с использованием понятия СИЛЫ. Представление о силе возникает в связи с ощущением мускульного усилия, которое у нас возникает при поднятии тяжелых тел или при приведении их в движение.
Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую скорость тела. В инерциальной системе отсчета производная от скорости материальной точки по времени представляется уравнением.
Эти уравнения выведены при условии, что масса тела является постоянной величиной и независящей от скорости тела.
m * (dv/dt) = F; или, в другом виде: (dv/dt) = F / m; (4.1)
m * (d2r/dt2) = F; или, в другом виде: (d2r/dt2 ) = F / m; (4.2)
Величина F называется результирующей (геометрической суммой всех сил по правилу параллелограмма) силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Очевидно, что сила F является вектором (обладает направлением в пространстве), поскольку она равна производной вектора скорости по времени, или же второй производной от координаты тела.
Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная от скорости (или ускорение) равна действующей на неё результирующей силе, отнесённой к массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения — уравнениями движения материальной точки.
Конечно, если движение тела (материальной точки) известно, т. е. известны ее координаты как функции времени t, то простым дифференцированием по времени (t) можно определить величину действующей силы (представляющей собой геометрическую сумму всех сил, действующих на тело) как функцию того же времени.»
В связи с отсутствием понятия ускорения второй закон у Ньютона формулируется в виде изменения количества движения, т.е. изменения величины произведения массы на скорость тела (при постоянстве массы тела) так:
«Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой , по которой эта сила действует».
Примечание Крылова: В непосредственной связи со вторым законом находится Лемма X, в которой показывается, что в пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени. Эта Лемма в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению.
5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.
« Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки. Одну из сил, согласно Ньютону, иногда называют действием, а другую — противодействием.
Формулируют третий закон следующим образом:
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
Следует, однако, заметить, что «действие» по своей физической природе ничем не отличается от «противодействия». Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или наличием электрического поля, то и противодействующая сила обусловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодавление. Действие — давление камня на стол — обусловлено деформацией камня, противодействие давление стола на камень — обусловлено деформацией стола. В основе подразделения сил на «действующие» и «противодействующие» лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие.
Так, если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим противодействие, — телега.
Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих тел является активным, а какое пассивным. Какую из сил назвать действием и какую противодействием - это в большинстве случаев вопрос соглашения. »
Формулировка Третьего закона у Ньютона:
«Действию всегда есть равное противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.»
Если какое-нибудь тело, ударившись о другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своём собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений.
И вот весьма важное Следствие IV, посволяющее выбрать точку для размещения начала системы координат, в которой планируется рассчитывать траектории движения различных тел, т.е. решать Динамическую задачу, как её поставил сам Ньютон выше в ОпределенииV.
Следствие IV
«Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»
Следовательно, по отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела. Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их.
*) Примечание: В современном механике центр тяжести заменяется на более точное понятие центра масс системы, или центра инерции системы(см., например, книгу М.А. Айзермана "Классическая механика", стр.73).
Центр тяжести и центр инерции системы тел практически совпадают при условии размещения рассматриваемых тел в однородном внешнем поле ускорения от притяжения планетой или Солнцем, т.е. постоянном по величине внещнего ускорения и действии его на все тела системы по параллельным линиям, проще говоря, при постоянном векторе внешнего ускорения. Использование центра инерции системы тел Солнечной системы для размещения в нём начала инерциальной систем отсчёта (это, так называемая, барическая система (барсистема)) будет весьма правильным решением для избавления её от всех вращательных движений, присущих даже самому Солнцу из-за его вращении вокруг центра масс Солнечной системы, расположенныму, иногда даже вне пределов сферы самого Солнца (например, при "параде планет", когда они выстраиваются в одну линию относительно Солнца и совместным количеством движения сильнее всего смещают центр инерции относительно центра масс Солнца.
Следствие V
« ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ друг по отношению к другу тел, заключённых в каком-либо пространстве, ОДИНАКОВЫ, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения.»
Следствие VI
« Если несколько тел, движущихся как бы то ни было друг относительно друга, будут подвержены действию равных ускоряющих сил, направленных по параллельным между собою прямым, то эти тела будут двигаться друг относительно друга так же, как если бы сказанные силы на них не действовали.»
Так как эти силы, действуя на все тела одинаково (соответственно массам движущихся тел) и по направлению параллельным, будут сообщать всем телам одинаковые скорости (по второму закону), то они ни в чём не изменят ни положений, ни движений тел друг относительно друга.
*) Примечание:
Именно это Следствие VI, было использовано автором данного комментария (метод "обращения движения в обратную сторону" относительно вектора внешнего ускорения от Солнца, т.е. его векторное вычитание из центров масс для всех рассматриваемых тел) для обоснования перехода расчёта движения Луны относительно Земли из Солнечной системы координат (задачи "трёх тел") в Земную (задаче "двух тел"), естественно с учётом некоторой фактической неодинаковости как по величине внешнего ускорения Солнца, так и небольшой их непараллельности для Луны и Земли, да к тому же и при наличии годового вращения гравитационного поля Солнца относительно Земной группы тел. Однако, за счёт применения метода учёта ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ (а неполной величины!) от внешнего возмущающего ускорения Солнца, т.е. компенсации влияния этой неоднородности относительно начала Земной системы отсчёта практически удалось скомпенсировать влияние всех этих отклонений от идеальных условий, оговоренных в данном СледствииVI. Кроме того начало системы отсчёта (с учётом того, какие тела рассматриваются) также размещается ещё и в центре инерции рассматриваемой системы тел (в её барцентре, см. выше примечание к Следствию IV).
6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
« Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения (его закон "обратных квадратов"), согласно которому любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:
F = G * (M*m) / r2 ; (6.1)
Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения.
Коэффициент пропорциональности G, входящий в формулу и введённый позже в употребление, один и тот же по величине для всех тел. В этом смысле коэффициент G является универсальной постоянной. Это одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной.
Измерения G современными методами привели к следующему результату на сегодняшний день:
G = (6,6725 ±0,0005) * 10-8 дин * см2 * г-2 = (6,6726±0,0005)-10-11 H * м2 * кг-2.
Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала. Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимно притягиваются с силой F = 6,67 • 10-11 Н = 6,67 • 10-6 дин. »
Для тел, находящихся в гравитационной области Земли, закон всемирного тяготения запишется так:
Fпр.= G * (MЗемли *mтела) / (r тело-цмЗемли) 2; (6.2)
где r тело-цмЗемли - расстояние от центра масс тела до центра масс Земли.
Логично объединить три параметра в один, называемый ускорением земного притяжения:
g (r) = G * MЗемли / r тело-цмЗемли 2 ; (6.3)
И тогда сила притяжения Земли примет простое выражение по типу 2-го закона Ньютона для сил.
Fпр. = g (r) * m тела; (6.4)
Для тел, расположенных на поверхности Земли (уровне океана), ускорение земного притяжения было получено опытным путём для общепринятого среднего радиуса Земли (r Земли = 6,371*106 м).
g 0 = G * MЗемли / r цмЗемли 2 = 9,78 (на экваторе) или 9,81 (на полюсе)м/сек2 ≈9,80 м/сек2 (6.5)
Как следует из всемирного закона тяготения (6.1) ускорение земного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телом и центром массы Земли.
Логично избавиться при определении ускорения притяжения g(r) от произведения двух неизменных параметров (G * MЗемли), поделив выр. 6.3 на 6.5 .
В итоге, получено выражение для ускорения гравитации в околоземном пространстве.
g = g 0 * (r цмЗемли / r тело - цмЗемли )2 ; (6.6)
После подстановки расстояния до центра масс Земли (r тело-цмЗемли) в виде суммы высоты полёта над уровнем океана (rg0) (т.е. расстояние от тела до высоты определения значения g0) и среднего радиуса Земли (rЗемли) получим более подходящее для орбитальных полётов выражение для g :
g(rg0) = g 0 * ( r цмЗемли / (r цмЗемли + rg0 ) )2 ; (6.7)
где: g 0 ≈ 9.8 м/сек2 , rg0 [м] – расстояние (оно же высота полёта над океаном) от тела до среднего уровня (поверхности) Земли, на которой и было определено ускорение g 0, средний радиус Земли - rцмЗемли = 6,3781*106 м.
7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра.
При описании 2-го закона было введено понятие СИЛЫ, которое возникает у человека в связи с ощущением мускульного усилия, которое он должен развить при поднятии разных по массе тел или при приведении их в движение из состояния покоя. Для объективного измерения величины силы можно, например, использовать пружинные весы, называемые в физике динамометром (измерителем силы).
На рис.1 показан более сложный прибор, называемый акселерометром, который тоже построен на базе пружины, но на нижнем конце пружины у него подвешено тело, определённой и постоянной массы для данного прибора.
7.1 Устройство динамометра.
Динамометр устроен ещё проще, чем акселерометр. К нижнему свободному концу пружины вместо измерительного тела подсоединена жёсткая тяга, выведенная через отверстие в дне корпуса наружу, к которой можно приложить внешнее усилие, например, нажать ею на какой-либо тело или же подвесить груз определённой массы, а, следовательно, и определённой силы. Например, в условиях гравитации на поверхности Земли сила притяжения груза к Земле будет равна в соответствии со 2-м законом
чем на Земле, и динамометр покажет для гири массой в 1 кг измеренное значение силы веса ~ 0,17кГ на Луне вместо 1кГ на Земле. А человек массой 100кг на Луне будет давить на поверхность Луны с силой ~ 17кГ, вместо 100кГ в условиях Земли. (Извиняюсь за применение устаревшей системы единиц (1кГ-силы вместо 9,81Ньютонов), но так как-то привычнее для нашего поколения.)
7.2 Устройство акселерометра.
Для летательных аппаратов (сокращённо ЛА) необходимо уметь определять на борту ЛА собственную траекторию полёта, скорость и ускорение движение аппарата относительно поверхности Земли., чтобы долететь в нужную точку над поверхностью Земли. Для этого система управления ЛА снабжается тремя датчиками ускорений, называемыми блоком акселерометров с осями чувствительности, направленными строго по трём осям связанной системы ЛА. Интегрирование показаний акселерометров (после их предварительного проектирования из связанной системы в невращающуюся систему координат с использованием показаний углов ориентации связанной системы относительно невращающейся, получаемых от дополнительных гироскопических датчиков углов) позволяет определить сначала величины проекций текущего ускорения центра масс ЛА, которые непрерывно интегрируются по времени с целью получения составляющих скоростей, а параллельно с этим идёт интегрирование самих составляющих скоростей, позволяющее рассчитать уже декартовые координаты ЛА, т.е. его траекторию полёта в этой невращающейся системе отсчёта.
Акселерометр представляет собой дальнейшее развитие динамометра, к которому в нижней части пружины жёстко прикреплено измерительное тело определённой и постоянной массы (далее просто тело) и помещённое (в отличие от динамометра) в полностью закрытый и герметичный корпус прибора. Принципиальная разница между ними состоит в том, что динамометр, обычно используют для измерения сил в статических неускоренных режимах, например, определения силы веса различных тел, т.е. их взвешивания в быту или для измерения сил в физических опытах. А акселерометр применяют для измерения линейных ускорений движущегося объекта, т.е. в динамических режимах полёта ЛА, когда динамометр дополнительно снабжают небольшим измерительным телом постоянной массы, подвешенным на измерительной пружине, что позволяет производить измерения величины силы (по величине растяжения пружины), действующей на это измерительное тело при РАЗНЫХ величинах внешнего ускорения, сообщаемых корпусу прибора в виде геометрической суммы силы тяги двигателя и аэродинамического сопротивления атмосферы Земли. При этом измеренная величиа силы, приложенной к постоянной по величине измерительной массе, пропорциональна ускорению, действующему на акселерометр в соответствии со вторым законом Ньютона, что и означает измерение акселерометром величины внешнего ускорения, действующего на корпус прибора.
Внешнее измеряемое ускорение объекта сообщается корпусу акселерометра, закреплённого на движущемся объекте в нужном для измерения направлении, а тело, подвешенное на пружине, сопротивляясь по закону инерции этому разгону, вынуждено из-за упругой силы всё более растягивающейся пружины двигаться, в итоге, с тем же внешним ускорением, что и корпус прибора. При этом по установившейся величине растяжения пружины можно, как и в динамометре, определить по шкале величину силы, приложенной к измерительному телу прибора, а поделив измеренную силу на известную постоянную измерительную массу тела, подвешенного к пружине, вычислить величину ускорения тела, которое в установившемся режиме соответствует величине внешнего ускорения, сообщаемого корпусу прибора за счёт его механической связи с корпусом ЛА. Реально градуровка акселерометра выполнена не в величинах силы, а в величинах ускорения, а иногда и в величине перегрузки, показывающей во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение на поверхности Земли(=9,81 м/сек2).
На рис.1 и схематично показано устройство пружинного акселерометра. Далее для простоты будем называть акселерометр просто прибором. Каким же способом формируется в приборе сигнал об ускорении? Величина смещения пружины (Х) может быть измерена в акселерометре, например, потенциометрическим способом, с помощью жёстко закреплённого на подвешенном к пружине теле электрического металлического контакта (щётки), скользящего по проволочному линейному потенциометру, закреплённому на корпусе прибора и запитанному постоянным эталонным напряжением. При этом со скользящего контакта может быть получено измеренное напряжение U Wi измер., пропорциональное величине растяжения пружины (Х) под действующим на тело ускорением и снятое с потенциометра напряжение можно пересчитать либо в единицы линейного ускорения, например, в [м/сек2], либо в уровнях перегрузки, n =Wi измер / g0, где g0=9,81м/сек2 – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли. Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз ускорение, сообщаемое телу, превышает ускорение свободного падения, иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает обычную земную силу притяжения.
7.3 Описание принципа работы акселерометра.
Если корпус прибора покоится, т.е. не движется с линейным ускорением вдоль оси пружины прибора (назовём её измерительной осью прибора, вдоль которой производится измерение ускорения), то его пружина находится в свободном ненапряжённом (не сжата и не растянута) состоянии, тело прикреплённой к ней также сохраняет состояние покоя и показания прибора нулевые (нет ускорения). Когда ЛА начнёт разгон для набора скорости за счёт включения тяги двигателя на максимальный режим центр масс ЛА и все тела на борту аппарата начнут двигаться с ускорением, например, величиной Wi изм., то корпус прибора, с измерительной осью выставленной вдоль продольной оси ЛА, также начнёт ускоряться с этим же самым ускорением, поскольку прибор жёстко закреплён на ЛА. Тело, повешенное на пружине и стремящееся сохранить свою скорость по 1-му закону инерции, начнёт также разгоняться в сторону этого ускорения за счёт всё большего растяжения пружины и, соответственно, возрастающему усилию растянутой пружины в соответствии с законом Гука (по выр.4.2).
Через небольшой интервал времени (так называемую "постоянную времени прибора"), когда ускорение тела прибора сравняется с ускорением его корпуса величина растяжения пружины Х покажет на шкале пружины ускорение, измеренное прибором (см. выр.4.3).
Wтела = Wi изм. = Fпр / mтела = (k * X) / mтела ; (4.3)
Из 4.3 следует, что измеряемое ускорение однозначно определяется величиной растяжения пружины X (см. выр.4.4), поскольку коэффициент жёсткости пружины (k) и масса измерительного тела прибора (mтела) являются конструктивной постоянной прибора (k констр). А величины коэффициента жёсткости пружины и массы тела выбираются разработчиками прибора такими, чтобы обеспечить прибору требуемый диапазон измеряемых ускорений с учётом ограничений на длину прибора, а значит и на максимальный диапазон растяжений для пружины (Хмин-Х мах).
Wi изм. = (k / mтела ) * X = k констр * Х; (4.4)
7. О колебательном характере процесса измерении ускорения
Рассмотрим работу прибора при скачкообразном появлении внешнего УСКОРЕНИЯ, сообщаемого корпусу прибора скачком от нуля до некоторого значения (Wi измер.) постоянной величины (для простоты рассуждений), что имеет место, например, при включении двигателя самолёта на полную тягу в момент начала разгона самолёта.
Корпус прибора (будучи закреплённым на объекте, например, вдоль продольной оси самолёта) вместе с верхней точкой подвеса пружины к корпусу прибора начнёт двигаться с приложенным внешним ускорением (Wi измер.), однако тело подвешенное к противоположному свободному концу пружины в соответствии с 1-м законом инерции будет стремиться сохранить своё свободное неускоренное состояние покоя и расстояние между измерительным телом и точкой подвеса прижины к корпусу прибора начннёт возрастать, но при этом растяжение пружины Х начнёт увеличиваться, что приведёт к появлению в точке соединения пружины с телом соответствующей нарастающей упругой силы пружины: Fпр = k * Х , которая приведёт в соответствии со 2-законом Ньютона к появлению УСКОРЕНИЯ у тела, т.е. к его ускоренному движению в направлении упругой силы пружины:
(d2Х/dt2) = Fпр / mтела = (k * Х) / mтела (4.5)
При этом первый интеграл от этого ускорения даст скорость движения (V=dХ/dt) тела, а второй интеграл – величину отклонения пружины от её свободного состояния (Х).
Процесс увеличения растяжения пружины (Х) будет продолжаться пока всё возрастающая упругая сила пружины НЕ СООБЩИТ телу, подвешенному на пружине ускорение равное внешнему измеряемому ускорению (Wi измер.) . Когда внешнее ускорение корпуса прибора и ускорение тела, подвешенного на пружине, совпадут, то по величине растяжения пружины Х с учётом тарировки пружины (об этом несколько ниже) можно получить данные о величине внешнего ускорении Wi измер. Назовём эту величину растяжения пружины балансировочным значением измеренного внешнего ускорения (ХWiизм), а соответствующее ему напряжение сигнала прибора, снимаемое со щётки потенциометра, U Wi измер.
Однако процесс растяжения пружины в момент сравнивания внешнего ускорения с ускорением тела может и НЕ прекратится, а продолжиться и будет носить далее характер слабо затухающих синусоидальных колебаний относительно балансировочного значения ХWiизм. Колебательность тела на пружине появится, если в конструкцию прибора не будет заложено специальных мер демпфирования этих колебаний (см. Рис. 2 для случая с kдемпф1=0).
Причина этих колебаний в том, что незадемпфированное тело не остановится в момент совпадения ускорений корпуса и тела прибора, а продолжит движение в ту же сторону внешнего ускорения из-за набранной к этому моменту скорости тела (см. выше упоминание о первом интеграле от ускорения тела, равным скорости движения тела V) и будет в соответствии с 1-м законом инерции по-прежнему продолжать увеличивать растяжение пружины Х по инерции с набранной им скоростью. Теперь уже добавочная сила пружины из-за её дополнительного растяжения (Х-ХWiизм) начнёт процесс гашения этой скорости до нуля. После того как дополнительное растяжение пружины, вызванное инерцией тела за счёт набранной скорости, остановит тело, обнулив его скорость, оно начнёт своё ускоренное движение в обратную сторону к положению балансировочного значения (ХWiизм), потому что пружина будет растянута сверх балансировочного положения и избыточное растяжение пружины (Х >ХWiизм), которое погасило скорость движения тела до нуля, продолжит её уменьшать, вызвав рост скорости уже в обратном направлении. На обратном пути тело также может проскочить балансировочное положение ХWiизм, поскольку опять может накопить какую-то скорость в процессе ускоренного движения к положению равновесия, равную интегралу от ускорения, и процесс колебаний продолжится. Колебания измерительного тела смогут затухнуть ТОЛЬКО при наличии сил, тормозящих скорость перемещения тела, например, силы трения тела о стенки корпуса прибора.
7.5 Методы снижения колебательности процесса измерения ускорения
Для борьбы с колебательным характером переходного процесса от одного уровня измеряемого ускорения к другому новому значению, необходимо приложить к колеблющемуся телу дополнительную силу, тормозящую скорость его движения и пропорциональную величине скорости, т.е. демпфирующую (гасящую скорость тела) силу, выражаемую формулой:
Fдемпф.= - kдемпф * V; (4.6)
где: минус означает, что демпфирующая сила всегда направлена противоположно вектору скорости.
Если поделить демпфирующую силу на массу тела, то, в соответствии со 2-м законом получим величину ускорения (см. 4.7), гасящего избыточную скорость движения тела, что нам и нужно для демпфирования колебаний тела относительно балансировочного положения.
Wдемпф.= - (kдемпф *V) / m тела; (4.7)
Таких тормозящих сил есть немало в природе, например, это всем известная СИЛА ТРЕНИЯ измерительного тела о стенки цилиндра, относительно которых тело скользит и испытвает тормозящее влияние от силы трения. Однако технически сложно подобрать стабильную по условиям эксплуатации величину требуемого коэффициента демпфирования (kдемпф) для сил трения. Можно воспользоваться также СИЛОЙ ВОЗДУШНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ, когда воздух, заключённый с двух сторон от измерительного тела в герметичной области перемещения тела при движении тела сжимается в области, на которую надвигается измерительное тело и начинает перетекать в соседнюю высвобождаемую телом область с разряжением воздуха через специально спрофилированные продольные шлицы с определённой калиброванной площадью. При этом тело выполняет роль поршня сжимающего воздух и чем меньше площадь щели для перетекания воздуха тем сильнее сжимается воздух и растёт сила, противодействующая перемещению тела, иначе говоря тем больше значение коэффициента демпфирования kдемпф. Вспомните, например, резкий рост ваших усилий при попытке увеличения скорости накачивания велосипедным насосом.
Регулируя величину площади сечения для перетекания воздуха между полостями разделёнными измерительным телом) можно подобрать такое значение kдемпф у прибора, при котором переходный процесс будет носить быстрозатухающий колебательный характер и даже апериодический, т.е. плавно подходящий к значению ХWiизм (без перерегулирования), т.е. Х(t) =< ХWiизм. (см., например, на Рис.2 процесс при kдемпф3).
Однако, у всех без исключения способов демпфирования есть общий неизбежный недостаток, связанный с тем, что введение дополнительных сил демпфирования СНИЖАЕТ скорость растяжения пружины (dX/dt) в сравнении с вариантом без демпфирования (kдемрф=0). Поэтому время выхода на момент измерения, когда Х ~= ХWiизм, (т.е. величина постоянной времени акселерометра, которую желательно иметь как можно меньше для снижения запаздывания при управлении подвижными маневрирующими ЛА типа зенитных ракет) будет несколько больше, чем при слабозатухающем процессе.
Но и показания слабозатухающего переходного процесса (с kдемпф1=0) нам вовсе не нужны из-за их замусоренности свободными колебаниями измерительного тела не имеющими ничего общего с реальным измеряемым ускорением. Апериодический процесс измерения (с kдемпф3) весьма затянут по времени нарастания выходного сигнала и также вносит свои искажения, состоящие в занижении показаний относительно реального измеряемого ускорения. При интенсивном входном знакопеременном измеряемом ускорении его показания будут сильно занижены относительно реального измеряемого ускорения.
В итоге, на практике выбирают обычно вариант с kдемпф=kдемпф2 с небольшим забросом в 5-10% от ступенчатого входного уровня измеряемой величины (кривая синего цвета) и обладающий неплохой средней скоростью нарастания выходного сигнала при некоторой неизбежной дополнительной потере в быстроте реакции прибора на входное ускорение (небольшом росте постоянной времени запаздывания) мы получаем лучшую точность измеренного ускорения, менее «засорённую» паразитными собственными колебаниями измерительного тела в переходном процессе измерения. (сравните три процесса на Рис.2 ).
Можно также привести ещё один пример уже электромагнитного демпфирования колебаний, когда электропроводящая пластинка, закреплённая на теле акселерометра будет перемещаться вместе с ним без физического контакта над постоянным линейным магнитом, закреплённым в корпусе прибора. При относительном перемещении в пластинке за счёт поля магнита в ней будут наводиться токи (так называемые токи Фуко), которые взаимодействуя своими полями с полем внешнего постоянного магнита будут тормозить скорость относительного перемещения пластинки над магнитом. Этот метод демпфирования часто используют в стрелочных электроизмерительных приборах для демпфирования колебаний измерительной стрелки.
7.6 О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты.
Как уже отмечалось выше, акселерометр принципиально не способен измерять ускорение, вызванное действием гравитации на прибор, т.к однородное гравитационное поле, воздействуя ОДИНАКОВО на все элементарные массы прибора, сообщает ОДНО И ТО ЖЕ УСКОРЕНИЕ всем частям прибора и поэтому НЕ ВОЗНИКАЕТ НИКАКИХ РАЗНОСТНЫХ СИЛ между подвижной и неподвижными частями прибора, а поскольку нет разностных сил, то и нет перемещений, нет растяжения пружины и нет никаких показаний прибора.
Поэтому УСКОРЕНИЕ свободного падения космического корабля на какую-либо планету или Солнце под действием их гравитационного притяжения НЕ МОЖЕТ БЫТЬ измерено на борту корабля никакими внутренними приборами без привлечения какой-либо дополнительной внешней информации о притягивающей нас планете или звезде.
Измерить в космическом полёте гравитационное ускорение от ближайшей планеты можно только с првлечением на помощь ВНЕШНЕЙ информации, например, при локации планет радиолучом с получением отраженного сигнала и выделением информации о скорости сближения с притягивающей планетой и вычислении производной от скорости для определения ускорения в направлении на планету, либо с применением обработки оптических данных по временному параллаксу центра притяжения на фоне неподвижных звёзд.
В режиме «свободного падения» физическое ощущение состояния «невесомости» человеком никак не будет зависеть, как и у акселерометра, от самой величины гравитационного ускорения будь оно величиной 1*g (при полёте вокруг Земли в орбитальной станции) или, например, 25*g (при свободном падении на Юпитер).
Это поразительный случай воздействия на человека гравитационной ускорения от воздействия массовой силы притяжения, когда он может лететь с любым по величине линейным ускорением, не ощущая никакой физической нагрузки от величины этого ускорения на свои внутренние органы, а находясь лишь в сотоянии лёгкой «невесомости». Поскольку человек при свободном падении к притягивающему центру планеты, как и акселерометр, НЕ испытывает действия дополнительных разностных внутренних сил, поддерживающих внутренние органы человека относительно его скелета в нужном положении, (например, как брюшная мышечная диафрагма удерживает верхнюю массу органов человека от их опускания вниз к тазу под действием сил притяжения на поверхности Земли), поскольку все его органы и скелет летят с одинаковым гравитационным ускорением и нулевыми относительными скоростями.
Практика показала, что максимально-допустимое для здоровья человека ускорение от внешних негравитационных сил, например, от аэродинамической подъёмной силы, при совершении самолётом интенсивных манёвров уклонения, составляет порядка (8-12)*g даже для тренированных лётчиков (и то в течение нескольких секунд) с использованием специальных противоперегрузочных костюмов. Естественно, наибольшую перегрузку человек может выдержать в лежачем положении относительно вектора действия перегрузки в направлении грудь-спина, т.е. в направлении, перпендикулярном позвоночнику тела, а не вдоль его, поскольку при этом величина возможных смещений внутренних органов при появлении в органах сил, противодействующих большим перегрузочным силам, гораздо меньше, чем в направлении вдоль позвоночника и тем самым снижается величина опасных больших относительных растяжений внутренних органов, могущих привести к разрыву тканей внутренних органов.
7.7 Тарировка акселерометра
Несмотря на то, что акселерометр не может в принципе измерять ускорение от действия гравитации, однако, если его поставить продольной осью вертикально на поверхность Земли, то он покажет ускорение, численно равное гравитационному ускорению g0 = 9.8 м/сек2 , правда, направленному в другую сторону, т.е. вверх, хотя при этом корпус прибора покоится на Земле с нулевым истинным ускорением!
Кажущийся парадокс объясняется тем, что акселерометр при этом измеряет не ускорение гравитации, а ускорение от ДРУГОЙ СИЛЫ – СИЛЫ ОПОРЫ корпуса на Землю, которая численно равна силе притяжения к Земле в соответствии с 3-им законом Ньютона , т.к. тело находится в покое на поверхности земли и обе силы друг друга уравновешивают. Однако из двух взаимно-уравновешенных сил прибор может реагировать ТОЛЬКО на одну из сил – на реакцию опоры Земли и измеряет её величину, передаваемую от корпуса прибора через верхнюю точку подвеса на пружину, идущую к измерительному телу, т.е. для тела акселерометра реакция опоры земли является ВНЕШНЕЙ негравитационной силой, ускорение от которой он и измеряет.
И, наоборот, если акселерометр начнёт свободно падать с некоторой высоты под действием только одной гравитационной силы притяжения Земли, то пружина его примет своё несжатое свободное ненапряжённое состояние и прибор покажет НУЛЕВОЕ ускорение, поскольку все элементарные массы частей прибора испытываю ОДНО И ТО ЖЕ ускорение свободного падения, но при этом НИКАКИХ РАЗНОСТНЫХ УСКОРЕНИЙ между корпуса прибора и его измерительным телом НЕТ, то и измерить ускорение он не может, хотя весь прибор пребывает в состоянии свободного падения под ДЕЙСТВИЕМ ОДНОЙ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли и падает с ускорением свободного падения, равным g, а показания его будут всё равно нулевыми, не зависящими от величины реального гравитационного ускорения свободно падающего тела.
В условиях полёта над Землёй эту ошибку в показаниях ВЕРТИКАЛЬНОГО ускорения на 1*g компенсируют довольно просто за счёт программного вычитания из измеренного вертикального «кажущегося» ускорения расчётной величины ускорения g(h) с учётом её зависимоcти от высоты полёта над Землёй (см выр.6.7).
Немного о тарировке показаний акселерометра.
Для точной тарировки акселерометра в широком диапазоне измеряемых ускорений можно использовать, например, вращающуюся центрифугу, предварительно направив измерительную ось акселерометра точно на ось вращения центрифуги, и замеряя при этом сигнал напряжения с акселерометра и ставя ему в соответствие расчётную величину центростремительного ускорения, определяемую по известной формуле:
Wцентр.= Ω2 * R;
где: Ω - угловая скорость вращения центрифуги в [рад/сек], а R – расстояние в [м] от оси вращения до акселерометра, а точнее - до центра масс измерительного тела, подвешенного на пружине.
Кроме того, прибор можно промасштабировать не в только единицах линейного ускорения в [м/сек2], а и в уровнях перегрузки, n = Wi измер / g0, где g0 = 9,81м/сек2 – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли. Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение свободного падения, или иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает нормальную силу веса земной гравитации.
При этом вполне допустим и нелинейный характер тарировочной кривой с отступлением от области линейной упругости пружины при крайних значениях ускорений, лишь бы характеристики жёсткости пружины были стабильны и повторяемы при повторных циклах измерений (т.е. при отсутствии остаточных деформаций у измерительной пружины прибора) и тогда точное измеренное значение ускорения будет определено с учетом его тарировочного графика.
8. Пример использования акселерометров
в системах управления летательными аппаратами.
Для измерения величины ускорения, с которым движется вдоль заданного направления какой-либо объект, например, самолёт или ракета, следует использовать акселерометр, измеряющий линейное ускорение вдоль своей измерительной оси.
Для определения полного вектора ускорения объекта, летящего в трёхмерном пространстве, например, самолёта или ракеты, необходимо и достаточно расположить ТРИ датчика ускорений по трём декартовым взаимно-перпендикулярным осям (OX1, OY1, OZ1) , связанными с телом, (см.рис.3). Этих 3-х датчиков будет необходимо и достаточно, чтобы определить пространственную траекторию движения данного объекта в 3-мерном пространстве, и его полную СКОРОСТЬ и УСКОРЕНИЕ относительно земной системы координат (с.к.) .
При этом надо только предварительно пересчитать (спроектировать) измеренные ускорения из связанной системы координат объекта (OX1, OY1, OZ1) в земную систему координат (OXз, ОYз, OZз). А для этого на борту объекта понадобятся ещё дополнительные гироскопические приборы для определения УГЛОВОГО положения объекта (углы тангажа, рыскания и крена) относительно земной системы координат. Методика проектирование ускорений между связанной и земной системами координат в данной статье рассматривать не будем.
Затем, за счёт интегрирования УСКОРЕНИЙ, спроектированных в земную систему координат, получим сначала проекции СКОРОСТЕЙ движения относительно земной системы координат, а после интегрирования скоростей получим и ДЕКАРТОВЫЕ КООРДИНАТЫ объекта в земной с.к., т.е. его полную траекторию.
Кстати, по вертикальной оси земной системы координат OYз надо добавить ускорение свободного падения g(h) со знаком минус (см.ниже выр. 6.7), к измеренному акселерометром «кажущемуся» вертикальному ускорению поскольку, как уже неоднократно отмечалось, он не способен измерять ускорение от воздействия гравитации Земли на движение летательного аппарата. Это и понятно, т.к. например, в горизонтальном полёте акселерометр измерит вертикальное ускорение от подъёмной силы корпуса, равной численно силе притяжения аппарата к земле. Вычтя из этого измеренного ускорения акселерометра, называемого «кажущимся», и численно равного g , вышеупомянутую поправку в виде (– g) , получим в сумме НУЛЕВОЕ вертикальное ускорение, а, следовательно, и нулевую вертикальную скорость в режиме горизонтального полёта, что полностью соответствует горизонтальному полёту летательного аппарата.
P.S. Следующая публикация будет на тему вывода уравнений для скорости и ускорения тел для так называемого (в теоретической механике) "сложного движения" точки, позволяющих распространить методику расчёта динамики движения тела, применяемую в инерциальных системах с использованием законов Ньютона, на неинерциальные вращающихся системы и движущиеся в общем случае с линейным ускорением начала системы координат.
Георгий 01.03.2020г. 23ч55мин время Моск.
Уважаемая Полина!
Сергея Дроздова Вы очень поддержали. Последние новости были, что он поступил в аспирантуру. Я тоже его вспоминаю и хотела бы больше знать о его делах.
Уважаемая RMR_astra, слово телескоп у меня тесно связано с именем Сергей Дроздов. Сергей был по-настоящему влюблен в астрономию. На одной из лекций по космосу учитель из Вешкаймы рассказал, что у него в классе есть ученик, который из кастрюли сделал телескоп и каждую ночь смотрит через это приспособление в небо. Запрещают родители, учителя, потому что на уроках он просто засыпает, но с его упорством справиться не могут.
Где-то на нашем сайте есть комментарий Сергея под сообщением о создании нового телескопа, в котором он написал, что, наверное, умер бы от голода рядом, его бы не смогли оторвать от такого телескопа.
Сергей Дроздов стал профессиональным астрономом, из сельской школы поступил и уже окончил Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга (ГАИШ).
Серёжа, мы помним о тебе, ты и нас воодушевил своей мечтой.
Уважаемый Георгий!
С интересом прочла Вашу последнюю статью. Со всем согласна. Приливы и отливы наблюдаются на Земле и в океанах, и, несравненно меньшей амплитуды, на суше. На Луне из-за наступившей синхронизации выпуклости не смещаются, поэтому Луна имеет яйцеобразную форму.
Я совершенно с Вами согласна, что одновременно действуют и оказывают влияние разные явления. Следующая цитата полнее объясняет причины разогрева Ио.
«В настоящее время наиболее вероятным энергетическим источником вулканизма на Ио считают приливный разогрев недр спутника. Как и большинство спутников в Солнечной системе, Ио обращается вокруг Юпитера синхронно, т.е. период осевого вращения спутника равен периоду его обращения вокруг планеты. Ио находится на орбите близко расположенной к Юпитеру, в результате чего образуется приливной горб величиной в несколько километров. Небольшой эксцентриситет орбиты (0,004) приводит к явлениям, аналогичным либрациям Луны в процессе ее вращения вокруг Земли. Одновременно, под влиянием соседних Европы и Ганимеда возникают возмущения эксцентриситета орбиты, что вызывает периодические изменения амплитуды приливных деформаций в коре Ио. Такая постоянная пульсация предположительно тонкой коры (толщиной не более 20 - 30 км) обеспечивает энерговыделение, достаточное для расплава недр спутника, что и выражается в интенсивной вулканической активности» (В.В.Шевченко «Наша уникальная Солнечная система»).
Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?
У многих (и даже весьма продвинутых "специалистов") этот вопрос заканчивается ответом, что, видимо, Закон притяжения Ньютона не работает, поэтому ответим на этот вопрос подробно с разбором типичных ошибок в трёх пунктах в полном соответствии с законами механики Ньютона.
Во-первых, если в вопросе сравнивается влияние силы гравитационного притяжения между Луной и Солнцем с силой притяжения между Луной и Землёй, то следует быть последовательным до конца и обязательно учитывать силу притяжения Солнцем не только Луны, но и Земли.
Во-вторых, РАССМАТРИВАТЬ ВЛИЯНИЕ на относительное движение двух тел в общей постановке с учётом третьего тела (Солнца) ТОЛЬКО ВЕЛИЧИН СИЛ (или ИХ ОТНОШЕНИЙ) БЕЗ ПЕРЕСЧЁТА ЭТИХ СИЛ В УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых двух тел, обладающих к тому же разными массами, с позиций законов механики просто НЕГРАМОТНО, хотя именно в данной конкретной формулировке рассмотрения сил, приложенных только к одному и тому же телу (Луне) допустимо.
Из второго закона следует, что для РАСЧЁТА ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА НЕОБХОДИМА только ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, вызываемого воздействием на тело РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ВСЕХ СИЛ и отнесённой (для пересчёта в ускорение) к МАССЕ тела.
Типичный пример из космоса: массы у взаимно притягивающихся тел, как правило, РАЗНЫЕ, а силы притяжения друг к другу ОДИНАКОВЫЕ (см. чуть ниже Закон всемирного тяготения – он ведь одинаков для притягивающихся друг к другу тел: сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс взаимно притягивающихся тел), поэтому, например, ускорение сближения Луны в сторону Земли как более лёгкого тела будет в 81 раз больше ускорения сближения Земли с Луной только потому, что масса Земли во столько же раз больше массы Луны. Показательный пример влияния инерционности тел (их массы) на ускорения тел.
В ИГНОРИРОВАНИИ второго ЗАКОНА МЕХАНИКИ И КРОЕТСЯ ОСНОВНАЯ ОШИБКА в постановке данного вопроса о Луне. Для анализа движения тел ВАЖНЫ НЕ ВЕЛИЧИНЫ СИЛ или ИХ ОТНОШЕНИЙ ДРУГ К ДРУГУ, а УСКОРЕНИЯ, вызываемые воздействием эти сил и определяемые с учётом влияния свойства инертности тел (их массы).
Далее обратимся к закону всемирного тяготения Ньютона и проанализируем , вытекающую из этого закона, формулу для гравитационного ускорения тел, притягиваемых Солнцем:
Fs = G · m · Ms / R2 = (G · Ms / R2) · m = gs · m; (1) где: gs = G · Ms / R2; (2)
где: Fs[Н] - сила притяжения Солнцем тела массой m[кг] ,
G – гравитационная постоянная (G = (6,6726±0,0005)·10-11 H · м2· кг-2. )
Ms[кг] - масса Солнца, R[м] - расстояние от центра масс тела до центра масс Солнца,
gs[м/сек2] - гравитационное центростремительное ускорение, приложенное к центру масс притягиваемого тела (массой m), находящегося на расстоянии R от центра масс Солнца.
Из выражения (2) следует, что ВЕЛИЧИНА ГРАВИТАЦИОННОГО УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем (gs) ЗАВИСИТ ТОЛЬКО ОТ РАССТОЯНИЯ до его центра масс (в обратной квадратической зависимости от расстояния) и НЕ ЗАВИСИТ ОТ ВЕЛИЧИНЫ МАССЫ ПРИТЯГИВАЕМОГО ТЕЛА! ВСЕ ТЕЛА на одном и том же расстоянии от Солнца УСКОРЯЮТСЯ К СОЛНЦУ С ОДИНАКОВЫМ ГРАВИТАЦИОННЫМ УСКОРЕНИЕМ (от пера и молотка до Луны и Земли).
Благодаря этому уникальному свойству СИЛУ гравитационного ПРИТЯЖЕНИЯ И СИЛЫ ИНЕРЦИИ физики выделяют особо и называют их МАССОВЫМИ СИЛАМИ (в отличие от всех остальных физических (ВНЕШНИХ по отношению к телу) сил, например, силы тяги реактивного двигателя или силы сопротивления воздуха), т.е. силами действующими одинаково на каждую единицу массы внутри любого тела, а полная (суммарная) сила (от воздействия единичных массовых сил на тело), естественно, пропорциональна ВЕЛИЧИНЕ МАССЫ ТЕЛА m и определяется как произведение массы тела, либо на гравитационное ускорение тела: Fs = gs · m (сила притяжения), либо на линейное ускорение Fi = а · m (сила инерции). Кстати, масса, учитываемая в формуле для силы притяжения называется ГРАВИТАЦИОННОЙ, а для сил инерции - ИНЕРЦИОННОЙ. У физиков были подозрения об их возможном различии, но на сегодняшний день они считаются практически СОВПАДАЮЩИМИ по величине., т.е. механизм воздействия сил гравитации и сил инерции осуществляется через одну и ту же массу тела.
Рассчитаем величину гравитационного ускорения от притяжения Солнцем на расстоянии радиуса орбиты Земли (орбита Земли близка к круговой):
g солнце-земля = G · Ms / (Rs-земля)2 = 6.67·10-11 · 1.99·1030 /(1.49·1011)2 = 5.98·10-3 [м/сек2].
Как видим, ускорение свободного падения Земли на Солнце невелико (~0,006 [м/сек2])из-за очень большого расстояния до Солнца (149,6 млн.км).
Что же мы видим (для многих это станет большой новостью): с одной стороны, с точки зрения закона всемирного притяжения, практическое РАВЕНСТВО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ ДЛЯ ЛУНЫ И ЗЕМЛИ под воздействием СИЛ притяжения Солнцем из-за практически одинакового расстояния до Солнца, а, с другой стороны, СИЛЫ притяжения Луны и Земли к Солнцу, отнесённые к равным по величине силам взаимного притяжения Луны и Земли, составляют 2-2,5 раза (для Луны) и 178 раз (для Земли), что вызвано различием в ~ 81 раз их масс.
Как говорится, почувствуйте РАЗНИЦУ В РЕАЛЬНОМ ВЛИЯНИИ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем, выраженную в УСКОРЕНИЯХ для Луны и Земли (ОНИ ОДИНАКОВЫЕ) и в ВЕЛИЧИНАХ (относительных) тех же самых СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ к Солнцу, сообщивших эти одинаковые ускорения (САМИ СИЛЫ СУЩЕСТВЕННО РАЗНЫЕ из-за различия их масс!: 2-2,5 и 178) Хотя кто-то решит, что в "попугаях" (отношениях сил) он подлиннее будет. Да разве из РАССМОТРЕНИЯ СИЛ для Луны и Земли можно увидеть хоть какой-нибудь намёк на то, что они одновременно падают практически С ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ центростремительным УСКОРЕНИЕМ к Солнцу?
Поскольку Луна изменяет своё расстояние до Солнца относительно орбиты Земли максимум на ~ 405 700км, то это приводит к изменению относительно среднего солнечного гравитационного ускорения для Луны (5,98 ·10-3 ) на +- 0.03[м/сек2], что составляет не более, чем +- 0.5% в моменты нахождения Луны в областях, близких к прямой линии Солнце-Земля, т.е. в моменты новолуния или полнолуния. Поэтому с достаточной для практики точностью, можно считать гравитационное поле Солнца практически ОДНОРОДНЫМ (постоянным) вдоль траектории Земли и в пределах области, «ометаемой» радиусом-вектором Луны в относительном вращении вокруг Земли.
В третьих, однородность (постоянство) центростремительного ускорения означает, что ВСЕ тела, вращающиеся вокруг Земли (предлагаю назвать их «Земной группой тел», включая Луну и орбитальные спутники Земли или Луны), вместе со своим местным основным «гравитатором» (Землёй) свободно падают на Солнце с практически одним и тем же центростремительным гравитационным ускорением.
Примечание: слово «гравитатор», удобное для рассуждений, присваиваем САМОМУ массивному телу из некоторой совокупности тел составляющих гравитационную группу, УДЕРЖИВАЕМУЮ этим «гравитатором» на орбитах вокруг себя на его гравитационном "поводке". Именем «гравитатора» и называется группа рассматриваемых тел, вращающихся вокруг него. Например, Солнечная система («гравитатор» - Солнце, которое удерживает все планеты с их спутниками и прочие тела Солнечной системы), Земная группа тел («гравитатор» - Земля, удерживающая Луну и все их спутники).
Возникает вполне очевидная идея мысленно ВЫЧЕСТЬ ПОСТОЯННЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца из центра масс каждого тела Земной группы (включая и Землю) ведь ПРИ ЭТОМ ПРАКТИЧЕСКИ НИЧЕГО НЕ ИЗМЕНИТСЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ движения тел Земной группы, т.к. они в наших расчётах ВСЕ ПЕРЕСТАНУТ ОДИНАКОВО УСКОРЯТЬСЯ к центру масс Солнца, сохраняя относительные скорости и положения между собой, а в уравнениях для тел останутся лишь ускорения от ВЗАИМНЫХ ПРИТЯЖЕНИЙ МЕЖДУ ВСЕМИ ТЕЛАМИ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ. Эта идея не нова и была высказана ещё А.Эйнштейном в его мысленном примере со СВОБОДНО ПАДАЮЩИМ к центру Земли ЛИФТОМ и телами в нём (так называемый «Лифт Эйнштейна»). Если сказать кратко, то это метод ОБРАЩЕНИЯ движения в обратную сторону на одну и ту же величину вектора гравитационного ускорения от Солнца для рассматриваемой нами Земной группы тел.
Такой подход фактически приводит к ЗАМЕНЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ для расчёта траекторий: вместо СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ (с полной постановкой задачи движения для "трёх тел", учитывающей ускоренное движение к Солнцу и, естественно, с расстояниями в ~150 млн.км от Солнца до Земли и Луны) ПЕРЕХОДИМ К ЗЕМНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ (невращающейся) СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с рассмотрением задачи движения "двух тел", в которой УЖЕ НЕТ УЧЁТА ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА, а расстояния не превышают размеров самых дальних орбит для Земной группы тел, например, для Луны с радиусом орбиты до ~400 тыс.км.
Кстати, в солнечной системе координат траектория Луны выглядит весьма необычно для земного наблюдателя: в виде узенькой растянутой спиральки намотанной на почти круговую орбиту Земли с 13 периодами спиральки (полнолуний) за год обращения Земли вокруг Солнца, и амплитудой отклонений Луны от орбиты Земли +- 0,4 млн.км при радиусе орбиты Земли 149,6 млн.км. Но этот вид доступен для наблюдателя из космоса, находящегося над Солнцем и смотрящего по нормали на плоскость орбиты Земли.
Конечно, надо сразу отметить, что этот приём НЕ АБСОЛЮТНО ТОЧЕН, А ПРАКТИЧЕСКИ ТОЧЕН, поскольку гравитационное поле от ускорения притяжения Солнцем Земли и Луны немного ИЗМЕНЯЕТСЯ ПО ВЕЛИЧИНЕ (+- 0.5% в крайних участках орбиты Луны относительно Солнца из-за изменения расстояния до него, да И ПО НАПРАВЛЕНИЮ (из-за вращения Земли вокруг Солнца в один оборот за год), что и приводит к НЕОДНОРОДНОСТИ этого поля, которая повлечёт за собой постепенное накопление ошибок в расчётах в сравнении с полной постановкой движения "трёх тел" в Солнечной системе координат. Однако это весьма небольшие относительные ошибки второго порядка малости и их можно устранить несложными мерами.
В итоге, с достаточной для практики точностью, можно рассчитывать относительные траектории тел внутри Земной группы в ЗЕМНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с учётом всех внутренних гравитационных сил взаимного притяжения между телами земной группы, ПОЛНОСТЬЮ ИСКЛЮЧИВ из уравнений движения УЧЁТ ВНЕШНЕГО ДЛЯ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ центростремительного УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА С УЧЁТОМ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ для сегодняшней орбиты Луны вокруг Земли.
Как оказалось, практически нас не должны волновать силы притяжения Солнцем Луны и Земли при рассмотрении вращения Луны вокруг Земли. Зря в рассматриваемом вопросе сравнивается сила взаимного притяжения Луны и Земли с силой притяжения от Солнца, т.к. силы притяжения Солнца сообщают ВСЕМ ТЕЛАМ Земной группы ОДИНАКОВЫЕ центростремительные УСКОРЕНИЯ, которые «работают» ЛИШЬ НА ПЛАВНОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ИХ ПОЛЁТА вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ ОДИНАКОВОЕ ДЛЯ ВСЕЙ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ: Земли (до почти круговой орбиты) и Луны с едва заметной (под микроскопом) спиралевидностью относительно основной круговой орбиты Земли из-за того что она является спутником Земли), практически не влияя при этом на относительные движения тел Земной группы. Благодаря хорошей ОДНОРОДНОСТИ гравитационного ускорения от Солнца в области орбит Земной группы тел нет и практически заметного влияния Солнца на относительную траекторию Луны вокруг Земли. В итоге, удалось упростить расчёт траекторий с полной постановки "задачи трёх тел" (Солнце, Земля и Луна) до более простой "задачи двух тел" (Земля и Луна), отказавшись при этом от учёта сил притяжения Солнцем на Землю и Луну из-за практического равенства ускорений, вызываемых этими силами.
Для дальнейшего повышения точности расчётов в Земной системе координат очевиден весьма простой и понятный способ повышения точности расчётов в Земной инерциальной системе координат за счёт введения небольших ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК к УСКОРЕНИЯМ всех тел Земной группы, вычисленных в виде ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ УЧИТЫВАЕМОГО ВОЗМУЩАЮЩЕГО ФАКТОРА: ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ для каждого из анализируемых тел, (в нашем случае Луны), ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАЧЕНИЯ ЭТОГО ЖЕ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ЦЕНТРЕ ЗЕМНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, в котором поправка , естественно, всегда нулевая по определению! Действительно, ну зачем учитывать полный эффект от практически одинакового для всех тел полного вектора ускорения от Солнца (нас ведь не интересует как все тела с одинаковым ускорением "падают" на Солнце, а круговую орбиту Земли мы можем рассчитать отдельно, да и от траекторных "спиралек" Луны в Солнечной системе координат нам нет никакого толку. А вот для повышения точности расчёта траектории Луны относительно Земли, естественно, подходит Земная инерциальная (невращающаяся) система координат. При этом целесообразно использовать метод ПОПРАВОК, состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых тел относительно значения этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в центре Земной инерциальной системы координат, иначе говоря, ЭТО ТОЧНЫЙ УЧЁТ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем для Земной группы тел.
Кстати, при таком ВЕКТОРНОМ подходе УЧИТЫВАЮТСЯ НЕ ТОЛЬКО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН ВЕКТОРНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнца, НО И МЕДЛЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ (поворот на один оборот за год) ОДНОРОДНОГО "ПОЛЯ" ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА относительно начала Земной инерциальной (невращающейся) системы координат . Информация о положении Солнца относительно Земной группы тел ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ РАСЧЁТА НЕБОЛЬШИХ ПОПРАВОК ОТ ОДНИХ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от Солнца С УЧЁТОМ НАПРАВЛЕНИЯ на Солнце и РАССТОЯНИЯ до него.
Нам ничто не помешает, применить этот же подход к учёту гравитационных возмущений от любых планет Солнечной системы. Аналогично можно применить эту методику для расчета движения, например, «лунника», вышедшего на орбиту вокруг Луны уже в Лунной системе координат, игнорируя при этом полный вектор ускорения притяжения от Земли, но учитывая его неоднородность (изменение) относительно центра масс Луны для спутника на орбите Луны методом поправок (приращений) и также поступить с векторами любых других возмущающих ускорений, например, от Солнца и остальных его планет. При этом придётся определять НАПРАВЛЕНИЯ и РАССТОЯНИЯ до учитываемых "возмутителей" с их ГРАВИТАЦИОННЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ УСКОРЕНИЕМ, НО НЕ В ЕГО ПОЛНОМ ВИДЕ, а только В ВИДЕ ВЕКТОРНОГО ОТКЛОНЕНИЯ (приложенного в рассчитываемому телу ) ОТ ЕГО ЖЕ возмущающего ЗНАЧЕНИЯ относительно центра выбранной системы координат, т.е. с учётом только одной НЕОДНОРОДНОСТИ от возмущающего ускорения.
В итоге, вопрос о возможном сходе Луны с орбиты вокруг Земли с УЧЁТОМ РАССМОТРЕНИЯ ВЕЛИЧИН СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ (или СООТНОШЕНИЯ СИЛ ), ДЕЙСТВУЮЩИХ на Луну от Солнца и от Земли , НЕ МОЖЕТ ДАТЬ, в принципе, ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА из-за своей ОШИБОЧНОСТИ по причине ПРАКТИЧЕСКИ НЕЗАМЕТНОГО ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА НА ОРБИТУ Луны вокруг Земли ПРИ СУЩЕСТВУЮЩИХ на сегодня РАССТОЯНИЯХ от Земли до Луны (~ 400 тыс.км). Из всего вышеизложенного вытекает, что ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЁТОВ ТРАЕКТОРИЙ ТЕЛ ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем по законам механики НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ, зависящее от разности расстояний Луны и Земли относительно Солнца, иначе говоря, надо рассматривать влияние на орбиту Луны вокруг Земли ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ (ПРИРАЩЕНИЯ) СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнца, вычисляемую относительно Земли.
Если теоретически рассмотреть постепенное увеличение размеров орбиты Луны относительно существующей на сегодня, то рост неоднородности притяжения Солнца приведёт к нарастающему смещению (деформации) условной середины орбиты Луны оносительно Земли в сторону Солнца вплоть до момента схода Луны с орбиты Земли на минимальных расстояниях от Солнца, когда ПРИРАЩЕНИЕ силы притяжения Луны Солнцем (рассчитанное относительно значения этой же силы для центра масс Земли) , отрывающее Луну от Земли, приблизится по своей величине к силе притяжения Луны Землёй и скомпенсирует её воздействие на Луну. Здесь, для простоты рассуждений, допустимо рассуждать в терминах сил, поскольку все они воздействуют на одно и то же тело (Луну), но надо всегда переходить от сил, поделив их на массу тела, к ускорениям тела.
Однако вернёмся от катаклизмов к устоявшимся веками орбитам космичесих тел: ЛЮБАЯ ПЛАНЕТА со своими спутниками в Солнечной системе ЯВЛЯЕТСЯ в гравитационном рассмотрении вполне АВТОНОМНОЙ (самостоятельной) СИСТЕМОЙ, неплохо "защищающей" орбиты своих спутников от гравитационного влияния (возмущения) ВНЕШНЕГО "гравитатора" ( например, Солнца) по отношению к местному "гравитатору" (Земле) БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ в определённой окрестности относительно центра масс местного "гравитатора" ЗОНЫ С ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТЬЮ гравитационного УСКОРЕНИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ ВНЕШНЕГО "ГРАВИТАТОРА" из-за большого расстояния до него.
А ведь, действительно, в чём-то и правы оказались наши предки, считая, что Солнце вращается вокруг Земли и поэтому мы можем спокойно не учитывать его влияния на наши дела в Земной группе. И хотя это, конечно же, шутка, но в ней есть и большая доля правды: каждый МЕСТНЫЙ "ГРАВИТАТОР" со своей группой тел ПО ОТНОШЕНИЮ К СВОЕМУ ВНЕШНЕМУ "ГРАВИТАТОРУ" ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО УМЕНЬШЕННОЙ МАЛОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ И ВПОЛНЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ КОПИЕЙ, например, Земная группа тел является малой копией самой Солнечной системы. Земная группа тел всегда готова отправиться в самостоятельный полёт в космос, покинув Солнечную систему, вместе со своими спутниками и Луной в поисках нового для себя внешнего "гравитатора", если сможет сойти с орбиты вокруг Солнца, получив, например, необходимую для этого немалую дополнительную скорость для этого ухода, например, за счёт появления большой неоднородности возмущающего ускорения при сближении двух разных галактик на близкое расстояние. Так же и Солнечная система, в свою очередь, является миниатюрной копией звёздного скопления нашей галактики «Млечный путь», а наша галактика - миниатюрой копией в ближайшем скоплении галактик в Метагалактике и т.д. Причём каждая из них живёт по своим гравитационным законам от своего основного местного «гравитатора» для рассматриваемой группы тел, траектории которых могут заметно возмущаться в движениях вокруг него ЛИШЬ ПРИ ДОВОЛЬНО БОЛЬШИХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ от вышестоящего по иерархии БЛИЖАЙШЕГО ВНЕШНЕГО «ГРАВИТАТОРА». Чёткая гравитационная иерархия, напоминающая армейскую иерархию (Главнокомандующий руководит Всеми починёнными ему силами через приказы своему ближайшему, нижестоящему по должности, командующему, а тот - своему нижестоящему и т.д. до солдата. Вот только интересно, кто выступает в роли Главнокомандующего "гравитатора" в космосе, очень надеюсь, что это не "тёмные" силы, а что-то светлое).
Как видим, вышестоящий по массе «гравитатор», например, Солнце, не даст раздуться "местной лягушке" (Земной группе тел) "до размеров вола" за счёт высоких орбит её спутников, и сорвёт их с орбиты вращения вокруг Земли за счёт неоднородности своего влияния, сделав их своими солнечными спутниками. Луна пока ещё спутник Земли, но если она будет и дальше по непонятным причинам продолжать удаляться от Земли на несколько сантиметров в год, то сойдёт с орбиты спутника Земли на самостоятельную солнечную орбиту, избавившись при этом от существующих сейчас малозаметных 13 годовых спиралек на своей новой солнечной орбите и может быть повышена до статуса планеты, а нашим потомкам придётся создавать искусственное освещение в ночное время с земной орбиты спутниковыми "зонтиками" из почти невесомой отражающей солнечный свет плёнки (это уже не шутка: китайцы уже провели первые орбитальные испытания с целью экономии на освещении по ночам).
Поскольку "повторение - мать учения", то подведём основные итоги:
1. Надо быть внимательными при постановке задач расчёта траекторий и учитывать влияние притяжения от какого-либо тела для всех остальных рассматриваемых тел БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЙ. Если, например, учитываем притяжение Луны Солнцем, то это уже задача движения "Трёх тел", рассматриваемая в Солнечной системе, и необходимо учесть так же и силу притяжении Земли Солнцем.
2. Крайне ОШИБОЧНО пытаться оценивать движение тел (хотя бы и качественно: сойдёт или не сойдёт Луна с орбиты вращения вокруг Земли) ПО ВЕЛИЧИНАМ СИЛ, действующих на них, ИЛИ ИХ ОТНОШЕНИЯМ! Необходим ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ учёт влияния МАССЫ ТЕЛ (как их характерного свойства ИНЕРЦИОННОСТИ сопротивляться разгону по воздействием силы) для ПЕРЕСЧЁТА действующих на тела СИЛ в соответствующие им УСКОРЕНИЯ (путём деления результирующей силы на величину массы тела по второму закону механики), которые и позволят решить все задачи движения (определить скорость и траекторию тела путём интегрирорования ускорения и скорости тела.).
3. С достаточной для практики точностью МОЖНО НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА на траектории спутников Земли (например, вращения Луны вокруг Земли) и рассчитывать траектории в Земной инерциальной (невращающейся) системе координат благодаря практически однородному (постоянному) вектору гравитационного Солнечного ускорения , поскольку ускоренное падение ВСЕХ тел Земной группы (Земли и Луны) с одним и тем же по величине ускорением в сторону Солнца практически не влияет на относительные движения тел, вызываемых внутренними силами гравитации между телами Земной группы. Для повышения точности расчётов траекторий тел в Земной системе координат достаточно ввести УЧЁТ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ от Солнца за счёт применения метода ПОПРАВОК (или иначе, ПРИРАЩЕНИЙ), состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из тел относительно значения этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в центре Земной системы координат, что позволяет учесть влияние ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от Солнца вокруг Земли (без рассмотрения влияния полного значения этого вектора).
4. И всё-таки Луна, несмотря на все «теории», ЯВЛЯЕТСЯ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ для земных наблюдателей и продолжает вращаться, в целом, согласно всем законам классической механики, включая закон всемирного притяжения Ньютона, о чём свидетельствуют также и расчёты автора этого комментария по своей программе, специально созданной для решения задачи движения 4-ёх космических тел в полной постановке (см. уравнения движения на примере Задачи трёх тел в книге Г.Н.Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г, Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`).
5. Главный вывод. Из всего вышеизложенного вытекает, что рассматриваемый вопрос был сформулирован с точки зрения законов физики НЕГРАМОТНО и влечёт за собой "бытовой" вывод о "неработающем" законе всемирной гравитации Ньютона, якобы не объясняющему эффект от сравнения величин сил, приложенных к Луне, и явно противоречащий наблюдаемой нами при этом действительности - стабильному вращению Луны вокруг Земли. Виноват не закон, а ошибочное, навязанное вопросом, сравнение сил, действующих на Луну. Не надо рассматривать никаких СООТНОШЕНИЙ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны к Солнцу и Земле при анализе вращения Луны вокруг Земли, т.к. они абсолютно бесполезны, как мартышке очки. ОШИБКА СОСТОИТ В УЧЁТЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, которая ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ на относительное вращение Луны вокруг Земли при сегодняшней величине орбиты Луны (её апогее и перигее).
ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ_ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС Земли, зависящее от разности расстояний Луны и Земли относительно Солнца. Поскольку анализируется движение Луны вокруг Земли, то и приращение определяется относительно центра масс Земли. ПРИРАЩЕНИЕ от силы притяжения Луны Солнцем по аналогии с математикой означает взятие дифференциала от силы, а не учёт текущей величины силы, а это две большие разницы. Иначе говоря, надо рассматривать наряду с силой притяжения Луны Землёй НЕ ВЕЛИЧИНУ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, а только влияние её ПРИРАЩЕНИЯ (НЕОДНОРОДНОСТИ) относительно Земли. И, естественно, необходимо всегда пересчитывать силы в ускорения, как того требует второй закон механики, для проведения дальнейших расчётов скорости и траектории рассматриваемого тела за счёт первого и второго интегрирования суммарного вектора ускорения центра масс тела в выбранной системе кординат (так называемый "расчёт динамики движения" тела).
Так что студентам не стоит сомневаться в законах Ньютона: они проверены столетиями наблюдений и практикой их применения. Хотя и несущественные поправки возможны, но только из-за влияния пока неизвестных источников космических гравитационных возмущений.
В заключение две цитаты:
«В истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона. » С.И.Вавилов.
( С.И.Вавилов (1891-1951) - советский физик, основатель научной школы физической оптики в СССР, действительный член (1932) и президент АН СССР (1945-1951), общественный деятель и популяризатор науки. Лауреат четырёх Сталинских премий.)
«Законы классической механики и вытекающие из них логические следствия ... с высокой точностью описывают и предопределяют движение и равновесие макротел в природе и механике, служат надёжным фундаментом как практических расчётов, так и исследований в области физики и других естественных наук.» А.Ю. Ишлинский (Заключение из книги "Классическая механика и силы инерции")
(А.Ю. Ишлинский (1913-2003) - академик АН СССР, а затем РАН, доктор ф-м наук и профессор МГУ, директор Института механики и Проблем механики, лауреат Ленинской и Государственных приемий СССР и РФ., посвятивший свою научную и профессиональную деятельность решению сложнейших задач космической механики в области динамики твёрдого тела и теории гироскопов, работал совместно с С.П.Королёвым и М.В.Келдышем. Его книгу "Классическая механика и силы инерции" (320стр.) настоятельно рекомендую всем интересующимся механикой в качестве первого основного пособия по классической механике.)
P.S. Вопрос закрыт. Луна продолжает оставаться спутником Земли, несмотря ни на какие удивительные, на первый взгляд, отношения сил, действующих на неё. Надеюсь, что этот комментарий кому-то помог понять какие силы реально определяют вращение Луны вокруг Земли с точки зрения законов механики.
Кстати, в нижеприведенных комментариях прошлых лет по данному вопросу о Луне увидел типичные неграмотные попытки объяснять что-либо с использованием термина "ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ" без оглядки на то, в какой системе координат рассматривается данный вопрос. Да НЕТ ЭТОЙ ФИКТИВНОЙ силы, как и, так называемых, СИЛ ИНЕРЦИИ в РЕАЛЬНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ и соответственно в ИНЕРЦИАЛЬНЫХ (невращающихся) системах координат. ЗАБУДЬТЕ про них в инерциальных системах, как кошмарный сон! Для расчёта параметров космической ТРАЕКТОРИИ ТЕЛА, как и в данном комментарии, ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ТОЛЬКО ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, в которых единственными учитываемыми силами являются силы гравитационного взаимного притяжения между всеми рассматриваемыми телами без всяких там центробежных сил инерции. ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ как силы инерции во вращательном движении ВЫНУЖДЕННО ВВОДЯТСЯ ТОЛЬКО В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ ВРАЩАЮЩИХСЯ системах ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ИЗ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА в такой вращающейся системе! Большое спасибо за это Д'Аламберу, Лагранжу и Эйлеру.
Вот, например, почему геостационарный спутник, с которого принимаются сигналы ТВ за счёт НЕПОДВИЖНОЙ земной спутниковой антенны, не падает с орбиты под действием силы притяжения Земли, хотя и висит всё время НА ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЫСОТЕ В ПЛОСКОСТИ ЭКВАТОРА ЗЕМЛИ над одним и тем же местом над Землёй (в зените прямо над чьей-то головой) ? Да потому, что мы разглядываем его, находясь на поверхности Земли, которая ВРАЩАЕТСЯ с угловой скоростью один оборот в сутки, т.е. в НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе, и чтобы получить в этой системе ПРАВИЛЬНЫЙ результат (постоянную высоту спутника, а не его ускоренное свободное падение ) БЫЛИ ПРОСТО ВЫНУЖДЕНЫ ДОБАВИТЬ в УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ к силе притяжения спутника Землёй ФИКТИВНУЮ, НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ в природе, так называемую, ЦЕНТРОБЕЖНУЮ СИЛУ, численно равную РЕАЛЬНОЙ силе притяжения спутника к Земле, но НАПРАВЛЕННУЮ В ОБРАТНУЮ СТОРОНУ так, что, в итоге, СУММА СИЛ, действующих на спутник, ОБНУЛЯЕТСЯ И спутник не падает в такой вращающейся системе координат. А вот в инерциальной НЕвращающейся системе, направленной на какую-либо далёкую неподвижную звезду и началом координат в центре масс Земли, на спутник действует ТОЛЬКО ОДНА ЕДИНСТВЕННАЯ РЕАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ СИЛА - СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ к Земле (она же ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА), под действием которой он ВСЁ ВРЕМЯ ФАКТИЧЕСКИ свободно ПАДАЕТ к центру Земли, но БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ у него орбитальной скорости, соответствующей значению первой космической скорости (~7,9 км/сек), центростремительное ускорение от воздействия силы притяжения СПОСОБНО ТОЛЬКО ПОВОРАЧИВАТЬ ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТИ СПУТНИКА, не меняя его величины, что и приводит к получению из уравнений движения тела к круговой орбите вокруг Земли). А теперь оцените разницу: в "инерциалке" мы получили расчёт траектории тела, его круговую орбиту, а в "неинерциалке" имеем лишь баланс взаимно уравновешенных сил реальной (сила притяжения) и фиктивной (центробежная), т.е "замороженную" во времени, СТАТИЧНУЮ картинку расположения тел друг относительно друга и, естественно, постоянную высоту спутника и накаких траекторий полёта. Так что, если вам "ехать" (рассчитывать орбиту тела), а не любоваться "шашечками" на такси, то Вам прямой путь в ИНЕРЦИАЛЬНУЮ систему координат, где нет НИКАКИХ фиктивных ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ, а только физические реальные и понятные, так называемые, Ньтоновские силы гравитационного притяжения (см. выше упомянутую книгу А.Ю. Ишлинского). В качестве типичного примера использования статики тел в НЕИНЕРЦАЛЬНОЙ системе можно назвать рисунок со "сферой Хилла" (см.его в интернете), где рассмотрено положение 5 "либрационных" точек (L1-L5) с так называемым "равновесным" состоянием для мелких тел относительно Солнца и Земли, ПОЛУЧЕННЫЙ в НЕинерциальной вращающейся системе координат с продольной осью направенной из центра масс Солнца к центру масс Земли (точнее из барцентра - общего центра, вокруг которого вращается не только Земля, но и Солнце с весьма небольшим радисом орбиты вокруг барцентра) и вращающеся с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, но теперь уже с учётом, естественно, центробежных сил, приложенных КО ВСЕМ рассматриваемым телам, не исключая даже Солнца из-за его вращения вокруг барцентра.
Примечание: Конечно же, надо отметить, что именно в НЕинерциальных системах и проводятся самые сложные расчёты траекторий и динамических нагрузок (зачем тогда был бы нужнен курс Теоретической механики), например, в сложных механизмах машин для определения динамических и инерционных нагрузок (теперь уже с обязательным учётом всех видов "сил инерции", а точнее , ускорений от них (переносное, кориолисовое и ускоренно-вращательное, появляющееся только при ускоренном вращении неинерциальной ситемы координат). Однако для расчётов траекторий тел в космосе по причине их простоты относительно сложных механизмов целесообразно применять инерциальные системы координат, где "царствуют" только Ньютоновские силы взаимного гравитационного притяжения между телам и нет, даже в помине, фиктивных сил инерции в том числе и центробежной силы, побившей все мыслимые и немыслимые рекорды по её бездумному применению там, где её никогда не должно быть, а именно в инерциальных системах координат (невращающихся и движущихся без линейного ускорения их начала координат).
А вот вопрос об оценке величины "критического" расстояния Луны от Земли, при котором Луна безусловно сойдёт с орбиты вокруг Земли и перестанет быть спутником Земли , а так же размышления о впечатляющем изобилии разных сфер для Земли ( "сфера действия", "сфера влияния", "сфера притяжения" и "сфера Хилла") обсудим в другом комментарии.
16 декабря 2019г. 20.40 время московское.
Это дополнительные данные к комментарию "А не многовато ли будет разных "сфер" (...) для планеты Земля?" от 23.01.2020г
Привожу данные по оценке радиуса «Сферы удержания спутников» для Луны. Для этого были найдены дальности безусловной потери Луной своих спутников в трёх положениях относительно Земли: её перигее (соответствующему полнолунию), апогее (соответствующему новолунию) и на среднем расстоянии (в первой и третьей четверти фаз Луны), рассчитанные графически на Рис.1 и Рис.2 с применением метода приращений при учёте возмущающих ускорений от Земли и Солнца (см. методику определения Приращений от гравитационных возмущений в начале упомянутого комментария при определении аналогичного радиуса сферы для планеты Земля на рис.1).
Рис1. Рисунок с гравитационным ускорением от Луны в момент её перигея (в полнолуние) при расстоянии от Луны до Земли 356 тыс.км., а также с возмущающими приращениями от ускорений притяжения Земли и Солнца в зависимости от расстояния до центра масс Луны.
Рис2. Рисунок с гравитационным ускорением от Луны в момент её апогея (в новолуние) при расстоянии от Луны до Земли 407 тыс.км., а также с возмущающими приращениями от ускорений притяжения Земли и Солнца в зависимости от расстояния до центра масс Луны. Зелёным цветом приведены данные для 1 и 3 четвертей фаз Луны, т.е. среднего расстояния от Луны до Земли в 384,4 тыс.км.
Как следует из рис.1 и рис.2 Радиус удержания (а точнее, радиус безусловной потери спутника Луной) существенно зависит от положения Луны относительно Земли из-за изменения расстояний в апогее и перигее Луны относительно Земли. Влияние возмущений от притяжения Солнцем малозаметно и им можно практически пренебречь: от 0,33% (в полнолуние), 0,48% (в 1-3 четвертях) до 0,53% (в новолуние) от величины ускорения Луны на соответствующих радиусах удержания спутников. А сами значения радиусов безусловной потери спутников Луной составили соответственно ~59 000 км (в полнолуние) , ~64 500 км (в 1-3 четверти) и ~ 68 000 км (в новолуние) (см. рис.1 и рис.2). Выбираем наименьшее из этих значений как верхнюю оценку значения для радиуса удержания ~59 000 км, гарантирующую удержание спутника НЕЗАВИСИМО ОТ ФАЗ ЛУНЫ
Кроме того, с учётом того факта, что величина безусловной потери Землёй своих спутнков (~1,68млн.км, см.рис.1 вышеупомянутый комментарий от 23.01.2020г ) как оценка сверху завышена относительно величины радиуса сферы Хилла для Земли (~1,5млн.км) на ~12% , то и для Луны возьмём этот же % запаса для получения величины безусловного радиуса удержания искусственных спутников Луной независимо от её фаз относительно Земли: 59 000км / 1,12 = 52 700 = ~53000км.
Как видим, оценка величина радиуса «сферы удержания Луной своих спутников» (аналог радиуса сферы Хилла для Луны) составила ~53000км.
Георгий. 27.01.2020 13ч25мин Время моск.
А не многовато ли будет разных «сфер» (действия, влияния, притяжения, и «Хилла») для планеты Земля?
В одном из последних комментариев к вопросу «О том, что сила притяжения Луны к Солнцу больше в 2,2 раза, чем к Земле» есть ссылка на статью: К.В.ХОЛШЕВНИКОВА «Луна - спутник или планета?» (http://www.astronet.ru/db/msg/1167143 ), заинтриговавшая своим неординарным названием и с рассмотрением трёх гравитационных «сфер» для планеты Земля. Мне как инженеру-механику по динамике полёта, далёкому от космических дел, такое изобилие понятий о «сферах» вокруг Земли показалось избыточным и захотелось разобраться в них и понять их предназначение.
В предыдущем комментарии по вопросу «Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?» было показано с позиций Закона притяжения тел и второго закона Ньютона, что из двух действующих на Луну сил (сил притяжения к Солнцу и к Земле) МОЖНО ПРАКТИЧЕСКИ НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны к Солнцу НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли благодаря высокой ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ от этой силы при существующих размерах орбиты Луны. При этом для получения более точных расчётов в Земной инерциальной системе координат необходимо ВМЕСТО СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ от Солнца УЧИТЫВАТЬ ЛИШЬ ЕЁ ВЕКТОРНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ (метод ПОПРАВОК, или ПРИРАЩЕНИЙ) относительно вектора силы притяжения в центре Земной системы координат, что позволяет УЧЕСТЬ ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ векторного ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ от Солнца на движение Луны вокруг Земли. Далее, в соответствии со вторым законом механики, вместо величин сил используем только соответствующие им ускорения тел (как принято у инженеров-механиков при расчёте динамики полёта тел).
Для начала оценим максимальное расстояния Луны от Земли, на котором Земля ещё способна удерживать Луну (да и любое материальное тело, независимо от величины его массы) на своей орбите в качестве своего спутника. Понятно, что достаточным условием схода Луны или любого спутника с орбиты Земли будет такое максимальное расстояние от Земли, при котором вышеупомянутое ПРИРАЩЕНИЕ ОТ УСКОРЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ относительно центра масс Земли (за счёт того, что Луна будет находиться ближе к Солнцу, чем Земля) сравняется с ускорением притяжения от Земли, т.е. произойдёт КОМПЕНСАЦИЯ ускорения притяжения Земли приращением ускорения от Солнца (ускорения противоположно направлены) и Луна сойдёт с орбиты вокруг Земли на самом близком к Солнцу расстоянии (в её «новолуние» относительно Земли), двигаясь в начале схода по касательной к уже бывшей своей орбите относительно Земли.
На рис.1 показан график изменения гравитационного ускорения от Земли (gЗемли – тёмного цвета) и график ПРИРАЩЕНИЯ ускорения от Солнца относительно Земли (dgС-З – красного цвета), в зависимости от расстояния R (от центра масс Земли по оси абсцисс, направленной к центру масс Солнца).
Как видим, приращение ускорения от Солнца применительно к Земной системе координат(СК), начинается с нуля в центре масс Земли в полном соответствии с общепринятым МЕТОДОМ ПРИРАЩЕНИЙ, когда вектор ускорения притяжения от Солнца, рассчитанный для начала применяемой СК, расположенной, в данном случае, в центре масс Земли, ВЕКТОРНО ВЫЧИТАЕТСЯ из своего же значения В ЦЕНТРЕ СК (поэтому-то и ВСЕГДА получаем НУЛЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ МЕТОДА ПРИРАЩЕНИЙ в начале принятой для расчётов СК), но одновременно этот же самый вектор от Солнца, определённый для начала СК, опять же векторно (с учётом трёхмерности СК) вычитается и из ТЕКУЩЕГО значения вектора УСКОРЕНИЯ от Солнца, но ВЫЧИСЛЕННОГО уже ДЛЯ ЦЕНТРА МАСС АНАЛИЗИРУЕМОГО ТЕЛА (Луны), движение которого мы и определяем в выбранной нами Земной СК. Этот, учитываемый в уравнениях движения для тела, РАЗНОСТНЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца НАЗЫВАЕТСЯ УЧИТЫВАЕМЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ФАКТОРОМ (в данном случае ВОЗМУЩЕНИЕМ от притяжения Солнцем на траекторию тела в Земной СК) и, как видно из рис.1, приращение имеет практически линейный характер, несмотря на обратно-квадратическую зависимость в законе притяжения, благодаря сравнительно небольшой величине рассматриваемого интервала дальности (до 3 млн.км) при расстоянии до Солнца 149,6 млн.км.
Точка пересечения на рис.1 графика ускорения от притяжения Землёй и графика ВОЗМУЩАЮЩИХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнцем, где они сравниваются, и определяет искомое нами «критическое расстояние» удержания Землёй на своей орбите любых спутников независимо от величины их массы (ведь ускорения от гравитационного притяжения для всех тел на одном и том же расстоянии от притягивающего тела ОДИНАКОВЫ по величине, будь то искусственный спутник или Луна). Максимально возможное («критическое») расстояние удержания тел гравитационным притяжением от Земли с учётом возмущений от Солнца получилось равным ~1,68 млн.км. При этом притягивающее ускорение от Земли, воздействующее на тела при этой максимальной дальности, составило ~140·10-6 [м/сек2].
Понятно, что это лишь оценка «критического» расстояния сверху, как говорят математики, а реальное значение должно быть несколько меньше, но на сколько?
Благодаря наличию у автора данного комментария программы, созданной им для расчёта траекторий движений 4-ёх космических тел в полной постановке (число учитываемых тел несложно было увеличить, но 4-ёх тел было вполне достаточно для учёта ещё и спутников) в соответствии с простой и вполне понятной методикой из книги: Г.Н. Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г, Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`) была определена (за счёт серии расчётов) величина «критического начального расстояния» до Луны относительно Земли, при котором происходит устойчивое удержание Луны Землёй на протяжении 3-5 годовых оборотов Земли вокруг Солнца, и которое в итоге составило максимум ~ 1,60 млн.км при начальном значении орбитальной скорости Луны относительно Земли 0.1415 км/сек (с допустимым из условий захвата Луны Землёй разбросом по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно Земли не более +-0,0015 км/сек, т.е. .(+-1,1%). Это уже полностью «выжатый», как лимон, максимум по «критическому» расстоянию (например, уже при начальной дальности до Луны в 1,61 млн.км не удалось получить стабильного удержания Луны на орбите вокруг Земли, т.к . происходил сход Луны с орбиты уже вначале второго годового витка вокруг Солнца ).
На такой предельной дальности удержания орбита Луны весьма далека от круговой и представляет из себя очень вытянутый эллипс с большой полуосью эллипса, равной начальному расстоянию до Луны (1,6 млн.км), а малая полуось эллипса очень мала и приближается к 0,05-0,2 млн.км относительно Земли. При меньшей начальной дальности до Луны, например, 1.50 млн.км начальная орбитальная скорости Луны, при которой происходил устойчивый переход к орбите спутника Земли, составила 0,114 +-0,014 км/сек. Уменьшение начальной дальности до Луны относительно её предельного значения сопровождается расширением допустимого разброса по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно , например, до +-12% на расстоянии 1,5 млн.км, вместо +-1,1% для предельной дальности 1,6 млн.км..
Как видим, получились весьма близкие результаты по предельной дальности (1,60 млн.км по программе расчёта для «Трёх тел» и 1,68 млн.км по графической оценке из рис.1), хотя были опасения получить меньшую величину дальности в программных расчётах из-за возможного влияния динамического заброса в процессе втягивании Луны из начальных условий в установившийся режим вращения вокруг Земли.
Далее приведены некоторые характерные скриншоты данной программы.
На первом скриншоте (начальная дальность до Луны R0л=1,59 млн.км с начальной орбитальной скоростью её относительно Земли V0л=0.132 км/сек ) произошёл сход Луны (красная траектория) с орбиты Земли (тёмно-синяя траектория), начавшийся где-то в конце первой половины годового витка.
На втором показан момент соударения Луны с Землёй в начале второй половины первого годового витка (R0л=1,50 млн.км и V0л=0,09 км/сек), определяемый специальной процедурой в программе по моменту смены знака скорости их сближения, чтобы не проскочить момент соударения с учётом реальных диаметров Земли и Луны и с выдачей аварийного сообщения о целесообразности продолжения счёта текущего варианта.
На третьем (R0л=1,59 млн.км и V0л=0,14 км/сек) показано устойчивое вращение Луны вокруг Земли уже на начало 6-го годового витка.
К сожалению, правая часть скриншота не видна, где выводится информация по году, дню, часам, мин и сек текущего варианта расчёта. Все вращения Земли и Луны поисходят против часовой стрелки, что сделано для соответствия реальным направлениям вращения Луны и Земли при виде на плоскость эклиптики и на северный полюс Земли. Кстати, закручивание Луны относительно Земли в другую сторону (по часовой стрелке) за счёт её размешения ближе к Солнцу в момент начала счёта, практически не влияет на результаты расчётов максималной дальности. В дальнейшем будет добавлен вывод на это же поле графика относительной траектории вращения Луны вокруг Земли в удобном масштабе. Для этого есть все данные, но требутся огранизовать сам вывод на поле графика.
Примечание: Cправка о ПК и методе интегрирования в программе. Время счёта данной программой на ПК 10-летней давности с 4-ёх ядерным процессором "Quad Q6600" и тактовой частотой работы 2,4ГГц одного годового витка Земли вокруг Солнца составляет 7мин 47сек. при использовании для интегрирвания дифференциальных уравнений движения тел шага счёта 0.25сек с применением метода Адамса 4-го порядка точности с использованием подхода явного (метод Адамса-Бошфорта 4-го порядка) и подхода неявного (3-х шаговая неявная формула Адамса-Мултона ), что повысило точность и устойчивость расчётов, которые проходили и при шаге счёта 0,50 сек, но для гарантии точности расчётов был использован всё же более мелкий шаг интегрирования по времени 0.25сек. Кстати, при сравнении с решением задач самонаведения ЛА, где траектории гораздо более изменчивые (с боковыми перегрузками, превышающими в несколько десятков раз ускорение от притяжения Землёй), шаг интегрирования дифуравнений практически такой же (0,125 сек при применении стандартного метода Рунге-Кутта). Следует отметить, неожиданный факт довольно высоких требований к шагу интегрирования дифуравнений при расчёте таких малоповоротливых космических тел.
Годовое вращение гравитационного поля от Солнца существенно влияет на эволюцию удлинённых орбит спутников Земли, поскольку спутники стремятся сохранить положение плоскости своей орбиты стабильным относительно неподвижных далёких звёзд, а Солнце непрерывно поворачиваясь относительно плоскостей орбит спутников Земли на 360 градусов в течении земного года, влияет на орбиту Луны с разных направлений (влияние неоднородности поля гравитации Солнца не только по величине, по и по направлению), превращая выше найденное «критическое расстояние» из одной точки (в новолуние) по мере поворота Солнца относительно инерциальной Земной СК в геометрическое место точек в виде круга относительно Земли за один годовой оборот.
Так называемая «сфера Хилла» задаёт максимально-возможную дальность удержания спутников, величина радиуса которой составляет от 0.94 до 1,5 млн.км. (по данным из статьи «К.В.ХОЛШЕВНИКОВ Луна - спутник или планета?»). А по данным из ниже рассматриваемой книги В.И.Левантовского величина радиуса «сферы Хилла» равна 1,5 млн.км для Земли. Как видим, расчёты по программе в полной постановке для «Трёх тел» практически весьма близки к максимальной величине расстояния «сферы Хилла» (1,60 и 1,50 млн.км).
Поиск в интернете информации о разных гравитационных сферах для Земли привёл к интересной книге В.И.Левантовского ( «Механика космического полёта в элементарном изложении» 3 издание, 1980г.) в главе2, параграф 7 «Сфера действия и приближённый метод расчёта траекторий», стр. 68-72).
Автор рассматривает в ней методику приближённого расчёт траекторий полёта от Земли к другим планетам Солнечной системы. Например, в начальной фазе после старта с Земли расчёт ведётся в Земной Системе Координат (СК) с применением упрощённых «кеплеровых» траекторий и рассмотренного ранее (в моём комментарии от 16.12.2019г) метода Поправок (Приращений) при учёте возмущающего влияния неоднородности гравитационного поля Солнца. По мере увеличения расстояния от Земли и приближении к «сфере Хилла» для бортового компьютера межпланетной космической станции наступает пора переходить к расчёту траектории её полета из Земной СК в Солнечную СК, поскольку ОТНОСИТЕЛЬНАЯ величина в методе ПОПРАВОК приращения ускорения от Солнца, отнесённая к величине текущего ускорения от притяжения Землёй, начинает быстро нарастать, с 0,5% на дальности орбиты Луны (~0,4 млн.км) до, например, 68% на дальности 1,5 млн.км.
Расстояние от Земли, на котором космические баллистики считают нужным переходить (для обеспечения требуемой точности в определении параметров движения космической стации) от расчёта траектории в текущей системе координат (например, Земной СК) к расчёту в другой системе координат (соответственно, к Солнечной СК) и называется в книге «СФЕРОЙ ДЕЙСТВИЯ» Земли.
Для оценки этого расстояния автор книги рассмотрел величины ВОЗМУЩАЮЩИХ ПОПРАВОК, отнесённых к основному ускорению (в %) в каждой из систем координат: Земной СК (с возмущением от Солнца) и в Солнечной СК (с возмущением от Земли) для двух значений дальности (0,5 и 1,5 млн.км.) от Земли, и показал что на малой дальности выгоднее расчёт в Земной СК, а на большей – в Солнечной с точки зрения МЕНЬШЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ДОЛИ ПОПРАВОК относительно земного ускорения (в Земной СК) и солнечного ускорения (в Солнечной СК).
Было решено построить для данного комментария (отсутствующие в рассматриваемой книге) графики этих относительных поправок в [%] по дальности от Земли в направлении на Солнце, рассчитанные для двух систем координат Земной и Солнечной. Отметим, что методика определения поправок для Земной СК уже ранее была описана, а вот расчёт поправки при определении траектории в Солнечной СК состоит в том, что надо брать ПРИРАЩЕНИЕ от теперь уже ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ ЗЕМЛИ для центра масс межпланетной станции относительно ускорения от Земли на расстоянии до центра масс Солнца, т.к. расчёт идёт уже в Солнечной СК. Однако ВЕЛИЧИНА ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ на расстоянии до центра масс Солнца в ~149,6 млн.км, оказывается совсем незаметной (0,018·10-6 [м/сек2]) (для справки, на оценке максимальной дальности сверху по удержания тел Землёй в ~1,68 млн.км ускорение от Земли равно ~140·10-6 [м/сек2](см. рис.1) ), и поэтому ПРИРАЩЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ Земли для текущего положения центра масс станции просто РАВНО ВЕЛИЧИНЕ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ (ведь из неё вычитается почти нулевая величина), но ОТНЕСЁННОЙ уже к УСКОРЕНИЮ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ Солнца, т.к. это поправки в СОЛНЕЧНОЙ СК от Земного возмущающего ускорения, то и относить их надо к величине ускорения от Солнца, поскольку расчёт идёт в Солнечной СК.
На рис2. приведены два графика для этих ОТНОСИТЕЛЬНЫХ поправок (в зависимости от расстояния от Земли) для расчётов в Солнечной СК: gЗ = gЗемли / gСолнца; (тёмно-зелёный цвет) и в Земной СК: dgC= ( gС(при (Rc – R)) – gС(при Rc) ) / gЗемли (красный цвет);
где Rc =149,6 млн.км – расстояние от Земли до Солнца, R – расстояние от Земли в направлении на центр масс Солнца.
На рис.2 отмечены 4 характерных точки («т.1» - «т.4»). На первый взгляд, с точки зрения равной погрешности вычислений как в Земной, так и Солнечной системе явно подходит точка «т.3», т.к в ней доля поправки одинакова для обеих СК и равна 10,3% при дальности от Земли 0,8 млн.км, которую и можно было бы принять за значение «сферы действия» Земли для перехода между расчётами в Земной и Солнечной СК.
Приведём определение для «Сферы действия тяготения» (С. д. т.) из БСЭ (энциклопедии) (https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/137366/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0 ) :
« «Сфера действия тяготения» - небесного тела, область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел… Если тело находится внутри С. д. т. какой-либо планеты, то его движение целесообразно изучать в системе координат, связанной с этой планетой; притягивающее же действие Солнца учитывать как возмущение (см. Небесная механика). При нахождении С. д. т. планеты притяжением всех других планет пренебрегают.
С. д. т. планеты определяется следующим образом. Если R есть ускорение, сообщаемое некоторому телу Солнцем в его гелиоцентрическом (отнесённом к центру Солнца) движении, а F — возмущающее ускорение со стороны планеты; если, с другой стороны, R1 есть ускорение, сообщаемое телу планетой в её планетоцентрическом движении, а F1 — возмущающее ускорение, вносимое в это движение притяжением Солнца, то С. д. т. планеты является область, в которой выполняется неравенство: F1/R1 < F/R. За пределами этой области выгоднее за основу принимать гелиоцентрическое движение.»
Смысл членов этого неравенства из статьи БСЭ и в данном комментарии ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ с долями поправок, нарисованными на рис.2 , F1/R1= dgC , а F/R = gЗ и поэтому неравенство F1/R1 < F/R эквивалентно неравенству в наших обозначениях: dgC < gЗ .
Если взглянуть на рис.2 , то это означает только то, что величина радиуса «сферы дальности тяготения» для планеты Земля, где целесообразно вести расчёты в Земной СК должна быть согласно неравенству менее 0,8 млн.км, где красная кривая (dgC) начинает идти ниже тёмно-зелёной кривой (gЗ), т.е. слева от «т.3» по дальности. Иначе говоря, данное условие в БСЭ, написанное для любых планет Солнечной системы. Однако по предложенному в этой статье выражению для расчёта С. д. т. её радиус для планеты Земли составляет 0,929 млн.км., что близко в значению, которое было приведено в книге В.И.Левантовского (см. ниже).
Необходимо отметить принципиальную ошибку в первой строке из статьи БСЭ, определяющую С. д. т. как «область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел». Это неправильно, если посмотрите на рис.2, то в диапазоне дальности от ~260 тыс.км («т.1») до ~800 тыс.км. («т.3») сила притяжения Солнцем БОЛЬШЕ силы притяжения от Земли от 1 до 10 раз (см. параметр Fс-з на рис.2), т.е. в 2/3 области по радиусу сферы С. д. т. , или в 96,5% объёма сферы, С. д. т. притяжение от Солнце превышает притяжение от Земли!
Надо было написать, что ««Сфера действия тяготения» небесного тела это область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над ПРИРАЩЕНИЕМ притяжений всех других небесных тел, рассчитанных относительно центра масс тела»
А вот с точки зрения относительной погрешности в определении величины дальности ситуация в Солнечной СК гораздо тяжелее, чем в Земной СК, поскольку расстояние до Солнца в ~ 100 раз больше, чем до Земли. Например, при появлении ошибки в сторону завышения дальности до Солнца (относительно «т.3» ) на 0.30% и 0,37% (от величины дальности до Солнца, равной для точки «т.3» 148,8млн.км (=149,6-0,8 млн.км) приведёт к ПОЯВЛЕНИЮ ОШИБКИ, вкравшейся в ВЕЛИЧИНУ ПОПРАВКИ, равной 35% и 90%) от величины текущего Солнечного ускорения (для станции), т.е «т.3» как бы условно сместится вдоль графика относительных поправок (график тёмного цвета) из-за ошибочной дальности до Солнца в положение поправок, соответствующих точкам «т.2 » и «т.1», что приведёт к СУЩЕСТВННЫМ ОШИБКАМ в поправках при расчёте траектории относительно реальной точной дальности, соответствующей дальности «т.3».
А вот в Земной СК благодаря меньшей дальности от межпланетной станции та же величина относительной ошибки в завышении дальности до станции на 0,37% от истинной приведёт к появлению дополнительной погрешности поправки всего в 0.12% от ускорения Земли (график красного цвета). И только при уж совсем невероятном завышении расчётной дальности до Земли В ДВА РАЗА для точки «т.3» приведёт к ошибке в 74% от величины текущего земного ускорения.
С учётом более существенного влияния точности определения текущей дальности в Солнечной СК желательно увеличить радиус «сферы действия», сместив его от точки «т.3», в направлнии к точке «т.4» и даже далее, поскольку расчёт траектории межпланетной станции в Земной СК может быть продолжен и за пределами дальности «сферы Хилла», но уже при больших относительных величинах Поправок возмущения от Солнца , превышающих 100% от земного текущего ускорения для станции., что и подтверждает введение взамен «сферы действия» новой сферы на ту же тему (перехода между расчётными траекториями в разных системах координат для межпланетных траекторий) с названием «СФЕРА ВЛИЯНИЯ», отличающуюся лишь ещё большим значением её радиуса
Вот как «СФЕРА ВЛИЯНИЯ» описана у В.И.Левантовского: «При использовании упрощённого метода расчёта космических траекторий основные погрешности накапливаются при расчёте движения в районе границы «сферы действия». Поэтому некоторые авторы считают, что для большинства случаев расчёта более высокие точности дают области разграничения между центральными полями тяготения, определяемые иначе, чем это сделано выше. Предлагалось, например, считать соответствующую область вокруг Земли, имеющей радиус 3-4 млн.км. На основании энергетических соображений для подобной «СФЕРЫ ВЛИЯНИЯ» выводился радиус, равный... » (далее следует выражение для сферы влияния. (см. в книге.))
Но и это ещё далеко не все факторы, которые могут быть приняты во внимание баллистиками космических перелётов при выборе величины «сферы действия», например, можно учесть влияние на точность расчёта параметров траектории ограниченных характеристик бортового вычислителя.
В книге В.И.Левантовского приведено КОНКРЕТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ для определения «СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ» для любых планет и дающее для Земли величину 0,925 млн.км., которая, как следует из рис.2, лишь на 16% больше дальности для точки «т.3» (с дальностью 0,8 млн.км. и на которой относительные величины поправок для обеих СК равны и составляют 10%), что обеспечивает близкие между собой значения относительных поправок от текущих ускорения в Земной (16%) и Солнечной (8%) системах координат.
Смысл введения понятий «сфера действия» и «сфера влияния» стал понятен.
Далее В.И. Левантовский приводит сравнительное описание «сферы действия» и «сферы Хилла»:
« Единственный смысл понятия «сферы действия» заключается именно в границе разделения двух кеплеровых траекторий (рассчитываемых в разных системах координат, например, Земной и Солнечной *)примечание моё). В частности, «сфера действия» планеты вовсе не совпадает с той областью пространства, в которой планета способна вечно удерживать свой спутник. Эта область называется «сферой Хилла» для планеты относительно Солнца. Внутри «сферы Хилла» тело может находиться неограниченно долго, несмотря на возмущения со стороны Солнца, если только в начальный момент оно имело эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Эта сфера больше сферы действия. «Сфера Хилла» для Земли относительно Солнца имеет радиус 1,5 млн.км.».
Свои значения максимальной дальности удержания спутников на орбите Земли, являющихся такими же оценками, как и «сфера Хилла», мы уже определили в начале этого комментария.
Как мне кажется, получилось неплохое совпадение результатов оценки сферы удержания спутников Землёй: 1,50 млн.км. («сфера Хилла»), 1,60 млн.км (Задача «Трёх тел») и 1,68 млн.км (дальность безусловной потери спутников Землёй, т.е. верхнее ограничение на дальность удержания спутников Землёй).
И, наконец, автор в деликатной форме высказал своё твёрдое отрицательное отношение к понятию «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» (с чем и я полностью согласен):
«В отличие от «сферы действия» и «сферы Хилла» «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» планеты относительно Солнца, определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения от планеты и от Солнца, НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ.
Луна находится глубоко в сфере действия Земли. Поэтому мы предпочитаем рассматривать геоцентрическое движение Луны и считать её спутником Земли. И отказываемся считать Луну самостоятельной планетой ввиду слишком больших гравитационных возмущений её гелиоцентрического движения со стороны Земли. Любопытно, что орбита Луны (см. «т.2») лежит вне сферы притяжения Земли («т.1» имеющей радиус притяжения примерно 260 000 км.), т.е. Луна сильнее притягивается Солнцем, чем Землёй».
*)примечания по номерам точек мои.
А ведь именно критике такого подхода, учитывающего СООТНОШЕНИЕ СИЛ (и положенного в основупонятия «сферы притяжения»), действующих на тело, был, в основном, и посвящён мой предыдущий комментарий (от 16.12.2019г) по этому вопросу с привлечением закона притяжения и второго закона Ньютона. Основной вывод этого комментария состоял с том, ПРИТЯЖЕНИЕ Луны Солнцем ВООБЩЕ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА относительное ВРАЩЕНИЕ ЛУНЫ ВОКРУГ Земли при существующей на сегодня орбите Луны. При анализе ещё больших размеров орбит (для межпланетных станций) необходим ТОЛЬКО ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ УЧЁТ НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от ускорения Солнцем в виде ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК (ПРИРАЩЕНИЙ) этого ускорения для рассматриваемого тела относительно ВЕКТОРА этого же ускорения, рассчитанного для начала системы координат, в которой и рассчитываются траектория тела. В терминах математики эта ПОПРАВКА представляет собой УЧЁТ ТОЛЬКО ДИФФЕРЕНЦИАЛА (иначе Приращения) ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ Солнца относительно начала системы координат для рассматриваемого тела ВМЕСТО УЧЁТА ПОЛНОГО ВЕКТОРА этого же ускорения для тела. А это, согласитесь, далеко не одно и то же, так как величина силы может быть большой и в то же самое время при этом обладать почти нулевой скоростью векторного изменения своей величины при малом изменении расстояния до Солнца относительно полного расстояния до него, а значит и обеспечивать НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОПРАВКИ от влияния этой силы, что и наблюдается в диапазоне дальности от низких орбит искусственных спутников Земли (в несколько сотен километров над Землёй) вплоть до орбиты Луны относительно Земли (см.красный график на рис.2).
Например, на расстояниях более, чем у «сферы притяжения» с её 260 тыс.км («т.1» на рис.2) УСКОРЕНИЯ от СОЛНЦА НАЧИНАЮТ ПРЕВЫШАТЬ УСКОРЕНИЯ от притяжения Землёй, достигая превышения в 2,2 раза на орбите Луны (см. параметр F=Fc/Fз для точки «т.2» ) , что отнюдь не мешает Земле стабильно удерживать Луну на своей Земной орбите. И только в области максимальной дальности «сферы Хилла» (~ 1,5 млн.км.), на границе которой сила притяжения Солнцем уже в ~34! раза превышает силу притяжения от Земли или даже ещё дальше: на её теоретическоё оценке «сверху», т.е. в «т.4» (где Солнце притягивает в ~40,5раз сильнее, чем Земля), когда ПРИРАЩЕНИЕ от солнечного ускорения (а не его полное значение!) ПОЛНОСТЬЮ СКОМПЕНСИРУЕТ УСКОРЕНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли, земные спутники безусловно сойдут с орбиты вокруг Земли и станут спутниками Солнца.
Всё вышеизложенное, а так же контрольные расчёты на полной модели «трёх тел», подтверждает ПОЛНУЮ БЕСПОЛЕЗНОСТЬ И ОШИБОЧНОСТЬ (для понимания истинных причин удержания планетами своих спутников) ПРИМЕНЕНИЯ различных значений «СООТНОШЕНИЯ СИЛ», учитывающих воздействие силы притяжения Солнцем.
Пора подводить итоги рассмотрения пяти терминов «сфер» для планеты Земля:
Во-первых, прежде всего, ОТМЕТИМ самую важную и, на мой взгляд, единственную из всех вышерассмотренных «сфер», достойную общедоступного применения и упоминания для всех планет Солнечной системы - «Сферу Хилла» как конкретную по смыслу и значению, и определяющей радиус ~ 1,5 млн.км. для планеты Земля, внутри которого различные тела могут находиться неограниченно долго на орбитах вокруг планеты, несмотря на возмущения со стороны Солнца. Это действительно важная и необходимая характеристика для любой планеты!
Расчёты значения этой же дальности «удержания», проведенные автором данного комментария, полностью подтверждают эту величину «Сферы Хилла» применительно к планете Земля, которая равна 1.50 млн.км, видимо, с небольшим запасом в меньшую сторону.
Определение этой же предельной дальности для Земли (с применением расчётов на полной задаче для «Трёх тел») дала максимум в 1,60 млн.км (при дальности в 1,61 млн.км спутники срываются Солнцем с орбит вокруг Земли). При этом на рис.1 определено ВЕРХНЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ на величину предельной дальности: ~1,68 млн.км, которая и является безусловным ограничением сверху на дальность удержания Земных спутников, приводящей к безусловнойной потере спутников Землёй, т.е. к их сходу с относительной орбиты вокруг Земли на самостоятельные орбиты вокруг Солнца.
Как мне кажется, можно было бы ввести в широкое употребление отечественный и понятный любому термин, например, «Сфера удержания спутников планетой» в противовес «Сфере Хилла», требующей обязательного разъяснений её смысла при первом знакомстве с этим термином.
Во-вторых, для всех интересующихся проблемами космических полётов (за исключением узких специалистов по космической динамике), можно было бы объединить вместе вышерассмотренные «сферы» ( «сфера действия» и «сфера влияния») несмотря на существенно разные величины их значений для Земли (0.925 млн.км. и 3-4 млн.км соответственно) как предназначенные для одной и той же цели: использования величины радиуса этих сфер в качестве границы для стыковки двух «кеплеровых» траекторий, рассчитанных в разных системах координат при расчёте межпланетных траекторий полёта, где в зависимости от предпочтительного выбора какого-либо фактора, влияющего на точность расчёта траекторий, меняется и величина радиуса этих сфер в довольно широких диапазоне.
По моему, вместо этих двух «сфер» на одну и ту же тему и к тому же с весьма неудачными названиями («сферы действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния») целесообразнее для широкого употребления общественностью (специалисты сами разберутся без нас с внутренним применением этих терминов) ввести ОДНУ НОВУЮ СФЕРУ с понятным для всех читающих названием: «Сфера стыковки межпланетных траекторий», рассчитываемых в двух системах координат. Иначе говоря, это сфера, по достижении которой к траектории межпланетной станции применяется «метод сопряжённых конических сечений» в связи с переходом расчёта траектории из одной системы координат в другую. Однако встаёт вопрос, а какое конкретное значение ей присвоить, исходя из разных радиусов этих сфер?
Существующие же названия этих сфер для планеты («сфера действия тяготения», «сфера действия», «сфера влияния») невольно вызывают странные мысли о не бесконечном распространении силы гравитационного притяжения планеты в окружающем нас пространстве.
Немалый разнобой в величине радиуса этих «сфер» (до 4 раз) несмотря на одно и то же их предназначение - стыковку траекторий, рассчитываемых в разных системах координат, лишь свидетельствует о субъективном характере выбора значений их радиусов, а потому эти «сферы», по-моему, и не должны носить таких названий для планет, намекающих на какие-то ограничения их гравитации и ассоциирующиеся именно так у подавляющего большинства читателей, поскольку сами названия не сообщают об их истинном и весьма скромном предназначении что-то где-то там поменять внутри компьютера в алгоритме расчёта траекторий! Да какое же это имеет отношение к гравитации планеты, чтобы создавать столько разных впечатляющих названий «сфер», предназначенных для одного и того же применения? Конечно, краткость – сестра таланта, но не до такой же глубины пропасти между названием термина с его узким предназначением и к тому же с подвижным значением величины радиуса.
Вот «сфера Хилла», например, даёт действительно ценную информацию о гравитационных возможностях планеты по удержанию своих спутников! А вышеупомянутые сферы лишь свидетельствуют о недоговорённости между собой специалистов по баллистике в величине радиуса этих «сфер».
В-третьих, в отличие от всех остальных сфер, рассмотренных выше, «Сфера притяжения» планеты относительно Солнца, определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения (а так же равны и силы, поскольку они приложены к одному и тому же телу) от планеты и от Солнца, НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ (см. выше ссылку на книгу В.И.Левантовского, стр.71), а если сказать прямо и честно, не взирая на личности, то ЯВЛЯЕТСЯ не только БЕСПОЛЕЗНОЙ, а , с инженерной точки зрения, ОШИБОЧНОЙ И ВРЕДНОЙ как способствующей поддержанию и распространению ошибочного обывательского ЗАБЛУЖДЕНИЯ О ПРЯМОМ ВЛИЯНИИ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли В ВИДЕ УЧЁТА так называемого «СООТНОШЕНИЯ СИЛ» (отношения силы притяжения от Солнца к силе притяжения Землёй, равного единице для «сферы притяжения»).
А что самое печальное при этом, что СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ОКАЗЫВАЕТ НИКАКОГО ВЛИЯНИЯ НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли как её не учитывай в любых числовых соотношениях, т.к. она лишь искривляет траектории полёта Земли, Луны и их спутников с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ (от воздействия этой силы притяжения Солнца) до почти круговых орбит вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЯ НА ИХ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ траектории вокруг Земли БЛАГОДАРЯ ВЕСЬМА ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТИ ускорения от воздействия этой самой силы притяжения от Солнца в области сегодняшней орбиты Луны.
Достаточно лишь напомнить о том, что увеличение радиуса орбиты спутника Земли, например, с ~260 тыс.км («сфера притяжения») до 1,5 млн.км («сфера Хилла») сопровождается стремительным ростом величины «Соотношения сил» (отношения силы притяжения от Солнца к силе притяжении от Земли) с 1 до 34 (см. величину параметра F, равному отношению силы притяжения от Солнца к силе притяжения от Земли для выделенных точек на рис.2), хотя внутри «сферы Хилла» Земля, не взирая ни на какие большие величины «Соотношения сил» устойчиво удерживает все свои спутники независимо от величины их массы, вплоть до Луны, что и свидетельствует о полной бесполезности (или «Не играет никакой роли в космодинамике» - по В.И.Левантовскому) применения понятия «Соотношения сил».
Фактически СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем начинает оказывать своё влияние на относительные траектории спутников Земли только при больших радиусах их орбит, сравнимых с орбитой Луны и более, из-за роста неоднородности гравитационного поля ускорения от Солнца на траектории полёта спутников Земли, НО ТОЛЬКО НЕ НАПРЯМУЮ, А ЗА СЧЁТ ОДНОГО ПРИРАЩЕНИЯ СВОЕГО ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ на рассматриваемое тела (например, Луну) относительно значения этого же самого вектора ускорения в начале применяемой системы координат, например, в центре масс Земли для Земной СК, если в ней рассчитывается траектория Луны вокруг Земли. А ведь ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ и ПОЛНАЯ ВЕЛИЧИНА ЭТОГО ВЕКТОРА, что эквивалентно применению термина «Соотношение сил (ускорений)», ведь не одно и то же, как не совпадает в математике понятие о дифференциале ( приращении) силы и величине самой силы.
В итоге, «Сфера притяжения» из всех рассмотренных «сфер» для планет, по моему твёрдому убеждению, вообще не имеет никакого права на своё существование как не только бесполезная, но и вредная по своей сути, искажающая в задаче «Трёх тел» реальную механику вращения тела относительно другого для малоподготовленных читателей из-за чисто формального рассмотрения величины «соотношения сил», при том, что величина этой силы притяжения от Солнца не оказывает никакого практического влияния на относительное вращение Луны вокруг Земли при существующей орбите Луны.
P.S. Что же, в итоге, можно выделить и рекомендовать из рассмотренного изобилия «сфер», достойных общедоступного упоминания на просторах Интернета? По «Гамбургскому счёту», только одну «сферу» - «сферу Хилла» и больше никаких других из вышерассмотренных так называемых «сфер», за серьёзными названиями которых нет единой величины радиуса «сфер», несмотря на одно и то же их предназначение. Только «Сфера Хилла» представляет важную и конкретную по величине характеристику гравитационных возможностей планеты в условиях её подчинённого положения относительно гравитационного поля звезды по имени «Солнце» И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ МАКСИМАЛЬНЫЙ ВОЗМОЖНЫЙ РАДИУС СФЕРЫ, внутри которой планета может стабильно удерживать свои спутники от гравитационных притязаний Солнца по срыву спутников с их относительных траекторий вращения вокруг планеты.
По моему скромному мнению, упоминание «сфер» с названиями («сфера действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»), НЕ ОТРАЖАЮЩИМИ ИХ ОДИНАКОВОГО РЕАЛЬНОГО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЯ переходить из одной системы координат в другую при расчёте межпланетных траекторий, следует ограничить кругом специалистов их и предложивших для своих же расчётов. Либо раскрыть их истинный смысл, заменив их названия на более понятное: «Сфера стыковки межпланетных траекторий». Видимо, только «солидность» названий этих «сфер» и позволила им закрепиться в умах пользователей Интернета, поверивших в серьёзность их смысла и поставивших их в один ряд с единственной и действительно важной для планет характеристикой - «Сферой Хилла».
В итоге, всё изобилие названий гравитационных "сфер" для планеты Земля оказалось на удивление однообразным и малополезным для широкой публики в Интернете, несмотря на свои солидные названия.
Однако, Со Старым Новым Годом и новыми понятными названиями для «сфер»!
До ближайшей встречи на Лунных орбитах, поскольку на наших глазах разворачивается уже не "киношная", а реальная гонка полётов человека на Луну. Определим параметры «сферы удержания спутников» для Луны.
Георгий. 13.01.2020г. 17час.40мин время моск.
Уважаемая RMR_astra!
Поскольку я небольшой знаток космических проблем и литературы на эту тему, то и моя версия с эксцентриситетом без учёта эффектов деформации тел уж и не знаю, как появилась у меня, скорее всего где-то прочитал в своё время. Упомянутый Вами эффект дифференциального действия мне кажется не совсем подходящим именно для Луны как скорее уже довольно "старого" и остывшего тела, хотя вроде бы и наблюдали на ней некоторые признаки вулканических извержений (а может это были световые и пылевые эффекты от больших звездолётов инопланетян?). Возможно, что у Луны могла сформироваться некоторая эллипсность ("вытянутость") в поперечном сечении ещё в её молодом возрасте, когда поверхность была более подвижна и пластична.
В обоснование моей версии о Луне привожу скриншот и цитату из Википедии из раздела "Селенология" (https://ru.wikipedia.org/wiki/Луна):
"Любопытно, что центр масс Луны располагается примерно в 2 км от геометрического центра по направлению к Земле."
Конкретно для Луны имеет место именно смещение центра масс из-за её асимметрии расположении больших более плотных областей масс по её объёму, о чём свидетельствует и рис о гравитационной аномалии на поверхности Луны, где показано 5 крупных областей тёмно-красного цвета с повышенной гравитационной аномалией ("масконы"- от "mass concentracion") на видимой стороне Луны, чего нет в таком же заметном виде на обратной стороне, а есть, наоборот, области тёмно-синего цвета с пониженной гравитацией. Если бы для Луны наблюдалось влияние упругого изменения формы тела в поперечном сечениии в направлении к Земле, то оно сопровождалось бы изменением только формы сечения (из оружности в эллипс), при изменении которой практически не происходит смещения центра масс относительно геометрического центра фигуры (точно так же как, например, и у симметричной гантели нет смещения центра масс относительно её геометрического центра), а у Луны есть смещение центра масс на 2 км, что лишь свидетельствует об аномальном распределении масс Луны с различной плотностью.
Упомянутое Вами объяснение за счёт появления эксцентриситета вследствие упругих деформаций, на мой взгляд, больше подходит для спутников с наличием больших жидких морей, как, например, у Земли. Тогда на ближайшей стороне к планете образуется выпуклость жидкой поверхности океана в сторону планеты, а на противоположной, как ни странно, также образуется точно такая же выпуклость, появление которой многие не могут объяснить. А всё очень просто. Ведь ускорение спутника к притягивающей его планете приложено в его центре массы, а его передняя половина, обращённая к притягивающей планете в своих верхних слоях испытывает чуть БОЛЬШЕЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ускорение притяжения от планеты, чем его собственный центр массы из-за разницы в расстояниях до притягивающего центра масс планеты. А вот обратная сторона спутника, по той же причине (из-за разницы в расстояниях), испытывает почти такое же по величине УМЕНЬШЕНИЕ ускорения притяжения к планете относительно основного ускорения центра масс спутника за счёт БОЛЬШЕГО расстояния до планеты относительно центра масс спутника. В итоге из-за заметной "неоднородности" поля притяжения планеты, передняя половина спутника, обращённая к планете, дополнительно ускоряется относительно своего центра масс спутника, а его противоположная, тыловая, половина, наоборот, дополнительно отстаёт почти на ту же самую величину по ускорению относительно основного ускорения центра масс спутника, и поэтому точно также повышает на ту же величину свой уровень океана из-за отставания "местного тылового" ускорения. Вот и образуется своеобразная симметричная эллипсность поверхности океана с двумя одинаковыми «горбами» в поперечном сечении в плоскости орбиты спутника, которая направлена своей несколько большей полуосью на центр масс притягивающей планеты. На ваш вопрос о расчётах могу сообщить, что проводил лишь расчёт разницы в ускорениях для крайних точек Земли из-за притяжения Луной. Результаты расчётов совпали с сответствующими данными из энцикопедии и даже обнаружилась незначительная и непринципиальная неточность в статье.
Воздействием этой заметной "неоднородности" гравитационного поля по диаметру спутника (или планеты), наиболее проявляющейся только при повышенном отношении диаметра рассматриваемого тела к расстоянию до притягивающего более массивного тела, объясняются многие эффекты, например, постепенное увеличение периода вращения тела (увеличении длины суток в часах) из-за сил трения, тормозящих вращение тела, при эволюциях приливных «горбов» по поверхности океанов. Можно упомянуть и о появлении описанного ранее мною эффекта "гантели" за счёт эллипсности поверхности океана, приводящего к затягиванию в синхронизацию периода собственного и орбитального вращений рассматриваемого тела. И хотя "гантель" и состоит из воды, но она всё-таки вязкая и обладает небольшими силами трения.
Кстати, также именно этой разницей в ускорениях в крайних противоположных областях рассматриваемого тела относительно притягивающей планеты, объясняется появление опасной для тела пары сил, стремящейся оторвать крайние части тела спутника друг от друга (разорвать его напополам), вплоть до вполне возможного его разрушения при опасном постепенном сближении с планетой, или Солнцем. из-за резкого нарастания "неоднородности" (разности) ускорений притяжения в крайних точках диаметра тела спутника относительно направления на центр притяжения планеты. Вспомнил впечатляющие кадры полуразвалившейся Луны в небе Земли, по моему, из фильма "Интерстеллар".
Конечно же, при наличии заметных деформаций формы тела спутника под действием этой пары "разрывающих" сил гораздо эффективней, чем воды океанов с их жидким трением, и приведут в появлению "стабилизирующего" момента, препятствующему собственному вращению спутника и даже к его "разогреву" из-за выделения тепла при механической неупругой деформации тела. Правда, выделение тепла характерно, по-моему, только для этапа предшествующего появлению устойчивой синхронизации, когда тело спутника интенсивно "разминается и замешивается" подобно тесту. Однако после входа в режим устойчивой синхронизации деформированное состояние тела как бы "заморозится" и выделение тепла резко снизится. (В связи с выделением тепла, вспомнил впечатляющие кадры из документального фильма о добыче руды в открытых карьерах и задымлении от саморазогрева покрышек из-за их знакопеременных деформаций у гигантских карьерных самосвалов ("Белазов"), перевозящих несколько сотен тонн породы за один рейс. Однако, информации об оценке величин возможной деформации, например, Луны, у меня нет, и поэтому надо дожидаться соответствующих оценок от специалистов (в области упругих состояний тел), а к таковым я не отношусь.
Главное, чтобы наши читатели узнали о многообразии вариантов причин, объясняющих это довольно интересное явление и поняли, что это не какое-то там удивительное, случайное и редкое совпадение периодов собственного и орбитального периодов вращения спутника, а вполне объяснимое и часто встречающееся в космосе явление, которое может быть вызвано совокупностью разных причин, приводящих к асимметрии в поперечном сечении вращающегося тела в направлении на центр масс планеты, притягивающкй к себе спутник и заканчивающейся в итоге одним и тем же результатом - поворотом спутника одной своей стороной к планете при достижении небольшой, предшествующей этому моменту синхронизации, скорости вращении спутника вокруг собственной оси.
Георгий. 17.02.2020 23ч.30м время моск.
Уважаемый Георгий!
Ваша статья «Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны»настолько актуальна, что ее надо опубликовать в соответствующем научном жунале.
Ваше объяснение синхронизации вращения Луны несовпадением центра масс с геометрическим центром, безусловно, справедливо, но оно не единственное.
В астрономической литературе это явление объяснается более эффективным, дифференциальным действием притяжения. Ближайшая к планете сторона спутника притягивается к планете сильнее, чем противоположная. Это приводит к растяжению спутника, образованию выпуклостей с двух сторон: большей в направлении планеты и меньшей с противоположной. Движение спутника по орбите заставляет выпуклости всегда быть направлеными на(от) планету, то есть смещаться по телу планеты в сторону, противоположную освому вращению. Осевое вращение замедляется, пока ни становится равным периоду орбитального движения.
Я расчеты не проводила, но, думаю, что вторая причина эффективнее первой. Синхронный спутник Юпитера Ио деформируется и поэтому разогревается так, что на его поверхности действует множество вулканов, а на синхронном спутнике Юпитера Европе – под ледяной поверхностью – жидкий океан.
Ту же природу имеют приливы и отливы на Земле под действием дифференциального притяжения Луны.
Интересно, не проводили ли Вы расчеты. Желаю дальнейших успехов!
13.02.2020г
Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»
при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны.
В предыдущем комментарии, опубликованном 27.01.2020, была произведена оценка величины радиуса «сферы удержания Луной своих спутников» (аналог радиуса "сферы Хилла" для Луны) которая составила ~53000км, гарантирующей удержание спутников независимо от фаз Луны, поскольку был взят за основу наихудший вариант для удержания спутников в фазе полнолуния Луны при минимальной дальности от Луны до Земли в 356 тысяч км.
В данном комментарии определена для Луны величина радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий» при подлёте к ней с целью выхода на орбиту её спутника. Аналогичный расчёт был ранее проведен в комментарии по поводу «сфер», относящихся к планете Земля, от 28.01.2020.(см. Рис.2). Там же можно прочитать подробнее о методике расчёта относительных поправок от возмущающих факторов. Ниже приведен Рис.1, построенный аналогично Рис.2 для Земли и посчитанный по той же методике, но уже применительно к Луне.
На Рис.1 приведены относительные доли поправок от «возмущающего» притяжения Земли (=dgз – красная кривая) при расчёте траектории Лунного Космического Аппарата (ЛКА) в Лунной Системе Координат (СК) и в Земной СК, когда «возмущающим» фактором является, наоборот, учёт приращения от притяжения Луной (=dgл – зелёная кривая) при подлёте аппарата к ней. В соответствии с ранее описанным принципом равенства долей от возмущающего фактора для одного и того же тела, но рассчитанных в разных системах координат на границе, равной радиусу «сферы переключения», это будет дальность до точки т.3 на Рис.1, которая определяет это расстояние в ~48 тыс.км от центра масс Луны.
С учётом фактической разницы в значениях для радиуса "сферы", получаемых из формулы и из графического решения для точки "т.3" (когда совпадают величины долей возмущающих факторов в разных системах координат), которая для «сферы переключения» планеты Земля (равного 0,929 млн.км(по формуле) / 0,800 млн.км (по графику рис.2 в т.3)) в относительном виде составила 1,16 ( т.е. 16% завышение радиуса по формуле относительно дальности точки "т.3"). Применим величину этого же поправочного множителя и для Луны. Тогда Rсферы Луны: 48тыс.км*1,16=55,7 тыс.км, или ~ 56 тыс.км. Как видим, радиус «сферы удержания спутников» в ~ 53тыс.км (см. предыдущий комментарий от 27.02.2020) и радиус «сферы переключения межпланетных траекторий»(~56 тыс.км) для Луны весьма близки. В то время как для Земли они отличаются в ~1,6 раза, т.е. 1,5 млн.км (дальность удержания, «сфера»Хилла) и 0,929 млн.км («сфера переключения» по общепринятой формуле для неё). Вызвано всё это гораздо большей относительной величиной соотношения масс Луны и Земли относительно величины соотношения масс Земли и Солнца. Поэтому и диапазон изменения соотношения сил притяжения Земли к Луне составил всего ~3,3 раза на границе удержания спутников для Луны (см. параметр Fз/л для точки "т.4"), вместо ~ 40 раз для аналогичной точки "т.4" для Земли (см.Рис.2 комментария от 28.01.2020).
Отметим, что дальность до точки "т.4" (~59 тыс.км) уже была ранее определена на Рис.1 в предыдущем комментарии от 27.01.2020, а здесь, на рис.1 этой же точке соответствует величина возмущающей поправки в 100% от ускорения притяжения тел Луной в явном виде, когда приращение ускорения от «возмущающего» фактора Земли сравнивается по величине с ускорением от притяжения основного тела (Луны), тогда и выполняется условие для гарантированной потери Луной своего спутника.
Если рассмотреть радиусы орбит спутников с одинаковой долей неоднородности от возмущений, характерной, например, для Луны на её орбите относительно Земли (не более 1 % возмущения от притяжения Луны Солнцем при среднем радиусе орбиты Луны ~380 тыс.км), то аналогичный радиус (при том же уровне возмущения не более 1% от Земли относительно основного ускорения Луны) для СПУТНИКОВ Луны составляет порядка ~13 тыс.км. (см. выше рис.1 красная кривая).
Кстати, низкие орбиты спутников, проходящие на высоте в несколько десятков километров над поверхностью Луны, подвержены влиянию только неравномерности гравитационного поля Луны и позволяют путём точного измерения высоты пролёта спутника над поверхностью Луны (конечно, с поправками на местные холмы и горы рельефа Луны) за счёт многих оборотов весьма точно определить реальное положение центра масс Луны относительно его средней сферической поверхности (своего рода, уровня океана, имеющегося у Земли, и которого, к сожалению, нет у Луны).
Определение величины эксцентриситета в положении центра масс Луны относительно геометрического центра её сферы позволит тем самым объяснить причину синхронизации периода вращения Луны вокруг собственной оси с её периодом вращения вокруг Земли, поскольку Луна повёрнута всегда одной и той же стороной к Земле именно из-за наличия такого эксцентриситета вследствие неравномерного распределения масс разной плотности по объёму её сферы.
Объяснение синхронному вращению Луны даёт так называемый "гантельный эффект". Если вывести на орбиту планеты удлинённое тело в разнесёнными массами на его концах (типа дополнительно вытянутой гантели), то горизонтальное положение гантели на орбите, параллельное нижележащей поверхности планеты (местному горизонту) будет НЕУСТОЙЧИВЫМ положением равновесия, которое будет нарушено при небольшом угловом уходе от этого положения, например, из-за кажущегося вращения гантели относительно планеты, поскольку гантель стремится сохранить неподвижным своё положение в пространстве относительно звёзд, а местный горизонт вращается относительно гантели с угловой скоростью вращения спутника вокруг планеты. А вот ВЕРТИКАЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ГАНТЕЛИ к местному горизонту, т.е. разворот продольной оси гантели на центр притяжения планеты, когда одна из половин разнесённой массы тела находится ближе к центру притяжения планеты, чем другая половина, является УСТОЙЧИВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ РАВНОВЕСИЯ за счёт разницы в силах притяжения для каждой из половин гантели (из-за разного расстояния до центра притяжения планеты при одинаковых плечах для половинных масс гантели относительно их общего центра масс гантели) при любом угловом отклонении от вертикального положения возникает ненулевой стабилизирующий момент от этой пары сил, разворачивающий продольную ось гантели, проходящую через центры двух её разнесённых масс, по направлению на центр притяжения планеты.
По той же причине возникнет внутренний момент стабилизации и у Луны, если у неё есть такой эксцентриситет (смещение) положения центра масс Луны относительно её геометрического центра сферы. В итоге, эсцентриситет центра масс Луны вызовет появление момента, стабилизирующего положение внутренней линии в теле Луны (направленной от положения реального центра масс Луны на геометрический центр её сферы) по направлению на центр масс Земли. Иначе говоря, Луна станет вынужденно поворачиваться к Земле своим более высоким по удельному весу вкраплением внутри её тела, смещённым относительно геометрического центра её правильной сферы. Если бы внутреннее распределение масс было симметричным по радиусу во все стороны относительно её оси симметрии, то причин для возникновения такого момента бы не было и период собственного вращения Луны вокруг своей оси мог бы быть каким-то другим, отличным от существующего на сегодня, и тогда бы мы могли периодически лицезреть обратную сторону Луны ( и "Гюльчатай (Луна), открыла бы нам своё и второе, невидимое личико."), которое сейчас наблюдает и исследует лишь один шустрый китайский "нефритовый заяц". ("Ну, заец, погоди!", прилёта нашего Волка). Кстати, таких спутников, как Луна, обращённых своей одной стороной к своей планете, в нашей Солнечной системы не мало, поинтересуйтесь сами. Видно не так просто было природе создавать тела с практически идеальной симметрией распределения внутренних масс относительно оси её симметрии.
P.S. Теперь, уважаемые читатели, отслеживая информацию о радиусах орбит лунных космических аппаратов Вы знаете, по крайней мере, что максимальный допустимый радиус орбиты для «лунников» реально не будет превышать 59 тыс.км, радиус "сферы переключения межпланетных траекторий" составляет ~ 56 тыс.км, а орбиты лунного космического аппарата, практически не подверженные воздействию возмущений из-за неоднородности гравитационного поля Земли, должны иметь радиус менее ~13 тыс.км.
Георгий. 13.02.2020г 22ч10мин время моск.
Уважаемая RMR_astra!
С Вашим первым утверждением я не согласен, но согласен с уважаемым Георгием, однако со вторым Вашим утвержденим по поводу Рогозина я полностью согласен. Хотелось бы согласиться с Георгием, но пока оснований для оптимизма мало. Однако еще есть время и, надеюсь, оно скоро наступит.
Продолжение комментария.
Наши мнения разошлись: я знаю, что американцы были на Луне – см. статью, и не верю, что Рогозин способен сделать что-то полезное в космонавтике.
Уважаемая RMR_astra, большое спасибо за оценку моих заметок. В ближайшие дни Вас и всех читателей данного сайта ждёт ещё одно небольшое, но весьма оригинальное и неожиданное для большинства читателей сообщение, связанное с расчётами траекторий аппратов очень близко подлетевших к Солнцу таких, например, как зонд "Паркер", о существовании которого я ещё и пару недель назад ничего не знал.
Выражаю Вам, RMR_astra, БОЛЬШУЮ БЛАГОДАРНОСТЬ за Ваше сообщение о зонде "Паркер"!
Действительно, ПОРАЗИТЕЛЬНО ИНТЕРЕСНЫЙ ПРОЕКТ, миссия которого позволит пролить свет на не только на излучения Солнца (ну и каламбур), но и прояснить многие вопросы, связанные с механикой полёта тел в таких экстремальных близких условий пролёта у центральной звезды планетной системы и даже оценить многие интересные вопросы, связанные, например, с формированием гравитацонного поля вокруг звезды (т.к. есть некоторые оригинальные теории по этому поводу) и многое чего другого.
Обидно, что эти данные, наверняка, не будут доступны всем нашим заинтересованным в этих вопросах учёным, а очень жаль. Упустили мы инициативу, превратившись в "извозчиков" на МКС, вместо реализации по настоящему интересных космических исследований, прежде всего Луны и вот таких оригинальных запусков зонда к Солнцу... Ну не нужны нам на сегодняшнем этапе развития никакие марсы и прочие безжизненные планеты вместе с безумными и авантюрными идеями их колонизации. Пора начинать наводить порядок на самой Земле (хотя бы с мусором в океанах и в ближем космосе по расчистке от космического "мусора" на орбитах, пока ещё не поздно) и начать в ближайшее время серьёзное освоение Луны, на которую, уверяю Вас, ещё не ступала нога ни одного человека, ну а в американском шоу можно всякое показать, на это они мастера ... Как бы не проиграть нам в этом возобновившемся соревновании прежде всего китайцам. Очень уж медленно и неуверенно раскачиваемся, отодвигая даты запусков всё дальше и дальше. Надо бросить все силы на освоение Луны - вот наша приоритетная задача на ближйшие десятилетия в космических программах, а не марсовые прожекты по поиску каких-то там следов бывших цивизизаций, от которых нам никакого проку нет на данном этапе развития космической техники.
Я верю в Вас, Д.О. Рогозин. Вы же патриот отечества! Дмитрий Олегович, не подведите! Пора всерьёз браться за Луну, ещё можно успеть! Выполните мечту Сергея Павловича Королёва:
Георгий. 02.02.2020г 18ч.10мин. Время моск.
Интересный познавательный материал. Преклоняюсь перед теми, кто занимается проектами, не приносящими быструю прибыль:
Заинтересовало, какая же страна выделила средства на запуск космического аппарата к планете Меркурий. Почти не сомневаясь, что Роскосмос не участвует в этом проекте, а только США, с удивлением узнала, что