Уважаемый Виктор Михайлович!

От всей души поздравляю Вас с Днём рождения и желаю Вам творческих успехов!

Как оказалось, мы тут недавно "повыясняли" наши личные взгляды на современную физику и мне очень понравился Ваш выдержанный и корректный стиль. Простите, немного погорячился в своей первой реакции, которая, конечно же, была направлена на крайне неудачный, по моему скромному мнению, учебник, явно перешедший все допустимые научные этические барьеры между балансом законов и теорий.  

 Кстати, оказалось, что я с Вами уже давно знаком, когда случайно пару месяцев назад, из любопытства и настороженностью ( с моими-то  ортодоксальными классическими взглядами на физику), просмотрел на сайте видеозапись Вашей лекции на современные проблемы физики и мне, честно говоря, очень понравился Ваш взвешенный и я бы сказал корректный подход к современным веяниям в физике, что мне лично очень понравилось, хотя моё отношение к современной физике Вы уже представляете. 

Рад был познакомиться персонально!  

Ещё раз от всей души поздравляю Вас,  желаю Вам прежде всего отличного здоровья и, конечно же, творческих успехов на ниве преподавательской деятельности!

P.S. Во мне ,видимо, есть какая-то нереальзованаая тяга к преподаванию, которая и заставляет меня писать эти подробные графоманские комментарии на Вашем сайте. Вы уж тут приглядывайте, пожалуйста, за мной  иногда, чтобы  во время исправить мои вполне возможные заблуждения и ошибки. Всего Вам самого наилучшего.

Георгий. 15.03.2020г 10ч.25мин Время моск.

Сегодня - День рождения не только Альберта Эйнштейна, но и руководителя Лаборатории космических исследований Виктора нашего Михайловича Журавлёва!

Виктор Михайлович! Праздничный, но серьёзный вопрос: вот Вы пишете, что пространство-время - нематериально, и непонимание этого - проблема современной физики. Я считаю постранство-время особым способом отношений материальных объектов, то есть склонен к реляционной их концепции.

Однако, скажите - что Вы понимаете под "материей", "материальностью" и, если пространство-время - нематериально, то каково же оно?

     В околофизической среде любят произносить названия, типа Теория Всего, как предел мечтаний физика.  Для современных физиков - это не более, чем способ указать на то, что, возможно, удастся построить общую теорию для тех видов материи, которые мы называем элементарными частицами, атомами, молекулами и т.д.

       Но для ее объяснения придется вводить и вводят в теорию новые формы материи, для которых теорий нет. Более того, нет и достоверных экспериментальных фактов. Те же кварки - это лишь способ объяснить некоторые закономерности в структуре элементарных частиц. Но их наблюдать в современном эксперименте нельзя. Получается что-то вроде средневековой схоластики. Скорее всего кварков и нет в реальности, но они дают удобный способ рассуждать и что-то рассчитать   То же самое касается и бозона Хиггса.

      Так что можно лишь говорить об успешности той или иной теории в объяснении определенного круга явлений. Следующие теории избавятся от достаточно одиозных элементов современных теорий, но будут вынуждены вводить новые, для которых не будет достоверных сведений. Идеальные математические объекты с симметриями служили всегда подпоркой наших знаний в условиях недостатка информации. Так ведется с первых физических теорий, начиная с Аристотеля и Архимеда.

Существует такая околофизическая деятельность, которая  старательно ищет ошибки в  современных теориях физики, в особенности в Специальной теории относительности (СТО). Общую теорию относительности (ОТО) трогают гораздо меньше по той причине, что она гораздо сложней для понимания. По этой же причине еще меньше трогают квантовую теорию. На чем обычно строятся попытки опровергнуть эти теории? Как правило, они связаны с тем, что сами физики обнаруживают и обсуждают те или иные парадоксы этих теорий и трудности их интерпретации.

     Например, уже больше ста лет обсуждается парадокс близнецов, сформулированный Полем Ланжевеном в 1911 году. С точки зрения некоторых физиков считается, что парадокс разрешен, а с точки зрения другой части - нет. Парадокс имеет форму легко воспринимаемой притчи и поэтому обсуждается всеми  - и понимающими СТО, и не понимающими СТО. Такие парадоксы - очень благодатная почва для альтернативных суждений. Существует ли в реальности трудность СТО, связанная с этим парадоксом? На мой взгляд - существует. Проблема в том, что в СТО нематериальный объект пространство-время наделяется физическими свойствами, что и приводит к парадоксам.

    В ОТО существует еще больше парадоксов и трудностей. Например, самая главная проблема ОТО - это невозможность приписать гравитационному полю в форме искривленного пространства-времеми какую-то определенную энергию. Это, в частности, не позволяет уже больше ста лет построить квантовую теорию гравитации. На мой взгляд, эта проблема возникает из того, что и в ОТО нематериальному пространству-времени приписываются физически измеримые свойства. О чем-то похожем говорили физики и раньше. Например, в книжке Бриллюэна "Новый взгляд на теорию отностельности" (ее легко найти в Интернете) высказывалось много разных идей о том, что нужно сделать, чтобы объяснить парадоксы.

     Это я пишу к тому, что очень часто люди, поверхностно знающие суть проблемы, обвиняют современных физиков в тупом догматизме. На самом деле проблема не столько в том, чтобы найти парадокс, а в том, чтобы создать теорию, исправляющую парадоксы.  Те, кто обвиняют современную физику в догматизме, как правило, предложить что-то полезное не в состоянии. Однако, как показывает опыт последних лет 200, для исправления парадоксов необходимо радикально менять суть теорий, но таким образом, что старые достижения остаются в силе. Последнее сейчас называется принципом соответствия. Поэтому, если уж браться за формулировку парадоксов, то надо это делать с целью найти путь к улучшению теории, а не просто взять ее и отвергнуть.

     Возврат к классической механике не возможен, поскольку она не объясняет множество наблюдаемых явлений. К сожалению, есть мало книг, в которых описывают то, как менялись взгляды физиков. Современные учебники содержат описание уже построенного здания, когда все леса и подпорки, которые были необходимы для его построения, уже убраны. Поэтому в учебниках редко проглядывают  те споры и дискуссии, которые в конце концов привели к современной физике. В ней сейчас много заблуждений, но многие из них станут ясны только после создания новой теории. Можно надеяться , что это произойдет в ближайшее время.

Уважаемый Георгий!

Интересный экскурс в историю физики. Спасибо!

Но поскольку вы анонсировали еще и современный взгляд на законы Ньютона, сделаю небольшое дополнение. Хотя сам Ньютон свой закон формулировал в форме $F=ma$,  сейчас такой подход следует считать неточным. Дело в том, что закон должен отражать некоторую экспериментальную закономерность с уже определенными величинами.  Однако сила $F$ как количественная характеристика некоторого физического фактора так или иначе опять связана со вторым законом Ньютона. Вы специально этому посвятили несколько разделов для определения силы. Поэтому более правильная формулировка второго закона Ньютона должна выглядеть так. "Отношение ускорений различных тел, помещенных в одну и ту же физическую обстановку, относятся друг к другу, как обратное отношение их масс". Другими словами:
$$
   \frac{a_1}{a_2}=\frac{m_2}{m_1},~~\frac{a_2}{a_3}=\frac{m_3}{m_2}, ~~\frac{a_1}{a_3}=\frac{m_3}{m_1},\cdots
$$
Отсюда:
$$
   m_1a_1=m_2a_2=m_3a_3=\cdots=F
$$
Величина $F$, однозначно характеризующая воздействие физической обстановки на тела, называется силой. Ускорение $a$ является чисто геометрической величиной, не требующей дополнительного определения. Масса $m$ - некоторый параметр, характеризующий количество вещества. Теперь становится ясно, что сила $F$ - есть физический фактор, вытекающий из второго закона Ньютона. Задача физики - это выяснение того, как $F$ связана с  физической обстановкой.

Я здесь не стал уточнять, что ускорение и сила являются векторами. Это очевидное расширение закона. Есть еще одно расширение, связанное с тем, что само тело может изменять физическую обстановку. Так обстоят дела в законе Всемирного тяготения и законе Кулона, например. В этих законах сила, вызывающая ускорение, зависит от массы или заряда самого тела. Однако в этом случае второй закон Ньютона должен  формулироваться для пробных тел (с бесконечно малыми массами и зарядами), что обеспечиваает сушествование напряженностей полей. Это дает более точное понимание того, с чем мы имеем дело в теории тяготения и электродинамике. Это же сразу высвечивает трудности этих теорий. На макромасштабах проблем нет. Но в микромире и массы, и заряды частиц, таких как электроны, протоны и т.д., не могут иметь массу и заряд меньше определенной величины. Минимальная масса электрона - масса покоя, а заряд всегда кратен заряду электрона. Поэтому на этом уровне второй закон Ньютона уже не может рассматриваться как фундаментальный.  Но это уже другая история.

Законы механики И.Ньютона в современном изложении

и их формулировка в «Началах».

Содержание:

1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе

2. Определения в книге «Начала».

3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ

3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела

3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат

4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ

5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.

6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА

7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра

   7.1 Устройство динамометра

   7.2 Устройство акселерометра

   7.3  Описание принципа работы акселерометра

   7.4  О колебательном характере процесса измерении ускорения

   7.5  Методы снижения колебательности процесса измерения ускорения

   7.6.  О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты

   7.7.  Тарировка акселерометра

8. Пример использования акселерометров в системах управления летательными аппаратами

1. Справка о книге И.Ньютона «Математические начала натуральной философии» и её переводе  

   Первый том «Начал» был представлен Исааком Ньютоном Королевскому обществу в 1686г., а  полностью  труд Ньютона под названием «Математические начала натуральной философии» (на современном языке - «Математические основы физики») в трёх томах вышел через год, в 1687г.       Тираж (около 300 экземпляров) был распродан за 4 года — для того времени очень быстро. Два экземпляра этого редчайшего издания хранятся в России; один из них Королевское общество в годы войны (1943г) подарило Академии наук СССР на празднование 300-летнего юбилея Ньютона. 

 Далее Вашему вниманию, уважаемый читатель, предлагаются выдержки из книги серии «Великие умы России» Елены Сельцовой «Алексей Николаевич Крылов». Москва 2017г. о выдающемся переводчике «Начал» И.Ньютона на русский язык А.Н.Крылове - механике, математике и кораблестроителе.

   В 1914г выпускник-отличник Морской академии Алексей Николаевич Крылов (03.06.1863 – 26.10.1945) (и её будущий профессор, имя которого будет присвоено позже Морской академии),  приступает к переводу с латинского (языка для научных публикаций того времени) «Начал» Исаака Ньютона  и в 1916г книга была напечатана полностью с дополнениями в оригинальный текст Ньютона более чем 200 замечаний переводчика размером от пары строк до нескольких листов. В этом же году Крылов был избран действительным членом Российской Академии наук, а позже и членом Академии наук СССР.

     Сразу по окончании с отличием Академии Крылов был зачислен в Главное гидрографическое управление, где выполняет свой первый научный труд по расчёту делений  для нового дефлектора  - прибора, измеряющего действующую на компас магнитную силу, заменяющего ручные расчёты поправок к дополнительному устройству, автоматически корректирующему показания компаса с учётом влияния намагниченности металлических корпусов кораблей, сменивших деревянные суда, которые не искажали показания магнитного компаса. Неоднократные крушения в 19 веке металлических кораблей из-за ошибочных показаний компаса, вызванных девиацией показаний, привели к разработке вышеупомянутого прибора коррекции показаний компаса. Крылов изучив предложенный французский вариант «дромоскопа», построенного на основе приближённой формулы девиации и приводящего к значительным ошибкам, предложил на основе точной формулы девиации своего научного руководителя (основоположника учения о девиации И.П.де-Колонга) новый вариант «дромоскопа», который благодаря простоте оказался в 7 раз дешевле французского прибора. По окончании преподавательской деятельности (в 75 лет) он возвращается к научным изысканиям по компасному делу. За эти работы и курс лекций о девиации А.Н. Крылов был удостоен Сталинской премии 1-й степени в 1941г, а в 1943г. ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда.

    В начале своей научной деятельности Крылов читал, по совету своего научного руководителя,  необходимые для работы сочинения Гаусса на латыни. Только тогда будущий академик осознал важность знания этого языка: «Много раз в течение моей жизни и научной деятельности мне с пользой служила латынь…  Я свободно разбирался в элементарно простой латыни  Эйлера, несколько труднее в превосходной латыни Ньютона и ещё труднее в чисто классической латыни Гаусса и Якоби».   По иронии судьбы, Крылов в детстве, обращаясь к отцу с просьбой разрешить учиться на морского офицера в училище, мотивировал свою просьбу нежеланием «зубрить никому не нужные латынь и греческий». Однако из-за развившейся близорукости к моменту окончания училища мечта о флотской жизни с кругосветными путешествиями оказалась неосуществима.

   У англичан перевод «Начал» Ньютона есть только в виде подстрочника.  В мире нет издания, подобного переводу А.Н. Крылова. Автор стремился не только сохранить смысл подлинника, но и следил за чистотой русского языка, отказавшись от знаменитой жёсткости языка  Ньютона. Крылов писал, что «там, где сейчас принято говорить «сохраняет своё состояние движения», в «Началах»  можно прочесть «продолжает упорно пребывать в своём состоянии»; на языке Ньютона сила не прикладывается к телу, а «вдавливается» или «втискивается» в него и т.п. Поэтому с целью приближения текста к современному способу изложения «в переводе принята менее выразительная, но общеупотребительная теперь терминология».

   В 1916г. в Петрограде вышла книга «Начал» И.Ньютона в переводе профессора А.Н.Крылова  под названием «УЧЕНIЕ о ПРЕДѢЛАХЪ, какъ оно изложено у Ньютона». Это единственный случай, когда  переводчиком «Начал» стал выдающийся учёный.

    Именно в этой книге «Начал» И.Ньютон сформулировал три закона классической механики и закон тяготения ("закон обратных квадратов", как его называл сам Ньютон и который им был опубликован до написания "Начал"), а также изложил свой вариант (независимо от Лейбница) математического анализа бесконечно малых приращений (метод «флюксий» у Ньютона  в отличие от метода дифференциального исчисления у Лейбница, утвердившегося в науке вместо «флюксий» Ньютона) и развил метод вариации произвольных постоянных эллиптического движения применительно к анализу движения Луны, так что уравнении Лагранжа были, по-видимому, предвосхищены в книге Ньютона.  

         Далее приведены небольшие отрывки из предисловия Л.С.Полака к изданию «Начал» в серии «Классики науки» под названием:  «Исаак Ньютон   Математические начала натуральной философии» под редакцией Л.С.Полака, Москва ,«НАУКА» 1989. Репринтное издание 1936г. 687стр.

  « Школьные годы делают ньютонианцами всех людей на нашей планете… Мы впитываем в нашу духовную плоть три аксиомы (закона) Ньютона, его пространство и время, его закон всемирного тяготения и многое другое…  Не случайно Лагранж назвал «Начала» «величайшим произведением человеческого ума».

     Открытию закона всемирного тяготения в Англии предшествует период волнующих исканий: Гук, всегдашний противник и оппонент Ньютона, Галлей, восторженный поклонник его и Рен, великий архитектор и учёный,  в 1684г. втроём обсуждают в Лондоне вопрос о движении тел под действием силы притяжения;  здесь Гук заявляет, что у него уже готово решение, но он откладывает сообщение о нём.  Время идёт, и Галлей замечает, что мистер Гук «не так хорош, как его слова», и однажды обращается к Ньютону с вопросом: какая должна быть орбита тела, движущегося вокруг центра притяжения под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния?  Ньютон немедленно отвечает, что это, конечно же, эллипс и что он уже с 1679г. владеет решением задачи. С этого момента и начинается работа  Ньютона, приведшая к созданию «Начал».

   Знание тогдашней науки и работ современников видно из анализа состава библиотеки Ньютона. В ней 2100 томов по алхимии и химии, математике и физике,  естественным наукам, теологии  и классической древности.   

   Универсальность открытой Ньютоном динамической системы была неожиданностью для его современников…

    Ньютон не случайно  назвал свой великий труд «Математическими началами» . Математика для него была главным орудием в физических исследованиях.  Но Ньютон никогда не терял связи с экспериментом, и в этом его сила. Его изумительное искусство в постановке многочисленных опытов заложило основы экспериментального исследования современного типа.    Сам Ньютон писал, что тем, чего он достиг «обязан только усердию и упорной мысли».

  Великий труд Ньютона и переворот, произведенный им, не следует рассматривать как результат линейного развития более ранних идей. Если в разработке и применении двух первых законов (аксиом) движения у него были предшественники, то третий закон полностью принадлежит Ньютону и никем не оспаривался.

  Как известно, Ньютон сформулировал закон тяготения (закон обратных квадратов), определяющий движение небесных тел в классическом пространстве, до того, как написал «Начала», с успехом приложив его к анализу притяжения между Солнцем  и планетами. Однако только согласно его третьему закону гравитация не могла далее рассматриваться как некое изолированное свойство, присущее одному центральному телу Солнечной системы. Она должна быть присуща Луне, каждой планете, комете и  звезде во Вселенной – мысль, вероятно, одна из глубочайших, когда-либо приходивших человеческому уму…

      В заключение необходимо подчеркнуть воистину бесчисленные подтверждения положений, развитых Ньютоном в «Началах». В течение последних десятилетий они получили решающее «космическое» доказательство: достаточно вспомнить о прецизионных экспериментах, поставленных с помощью искусственных спутников Земли и подтвердивших с высокой точностью уравнения Ньютона.» 

В начале своей книги Ньютон  даёт восемь Определений(I-VIII) и итоговое Поучение:

2. Определения в книге «Начала».

Определение I

   « Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её.»

   Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под названиями тело или масса.  Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками.

  *) Примечание Крылова:  Ни одно определение Ньютона не вызвало столько критических замечаний и столько толкований. Термин «Количество материи» составляет как бы одно слово «материя», но при дальнейшем развитии науки не удержался и в современной терминологии заменён равносильным ему термином «масса».

  Необходимо так же иметь в виду, что в то время при установлении меры для какой-либо величины устанавливалась лишь её пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда не говорили, как теперь (когда делается предположение о принятой единице массы), «площадь прямоугольника равняется произведению его основания на высоту», а говорили «площадь прямоугольника пропорциональна его основанию и высоте». 

  До Ньютона понятие о массе не вводилось, а рассматривался лишь вес и при старинной терминологии понятно, что плотность не определялась как масса единицы объёма вещества, а говорилось, что плотность тела пропорциональна  его весу и обратно пропорциональна его объёму. Имея это в виду, можно ньютоново определение, придерживаясь теперешней терминологии, выразить так: 

   «Масса есть мера количества вещества, пропорциональная его плотности и объёму»

Определения II

«Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»

Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его, значит для массы, вдвое большей, при равных скоростях оно двойное, при двойной  же  скорости – четверное.

Определение III

 « Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»

    Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на неё.

  От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врождённая сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии.  Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление и как напор. Как сопротивление – поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить своё состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе  сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор – телам движущимся.

Но движение и покой, при обычном их рассмотрении, различаются лишь в отношении одного к другому,  ибо не всегда находится в покое то, что таковым простому взгляду представляется. 

    Определение IV

   «Приложенная сила есть действие, производимое над телом, что бы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.»

   Сила проявляется единственно только в действии, и по прекращении  действия в теле не остаётся. Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции.  Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы.

    Определение V

  «Центростремительная сила есть та, с которою ТЕЛА к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся.»

   Такова сила тяжести, под действием которой тела стремятся к центру Земли, магнитная сила, которою железо притягивается к магниту, и та сила, каковою бы она ни была, которою планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и вынуждаются обращаться по кривым линиям.  Камень, вращаемый в праще, стремится удалиться от вращающей пращу руки, и этим свои стремлением натягивает пращу тем сильнее, чем быстрее вращение, и как только его пустят, то камень улетает.

   Силу, противоположную сказанному стремлению, которою праща постоянно оттягивает камень к руке и удерживает его на круге, т.е. силу направленную к руке или к центру описываемого круга, я и называю центростремительной.

    Но тело может испытывать воздействия не только со стороны тел, с которыми оно соприкасается. Оно может подвергаться воздействиям также со стороны различного рода силовых полей, возбуждаемых другими телами. Поэтому вопрос сводится к тому, как убедиться в том, что воздействиям со стороны силовых полей тело не подвергается. Брошенное тело, если бы силы тяжести не было, не отклонялось бы к Земле, а уходило бы в небесное пространство по прямой линии равномерно, если бы не было и сопротивления воздуха. Своею тяжестью оно оттягивается от прямолинейного пути и постоянно отклоняется к Земле в большей или меньшей степени, сообразно напряжению силы тяжести и скорости движения.

    Увеличивая скорость свинцового ядра, брошенного горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, можно по желанию увеличить и дальность полёта и уменьшить кривизну линии, по которой ядро движется, так чтобы заставить его упасть как можно далее от горы и можно было бы окружить всю Землю или даже уйти в небесные пространства и продолжить удаляться до бесконечности. Подобно тому, как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, если она ей подвержена, или же иною силою, которая влечёт её к Земле, может быть отклоняема  от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите. Если бы сила была меньше соответствующей этой орбите, то она отклонила бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то отклонила бы её более, чем следует, и приблизила бы её от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины. 

    Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении на заданной орбите с данною скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силой будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданной скоростью.» 

*) Вот так Ньютон вводит, поразившее всех современников, понятие о Динамической системе, или как её часто называют механики "Задача расчёта динамики" движения тела! 

3. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ИНЕРЦИИ НЬЮТОНА. СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ

     (Далее, (в кавычках «…»)  приводятся цитаты из учебника: Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том1. Механика 2005г. МФТИ.  и из «Начал»И.Ньютона)

      В качестве  Первого закона движения Ньютон принял закон инерции, высказанный в частной форме еще Галилеем. 

   Согласно этому закону тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и равномерно. 

    Для примера, приведём, два равноценных варианта Первого закона из «Начал» в переводе А.Н. Крылова:

«Всякое тело продолжает пребывать в своём состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояние»,   или  как второй вариант этого же перевода:

 «Всякое тело удерживает своё состояние покоя или  равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не  понуждается приложенными силами изменять это состояние».

  Такое тело называется свободным, а его движение — свободным движением или движением по инерции. Свободных тел,  говоря точно, не существует. Они являются физическими абстракциями. Однако можно поставить тело в такие условия, когда внешние воздействия на него по возможности устранены или практически компенсируют друг друга. Представив себе, что эти воздействия беспредельно уменьшаются, мы и приходим в пределе к представлению о свободном теле и свободном движении.

  Итак, всякое тело оказывает сопротивление при попытках  изменить величину (модуль)  или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. У разных тел оно проявляется в разной степени. Так, сообщить одно и то же ускорение большому камню значительно труднее, чем маленькому мячику.  Мера инертности тела называется его массой, которая пропорциональна количеству вещества в теле.   Чем больше масса тела, тем оно инертней и тем труднее изменить вектор скорости этого тела.

    В качестве эталона для измерения массы тел условились  взять массу определенного тела  и считать её равной единице. Тогда массы всех остальных тел определятся однозначно.

     В физике в качестве основной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эталонной гири из сплава иридия с платиной, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов. Приближенно килограмм равен массе кубического дециметра чистой воды при температуре 4 °С. Тысячная доля килограмма называется граммом».

3.1. О возможных внешних воздействиях на материальные тела

  « Здесь, однако, возникает следующая трудность. Как убедиться в том, что тело не подвержено внешним воздействиям? Об этом нельзя судить только по отсутствию ускорений. Нужны какие-то другие независимые способы. Иначе закон инерции потерял бы всякое содержание. Вполне удовлетворительного ответа на этот вопрос не существует.

  В отсутствие внешних воздействий мы убеждаемся по отсутствию растягивающих пружин или веревок, которые тянут тело, по отсутствию тел, которые давят на него, т. д.

       Все силы, встречающиеся в природе, известные в настоящее время, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромагнитным силам, сильным и слабым взаимодействиям. Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные  - на расстояниях порядка 10^-13 см, слабые на расстояниях порядка 10^-16 см. В макромире, который только и изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.

   Электромагнитные и гравитационные силы, напротив, являются силами дальнодействующими. С расстоянием они убывают медленно. Если это статические силы, то они убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Если же они переменные (электромагнитные волны), то убывание происходит еще медленнее — обратно пропорционально расстоянию. Только благодаря электромагнитным волнам (свет, радиоизлучение, рентгеновское излучение), исходящим от планет, звезд, пульсаров, галактик и пр., мы и знаем о существовании этих небесных объектов. Поэтому нет оснований утверждать, что удаленные источники не возбуждают заметных электромагнитных и гравитационных полей в рассматриваемой нами области пространства. Однако в отсутствие электромагнитных полей всегда можно убедиться, так как они действуют по-разному на  положительные и отрицательные заряды, из которых состоят тела. Под действием таких полей возникло бы некоторое разделение положительных и отрицательных зарядов, которое можно было бы обнаружить на опыте. Заряженный шарик, помещенный в одну и ту же точку пространства, двигался бы по-разному в зависимости от того, заряжен он положительно или отрицательно. Все имеющиеся факты не противоречат утверждению, что удаленные тела Вселенной не возбуждают сколько-нибудь заметных статических электромагнитных полей в малых областях пространства (порядка размеров Солнечной системы или Галактики).

  О гравитационных полях этого нельзя сказать с той же уверенностью. Но если бы такие поля и существовали, то с ними можно было бы не считаться. Дело в том, что всем телам, независимо от их состава, одно и то же гравитационное поле сообщает в точности одинаковое ускорение. Статическое гравитационное поле удаленных тел Вселенной в малых областях пространства можно считать практически однородным.

      Можно ввести систему отсчета, свободно падающую в таком однородном  гравитационном поле. На явлениях, происходящих в такой системе отсчета, наличие этого однородного гравитационного поля никак не сказывается. Здесь все происходит в точности так же, как в кабине космического корабля, свободно движущегося в космическом пространстве. В такой кабине космонавты не чувствуют наличия поля тяготения (невесомость)».

*) примечание: см. также ниже раздел  7.6. О невозможности измерения акселерометром гравитационного ускорения притягивающей планеты. 

3.2. Об инерциальных и неинерциальных системах координат

  « В кинематике выбор системы отсчета не был существенным. Все системы отсчета кинематически эквивалентны. Не так обстоит дело в динамике.

   Уже закон инерции с особой остротой ставит вопрос о выборе системы отсчета. Одно и то же движение выглядит по-разному в разных системах отсчета. Если в какой-либо системе отсчета тело движется прямолинейно и равномерно, то в системе отсчета, движущейся относительно первой ускоренно,  реально движущееся равномерно тело будет казаться движущимся ускоренно.

  Отсюда следует, что закон инерции не может быть справедлив во всех системах отсчета. Без указания системы отсчета он просто теряет смысл. Классическая механика постулирует, что существует система отсчета, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчета. Содержание закона инерции, в сущности, сводится к утверждению, что существует по крайней мере одна инерциальная система отсчета.

     Попробуем взять гелиоцентрическую систему отсчета, иначе называемую системой Коперника (по имени польского астронома Николая Коперника (1473—1543)). Это есть координатная система, начало которой помещено в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы), а координатные оси являются прямыми, направленными на три удаленные звезды и не лежащими в одной плоскости. Материальными объектами, с помощью которых реализуются эти оси, являются световые лучи, приходящие от звезд в Солнечную систему. Из-за относительного движения звезд углы между координатными осями в системе Коперника не остаются постоянными, а медленно изменяются с течением времени. Однако ввиду колоссальности расстояний до звезд изменения направлений координатных осей происходят настолько медленно, что, как правило, их можно не принимать во внимание. Система Коперника практически является инерциальной системой, по крайней мере при изучении движений, происходящих в масштабе нашей планетной (Солнечной) системы.

   Неинерциальность Земной системы отсчета объясняется тем, что Земля, во-первых, вращается вокруг собственной оси и, во-вторых, -  вокруг Солнца, т. е. движется ускоренно относительно системы Коперника. Впрочем, оба эти вращения происходят медленно. Поэтому по отношению к громадному кругу явлений происходящих на Земле Земная система отсчета ведет себя практически как инерциальная система. Обычные, сравнительно грубые наблюдения и опыты над движением тел не позволяют обнаружить отступления от инерциальности земной системы отсчета. Для этого требуются более точные и тонкие опыты.

 Вот почему при установлении основных законов динамики можно начать с изучения движения тел относительно Земли, отвлекаясь от её вращения, т. е. принять Землю за приблизительно инерциальную систему отсчета.» 

*) Примечание:   Рассуждения выше относятся, конечно же не к полётам спутников вокруг Земли, а к анализу движения обычных относительно небольших по масштабам расстояний земных тел. Например, при учёте движений, связанных с большими расстояниями, необходим учёт неинерциальности Земли, как, например, влияния силы Кориолиса для рек, или изменение ускорения притяжения на полюсе и экваторе и т.п.

4. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. УСКОРЕНИЕ ТЕЛА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ

 « Общие законы движения Ньютон сформулировал с использованием понятия СИЛЫ.   Представление о силе возникает в связи с ощущением мускульного усилия, которое у нас возникает при поднятии тяжелых тел или при приведении их в движение.

    Под силой в механике понимают всякую причину, изменяющую скорость тела. В инерциальной системе отсчета производная от скорости материальной точки по времени представляется уравнением.

     Эти уравнения выведены при условии, что масса тела является постоянной величиной и независящей от скорости тела.

m * (dv/dt)   = F;            или, в другом виде:      (dv/dt)    = F / m;                 (4.1)

m * (d²r/dt²) = F;           или, в другом виде:       (d²r/dt^{2 )} = F / m;                 (4.2)

  Величина F называется результирующей (геометрической суммой всех сил по правилу параллелограмма) силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. Очевидно, что сила  F  является вектором (обладает направлением в пространстве), поскольку она равна производной вектора скорости по времени,  или же второй производной от координаты тела.

    Таким образом, в инерциальной системе отсчета производная от скорости (или ускорение) равна действующей на неё результирующей силе, отнесённой к массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона,  а соответствующие ему уравнения — уравнениями движения материальной точки.

        Конечно, если движение тела (материальной точки) известно, т. е. известны ее координаты как функции времени t, то простым дифференцированием по времени (t)  можно определить величину действующей силы (представляющей собой геометрическую сумму всех сил, действующих на тело)  как функцию того же времени.»

     В связи с отсутствием понятия ускорения второй закон у Ньютона формулируется в виде изменения  количества движения, т.е. изменения величины произведения массы на скорость тела  (при постоянстве массы тела) так:

«Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой , по которой эта сила действует».

Примечание Крылова:   В непосредственной связи со вторым законом находится Лемма X, в которой показывается, что в пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени. Эта Лемма в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению.

               5. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ТЕЛ.

    «  Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки. Одну из сил, согласно Ньютону, иногда называют действием, а другую — противодействием.

     Формулируют третий закон следующим образом:

     Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

     Следует, однако, заметить, что «действие» по своей физической природе ничем не отличается от «противодействия». Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или наличием электрического поля, то и противодействующая сила обусловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодавление. Действие — давление камня на стол — обусловлено деформацией камня, противодействие давление стола на камень — обусловлено деформацией стола.   В основе подразделения сил на «действующие» и «противодействующие» лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие.

    Так, если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим противодействие, — телега.

       Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих тел является активным, а какое пассивным. Какую  из сил назвать действием и какую противодействием - это в большинстве случаев вопрос соглашения. »

    Формулировка Третьего закона у Ньютона:

«Действию всегда есть равное противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.»

Если какое-нибудь тело, ударившись о другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько-нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своём собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимодействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно,  что тела никаким другим усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут пропорциональны массам тел, ибо количества движения  получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений. 

     И вот весьма важное Следствие IV, посволяющее выбрать точку для размещения начала системы координат, в которой планируется рассчитывать траектории движения различных тел, т.е. решать Динамическую задачу, как её поставил сам Ньютон выше в ОпределенииV.

Следствие IV

  «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения;    поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится  в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»

   Следовательно, по отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела. Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел надо всегда рассчитывать по движению центра  тяжести их.

*) Примечание: В современном механике центр тяжести заменяется на более точное понятие центра масс системы, или центра инерции системы(см., например, книгу М.А. Айзермана "Классическая механика", стр.73). 

   Центр тяжести и центр инерции системы тел практически совпадают при условии размещения рассматриваемых тел в однородном внешнем поле ускорения от притяжения планетой или Солнцем, т.е. постоянном по величине внещнего ускорения и действии его на все тела системы по параллельным линиям, проще говоря, при постоянном векторе внешнего ускорения.   Использование центра инерции системы тел Солнечной системы для размещения в нём начала инерциальной систем отсчёта  (это, так называемая, барическая система (барсистема)) будет весьма правильным решением для избавления её от всех вращательных движений, присущих даже самому Солнцу из-за  его вращении вокруг центра масс Солнечной системы, расположенныму, иногда даже вне пределов сферы самого Солнца (например, при "параде планет", когда они выстраиваются в одну линию относительно Солнца и совместным количеством движения сильнее всего смещают центр инерции относительно центра масс Солнца.

                                                                                 Следствие V

  « ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ друг по отношению к другу тел, заключённых в каком-либо пространстве, ОДИНАКОВЫ, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения.»

    Следствие VI

« Если несколько тел, движущихся как бы то ни было друг относительно друга, будут подвержены действию равных ускоряющих сил, направленных по параллельным между собою прямым, то эти тела будут двигаться друг относительно друга так же, как если бы сказанные силы на них не действовали.» 

Так как эти силы, действуя на все тела одинаково (соответственно массам движущихся тел) и по направлению параллельным, будут сообщать всем телам одинаковые скорости (по второму закону), то они ни в чём не изменят ни положений, ни движений тел друг относительно друга.

*) Примечание:

     Именно это Следствие VI, было использовано автором данного комментария (метод "обращения движения в обратную сторону" относительно вектора внешнего ускорения от Солнца, т.е. его векторное вычитание из центров масс для всех рассматриваемых тел) для обоснования перехода расчёта движения Луны относительно Земли из Солнечной системы координат (задачи "трёх тел") в Земную (задаче "двух тел"), естественно с учётом некоторой фактической  неодинаковости как по величине внешнего ускорения Солнца, так и небольшой их непараллельности для Луны и Земли, да к тому же и при наличии годового вращения гравитационного поля Солнца относительно Земной группы тел.    Однако, за счёт применения метода учёта ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ (а неполной величины!) от внешнего возмущающего ускорения Солнца, т.е. компенсации влияния этой неоднородности относительно начала Земной системы отсчёта практически удалось скомпенсировать влияние всех этих отклонений от идеальных условий, оговоренных в данном СледствииVI.    Кроме того начало системы отсчёта (с учётом того, какие тела рассматриваются) также размещается ещё и в центре инерции рассматриваемой системы тел (в её барцентре, см. выше примечание к Следствию IV).

                                 6. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА

         « Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения (его закон "обратных квадратов"), согласно которому любые два тела (материальные точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:                                

                                                     F = G * (M*m)  /  r²  ;                                 (6.1)

  Такие силы называются гравитационными или силами всемирного тяготения.

 Коэффициент пропорциональности G, входящий в формулу и введённый позже в употребление, один и тот же по величине для всех тел. В этом смысле коэффициент G является универсальной постоянной. Это одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной.

       Измерения G современными методами привели к следующему результату на сегодняшний день:

             G = (6,6725 ±0,0005) * 10^-8 дин * см² * г^-2   =  (6,6726±0,0005)-10^-11  H * м² * кг^-2.  

    Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала. Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимно притягиваются с силой F = 6,67 • 10^-11 Н = 6,67 • 10^-6 дин. »

Для тел, находящихся в гравитационной области Земли, закон всемирного тяготения запишется так:

                            Fпр.= G * (M_Земли *m_тела)  /  (r _{тело-цмЗемли}) ²;                             (6.2)

    где r _{тело-цмЗемли} - расстояние от центра масс тела до центра масс Земли. 

Логично объединить три параметра в один, называемый ускорением земного притяжения:

                                           g (r) =  G * M_Земли  /  r _{тело-цмЗемли} ² ;                                               (6.3)

     И тогда сила притяжения Земли примет простое выражение по типу 2-го закона Ньютона для сил.  

                                           Fпр. = g (r) * m _тела;                                                                             (6.4)

    Для тел, расположенных на поверхности Земли (уровне океана), ускорение земного притяжения  было получено опытным путём для общепринятого среднего радиуса Земли  (r _Земли = 6,371*10⁶ м).

   g ₀ = G * M_Земли / r _{цмЗемли} ² = 9,78 (на экваторе) или 9,81 (на полюсе)м/сек² ≈9,80 м/сек²  (6.5)

    Как следует из всемирного закона тяготения (6.1) ускорение земного притяжения обратно пропорционально квадрату расстояния между телом и центром массы Земли.

    Логично избавиться при определении ускорения притяжения g(r) от произведения  двух неизменных параметров (G * MЗемли), поделив  выр. 6.3  на  6.5 .

    В итоге, получено выражение для ускорения гравитации в околоземном пространстве.

                              g   =  g _{0 *}  (r _{цмЗемли}  / r _{тело - цмЗемли} )² ;                                                      (6.6)    

    После подстановки расстояния до центра масс Земли (r тело-цмЗемли) в виде суммы  высоты полёта над уровнем океана (r_g0)  (т.е. расстояние от тела до высоты определения значения g0) и  среднего радиуса Земли (r_Земли) получим более подходящее для орбитальных полётов выражение для g :

                           g(r_g0)  =  g _{0 *}  ( r _{цмЗемли}  / (r _{цмЗемли}  + r_g0 ) )² ;                                              (6.7)

где:  g ₀ ≈ 9.8 м/сек² ,   r_g0 [м] – расстояние (оно же высота полёта над океаном) от тела до среднего уровня (поверхности) Земли, на которой и было определено  ускорение g ₀,   средний радиус Земли  -  r_{цмЗемли} = 6,3781*10⁶ м.

                  7. Описание принципа работы пружинного динамометра и акселерометра.

     При описании 2-го закона было введено понятие СИЛЫ, которое возникает у человека в связи с ощущением мускульного усилия, которое он должен развить при поднятии разных по массе тел или при приведении их в движение из состояния покоя. Для объективного измерения величины силы можно, например, использовать пружинные весы, называемые в физике динамометром (измерителем силы).

     На рис.1 показан более сложный прибор, называемый акселерометром, который тоже построен на базе пружины, но на нижнем конце пружины у него подвешено тело, определённой и постоянной массы для данного прибора. 

7.1 Устройство динамометра.

  Динамометр устроен ещё проще, чем акселерометр. К нижнему свободному концу пружины вместо измерительного тела подсоединена жёсткая тяга, выведенная через отверстие в дне корпуса наружу, к которой можно приложить внешнее усилие, например,  нажать ею на какой-либо тело или же подвесить груз определённой массы, а, следовательно, и определённой силы.  Например, в условиях гравитации на поверхности Земли сила притяжения груза к Земле будет равна в соответствии со  2-м законом 

чем на Земле, и динамометр покажет для гири массой в 1 кг измеренное значение силы веса ~ 0,17кГ на Луне вместо 1кГ на Земле. А человек массой 100кг на Луне будет давить на поверхность Луны с силой ~ 17кГ, вместо 100кГ в условиях Земли.  (Извиняюсь за применение устаревшей системы единиц (1кГ-силы вместо 9,81Ньютонов), но так как-то привычнее для нашего поколения.) 

7.2 Устройство акселерометра.

       Для летательных аппаратов (сокращённо ЛА) необходимо уметь определять на борту ЛА собственную траекторию полёта, скорость и ускорение движение аппарата относительно поверхности Земли., чтобы долететь в нужную точку над поверхностью Земли.      Для этого система управления  ЛА снабжается тремя датчиками ускорений, называемыми блоком акселерометров с осями чувствительности, направленными строго по трём осям связанной системы ЛА. Интегрирование  показаний акселерометров (после их предварительного проектирования из связанной системы в невращающуюся систему координат с использованием показаний углов ориентации связанной системы относительно невращающейся, получаемых от дополнительных гироскопических датчиков углов) позволяет определить сначала величины  проекций текущего ускорения центра масс ЛА, которые непрерывно интегрируются по времени с целью получения составляющих скоростей, а параллельно с этим идёт интегрирование самих составляющих скоростей,  позволяющее рассчитать уже декартовые координаты ЛА, т.е. его траекторию полёта в этой невращающейся системе отсчёта. 

       Акселерометр представляет собой дальнейшее развитие динамометра, к которому в нижней части пружины жёстко прикреплено измерительное тело определённой и постоянной массы (далее просто тело) и помещённое (в отличие от динамометра) в  полностью закрытый и герметичный корпус прибора.  Принципиальная разница между ними состоит в том, что динамометр, обычно используют для измерения сил  в статических неускоренных режимах, например, определения силы веса различных тел, т.е. их взвешивания в быту или для измерения сил в физических опытах.  А акселерометр применяют для измерения линейных ускорений движущегося объекта, т.е. в динамических режимах полёта ЛА, когда динамометр дополнительно снабжают небольшим измерительным телом постоянной массы, подвешенным на измерительной пружине,  что  позволяет производить измерения величины силы (по величине растяжения пружины), действующей на это измерительное тело при РАЗНЫХ величинах внешнего ускорения, сообщаемых корпусу прибора в виде геометрической суммы силы тяги двигателя и аэродинамического сопротивления атмосферы Земли. При этом измеренная величиа силы, приложенной к постоянной по величине измерительной массе, пропорциональна ускорению, действующему на акселерометр в соответствии со вторым законом Ньютона, что  и означает измерение акселерометром величины внешнего ускорения, действующего на корпус прибора.

      Внешнее измеряемое ускорение объекта сообщается корпусу акселерометра, закреплённого на движущемся объекте в нужном для измерения направлении, а тело, подвешенное на пружине, сопротивляясь по закону инерции этому разгону, вынуждено из-за упругой силы всё более растягивающейся пружины двигаться, в итоге, с тем же внешним ускорением, что и корпус прибора.  При этом по установившейся величине растяжения пружины можно, как и в динамометре, определить по шкале величину силы, приложенной к измерительному телу прибора, а поделив измеренную силу на известную постоянную измерительную массу тела, подвешенного к пружине, вычислить величину ускорения тела, которое в установившемся режиме соответствует величине внешнего ускорения, сообщаемого корпусу прибора за счёт его механической связи с корпусом ЛА.  Реально градуровка акселерометра выполнена не в величинах силы,  а в величинах ускорения, а иногда и в величине перегрузки, показывающей во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение на поверхности Земли(=9,81 м/сек²).

          На рис.1 и схематично показано устройство пружинного акселерометра. Далее для простоты будем называть акселерометр просто прибором.      Каким же способом формируется в приборе сигнал об ускорении?  Величина смещения пружины (Х) может быть измерена в акселерометре, например, потенциометрическим способом, с помощью жёстко закреплённого на подвешенном к пружине теле электрического металлического контакта (щётки), скользящего по проволочному линейному потенциометру, закреплённому на корпусе прибора и  запитанному постоянным эталонным  напряжением. При этом со скользящего контакта может быть получено измеренное напряжение U _{Wi измер}., пропорциональное величине растяжения пружины (Х) под действующим на тело ускорением и снятое с потенциометра напряжение можно пересчитать либо в единицы линейного ускорения, например, в [м/сек²], либо в уровнях перегрузки,  n =W_{i измер}  / g₀,    где g₀=9,81м/сек² – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли.  Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз ускорение, сообщаемое телу,  превышает ускорение свободного падения,  иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает обычную земную силу притяжения.

                                   7.3  Описание принципа работы акселерометра.

    Если корпус прибора покоится, т.е. не движется с линейным ускорением вдоль оси пружины прибора (назовём её измерительной осью прибора, вдоль которой производится измерение ускорения), то его пружина находится в свободном ненапряжённом (не сжата и не растянута) состоянии, тело прикреплённой к ней также сохраняет состояние покоя и показания прибора нулевые (нет ускорения).    Когда ЛА начнёт разгон для набора скорости за счёт включения тяги двигателя на максимальный режим центр масс ЛА  и все тела на борту аппарата начнут двигаться с ускорением, например, величиной W_{i изм.}, то корпус прибора, с измерительной осью выставленной вдоль продольной оси ЛА, также начнёт ускоряться с этим же самым ускорением, поскольку прибор жёстко закреплён на ЛА. Тело, повешенное на пружине и стремящееся сохранить свою скорость по 1-му закону инерции, начнёт также разгоняться в сторону этого ускорения за счёт всё большего растяжения пружины и, соответственно, возрастающему усилию растянутой пружины в соответствии с законом  Гука (по выр.4.2).

     Через небольшой интервал времени (так называемую "постоянную времени прибора"), когда ускорение тела прибора сравняется с ускорением его корпуса величина растяжения пружины  Х  покажет на шкале пружины ускорение, измеренное прибором (см. выр.4.3).

                                  W_тела = Wi _изм. = Fпр / m_тела = (k * X) / m_тела ;      (4.3)

    Из 4.3 следует, что измеряемое ускорение однозначно определяется величиной растяжения пружины X (см. выр.4.4),  поскольку коэффициент жёсткости пружины (k) и масса измерительного тела прибора (mтела) являются конструктивной постоянной прибора (k _{констр)}.  А величины коэффициента жёсткости пружины и массы тела выбираются разработчиками прибора такими, чтобы обеспечить прибору требуемый диапазон измеряемых ускорений с учётом ограничений на длину прибора, а значит и на максимальный диапазон растяжений для пружины  (Хмин-Х мах).

                                   W_{i изм.} = (k / m_тела ) * X  =  k _констр * Х;                   (4.4) 

                        7. О колебательном характере процесса измерении ускорения

       Рассмотрим работу прибора при скачкообразном появлении внешнего УСКОРЕНИЯ, сообщаемого корпусу прибора скачком от нуля до некоторого значения (W_{i измер.}) постоянной величины (для простоты рассуждений),  что имеет место, например, при включении двигателя самолёта на полную тягу в момент начала разгона самолёта.

     Корпус прибора (будучи закреплённым на объекте, например, вдоль продольной оси самолёта)  вместе с  верхней точкой подвеса пружины к корпусу прибора начнёт двигаться с приложенным внешним ускорением (W_{i измер.}), однако тело подвешенное к противоположному свободному концу пружины в соответствии с 1-м законом инерции будет стремиться сохранить своё свободное неускоренное состояние покоя и расстояние между измерительным телом и точкой подвеса прижины к корпусу прибора начннёт возрастать, но при этом растяжение пружины Х начнёт увеличиваться, что приведёт к появлению в точке соединения пружины с телом соответствующей нарастающей упругой  силы пружины:     Fпр = k * Х ,  которая приведёт в соответствии со 2-законом Ньютона к появлению УСКОРЕНИЯ у тела, т.е. к его ускоренному движению в направлении упругой силы пружины:   

                              (d²Х/dt²⁾ = F_пр / m_тела =  (k * Х) / m_тела                        (4.5)

   При этом первый интеграл от этого ускорения даст скорость движения (V=dХ/dt) тела, а второй интеграл – величину отклонения пружины от её свободного состояния (Х).

   Процесс увеличения  растяжения  пружины (Х) будет продолжаться пока всё возрастающая упругая сила пружины НЕ СООБЩИТ телу, подвешенному на пружине ускорение равное внешнему измеряемому ускорению (W_{i измер.}) .  Когда внешнее ускорение корпуса прибора и ускорение тела, подвешенного на пружине,  совпадут, то по величине растяжения пружины Х  с учётом тарировки пружины (об этом несколько ниже)  можно получить данные о  величине внешнего ускорении W_{i измер.}  Назовём эту величину  растяжения пружины  балансировочным значением измеренного внешнего ускорения (Х_Wiизм), а соответствующее ему напряжение сигнала прибора, снимаемое со щётки потенциометра,  U _{Wi измер.}

     Однако процесс растяжения пружины в момент сравнивания внешнего ускорения с ускорением тела  может и НЕ прекратится, а продолжиться и будет носить далее характер слабо затухающих синусоидальных колебаний относительно балансировочного значения ХWiизм.  Колебательность тела на пружине появится, если в конструкцию прибора не будет заложено специальных мер  демпфирования  этих колебаний  (см. Рис. 2  для случая с k_демпф1=0). 

     Причина этих колебаний в том, что незадемпфированное тело не остановится в момент совпадения ускорений корпуса и тела прибора,  а продолжит движение в ту же сторону внешнего ускорения из-за набранной к этому моменту скорости тела  (см. выше упоминание о первом интеграле от ускорения тела, равным скорости движения тела V)  и будет в соответствии с 1-м законом инерции по-прежнему продолжать увеличивать растяжение пружины Х по инерции с набранной им скоростью. Теперь уже добавочная сила пружины из-за её дополнительного растяжения  (Х-Х_Wiизм)  начнёт процесс гашения этой скорости до нуля.  После того как дополнительное растяжение пружины, вызванное инерцией тела за счёт набранной скорости, остановит тело, обнулив его скорость, оно начнёт своё ускоренное движение  в обратную сторону к положению балансировочного значения (Х_Wiизм),  потому что пружина будет растянута сверх балансировочного положения и избыточное растяжение пружины (Х >Х_Wiизм), которое погасило скорость движения тела  до нуля, продолжит её уменьшать, вызвав рост скорости уже в обратном направлении.   На обратном пути тело также может проскочить балансировочное положение Х_Wiизм, поскольку опять может накопить какую-то скорость в процессе ускоренного движения к положению равновесия, равную интегралу от ускорения,  и процесс колебаний продолжится.          Колебания измерительного тела смогут затухнуть ТОЛЬКО при наличии сил, тормозящих скорость перемещения тела, например, силы трения тела о стенки корпуса прибора.

                  7.5  Методы снижения  колебательности процесса измерения ускорения

     Для борьбы с колебательным характером переходного процесса от одного уровня измеряемого ускорения к другому новому значению, необходимо приложить к колеблющемуся телу дополнительную силу, тормозящую скорость его движения и пропорциональную величине скорости, т.е. демпфирующую (гасящую скорость тела) силу, выражаемую формулой:

                        F_демпф.= - k_демпф * V;                                                                          (4.6)

  где:  минус означает, что демпфирующая сила всегда направлена противоположно  вектору скорости.

    Если поделить  демпфирующую силу на массу тела, то, в соответствии со 2-м законом получим величину ускорения (см. 4.7), гасящего избыточную скорость движения тела, что нам и нужно для демпфирования колебаний тела относительно балансировочного положения.

                          W_демпф.= - (k_демпф *V) / m _тела;                                                       (4.7)

    Таких тормозящих сил есть немало в природе, например, это всем известная СИЛА ТРЕНИЯ измерительного тела о стенки цилиндра, относительно которых тело скользит и испытвает тормозящее влияние от силы трения.  Однако технически сложно подобрать стабильную по условиям эксплуатации  величину требуемого коэффициента демпфирования (kдемпф) для сил трения.     Можно  воспользоваться также СИЛОЙ ВОЗДУШНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ, когда воздух, заключённый  с двух сторон от измерительного тела в герметичной области перемещения тела при движении тела сжимается в области, на которую надвигается измерительное тело и начинает перетекать в соседнюю высвобождаемую телом область с разряжением воздуха через специально спрофилированные продольные шлицы с определённой калиброванной площадью. При этом тело выполняет роль поршня сжимающего воздух и чем меньше площадь щели для перетекания воздуха тем сильнее сжимается воздух и растёт сила, противодействующая перемещению тела, иначе говоря тем больше значение коэффициента демпфирования  k_демпф.  Вспомните, например, резкий рост ваших усилий при попытке увеличения скорости накачивания велосипедным насосом.

      Регулируя величину площади сечения для перетекания воздуха между полостями разделёнными измерительным телом) можно  подобрать такое значение k_демпф у прибора, при котором переходный процесс будет носить быстрозатухающий колебательный характер и даже  апериодический, т.е. плавно подходящий к  значению Х_Wiизм (без перерегулирования), т.е. Х(t) =< Х_Wiизм. (см., например,  на Рис.2 процесс при  k_демпф3).

     Однако, у всех без исключения способов демпфирования есть общий неизбежный недостаток, связанный с тем, что введение дополнительных сил  демпфирования СНИЖАЕТ скорость растяжения пружины (dX/dt)  в сравнении с вариантом  без демпфирования (k_демрф=0).  Поэтому  время выхода на момент измерения, когда  Х ~= Х_Wiизм, (т.е. величина постоянной времени акселерометра, которую желательно иметь как можно меньше для снижения запаздывания при управлении подвижными маневрирующими ЛА типа зенитных ракет)  будет несколько больше, чем при слабозатухающем процессе.    

 Но и показания слабозатухающего переходного процесса (с k_демпф1=0) нам вовсе не нужны из-за их замусоренности свободными колебаниями измерительного тела не имеющими ничего общего с реальным измеряемым ускорением.   Апериодический процесс измерения (с k_демпф3) весьма затянут по времени нарастания выходного сигнала и также вносит свои искажения, состоящие в занижении  показаний относительно реального измеряемого ускорения. При интенсивном входном знакопеременном измеряемом ускорении его показания будут сильно занижены относительно реального измеряемого ускорения.

    В итоге, на практике выбирают обычно вариант с k_демпф=k_демпф2 с небольшим забросом в 5-10% от ступенчатого входного уровня измеряемой величины (кривая синего цвета) и обладающий неплохой средней скоростью нарастания выходного сигнала при некоторой неизбежной дополнительной потере в быстроте реакции прибора на входное ускорение (небольшом росте постоянной времени запаздывания) мы получаем лучшую точность измеренного ускорения, менее «засорённую» паразитными собственными колебаниями измерительного тела в переходном процессе измерения.  (сравните три процесса на Рис.2 ).

       Можно также привести ещё один пример уже электромагнитного демпфирования колебаний, когда электропроводящая пластинка, закреплённая на теле акселерометра будет перемещаться вместе с ним без физического контакта  над постоянным линейным магнитом, закреплённым в корпусе прибора.       При относительном  перемещении в пластинке за счёт поля магнита в ней будут наводиться токи (так называемые токи Фуко), которые взаимодействуя своими полями с полем внешнего постоянного магнита будут тормозить скорость относительного перемещения пластинки над магнитом. Этот метод демпфирования часто используют в стрелочных электроизмерительных приборах для демпфирования колебаний измерительной стрелки.

7.6  О невозможности измерения акселерометром  гравитационного ускорения притягивающей планеты.

    Как уже отмечалось выше, акселерометр принципиально не способен измерять ускорение, вызванное действием гравитации на прибор, т.к однородное гравитационное поле, воздействуя ОДИНАКОВО на все элементарные массы прибора,  сообщает ОДНО И ТО ЖЕ УСКОРЕНИЕ  всем частям прибора и поэтому НЕ ВОЗНИКАЕТ НИКАКИХ  РАЗНОСТНЫХ  СИЛ  между подвижной и неподвижными частями прибора, а поскольку нет разностных сил, то и нет перемещений, нет растяжения пружины  и нет никаких показаний прибора.

     Поэтому УСКОРЕНИЕ свободного падения космического корабля на какую-либо планету или Солнце под действием их гравитационного притяжения НЕ МОЖЕТ БЫТЬ измерено на борту корабля никакими внутренними приборами без привлечения какой-либо дополнительной внешней информации о притягивающей нас планете или звезде.

  Измерить в космическом полёте гравитационное ускорение от ближайшей планеты можно только  с првлечением на помощь  ВНЕШНЕЙ информации, например,  при локации планет радиолучом с получением отраженного сигнала и выделением информации о скорости сближения с притягивающей планетой и  вычислении производной от скорости  для определения  ускорения в направлении на планету, либо с применением обработки оптических данных по временному параллаксу центра притяжения на фоне неподвижных звёзд.

   В режиме «свободного падения» физическое ощущение состояния «невесомости» человеком никак не будет зависеть, как и у акселерометра,  от самой величины гравитационного ускорения будь оно величиной 1*g (при полёте вокруг Земли в орбитальной станции)  или, например,  25*g (при свободном падении на Юпитер).

 Это поразительный случай воздействия на  человека  гравитационной ускорения от воздействия массовой силы притяжения, когда он может лететь с любым по величине линейным ускорением, не ощущая никакой физической нагрузки от величины этого ускорения на свои внутренние органы, а находясь лишь в сотоянии лёгкой «невесомости».  Поскольку человек при свободном падении к притягивающему центру планеты, как и акселерометр, НЕ испытывает действия дополнительных разностных внутренних сил, поддерживающих внутренние органы человека относительно его скелета в нужном положении, (например, как брюшная мышечная диафрагма удерживает верхнюю массу органов человека от их опускания вниз к тазу под действием сил притяжения на поверхности Земли), поскольку все его органы и скелет летят с одинаковым гравитационным ускорением и нулевыми относительными скоростями.

 Практика показала, что максимально-допустимое для здоровья человека ускорение от внешних негравитационных сил, например,  от аэродинамической подъёмной силы, при совершении самолётом интенсивных манёвров уклонения, составляет порядка (8-12)*g  даже для тренированных лётчиков (и то в течение нескольких секунд) с использованием специальных противоперегрузочных костюмов. Естественно, наибольшую перегрузку человек может выдержать в лежачем положении относительно вектора действия перегрузки в направлении грудь-спина, т.е. в направлении, перпендикулярном позвоночнику тела, а не вдоль его, поскольку при этом величина возможных смещений внутренних органов при появлении в органах сил, противодействующих большим перегрузочным силам, гораздо меньше, чем в направлении вдоль позвоночника и тем самым снижается величина опасных больших относительных растяжений внутренних органов, могущих привести к разрыву тканей внутренних органов.

                                           7.7  Тарировка акселерометра

       Несмотря на то, что акселерометр не может в принципе измерять ускорение от действия гравитации, однако, если его поставить продольной осью вертикально на поверхность Земли, то он покажет ускорение, численно равное гравитационному ускорению g₀ = 9.8 м/сек² , правда, направленному в другую сторону, т.е. вверх, хотя  при этом корпус прибора покоится на Земле с нулевым истинным ускорением!

           Кажущийся парадокс объясняется тем, что акселерометр при этом измеряет не ускорение гравитации, а ускорение от ДРУГОЙ СИЛЫ – СИЛЫ ОПОРЫ корпуса на Землю, которая численно равна силе притяжения к Земле в соответствии с 3-им законом Ньютона , т.к. тело находится в покое на поверхности земли и обе силы друг друга уравновешивают. Однако из двух взаимно-уравновешенных сил прибор  может реагировать ТОЛЬКО на одну из сил – на реакцию опоры Земли и измеряет её величину,  передаваемую от корпуса прибора через верхнюю точку подвеса на пружину, идущую к измерительному телу,  т.е.  для тела акселерометра реакция опоры земли является ВНЕШНЕЙ негравитационной силой, ускорение от которой он и измеряет.      

     И, наоборот,  если  акселерометр начнёт свободно падать с некоторой высоты под действием только одной гравитационной силы притяжения Земли, то пружина его примет своё несжатое свободное ненапряжённое  состояние и прибор покажет НУЛЕВОЕ ускорение, поскольку все элементарные массы частей прибора испытываю ОДНО И ТО ЖЕ ускорение свободного падения, но при этом НИКАКИХ РАЗНОСТНЫХ УСКОРЕНИЙ между корпуса прибора и его измерительным телом НЕТ, то и измерить ускорение он не может, хотя весь прибор пребывает в состоянии свободного падения под ДЕЙСТВИЕМ ОДНОЙ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  Земли  и падает с ускорением свободного падения, равным g, а показания его будут всё равно нулевыми, не зависящими от величины реального гравитационного ускорения свободно падающего тела.

     В условиях полёта над Землёй эту ошибку в показаниях ВЕРТИКАЛЬНОГО ускорения на 1*g компенсируют довольно просто за счёт программного вычитания из измеренного вертикального «кажущегося» ускорения расчётной величины ускорения g(h) с учётом её зависимоcти от высоты полёта над Землёй (см выр.6.7).

                                             Немного о тарировке показаний акселерометра.

   Для точной тарировки акселерометра в широком диапазоне измеряемых ускорений можно использовать, например,  вращающуюся центрифугу, предварительно  направив  измерительную ось акселерометра точно на ось вращения центрифуги, и замеряя при этом сигнал напряжения с акселерометра и ставя ему в соответствие расчётную величину центростремительного ускорения, определяемую  по известной формуле:   

                                                                Wцентр.= Ω²  * R;       

где:  Ω - угловая скорость вращения центрифуги в [рад/сек],  а  R – расстояние в [м] от оси вращения до акселерометра, а точнее - до центра масс измерительного тела, подвешенного на пружине.

    Кроме того, прибор можно промасштабировать не в  только единицах линейного  ускорения  в [м/сек²], а и в уровнях перегрузки,  n = W_{i измер}  / g₀,    где  g₀ = 9,81м/сек² – ускорение свободного падения на уровне поверхности Земли.  Уровень перегрузки (n) показывает во сколько раз измеренное ускорение превышает ускорение свободного падения, или иначе говоря, во сколько раз сила от внешнего ускорения, действующая на тело, превышает нормальную силу веса земной гравитации.   

    При этом вполне допустим и нелинейный характер тарировочной кривой с отступлением от области линейной упругости пружины при крайних значениях ускорений, лишь бы характеристики жёсткости пружины были стабильны и повторяемы при повторных циклах измерений (т.е. при отсутствии остаточных деформаций у измерительной пружины прибора) и тогда точное измеренное значение ускорения будет определено с учетом его тарировочного графика. 

                                  8. Пример использования акселерометров

                             в системах управления летательными аппаратами.

      Для измерения величины ускорения, с которым движется вдоль заданного направления какой-либо объект, например, самолёт или ракета, следует использовать акселерометр, измеряющий линейное ускорение вдоль своей измерительной оси.

      Для определения полного вектора ускорения объекта, летящего  в трёхмерном пространстве, например, самолёта или ракеты, необходимо и достаточно расположить ТРИ датчика ускорений по трём декартовым взаимно-перпендикулярным осям (OX1, OY1, OZ1) , связанными с телом, (см.рис.3). Этих 3-х датчиков будет необходимо и достаточно, чтобы определить пространственную траекторию движения данного объекта в  3-мерном пространстве, и его полную СКОРОСТЬ и УСКОРЕНИЕ относительно земной системы координат (с.к.) .

      При этом надо только предварительно  пересчитать (спроектировать) измеренные ускорения из связанной системы координат объекта (OX1, OY1, OZ1) в земную систему координат (OXз, ОYз, OZз).  А для этого на борту объекта понадобятся  ещё дополнительные гироскопические приборы для определения УГЛОВОГО положения объекта (углы тангажа, рыскания и крена) относительно земной системы координат. Методика проектирование ускорений между связанной и земной системами координат в данной статье рассматривать не будем.  

      Затем,  за счёт интегрирования УСКОРЕНИЙ, спроектированных в  земную систему координат, получим сначала проекции СКОРОСТЕЙ движения  относительно земной системы координат,  а после интегрирования  скоростей получим и  ДЕКАРТОВЫЕ КООРДИНАТЫ объекта в земной с.к., т.е. его полную траекторию.

     Кстати, по вертикальной оси земной системы координат OYз надо добавить ускорение свободного падения g(h) со знаком минус (см.ниже выр. 6.7),  к измеренному акселерометром «кажущемуся» вертикальному ускорению поскольку, как уже неоднократно отмечалось, он не способен измерять ускорение от воздействия гравитации Земли на движение летательного аппарата. Это и понятно, т.к. например, в горизонтальном полёте акселерометр измерит вертикальное ускорение от подъёмной силы корпуса, равной численно силе притяжения аппарата к земле. Вычтя из этого измеренного ускорения акселерометра, называемого «кажущимся», и численно равного g , вышеупомянутую поправку в виде  (– g) ,  получим в сумме НУЛЕВОЕ вертикальное ускорение, а, следовательно, и нулевую вертикальную скорость в режиме горизонтального полёта, что полностью соответствует горизонтальному полёту летательного аппарата.

P.S. Следующая публикация будет на тему вывода уравнений для скорости и ускорения тел для так называемого (в теоретической механике) "сложного движения" точки, позволяющих распространить методику расчёта динамики движения тела, применяемую в инерциальных системах с использованием законов Ньютона, на неинерциальные вращающихся системы и движущиеся в общем случае с линейным ускорением начала системы координат.

    Георгий 01.03.2020г. 23ч55мин время Моск.

Уважаемая RMR_astra, слово телескоп у меня тесно связано с именем Сергей Дроздов. Сергей был по-настоящему влюблен в астрономию. На одной из лекций по космосу учитель из Вешкаймы рассказал, что у него в классе есть ученик, который из кастрюли сделал телескоп и каждую ночь смотрит через это приспособление в небо. Запрещают родители, учителя, потому что на уроках он просто засыпает, но с его упорством справиться не могут.

Где-то на нашем сайте есть комментарий Сергея под сообщением о создании нового телескопа, в котором он написал, что, наверное, умер бы от голода рядом, его бы не смогли оторвать от такого телескопа.

Сергей Дроздов стал профессиональным астрономом, из сельской школы поступил и уже окончил Государственный астрономический институт им. П.К.Штернберга (ГАИШ). 

Серёжа, мы помним о тебе, ты и нас воодушевил своей мечтой.

 Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?

  У многих (и даже весьма продвинутых "специалистов") этот вопрос заканчивается ответом, что, видимо, Закон притяжения Ньютона не работает, поэтому ответим на этот вопрос  подробно с разбором типичных ошибок  в трёх пунктах в полном соответствии с законами механики Ньютона.

    Во-первых, если в вопросе сравнивается  влияние силы гравитационного притяжения между Луной и Солнцем с силой притяжения между Луной и Землёй, то  следует быть последовательным до конца и обязательно учитывать силу притяжения Солнцем не только  Луны, но и Земли.

    Во-вторых,  РАССМАТРИВАТЬ ВЛИЯНИЕ на относительное движение двух тел в общей постановке с учётом третьего тела (Солнца) ТОЛЬКО ВЕЛИЧИН СИЛ (или ИХ ОТНОШЕНИЙ)   БЕЗ  ПЕРЕСЧЁТА ЭТИХ СИЛ В УСКОРЕНИЯ для каждого из рассматриваемых двух тел, обладающих к тому же  разными массами, с позиций законов механики просто НЕГРАМОТНО, хотя именно в данной конкретной  формулировке рассмотрения сил, приложенных только к одному и тому же телу (Луне) допустимо.

    Из второго закона следует, что для РАСЧЁТА ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА НЕОБХОДИМА только  ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ТЕЛА, вызываемого воздействием на тело РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЙ ВСЕХ СИЛ и  отнесённой (для пересчёта в ускорение) к МАССЕ тела.

    Типичный пример из космоса:  массы у взаимно притягивающихся тел, как правило, РАЗНЫЕ, а силы притяжения  друг к другу ОДИНАКОВЫЕ (см. чуть ниже Закон всемирного тяготения – он ведь одинаков для притягивающихся друг к другу тел: сила взаимного притяжения пропорциональна произведению масс взаимно притягивающихся тел), поэтому, например,  ускорение сближения  Луны в сторону Земли как более лёгкого тела будет в 81 раз больше ускорения сближения Земли с Луной только потому, что масса Земли во столько же раз больше массы Луны. Показательный пример влияния инерционности тел (их массы) на ускорения тел.

  В ИГНОРИРОВАНИИ второго ЗАКОНА МЕХАНИКИ   И  КРОЕТСЯ ОСНОВНАЯ  ОШИБКА в постановке данного вопроса о Луне.  Для анализа движения тел ВАЖНЫ НЕ ВЕЛИЧИНЫ СИЛ или  ИХ ОТНОШЕНИЙ  ДРУГ К  ДРУГУ,  а  УСКОРЕНИЯ,  вызываемые воздействием эти сил и определяемые с учётом влияния свойства инертности тел (их массы).

  Далее обратимся к закону всемирного тяготения Ньютона и  проанализируем , вытекающую из этого закона, формулу для гравитационного ускорения  тел, притягиваемых Солнцем:

      Fs = G · m · Ms / R²   =  (G · Ms / R²) · m    =    gs · m; (1)       где:   gs = G · Ms  / R²; (2)

где: Fs[Н] - сила притяжения Солнцем тела  массой m[кг] ,  

        G – гравитационная постоянная  (G = (6,6726±0,0005)·10^-11  H · м²· кг^-2. )  

        Ms[кг] - масса Солнца, R[м] - расстояние от центра масс тела до центра  масс Солнца, 

   gs[м/сек²] -  гравитационное центростремительное ускорение, приложенное к центру масс притягиваемого тела (массой m), находящегося на  расстоянии R от центра масс Солнца.

 Из выражения (2) следует, что ВЕЛИЧИНА  ГРАВИТАЦИОННОГО  УСКОРЕНИЯ  от притяжения Солнцем  (gs)  ЗАВИСИТ  ТОЛЬКО  ОТ  РАССТОЯНИЯ  до его центра масс (в обратной квадратической зависимости от расстояния) и  НЕ  ЗАВИСИТ ОТ ВЕЛИЧИНЫ МАССЫ ПРИТЯГИВАЕМОГО ТЕЛА!  ВСЕ ТЕЛА на одном и том же  расстоянии от Солнца УСКОРЯЮТСЯ  К  СОЛНЦУ С ОДИНАКОВЫМ  ГРАВИТАЦИОННЫМ  УСКОРЕНИЕМ (от пера и молотка до Луны и Земли).

   Благодаря этому уникальному свойству  СИЛУ  гравитационного  ПРИТЯЖЕНИЯ  И  СИЛЫ  ИНЕРЦИИ  физики выделяют особо и называют  их МАССОВЫМИ  СИЛАМИ  (в отличие от всех остальных физических (ВНЕШНИХ по отношению к телу) сил, например, силы тяги реактивного двигателя или силы сопротивления воздуха), т.е. силами действующими одинаково на каждую единицу массы  внутри  любого тела, а полная (суммарная) сила (от воздействия единичных массовых сил на тело), естественно,  пропорциональна ВЕЛИЧИНЕ МАССЫ  ТЕЛА m и определяется как произведение массы тела,   либо на гравитационное ускорение тела: Fs = gs · m (сила притяжения),      либо на линейное ускорение  Fi = а · m (сила инерции).  Кстати, масса, учитываемая  в формуле для силы притяжения называется ГРАВИТАЦИОННОЙ, а для сил инерции - ИНЕРЦИОННОЙ. У физиков были подозрения об их возможном различии, но на сегодняшний день они считаются практически СОВПАДАЮЩИМИ по величине., т.е. механизм воздействия сил гравитации и сил инерции осуществляется через одну и ту же массу тела. 

   Рассчитаем величину гравитационного ускорения от притяжения Солнцем на расстоянии радиуса  орбиты Земли (орбита Земли близка к круговой): 

        g солнце-земля =  G · Ms / (Rs-земля)² =  6.67·10^-11 · 1.99·10³⁰ /(1.49·10¹¹)²  = 5.98·10^-3 [м/сек²].

   Как видим,  ускорение свободного падения Земли на Солнце невелико (~0,006 [м/сек²])из-за очень большого расстояния до Солнца (149,6 млн.км).

    Что же мы видим (для многих это станет большой новостью): с одной стороны, с точки зрения закона всемирного притяжения,  практическое  РАВЕНСТВО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ УСКОРЕНИЙ ДЛЯ ЛУНЫ И ЗЕМЛИ под воздействием СИЛ притяжения Солнцем  из-за практически одинакового расстояния до Солнца,  а, с другой стороны,   СИЛЫ  притяжения Луны и Земли к Солнцу, отнесённые к равным по величине  силам взаимного притяжения Луны и Земли, составляют  2-2,5 раза (для Луны) и 178 раз (для Земли),  что вызвано различием в ~ 81 раз их масс.   

   Как говорится, почувствуйте  РАЗНИЦУ В РЕАЛЬНОМ ВЛИЯНИИ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем, выраженную в  УСКОРЕНИЯХ для Луны и Земли (ОНИ ОДИНАКОВЫЕ)   и  в ВЕЛИЧИНАХ (относительных) тех же самых  СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ к Солнцу, сообщивших эти одинаковые ускорения (САМИ СИЛЫ СУЩЕСТВЕННО РАЗНЫЕ из-за различия их масс!:  2-2,5  и  178)  Хотя кто-то решит, что в "попугаях" (отношениях сил) он подлиннее будет. Да разве из  РАССМОТРЕНИЯ  СИЛ  для Луны и Земли можно увидеть хоть какой-нибудь намёк на то, что они одновременно падают  практически С ОДНИМ  И  ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ центростремительным УСКОРЕНИЕМ к Солнцу?

   Поскольку Луна изменяет своё расстояние до Солнца относительно орбиты Земли максимум на  ~ 405 700км, то это приводит к изменению относительно среднего солнечного гравитационного ускорения для Луны  (5,98 ·10^-3 )  на  +- 0.03[м/сек²], что составляет не более, чем  +- 0.5% в моменты нахождения Луны в областях, близких к прямой линии Солнце-Земля, т.е. в моменты новолуния или полнолуния. Поэтому  с достаточной для практики точностью, можно считать гравитационное поле Солнца  практически  ОДНОРОДНЫМ (постоянным) вдоль траектории Земли и в пределах области, «ометаемой» радиусом-вектором Луны в относительном вращении вокруг Земли.

   В третьих,  однородность (постоянство) центростремительного ускорения означает, что ВСЕ тела, вращающиеся вокруг Земли (предлагаю назвать  их  «Земной группой тел», включая Луну и орбитальные спутники Земли или Луны), вместе со своим местным основным «гравитатором» (Землёй) свободно падают на Солнце  с практически одним и тем же центростремительным гравитационным ускорением.

    Примечание:   слово «гравитатор», удобное для рассуждений, присваиваем САМОМУ массивному телу из некоторой совокупности тел составляющих гравитационную группу, УДЕРЖИВАЕМУЮ этим «гравитатором» на орбитах вокруг себя на его гравитационном "поводке". Именем «гравитатора» и называется группа рассматриваемых тел, вращающихся вокруг него. Например, Солнечная система («гравитатор» - Солнце,  которое удерживает все планеты с их спутниками и прочие тела Солнечной системы),  Земная группа тел («гравитатор» - Земля, удерживающая  Луну и все их спутники).

        Возникает вполне очевидная идея мысленно ВЫЧЕСТЬ ПОСТОЯННЫЙ  ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца  из центра масс каждого тела Земной группы (включая и Землю)   ведь ПРИ  ЭТОМ ПРАКТИЧЕСКИ НИЧЕГО  НЕ  ИЗМЕНИТСЯ  В  ОТНОСИТЕЛЬНЫХ  движения тел Земной группы, т.к. они в наших расчётах ВСЕ  ПЕРЕСТАНУТ ОДИНАКОВО УСКОРЯТЬСЯ к центру масс Солнца, сохраняя относительные скорости и положения между собой, а в уравнениях для тел останутся лишь ускорения от ВЗАИМНЫХ ПРИТЯЖЕНИЙ МЕЖДУ ВСЕМИ ТЕЛАМИ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ. Эта идея не нова и была высказана ещё А.Эйнштейном  в его мысленном примере со СВОБОДНО ПАДАЮЩИМ к центру Земли ЛИФТОМ  и телами в нём (так называемый «Лифт Эйнштейна»).   Если сказать кратко, то  это метод ОБРАЩЕНИЯ движения в обратную сторону на  одну и ту же величину вектора гравитационного ускорения от Солнца для рассматриваемой нами Земной группы тел. 

   Такой подход  фактически приводит к  ЗАМЕНЕ  СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ для расчёта траекторий:   вместо  СОЛНЕЧНОЙ  СИСТЕМЫ  КООРДИНАТ (с полной постановкой задачи движения для "трёх тел", учитывающей ускоренное движение к Солнцу и, естественно, с расстояниями в ~150 млн.км от Солнца до Земли и Луны)  ПЕРЕХОДИМ  К ЗЕМНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ (невращающейся) СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с рассмотрением задачи движения "двух тел", в которой  УЖЕ НЕТ УЧЁТА ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА, а  расстояния не превышают размеров самых дальних орбит для Земной группы тел, например, для Луны с радиусом орбиты до  ~400 тыс.км. 

     Кстати, в солнечной системе координат траектория Луны выглядит весьма необычно для земного наблюдателя: в виде узенькой растянутой спиральки намотанной на почти круговую орбиту Земли  с 13 периодами спиральки (полнолуний)  за год обращения Земли вокруг Солнца, и амплитудой отклонений  Луны  от орбиты Земли +- 0,4 млн.км при радиусе орбиты Земли 149,6 млн.км. Но этот вид доступен для наблюдателя из космоса, находящегося над Солнцем и смотрящего по нормали  на плоскость орбиты Земли.

    Конечно, надо сразу отметить, что этот приём НЕ АБСОЛЮТНО ТОЧЕН, А ПРАКТИЧЕСКИ ТОЧЕН, поскольку гравитационное поле от ускорения притяжения Солнцем  Земли и Луны  немного ИЗМЕНЯЕТСЯ  ПО ВЕЛИЧИНЕ (+- 0.5%  в крайних участках  орбиты Луны относительно Солнца из-за изменения расстояния до него, да И ПО НАПРАВЛЕНИЮ (из-за вращения Земли вокруг Солнца в один оборот за год), что и приводит к НЕОДНОРОДНОСТИ этого поля, которая повлечёт за собой постепенное накопление ошибок в расчётах в сравнении с  полной постановкой движения "трёх тел" в Солнечной системе координат. Однако это весьма небольшие относительные ошибки второго порядка малости  и их можно устранить несложными мерами.   

  В итоге, с  достаточной  для практики точностью, можно рассчитывать относительные траектории тел внутри Земной группы в ЗЕМНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ с учётом всех  внутренних гравитационных сил взаимного притяжения между телами земной группы,  ПОЛНОСТЬЮ ИСКЛЮЧИВ  из уравнений движения УЧЁТ ВНЕШНЕГО ДЛЯ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ центростремительного УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА С УЧЁТОМ ЕГО ПРАКТИЧЕСКОЙ ОДНОРОДНОСТИ для сегодняшней орбиты Луны вокруг Земли.

   Как оказалось, практически  нас не должны  волновать силы притяжения Солнцем Луны и Земли при рассмотрении  вращения Луны вокруг Земли.  Зря в рассматриваемом вопросе сравнивается сила взаимного притяжения Луны и Земли с силой притяжения от Солнца, т.к. силы притяжения Солнца сообщают ВСЕМ ТЕЛАМ Земной группы  ОДИНАКОВЫЕ центростремительные УСКОРЕНИЯ, которые «работают» ЛИШЬ НА ПЛАВНОЕ ИСКРИВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ИХ ПОЛЁТА вокруг Солнца, ПРАКТИЧЕСКИ ОДИНАКОВОЕ ДЛЯ ВСЕЙ  ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ТЕЛ:  Земли  (до почти круговой орбиты) и  Луны с едва заметной (под микроскопом) спиралевидностью  относительно основной круговой орбиты Земли из-за того что она является спутником Земли), практически не влияя при этом на относительные движения тел Земной группы.   Благодаря  хорошей ОДНОРОДНОСТИ гравитационного ускорения от Солнца в области орбит Земной группы тел нет и практически заметного влияния Солнца на относительную траекторию Луны вокруг Земли. В итоге, удалось упростить расчёт траекторий с полной постановки "задачи трёх тел" (Солнце, Земля и Луна) до более простой "задачи двух тел" (Земля и Луна), отказавшись при этом от учёта сил притяжения Солнцем на Землю и Луну из-за практического равенства ускорений, вызываемых этими силами. 

 Для дальнейшего повышения точности расчётов в Земной системе координат очевиден весьма простой и понятный способ повышения точности расчётов в Земной инерциальной системе координат за счёт введения небольших ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК к УСКОРЕНИЯМ всех тел Земной группы, вычисленных в виде ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ УЧИТЫВАЕМОГО ВОЗМУЩАЮЩЕГО ФАКТОРА:  ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ  для каждого из анализируемых тел, (в нашем случае Луны),  ОТНОСИТЕЛЬНО ЗНАЧЕНИЯ ЭТОГО ЖЕ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ В ЦЕНТРЕ ЗЕМНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, в котором поправка , естественно, всегда нулевая по определению!  Действительно, ну зачем учитывать полный эффект от практически одинакового для всех тел полного вектора ускорения от Солнца (нас ведь не интересует как все тела  с одинаковым ускорением "падают" на Солнце, а круговую орбиту Земли мы можем рассчитать отдельно, да и от траекторных "спиралек" Луны в Солнечной системе координат нам нет никакого толку.   А вот для повышения точности расчёта траектории Луны относительно Земли, естественно, подходит Земная инерциальная (невращающаяся) система координат.  При этом целесообразно использовать метод ПОПРАВОК, состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из  рассматриваемых тел относительно значения  этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в  центре Земной инерциальной системы координат, иначе говоря, ЭТО ТОЧНЫЙ УЧЁТ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОСТИ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ от притяжения Солнцем для Земной группы тел.

   Кстати, при таком  ВЕКТОРНОМ  подходе  УЧИТЫВАЮТСЯ  НЕ ТОЛЬКО ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИН ВЕКТОРНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ от ускорения притяжения Солнца, НО И МЕДЛЕННОЕ  ВРАЩЕНИЕ (поворот на один оборот за год)  ОДНОРОДНОГО "ПОЛЯ"  ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ ОТ СОЛНЦА относительно начала Земной инерциальной (невращающейся) системы координат .  Информация о положении Солнца относительно Земной группы тел ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТОЛЬКО ДЛЯ РАСЧЁТА НЕБОЛЬШИХ ПОПРАВОК ОТ ОДНИХ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЙ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  от Солнца С УЧЁТОМ НАПРАВЛЕНИЯ  на Солнце и  РАССТОЯНИЯ до него.  

   Нам ничто не помешает, применить этот же подход к учёту гравитационных возмущений от любых планет Солнечной системы.  Аналогично можно применить эту методику для расчета движения, например,  «лунника», вышедшего на орбиту вокруг Луны уже в Лунной системе координат, игнорируя  при этом полный вектор ускорения притяжения от Земли, но учитывая его неоднородность (изменение) относительно центра масс Луны для спутника на орбите Луны методом поправок (приращений) и также поступить с векторами любых других возмущающих ускорений, например,  от Солнца и остальных его планет. При этом придётся определять НАПРАВЛЕНИЯ и РАССТОЯНИЯ  до учитываемых "возмутителей" с их ГРАВИТАЦИОННЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ УСКОРЕНИЕМ, НО НЕ В ЕГО ПОЛНОМ ВИДЕ, а только В ВИДЕ ВЕКТОРНОГО ОТКЛОНЕНИЯ (приложенного в рассчитываемому телу ) ОТ ЕГО ЖЕ возмущающего ЗНАЧЕНИЯ относительно центра выбранной системы координат, т.е. с учётом только  одной НЕОДНОРОДНОСТИ от возмущающего ускорения. 

   В итоге,  вопрос о возможном сходе Луны с орбиты вокруг Земли с УЧЁТОМ  РАССМОТРЕНИЯ  ВЕЛИЧИН СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ (или СООТНОШЕНИЯ СИЛ ), ДЕЙСТВУЮЩИХ на Луну  от Солнца и от Земли ,  НЕ МОЖЕТ ДАТЬ, в принципе,  ПРАВИЛЬНОГО ОТВЕТА из-за своей  ОШИБОЧНОСТИ  по причине  ПРАКТИЧЕСКИ НЕЗАМЕТНОГО ВЛИЯНИЯ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ СОЛНЦА НА ОРБИТУ Луны вокруг Земли ПРИ СУЩЕСТВУЮЩИХ на сегодня РАССТОЯНИЯХ от Земли до Луны (~ 400 тыс.км).      Из всего вышеизложенного вытекает, что ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ РАСЧЁТОВ ТРАЕКТОРИЙ ТЕЛ ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем по законам механики  НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ,  зависящее от  разности расстояний  Луны и Земли относительно Солнца, иначе говоря, надо рассматривать влияние на орбиту Луны вокруг Земли ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ (ПРИРАЩЕНИЯ) СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Солнца, вычисляемую относительно Земли.  

   Если теоретически рассмотреть постепенное  увеличение размеров орбиты Луны  относительно существующей на сегодня, то рост неоднородности  притяжения Солнца приведёт к нарастающему смещению (деформации) условной середины орбиты Луны оносительно Земли в сторону Солнца вплоть до момента схода Луны с орбиты Земли  на минимальных расстояниях от Солнца, когда ПРИРАЩЕНИЕ силы притяжения Луны Солнцем (рассчитанное относительно значения этой же силы для центра масс Земли) , отрывающее Луну от Земли,  приблизится по своей величине к силе притяжения Луны Землёй  и скомпенсирует её воздействие на Луну.    Здесь, для простоты рассуждений, допустимо рассуждать в терминах сил, поскольку все они воздействуют на одно и то же тело (Луну), но надо всегда переходить от сил, поделив их на массу тела,  к ускорениям тела.

  Однако вернёмся от катаклизмов к устоявшимся веками орбитам космичесих тел: ЛЮБАЯ ПЛАНЕТА со своими спутниками в Солнечной системе  ЯВЛЯЕТСЯ в гравитационном рассмотрении  вполне АВТОНОМНОЙ (самостоятельной) СИСТЕМОЙ, неплохо "защищающей" орбиты своих спутников от гравитационного влияния (возмущения) ВНЕШНЕГО "гравитатора" ( например, Солнца)  по отношению к местному "гравитатору" (Земле) БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ в определённой окрестности относительно центра масс местного "гравитатора"  ЗОНЫ С ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТЬЮ гравитационного УСКОРЕНИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ  ОТ ВНЕШНЕГО "ГРАВИТАТОРА" из-за большого расстояния до него.

 А ведь, действительно, в чём-то и правы оказались наши предки,  считая, что Солнце вращается вокруг Земли  и поэтому мы можем спокойно не учитывать его влияния на наши дела в Земной группе.  И хотя это, конечно же,  шутка, но в ней есть и большая доля правды: каждый  МЕСТНЫЙ  "ГРАВИТАТОР" со своей группой тел  ПО  ОТНОШЕНИЮ  К  СВОЕМУ  ВНЕШНЕМУ  "ГРАВИТАТОРУ"  ЯВЛЯЕТСЯ ЕГО  УМЕНЬШЕННОЙ МАЛОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ  И  ВПОЛНЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  КОПИЕЙ, например, Земная группа тел является малой копией самой Солнечной системы.   Земная группа тел всегда готова отправиться в самостоятельный полёт в космос, покинув Солнечную систему,  вместе со своими спутниками и Луной в поисках нового для себя внешнего "гравитатора", если сможет сойти с орбиты вокруг Солнца, получив, например, необходимую для этого немалую дополнительную скорость для этого ухода, например, за счёт появления большой неоднородности возмущающего ускорения при сближении двух разных галактик на близкое расстояние.  Так же и  Солнечная система, в свою очередь, является миниатюрной копией звёздного скопления нашей галактики «Млечный путь», а наша галактика  - миниатюрой копией в  ближайшем скоплении  галактик  в  Метагалактике и т.д.    Причём каждая из них живёт по своим гравитационным законам от своего основного местного «гравитатора» для рассматриваемой группы тел, траектории которых могут заметно возмущаться в движениях вокруг него ЛИШЬ ПРИ ДОВОЛЬНО БОЛЬШИХ НЕОДНОРОДНОСТЯХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ от вышестоящего по иерархии БЛИЖАЙШЕГО  ВНЕШНЕГО «ГРАВИТАТОРА».  Чёткая гравитационная иерархия, напоминающая армейскую иерархию (Главнокомандующий руководит Всеми починёнными ему силами через приказы своему ближайшему, нижестоящему по должности, командующему, а тот - своему нижестоящему  и т.д.  до солдата. Вот только интересно, кто выступает в  роли Главнокомандующего "гравитатора" в космосе, очень надеюсь,  что  это не "тёмные" силы, а что-то светлое).

   Как видим, вышестоящий по массе «гравитатор», например, Солнце, не даст раздуться "местной лягушке" (Земной группе тел) "до размеров вола" за счёт высоких орбит её спутников, и сорвёт их с орбиты вращения вокруг Земли за счёт неоднородности своего влияния, сделав их своими солнечными спутниками.  Луна пока ещё  спутник Земли, но если она будет и дальше по непонятным причинам продолжать удаляться от Земли на несколько сантиметров в год, то сойдёт с орбиты спутника Земли на самостоятельную солнечную орбиту, избавившись при этом от существующих сейчас малозаметных 13 годовых спиралек на своей новой солнечной орбите и может быть повышена до статуса планеты, а  нашим потомкам придётся создавать искусственное освещение в ночное время с земной орбиты спутниковыми "зонтиками" из почти невесомой отражающей солнечный свет плёнки (это уже не шутка:  китайцы уже провели первые орбитальные испытания  с целью экономии на освещении по ночам).

   Поскольку "повторение - мать учения", то подведём основные итоги:

1. Надо быть внимательными при постановке задач расчёта траекторий и учитывать влияние притяжения от какого-либо тела для всех остальных рассматриваемых тел  БЕЗ  ИСКЛЮЧЕНИЙ.  Если, например,  учитываем притяжение Луны Солнцем, то это уже задача движения "Трёх тел", рассматриваемая в Солнечной системе,  и необходимо учесть так же и силу притяжении Земли Солнцем.

2.     Крайне  ОШИБОЧНО  пытаться  оценивать движение тел (хотя бы и качественно: сойдёт или не сойдёт Луна с орбиты вращения вокруг Земли)  ПО ВЕЛИЧИНАМ СИЛ, действующих на них, ИЛИ ИХ ОТНОШЕНИЯМ!   Необходим ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ учёт влияния МАССЫ ТЕЛ (как  их характерного свойства ИНЕРЦИОННОСТИ сопротивляться разгону по воздействием силы) для   ПЕРЕСЧЁТА действующих на тела СИЛ в соответствующие им УСКОРЕНИЯ  (путём деления результирующей силы на величину массы тела по второму закону механики),  которые и позволят решить все задачи движения (определить  скорость и траекторию тела путём интегрирорования ускорения и скорости тела.).

3.    С достаточной для практики точностью  МОЖНО  НЕ  УЧИТЫВАТЬ  ВЛИЯНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА на траектории спутников Земли  (например, вращения Луны вокруг Земли)  и рассчитывать траектории в Земной инерциальной (невращающейся) системе координат благодаря  практически однородному (постоянному) вектору гравитационного Солнечного ускорения , поскольку ускоренное падение ВСЕХ тел Земной группы (Земли и Луны) с одним и тем же по величине ускорением в сторону Солнца практически не влияет на относительные движения тел, вызываемых внутренними силами гравитации между телами Земной группы.     Для повышения точности расчётов траекторий тел в Земной системе координат достаточно ввести УЧЁТ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ от Солнца  за счёт применения метода ПОПРАВОК (или иначе,  ПРИРАЩЕНИЙ), состоящий в учете ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЯ ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ для каждого из тел относительно значения  этого же ВЕКТОРА СОЛНЕЧНОГО УСКОРЕНИЯ в  центре Земной системы координат, что позволяет учесть влияние ТОЛЬКО НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от Солнца вокруг Земли (без рассмотрения влияния полного значения этого вектора).

4.    И всё-таки Луна, несмотря на все «теории»,  ЯВЛЯЕТСЯ СПУТНИКОМ ЗЕМЛИ  для земных наблюдателей и продолжает  вращаться, в целом,  согласно всем законам классической механики, включая закон всемирного притяжения Ньютона,  о чём свидетельствуют также и расчёты автора этого комментария по своей программе, специально созданной для решения задачи движения 4-ёх космических тел в полной постановке (см. уравнения движения на примере Задачи трёх тел в книге Г.Н.Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г,  Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`).  

5.  Главный вывод.  Из всего вышеизложенного вытекает, что рассматриваемый вопрос был сформулирован с точки зрения законов физики НЕГРАМОТНО и влечёт за собой "бытовой" вывод о "неработающем" законе всемирной гравитации Ньютона, якобы не объясняющему эффект от сравнения величин сил, приложенных к Луне, и явно противоречащий наблюдаемой нами при этом действительности - стабильному вращению Луны вокруг Земли. Виноват не закон, а ошибочное, навязанное вопросом,  сравнение сил, действующих на Луну.  Не надо рассматривать никаких СООТНОШЕНИЙ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны к Солнцу и Земле при анализе вращения Луны вокруг Земли, т.к. они абсолютно бесполезны, как мартышке очки.   ОШИБКА СОСТОИТ В УЧЁТЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем, которая ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ на относительное вращение Луны вокруг Земли при сегодняшней  величине  орбиты Луны (её апогее и перигее). 

    ВМЕСТО ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ Луны Солнцем НЕОБХОДИМО УЧИТЫВАТЬ_ТОЛЬКО ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ЭТОЙ ЖЕ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС Земли, зависящее от  разности расстояний  Луны и Земли относительно Солнца.  Поскольку анализируется движение Луны вокруг Земли, то и приращение определяется относительно центра масс Земли.   ПРИРАЩЕНИЕ от силы притяжения Луны Солнцем по аналогии с математикой означает взятие  дифференциала от силы, а не учёт текущей величины силы, а это две большие разницы.    Иначе говоря, надо рассматривать наряду с силой притяжения Луны Землёй  НЕ  ВЕЛИЧИНУ СИЛЫ  ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны Солнцем,  а  только влияние её  ПРИРАЩЕНИЯ (НЕОДНОРОДНОСТИ) относительно  Земли.   И, естественно, необходимо  всегда пересчитывать силы в ускорения, как того требует второй закон механики, для проведения дальнейших расчётов скорости и траектории рассматриваемого тела за счёт первого и второго интегрирования суммарного вектора ускорения центра масс тела в выбранной системе кординат (так называемый "расчёт динамики движения" тела).

Так что студентам не стоит сомневаться в законах Ньютона: они проверены столетиями наблюдений и практикой их применения. Хотя и несущественные поправки возможны, но только из-за влияния пока неизвестных источников космических гравитационных возмущений. 

 В заключение две цитаты:

«В истории естествознания не было события более крупного, чем появление «Начал» Ньютона. »    С.И.Вавилов.   

  ( С.И.Вавилов (1891-1951) - советский физик, основатель научной школы физической оптики в СССР, действительный член (1932) и президент АН СССР (1945-1951), общественный деятель и популяризатор науки. Лауреат четырёх Сталинских премий.)

«Законы классической механики и вытекающие из них логические следствия ... с высокой точностью описывают и предопределяют движение и равновесие макротел в природе и механике, служат надёжным фундаментом как практических расчётов, так и исследований в области физики и других естественных наук.»      А.Ю. Ишлинский (Заключение из книги "Классическая механика и силы инерции")

     (А.Ю. Ишлинский (1913-2003) - академик АН СССР, а затем РАН, доктор ф-м наук и профессор МГУ, директор Института механики и Проблем механики, лауреат Ленинской и Государственных приемий СССР и РФ., посвятивший свою научную и профессиональную деятельность решению сложнейших задач космической механики в области динамики твёрдого тела и теории гироскопов, работал совместно с  С.П.Королёвым и М.В.Келдышем. Его книгу "Классическая механика и силы инерции" (320стр.) настоятельно рекомендую всем интересующимся механикой в качестве первого основного пособия по классической механике.)

   P.S.  Вопрос закрыт.  Луна продолжает оставаться спутником Земли, несмотря ни на какие удивительные, на первый взгляд, отношения сил, действующих на неё. Надеюсь, что этот комментарий кому-то помог понять какие силы реально определяют вращение Луны вокруг Земли с точки зрения законов механики. 

   Кстати, в  нижеприведенных комментариях прошлых лет по данному вопросу о Луне увидел типичные неграмотные попытки объяснять что-либо с использованием термина "ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ" без оглядки на то, в какой системе координат рассматривается данный вопрос.    Да  НЕТ  ЭТОЙ  ФИКТИВНОЙ  силы, как  и, так называемых, СИЛ ИНЕРЦИИ  в  РЕАЛЬНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ и соответственно в ИНЕРЦИАЛЬНЫХ (невращающихся) системах координат.   ЗАБУДЬТЕ про них в инерциальных системах, как кошмарный сон!    Для расчёта параметров космической ТРАЕКТОРИИ ТЕЛА, как и в данном комментарии, ИСПОЛЬЗУЮТСЯ  ТОЛЬКО  ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ НЕВРАЩАЮЩИЕСЯ системы, в которых единственными учитываемыми силами являются силы гравитационного взаимного притяжения между всеми рассматриваемыми телами без всяких там центробежных сил инерции.   ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ СИЛЫ  как силы инерции во вращательном движении ВЫНУЖДЕННО ВВОДЯТСЯ ТОЛЬКО В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ  ВРАЩАЮЩИХСЯ системах ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ ИЗ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕЛА в такой вращающейся системе! Большое спасибо за это Д'Аламберу, Лагранжу и Эйлеру.

   Вот, например, почему геостационарный спутник, с которого принимаются сигналы ТВ за счёт НЕПОДВИЖНОЙ земной спутниковой антенны,  не падает  с орбиты под действием силы притяжения Земли, хотя и висит всё время НА ОДНОЙ  И ТОЙ ЖЕ ВЫСОТЕ В ПЛОСКОСТИ  ЭКВАТОРА ЗЕМЛИ  над одним и тем же местом над Землёй (в зените прямо над чьей-то головой) ?  Да потому, что мы разглядываем его, находясь на поверхности Земли, которая ВРАЩАЕТСЯ с угловой скоростью один оборот в сутки, т.е. в НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ системе, и чтобы получить в этой системе ПРАВИЛЬНЫЙ результат (постоянную высоту спутника, а не его ускоренное свободное падение )  БЫЛИ ПРОСТО ВЫНУЖДЕНЫ ДОБАВИТЬ  в УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ  к силе притяжения спутника Землёй ФИКТИВНУЮ,  НЕСУЩЕСТВУЮЩУЮ  в природе, так называемую, ЦЕНТРОБЕЖНУЮ СИЛУ, численно равную РЕАЛЬНОЙ силе притяжения спутника к Земле,  но  НАПРАВЛЕННУЮ В ОБРАТНУЮ СТОРОНУ так, что, в итоге,  СУММА СИЛ, действующих на спутник, ОБНУЛЯЕТСЯ И спутник не падает в такой вращающейся системе координат.  А вот в инерциальной НЕвращающейся системе, направленной на какую-либо далёкую неподвижную звезду и началом координат в центре масс Земли,  на спутник действует ТОЛЬКО ОДНА ЕДИНСТВЕННАЯ  РЕАЛЬНАЯ НЬЮТОНОВСКАЯ СИЛА - СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ к Земле (она же ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА), под действием которой он ВСЁ ВРЕМЯ ФАКТИЧЕСКИ свободно ПАДАЕТ к центру Земли, но БЛАГОДАРЯ НАЛИЧИЮ у него  орбитальной скорости, соответствующей значению первой космической скорости (~7,9 км/сек),   центростремительное ускорение от воздействия силы притяжения СПОСОБНО ТОЛЬКО ПОВОРАЧИВАТЬ ВЕКТОР ОРБИТАЛЬНОЙ СКОРОСТИ СПУТНИКА, не меняя его величины, что и приводит к получению из уравнений движения тела к круговой орбите вокруг Земли). А теперь оцените разницу: в "инерциалке" мы получили расчёт траектории тела, его круговую орбиту, а  в "неинерциалке" имеем лишь  баланс взаимно уравновешенных сил реальной (сила притяжения) и фиктивной (центробежная), т.е "замороженную" во времени, СТАТИЧНУЮ картинку расположения тел друг относительно друга и, естественно, постоянную высоту спутника  и накаких траекторий полёта.  Так что, если вам "ехать" (рассчитывать орбиту тела), а  не любоваться "шашечками" на такси,  то Вам прямой путь в ИНЕРЦИАЛЬНУЮ систему координат, где нет НИКАКИХ фиктивных ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ, а только физические реальные и понятные, так называемые, Ньтоновские силы гравитационного притяжения  (см. выше упомянутую книгу А.Ю. Ишлинского).   В качестве типичного примера использования статики тел в НЕИНЕРЦАЛЬНОЙ системе можно назвать  рисунок со "сферой Хилла" (см.его в интернете), где рассмотрено положение 5 "либрационных" точек (L1-L5)  с так называемым "равновесным" состоянием для мелких тел относительно Солнца и Земли, ПОЛУЧЕННЫЙ в НЕинерциальной вращающейся системе координат с продольной осью направенной из центра масс Солнца к центру масс Земли (точнее из барцентра - общего центра, вокруг которого вращается не только Земля, но и Солнце с весьма небольшим радисом орбиты вокруг барцентра) и вращающеся с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, но теперь уже с учётом, естественно,  центробежных сил, приложенных КО ВСЕМ рассматриваемым телам, не  исключая даже  Солнца из-за его вращения вокруг барцентра.

  Примечание: Конечно же, надо отметить, что именно в НЕинерциальных системах и проводятся самые сложные расчёты траекторий и динамических нагрузок (зачем тогда был бы нужнен курс Теоретической механики), например, в сложных механизмах машин для определения динамических и инерционных нагрузок (теперь уже с обязательным учётом всех видов "сил инерции", а точнее , ускорений от них (переносное,  кориолисовое и ускоренно-вращательное, появляющееся только при ускоренном вращении неинерциальной ситемы координат). Однако для расчётов траекторий тел в космосе по причине  их простоты относительно  сложных механизмов целесообразно применять  инерциальные системы координат, где "царствуют" только Ньютоновские силы взаимного гравитационного притяжения между телам и нет, даже в помине, фиктивных сил инерции в том числе и центробежной силы, побившей все мыслимые и немыслимые рекорды по её бездумному применению там, где её никогда не должно быть, а именно в инерциальных системах координат (невращающихся и движущихся без линейного ускорения их начала координат).   

     А вот вопрос об оценке величины "критического" расстояния Луны от Земли, при котором Луна безусловно сойдёт с орбиты вокруг Земли и перестанет быть спутником Земли , а так же размышления  о впечатляющем изобилии разных сфер для Земли ( "сфера действия", "сфера влияния", "сфера притяжения" и "сфера Хилла")  обсудим в другом комментарии.

  16 декабря 2019г. 20.40 время московское.

  А не многовато ли будет разных «сфер»  (действия, влияния, притяжения, и «Хилла») для планеты Земля?

    В одном из последних комментариев к вопросу «О том, что сила притяжения Луны к Солнцу больше в 2,2 раза, чем к Земле» есть  ссылка на статью:  К.В.ХОЛШЕВНИКОВА «Луна - спутник или планета?»  (http://www.astronet.ru/db/msg/1167143 ), заинтриговавшая своим неординарным названием и с рассмотрением трёх гравитационных «сфер» для планеты Земля.  Мне как инженеру-механику по динамике полёта, далёкому от космических дел, такое изобилие понятий о «сферах» вокруг Земли показалось избыточным и захотелось разобраться в них и понять их предназначение. 

   В предыдущем комментарии по вопросу «Так почему Луна вращается вокруг Земли, если сила притяжения её Солнцем в 2,0-2,5 раза больше силы притяжения Луны к Земле?» было показано с позиций Закона притяжения тел и второго закона Ньютона, что из двух действующих на Луну сил (сил притяжения к Солнцу и к Земле)  МОЖНО ПРАКТИЧЕСКИ НЕ УЧИТЫВАТЬ ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  Луны к Солнцу НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли благодаря высокой ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ от этой силы при существующих размерах орбиты Луны.   При этом для получения более точных расчётов в Земной инерциальной системе координат необходимо ВМЕСТО СИЛЫ ПРИТЯЖЕНИЯ  от Солнца УЧИТЫВАТЬ ЛИШЬ ЕЁ ВЕКТОРНЫЕ  ПРИРАЩЕНИЯ (метод ПОПРАВОК, или ПРИРАЩЕНИЙ) относительно  вектора силы притяжения в центре Земной системы координат, что позволяет УЧЕСТЬ ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ векторного ПОЛЯ ПРИТЯЖЕНИЯ  от Солнца на движение Луны вокруг Земли.   Далее, в соответствии со вторым законом механики, вместо величин сил используем только  соответствующие им ускорения тел (как принято у инженеров-механиков при расчёте динамики полёта тел).

   Для начала оценим максимальное расстояния Луны от Земли, на котором Земля ещё способна удерживать Луну (да и любое  материальное тело, независимо от величины его массы) на своей орбите в качестве своего спутника.  Понятно, что достаточным условием схода Луны или любого спутника с орбиты Земли будет такое максимальное расстояние от Земли, при котором  вышеупомянутое ПРИРАЩЕНИЕ ОТ УСКОРЕНИЯ СОЛНЕЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ относительно центра масс  Земли (за счёт того, что Луна будет находиться ближе к Солнцу, чем Земля) сравняется с ускорением притяжения от Земли, т.е. произойдёт КОМПЕНСАЦИЯ ускорения притяжения Земли приращением ускорения от Солнца (ускорения  противоположно направлены)  и Луна сойдёт с орбиты вокруг Земли на самом близком к Солнцу расстоянии (в её «новолуние» относительно Земли), двигаясь в начале схода по касательной к уже бывшей своей орбите относительно Земли.

 На  рис.1 показан график изменения гравитационного ускорения от Земли (gЗемли – тёмного цвета) и график  ПРИРАЩЕНИЯ ускорения от Солнца относительно Земли  (dgС-З – красного цвета), в зависимости  от расстояния R (от центра масс Земли по оси абсцисс, направленной к центру масс Солнца).

     Как видим,  приращение ускорения от Солнца  применительно к Земной системе координат(СК),   начинается с нуля в центре масс Земли в полном соответствии с общепринятым МЕТОДОМ ПРИРАЩЕНИЙ, когда вектор ускорения притяжения от Солнца, рассчитанный  для начала применяемой СК, расположенной, в данном случае, в центре масс Земли, ВЕКТОРНО ВЫЧИТАЕТСЯ из своего же значения В  ЦЕНТРЕ  СК (поэтому-то  и ВСЕГДА получаем НУЛЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ  МЕТОДА ПРИРАЩЕНИЙ в начале принятой для расчётов СК),  но одновременно этот же самый вектор от Солнца, определённый для начала СК,  опять же векторно (с учётом трёхмерности СК) вычитается и из ТЕКУЩЕГО значения вектора УСКОРЕНИЯ от Солнца,  но ВЫЧИСЛЕННОГО  уже ДЛЯ ЦЕНТРА МАСС АНАЛИЗИРУЕМОГО ТЕЛА (Луны), движение которого мы и определяем в выбранной нами Земной СК.   Этот, учитываемый в уравнениях движения для тела, РАЗНОСТНЫЙ ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ от Солнца НАЗЫВАЕТСЯ  УЧИТЫВАЕМЫМ ВОЗМУЩАЮЩИМ ФАКТОРОМ  (в данном случае ВОЗМУЩЕНИЕМ  от притяжения Солнцем  на  траекторию тела в Земной СК) и, как видно из рис.1,  приращение имеет практически линейный характер, несмотря на  обратно-квадратическую зависимость в законе притяжения,  благодаря сравнительно небольшой величине рассматриваемого интервала дальности (до 3 млн.км) при расстоянии до Солнца 149,6 млн.км.

     Точка пересечения на рис.1  графика ускорения от притяжения Землёй и графика ВОЗМУЩАЮЩИХ ПРИРАЩЕНИЙ  от ускорения притяжения Солнцем,  где они сравниваются,  и определяет искомое нами «критическое расстояние» удержания Землёй на своей орбите любых спутников независимо от величины их массы (ведь ускорения от гравитационного притяжения для всех тел на одном и том же расстоянии от притягивающего тела  ОДИНАКОВЫ по величине, будь то искусственный спутник  или Луна).   Максимально возможное («критическое») расстояние  удержания тел гравитационным притяжением от Земли с учётом возмущений от Солнца получилось равным  ~1,68 млн.км.  При этом притягивающее ускорение от Земли, воздействующее на тела при этой максимальной дальности, составило  ~140·10^-6 [м/сек²].

    Понятно, что это лишь оценка «критического» расстояния сверху, как говорят математики, а реальное значение должно быть несколько меньше, но на сколько?

     Благодаря наличию у автора данного комментария программы, созданной им для расчёта траекторий движений 4-ёх  космических тел в полной постановке (число учитываемых тел несложно  было увеличить,  но 4-ёх тел было вполне достаточно для учёта ещё и спутников)  в соответствии с простой и вполне понятной методикой из книги: Г.Н. Дубошина «Небесная механика. Основные задачи и методы» Издательство «Наука», 1968г,  Глава XIV. «Задача трёх тел», стр. 730-731, выр. 14.1` и 14.2`)  была определена (за счёт серии расчётов) величина  «критического начального расстояния» до Луны относительно Земли, при котором происходит устойчивое  удержание Луны Землёй на протяжении  3-5 годовых оборотов Земли вокруг Солнца, и  которое в итоге составило максимум  ~ 1,60 млн.км при начальном значении орбитальной скорости Луны относительно Земли  0.1415 км/сек (с допустимым из условий захвата Луны Землёй разбросом по величине начальной орбитальной скорости Луны относительно Земли не более +-0,0015 км/сек, т.е. .(+-1,1%).   Это уже полностью «выжатый», как лимон, максимум по «критическому» расстоянию (например, уже при начальной дальности до Луны в 1,61 млн.км не удалось получить стабильного удержания Луны на орбите вокруг Земли, т.к . происходил сход Луны с орбиты уже  вначале второго годового  витка  вокруг Солнца ).

      На такой предельной дальности удержания  орбита Луны весьма далека от круговой и представляет из себя очень вытянутый эллипс с большой полуосью эллипса, равной начальному расстоянию до Луны (1,6 млн.км), а малая полуось эллипса очень мала и приближается к 0,05-0,2 млн.км относительно Земли.    При меньшей начальной дальности до Луны, например,  1.50 млн.км  начальная орбитальная скорости Луны, при которой происходил устойчивый переход к орбите спутника Земли,  составила  0,114  +-0,014 км/сек.  Уменьшение начальной дальности до Луны относительно её предельного значения сопровождается расширением допустимого разброса по величине  начальной орбитальной скорости Луны относительно , например,  до  +-12% на расстоянии 1,5 млн.км, вместо +-1,1% для предельной дальности 1,6 млн.км..

    Как видим, получились весьма близкие результаты по предельной дальности (1,60 млн.км по программе расчёта для «Трёх тел» и 1,68 млн.км по графической оценке из рис.1), хотя  были опасения получить  меньшую величину дальности в программных расчётах из-за возможного влияния  динамического заброса в процессе втягивании Луны из начальных условий  в установившийся режим вращения вокруг Земли.

 Далее приведены некоторые характерные скриншоты данной программы.  

  На первом скриншоте (начальная дальность до Луны  R0л=1,59 млн.км с начальной орбитальной скоростью её относительно Земли V0л=0.132 км/сек ) произошёл сход Луны (красная траектория) с орбиты Земли (тёмно-синяя траектория), начавшийся  где-то в конце первой половины годового витка. 

  На втором показан момент соударения Луны с Землёй в начале второй половины первого годового витка (R0л=1,50 млн.км и V0л=0,09 км/сек), определяемый специальной процедурой в программе по моменту смены знака скорости их сближения, чтобы не проскочить момент соударения с учётом реальных диаметров Земли и Луны и с выдачей аварийного сообщения о целесообразности продолжения счёта текущего варианта.

  На третьем (R0л=1,59 млн.км и V0л=0,14 км/сек) показано устойчивое вращение Луны  вокруг Земли  уже на начало 6-го годового витка. 

   К сожалению, правая часть скриншота не видна, где выводится информация по году, дню, часам, мин и сек текущего варианта расчёта.  Все вращения Земли и Луны поисходят против часовой стрелки, что сделано для соответствия реальным  направлениям вращения Луны и Земли при виде на плоскость эклиптики  и на северный полюс Земли. Кстати, закручивание Луны относительно Земли в другую сторону (по часовой стрелке) за счёт её размешения ближе к Солнцу в момент начала счёта, практически не влияет на результаты расчётов максималной дальности. В дальнейшем будет добавлен  вывод на это же поле графика относительной траектории вращения Луны вокруг Земли  в удобном масштабе. Для этого есть все данные, но требутся огранизовать сам вывод на поле графика. 

 Примечание: Cправка о ПК и методе интегрирования в программе.  Время счёта данной программой на ПК 10-летней давности с 4-ёх ядерным процессором  "Quad Q6600" и тактовой частотой работы  2,4ГГц  одного годового витка Земли вокруг Солнца составляет 7мин 47сек. при использовании для интегрирвания дифференциальных уравнений движения тел шага счёта 0.25сек с применением метода  Адамса 4-го порядка точности с использованием подхода явного (метод Адамса-Бошфорта 4-го порядка) и подхода неявного (3-х шаговая неявная формула Адамса-Мултона ), что повысило точность и устойчивость расчётов, которые проходили и при шаге счёта 0,50 сек,  но для гарантии точности расчётов был использован всё же более мелкий шаг  интегрирования по времени 0.25сек. Кстати, при сравнении с решением задач самонаведения ЛА, где траектории гораздо более изменчивые (с боковыми перегрузками, превышающими в  несколько десятков раз ускорение от притяжения Землёй),  шаг интегрирования дифуравнений практически такой же (0,125 сек при применении стандартного метода Рунге-Кутта).    Следует отметить,  неожиданный факт довольно высоких требований к шагу интегрирования дифуравнений при расчёте таких малоповоротливых космических тел.   

  Годовое вращение гравитационного поля от Солнца существенно  влияет на эволюцию удлинённых орбит спутников Земли, поскольку спутники стремятся сохранить положение плоскости своей орбиты стабильным относительно неподвижных далёких звёзд, а Солнце непрерывно поворачиваясь относительно плоскостей орбит спутников Земли на 360 градусов в течении земного года, влияет на орбиту Луны с разных направлений (влияние неоднородности поля гравитации Солнца не только по величине, по и по направлению), превращая выше найденное «критическое расстояние» из одной точки (в новолуние) по мере поворота Солнца относительно инерциальной Земной СК  в геометрическое место точек в виде круга относительно Земли за один годовой оборот.

 Так называемая «сфера Хилла»  задаёт максимально-возможную дальность удержания спутников,  величина радиуса которой составляет от 0.94 до 1,5 млн.км. (по данным из статьи «К.В.ХОЛШЕВНИКОВ Луна - спутник или планета?»). А по данным из ниже рассматриваемой книги В.И.Левантовского величина радиуса «сферы Хилла» равна 1,5 млн.км для Земли.  Как видим, расчёты по программе в полной постановке для «Трёх тел»  практически весьма близки к максимальной величине расстояния «сферы Хилла» (1,60 и 1,50 млн.км).    

   Поиск в интернете информации о разных гравитационных сферах для Земли привёл к интересной книге  В.И.Левантовского ( «Механика космического полёта в элементарном изложении»  3 издание, 1980г.) в главе2, параграф 7 «Сфера действия и приближённый метод расчёта траекторий», стр. 68-72).

   Автор рассматривает в ней методику приближённого расчёт траекторий полёта от Земли к другим планетам Солнечной системы. Например, в начальной фазе после старта с Земли расчёт ведётся в Земной Системе Координат (СК) с применением упрощённых «кеплеровых» траекторий  и рассмотренного ранее  (в моём комментарии от 16.12.2019г)  метода Поправок (Приращений) при  учёте возмущающего влияния неоднородности гравитационного поля Солнца.     По мере увеличения расстояния от Земли и приближении к «сфере Хилла» для бортового  компьютера межпланетной космической станции наступает пора переходить к расчёту траектории её полета из Земной СК в Солнечную СК, поскольку ОТНОСИТЕЛЬНАЯ величина в методе ПОПРАВОК приращения ускорения от Солнца, отнесённая к величине текущего ускорения от притяжения Землёй, начинает быстро нарастать, с 0,5% на дальности орбиты Луны (~0,4 млн.км) до, например, 68% на дальности 1,5 млн.км.

   Расстояние от Земли, на котором космические баллистики считают нужным переходить (для обеспечения требуемой точности в  определении параметров движения космической стации) от расчёта траектории в  текущей системе координат (например,  Земной СК) к расчёту в другой системе координат (соответственно, к Солнечной СК) и  называется в книге «СФЕРОЙ ДЕЙСТВИЯ» Земли.

     Для оценки этого расстояния автор книги рассмотрел величины ВОЗМУЩАЮЩИХ ПОПРАВОК, отнесённых к основному ускорению (в %)  в  каждой из  систем координат:  Земной СК (с возмущением от Солнца)   и  в Солнечной СК (с возмущением от Земли) для двух значений дальности (0,5 и 1,5 млн.км.) от Земли, и показал что на малой дальности выгоднее расчёт в Земной СК, а на большей –  в Солнечной с точки зрения МЕНЬШЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ДОЛИ ПОПРАВОК относительно земного ускорения (в Земной СК)  и  солнечного ускорения (в Солнечной СК).     

     Было решено построить для данного комментария  (отсутствующие в рассматриваемой книге) графики этих относительных поправок в [%] по дальности от Земли в направлении  на Солнце, рассчитанные для двух систем координат Земной и Солнечной.   Отметим, что методика определения поправок для Земной СК уже ранее была описана,  а вот  расчёт поправки при определении траектории в Солнечной СК состоит в том, что надо брать ПРИРАЩЕНИЕ от теперь уже ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ ЗЕМЛИ для центра масс межпланетной станции  относительно ускорения от Земли на расстоянии до центра масс Солнца, т.к. расчёт идёт уже в Солнечной СК.    Однако  ВЕЛИЧИНА ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ  на расстоянии до центра масс Солнца в ~149,6 млн.км,  оказывается совсем незаметной (0,018·10^-6 [м/сек²])   (для справки, на оценке максимальной дальности сверху по удержания тел Землёй в  ~1,68 млн.км ускорение от Земли равно  ~140·10^-6 [м/сек²](см. рис.1) ),   и поэтому ПРИРАЩЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО УСКОРЕНИЯ ОТ Земли для текущего положения центра масс станции просто  РАВНО ВЕЛИЧИНЕ ЗЕМНОГО УСКОРЕНИЯ (ведь из неё вычитается почти нулевая величина), но  ОТНЕСЁННОЙ уже к УСКОРЕНИЮ ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ Солнца, т.к. это поправки  в СОЛНЕЧНОЙ СК от Земного возмущающего ускорения, то и  относить их надо к величине ускорения от Солнца, поскольку расчёт идёт в Солнечной СК.

       На рис2. приведены два графика для этих ОТНОСИТЕЛЬНЫХ поправок (в зависимости от расстояния от Земли) для расчётов в Солнечной СК:   gЗ  =  gЗемли / gСолнца; (тёмно-зелёный цвет)     и в Земной СК:    dgC= ( gС(при (Rc – R)) – gС(при Rc) ) / gЗемли   (красный цвет);     

где Rc =149,6 млн.км – расстояние от Земли до Солнца, R – расстояние от Земли в направлении на центр масс Солнца.

      На рис.2  отмечены 4 характерных точки («т.1» - «т.4»). На первый взгляд, с точки зрения равной погрешности вычислений как в Земной, так и Солнечной системе явно подходит точка «т.3», т.к в ней доля поправки одинакова для обеих СК и равна 10,3%  при дальности от Земли 0,8 млн.км, которую и можно было бы принять за значение «сферы действия» Земли для перехода между расчётами в Земной и Солнечной СК.    

   Приведём определение для «Сферы действия тяготения» (С. д. т.)  из  БСЭ (энциклопедии) (https://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/137366/%D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0 ) :

«  «Сфера действия тяготения» - небесного тела, область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел…   Если тело находится внутри С. д. т. какой-либо планеты, то его движение целесообразно изучать в системе координат, связанной с этой планетой; притягивающее же действие Солнца учитывать как возмущение (см. Небесная механика). При нахождении С. д. т. планеты притяжением всех других планет пренебрегают.

    С. д. т.  планеты определяется следующим образом. Если R есть ускорение, сообщаемое некоторому телу Солнцем в его гелиоцентрическом (отнесённом к центру Солнца) движении, а F — возмущающее ускорение со стороны планеты; если, с другой стороны, R₁ есть ускорение, сообщаемое телу планетой в её планетоцентрическом движении, а F₁ — возмущающее ускорение, вносимое в это движение притяжением Солнца, то С. д. т. планеты является область, в которой выполняется неравенство: F₁/R₁ <  F/R. За пределами этой области выгоднее за основу принимать гелиоцентрическое движение.»

  Смысл членов этого неравенства из статьи БСЭ  и в данном комментарии ПОЛНОСТЬЮ СОВПАДАЕТ  с долями поправок, нарисованными на рис.2 ,  F₁/R₁= dgC , а  F/R =  gЗ и поэтому неравенство  F₁/R₁ <  F/R  эквивалентно неравенству в наших обозначениях:       dgC <  gЗ  .

  Если взглянуть на рис.2 , то это означает только то, что величина радиуса «сферы дальности тяготения» для планеты Земля, где целесообразно вести расчёты в Земной СК  должна быть согласно неравенству менее 0,8 млн.км,  где красная кривая (dgC) начинает идти ниже тёмно-зелёной кривой (gЗ), т.е. слева от «т.3» по дальности.  Иначе говоря, данное условие в БСЭ,  написанное для любых планет Солнечной системы. Однако по предложенному в этой статье выражению для расчёта  С. д. т.  её радиус для планеты Земли составляет 0,929 млн.км., что близко в значению, которое было приведено в книге В.И.Левантовского (см. ниже). 

 Необходимо отметить принципиальную ошибку в первой строке из статьи БСЭ, определяющую С. д. т.  как «область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над притяжением всех других небесных тел».     Это неправильно, если посмотрите на рис.2, то в диапазоне дальности от  ~260 тыс.км («т.1») до  ~800 тыс.км. («т.3») сила притяжения Солнцем  БОЛЬШЕ  силы притяжения от Земли от 1 до 10 раз (см. параметр Fс-з на рис.2), т.е. в  2/3 области по радиусу сферы С. д. т. , или в 96,5% объёма сферы,  С. д. т. притяжение от Солнце превышает притяжение от Земли!

   Надо было написать, что  ««Сфера действия тяготения»  небесного тела это  область пространства, в которой тяготение данного тела доминирует над ПРИРАЩЕНИЕМ притяжений всех других небесных тел,  рассчитанных  относительно центра масс тела»

   А вот с точки зрения относительной погрешности в определении величины дальности  ситуация в  Солнечной СК гораздо тяжелее, чем в Земной СК, поскольку расстояние до Солнца в ~ 100 раз больше, чем до Земли.   Например, при появлении ошибки в сторону завышения дальности до Солнца (относительно «т.3» ) на 0.30%  и 0,37%  (от величины  дальности  до Солнца, равной для точки «т.3» 148,8млн.км (=149,6-0,8 млн.км)  приведёт к  ПОЯВЛЕНИЮ ОШИБКИ, вкравшейся в  ВЕЛИЧИНУ ПОПРАВКИ, равной  35%  и 90%) от величины текущего Солнечного ускорения (для станции), т.е «т.3»  как бы условно сместится вдоль графика относительных поправок (график тёмного цвета) из-за ошибочной дальности до Солнца в положение поправок, соответствующих  точкам  «т.2 » и «т.1», что приведёт к СУЩЕСТВННЫМ  ОШИБКАМ в поправках при расчёте траектории относительно реальной точной дальности, соответствующей дальности  «т.3».

   А вот в Земной СК благодаря меньшей дальности от межпланетной станции  та же  величина относительной ошибки в завышении дальности до станции на 0,37% от истинной приведёт к появлению дополнительной погрешности  поправки всего в  0.12% от ускорения Земли (график красного цвета). И только при  уж совсем невероятном завышении расчётной дальности до Земли  В ДВА РАЗА для точки «т.3» приведёт к ошибке в 74% от величины текущего земного ускорения.

    С учётом более существенного влияния точности определения текущей дальности в Солнечной СК желательно увеличить радиус «сферы действия», сместив его от точки  «т.3», в направлнии к точке  «т.4» и даже далее, поскольку расчёт траектории межпланетной  станции в Земной СК может быть продолжен и за пределами дальности «сферы Хилла», но уже при больших относительных величинах Поправок возмущения от Солнца , превышающих 100% от земного текущего ускорения для станции., что и подтверждает введение взамен «сферы действия» новой сферы  на ту же тему (перехода между расчётными траекториями в разных системах координат для межпланетных траекторий) с названием «СФЕРА  ВЛИЯНИЯ», отличающуюся лишь ещё большим значением её радиуса   

      Вот как «СФЕРА  ВЛИЯНИЯ» описана у  В.И.Левантовского:    «При использовании упрощённого метода расчёта космических траекторий основные погрешности накапливаются при расчёте движения в районе границы «сферы действия». Поэтому некоторые авторы считают, что для большинства случаев расчёта более высокие точности дают области разграничения между центральными полями тяготения, определяемые иначе, чем это сделано выше. Предлагалось, например, считать соответствующую область  вокруг Земли, имеющей радиус 3-4 млн.км.  На основании энергетических соображений для подобной «СФЕРЫ ВЛИЯНИЯ» выводился радиус, равный... »     (далее следует выражение для сферы влияния. (см. в книге.))

    Но и это ещё далеко не все факторы, которые могут быть приняты во внимание  баллистиками космических перелётов при выборе  величины  «сферы действия», например, можно учесть влияние на точность расчёта параметров траектории ограниченных характеристик бортового вычислителя.

    В книге В.И.Левантовского приведено  КОНКРЕТНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ для определения «СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ» для любых планет и дающее для Земли величину  0,925 млн.км.,  которая, как следует  из рис.2, лишь на 16% больше дальности для точки  «т.3» (с дальностью 0,8 млн.км. и на которой относительные величины поправок для обеих СК равны и составляют 10%), что обеспечивает  близкие между собой  значения относительных поправок от текущих  ускорения в Земной (16%) и Солнечной (8%) системах координат.

  Смысл введения понятий  «сфера действия» и «сфера влияния» стал понятен.

      Далее В.И. Левантовский приводит сравнительное описание «сферы действия»  и «сферы Хилла»:

« Единственный смысл понятия «сферы действия»  заключается именно в границе разделения двух кеплеровых траекторий  (рассчитываемых в разных системах координат, например, Земной и Солнечной *)примечание моё).   В частности, «сфера действия» планеты вовсе не совпадает с той областью пространства, в которой планета способна вечно удерживать свой спутник. Эта область называется «сферой Хилла»  для планеты относительно Солнца.  Внутри «сферы Хилла» тело может находиться неограниченно долго, несмотря на возмущения со стороны Солнца, если только в начальный момент оно имело эллиптическую планетоцентрическую орбиту. Эта сфера больше сферы действия.  «Сфера Хилла» для Земли относительно Солнца имеет радиус 1,5 млн.км.».

  Свои значения максимальной дальности удержания спутников на орбите Земли, являющихся такими же оценками, как и  «сфера Хилла»,  мы уже определили в начале этого комментария.

 Как мне кажется, получилось неплохое совпадение результатов оценки сферы удержания спутников Землёй: 1,50 млн.км. («сфера Хилла»),   1,60 млн.км (Задача «Трёх тел»)  и 1,68 млн.км (дальность безусловной потери спутников Землёй, т.е. верхнее ограничение на дальность удержания  спутников Землёй).

      И, наконец,  автор в деликатной форме высказал своё твёрдое отрицательное отношение к понятию «СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ» (с чем и я полностью согласен):

«В отличие от «сферы действия» и «сферы Хилла»   «СФЕРА  ПРИТЯЖЕНИЯ» планеты относительно Солнца,  определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения от планеты и от Солнца,  НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ.

Луна находится глубоко в сфере действия Земли. Поэтому мы предпочитаем рассматривать геоцентрическое движение Луны и считать её спутником Земли.  И отказываемся считать Луну самостоятельной планетой ввиду слишком больших гравитационных возмущений её гелиоцентрического движения со стороны Земли.  Любопытно, что орбита Луны (см. «т.2») лежит вне сферы притяжения Земли («т.1» имеющей радиус притяжения примерно 260 000 км.), т.е. Луна сильнее притягивается Солнцем, чем Землёй».   

 *)примечания по номерам точек мои.

  А ведь именно критике такого подхода, учитывающего СООТНОШЕНИЕ СИЛ (и положенного в основупонятия «сферы притяжения»), действующих на тело, был, в основном, и  посвящён мой предыдущий комментарий (от 16.12.2019г)  по этому вопросу с привлечением закона притяжения и второго закона Ньютона.  Основной вывод этого комментария состоял с том, ПРИТЯЖЕНИЕ Луны Солнцем ВООБЩЕ ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ВЛИЯЕТ НА относительное ВРАЩЕНИЕ ЛУНЫ ВОКРУГ Земли при существующей на сегодня орбите Луны.  При анализе ещё  больших размеров орбит (для межпланетных станций)  необходим ТОЛЬКО ДОПОЛНИТЕЛНЫЙ УЧЁТ НЕОДНОРОДНОСТИ гравитационного поля от ускорения Солнцем в виде ВЕКТОРНЫХ ПОПРАВОК (ПРИРАЩЕНИЙ) этого ускорения для рассматриваемого тела относительно ВЕКТОРА этого же ускорения, рассчитанного для начала системы координат, в которой и рассчитываются траектория тела.  В  терминах математики эта ПОПРАВКА представляет  собой УЧЁТ ТОЛЬКО  ДИФФЕРЕНЦИАЛА (иначе Приращения) ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  Солнца относительно начала системы координат для  рассматриваемого тела  ВМЕСТО УЧЁТА ПОЛНОГО ВЕКТОРА этого же ускорения для тела.  А это, согласитесь,   далеко не одно и то же, так как величина силы  может быть большой и в то же самое время при этом обладать  почти нулевой скоростью векторного изменения своей величины при малом изменении расстояния до Солнца относительно полного расстояния до него, а значит и обеспечивать НУЛЕВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОПРАВКИ от влияния этой силы, что и наблюдается в диапазоне дальности от низких орбит искусственных спутников Земли (в несколько сотен километров над Землёй)  вплоть до орбиты Луны относительно Земли (см.красный график на рис.2).

     Например, на расстояниях более, чем у  «сферы притяжения» с её  260 тыс.км  («т.1» на рис.2) УСКОРЕНИЯ от СОЛНЦА НАЧИНАЮТ ПРЕВЫШАТЬ УСКОРЕНИЯ от притяжения Землёй, достигая превышения в 2,2 раза на орбите Луны (см. параметр F=Fc/Fз  для точки «т.2» ) ,  что отнюдь не мешает Земле стабильно удерживать Луну на своей Земной орбите. И только в области максимальной дальности «сферы Хилла» (~ 1,5 млн.км.),  на границе которой сила притяжения Солнцем уже в ~34! раза превышает силу притяжения от Земли или даже ещё дальше:  на её теоретическоё оценке «сверху», т.е. в  «т.4» (где Солнце притягивает в  ~40,5раз сильнее, чем Земля), когда ПРИРАЩЕНИЕ от солнечного ускорения (а не его полное значение!) ПОЛНОСТЬЮ СКОМПЕНСИРУЕТ УСКОРЕНИЕ ПРИТЯЖЕНИЯ Земли,  земные спутники безусловно сойдут с орбиты вокруг  Земли  и станут спутниками Солнца.

    Всё вышеизложенное, а так же контрольные расчёты на полной модели «трёх тел», подтверждает  ПОЛНУЮ БЕСПОЛЕЗНОСТЬ  И  ОШИБОЧНОСТЬ (для понимания истинных причин  удержания планетами своих спутников) ПРИМЕНЕНИЯ  различных значений  «СООТНОШЕНИЯ СИЛ», учитывающих воздействие силы притяжения Солнцем.

    Пора подводить итоги рассмотрения пяти терминов «сфер» для планеты Земля:

Во-первых, прежде всего,   ОТМЕТИМ самую важную и, на мой взгляд, единственную из всех  вышерассмотренных «сфер», достойную общедоступного применения и упоминания  для всех планет Солнечной системы -   «Сферу Хилла»  как конкретную по смыслу и  значению, и  определяющей  радиус  ~ 1,5 млн.км. для планеты Земля,   внутри которого различные тела могут находиться неограниченно долго на орбитах вокруг планеты, несмотря на возмущения со стороны Солнца. Это действительно важная и необходимая характеристика для любой планеты!

   Расчёты значения этой же дальности «удержания», проведенные автором данного комментария,  полностью подтверждают эту величину «Сферы Хилла» применительно к планете Земля, которая равна  1.50 млн.км, видимо, с небольшим запасом в меньшую сторону.

    Определение этой же предельной дальности для Земли (с применением расчётов на полной задаче для «Трёх тел»)  дала максимум в 1,60 млн.км (при дальности в 1,61 млн.км спутники срываются Солнцем с орбит вокруг Земли). При этом на рис.1 определено ВЕРХНЕЕ ОГРАНИЧЕНИЕ на величину предельной дальности:  ~1,68 млн.км, которая  и является безусловным ограничением сверху на дальность удержания Земных спутников, приводящей к  безусловнойной  потере спутников Землёй, т.е. к их сходу  с относительной орбиты вокруг Земли на самостоятельные орбиты вокруг Солнца.

 Как мне кажется, можно было бы ввести в широкое употребление отечественный и понятный любому термин, например, «Сфера удержания спутников планетой» в противовес «Сфере Хилла», требующей обязательного разъяснений её смысла при первом знакомстве с этим термином. 

Во-вторых, для всех интересующихся проблемами космических полётов  (за исключением узких специалистов по космической динамике),  можно было бы объединить вместе вышерассмотренные «сферы» (  «сфера действия» и «сфера влияния»)  несмотря на существенно  разные величины их значений для Земли (0.925 млн.км. и 3-4 млн.км соответственно) как предназначенные для одной и той же  цели:  использования величины радиуса этих сфер  в качестве границы для стыковки двух «кеплеровых» траекторий, рассчитанных в разных системах координат при расчёте межпланетных траекторий полёта, где в зависимости от предпочтительного выбора какого-либо фактора,  влияющего на точность  расчёта траекторий, меняется и величина радиуса этих сфер в довольно широких диапазоне.    

   По моему,  вместо этих двух  «сфер» на одну и ту же тему и к тому же с весьма неудачными названиями («сферы действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»)  целесообразнее для широкого употребления общественностью (специалисты сами разберутся без нас с внутренним применением этих терминов) ввести  ОДНУ НОВУЮ СФЕРУ с понятным для всех читающих названием: «Сфера стыковки межпланетных траекторий», рассчитываемых в двух системах координат.  Иначе говоря, это сфера, по достижении которой к траектории межпланетной станции применяется «метод сопряжённых конических сечений» в связи с переходом расчёта траектории из одной системы координат в другую. Однако встаёт вопрос, а какое конкретное значение ей присвоить, исходя из разных радиусов этих сфер?

    Существующие же названия этих сфер для планеты («сфера действия тяготения», «сфера действия», «сфера влияния») невольно вызывают странные мысли о не бесконечном распространении силы гравитационного притяжения планеты в окружающем нас пространстве. 

    Немалый разнобой в величине  радиуса этих «сфер» (до 4 раз) несмотря на одно и то же их  предназначение  - стыковку траекторий, рассчитываемых в разных системах координат,  лишь свидетельствует о субъективном характере  выбора значений их радиусов, а потому эти «сферы», по-моему, и  не должны носить таких названий для планет, намекающих на какие-то ограничения  их гравитации  и ассоциирующиеся именно так  у подавляющего большинства читателей, поскольку сами названия не сообщают об их истинном и весьма скромном предназначении что-то где-то там поменять внутри компьютера в алгоритме расчёта траекторий!   Да какое же это имеет отношение к гравитации планеты, чтобы создавать столько разных впечатляющих названий «сфер», предназначенных для одного и того же применения?   Конечно, краткость – сестра таланта, но не до такой же глубины пропасти между названием термина с его узким предназначением и к тому же с подвижным значением величины радиуса.  

   Вот «сфера Хилла», например,  даёт действительно ценную информацию о гравитационных возможностях планеты по удержанию своих спутников!   А вышеупомянутые сферы лишь свидетельствуют о недоговорённости между собой специалистов по баллистике в величине радиуса этих «сфер».

  В-третьих,  в отличие от всех остальных сфер, рассмотренных выше,  «Сфера притяжения»  планеты относительно Солнца,  определяемая как область, на границе которой попросту равны гравитационные ускорения (а так же равны и силы, поскольку они приложены к одному и тому же телу) от планеты и от Солнца,  НЕ ИГРАЕТ НИКАКОЙ ПРАКТИЧЕСКОЙ РОЛИ В КОСМОДИНАМИКЕ (см. выше ссылку на книгу В.И.Левантовского, стр.71), а если сказать прямо и честно, не взирая на личности,   то  ЯВЛЯЕТСЯ не только БЕСПОЛЕЗНОЙ, а , с инженерной точки зрения,  ОШИБОЧНОЙ  И  ВРЕДНОЙ  как  способствующей поддержанию и распространению  ошибочного обывательского ЗАБЛУЖДЕНИЯ  О  ПРЯМОМ   ВЛИЯНИИ  СИЛЫ  ПРИТЯЖЕНИЯ ОТ СОЛНЦА  НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли В ВИДЕ УЧЁТА так называемого «СООТНОШЕНИЯ СИЛ» (отношения силы притяжения  от Солнца к силе притяжения Землёй, равного единице для  «сферы притяжения»).

   А что самое печальное при этом, что СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем  ПРАКТИЧЕСКИ НЕ ОКАЗЫВАЕТ НИКАКОГО ВЛИЯНИЯ НА ОТНОСИТЕЛЬНУЮ ТРАЕКТОРИЮ ВРАЩЕНИЯ Луны вокруг Земли как её не учитывай в любых числовых соотношениях, т.к. она лишь искривляет траектории полёта Земли,  Луны и их спутников с ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ ПО ВЕЛИЧИНЕ ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫМ УСКОРЕНИЕМ (от воздействия этой силы притяжения Солнца) до почти круговых орбит вокруг Солнца,  ПРАКТИЧЕСКИ  НЕ  ВЛИЯЯ  НА  ИХ ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ  траектории вокруг Земли  БЛАГОДАРЯ  ВЕСЬМА  ХОРОШЕЙ ОДНОРОДНОСТИ  ускорения от воздействия этой самой силы притяжения от Солнца в области сегодняшней орбиты Луны.

     Достаточно лишь напомнить о том, что   увеличение радиуса орбиты спутника Земли, например,   с  ~260 тыс.км («сфера притяжения»)  до 1,5 млн.км («сфера Хилла») сопровождается стремительным ростом величины «Соотношения сил» (отношения силы притяжения от Солнца  к силе притяжении от Земли)  с  1   до  34 (см. величину параметра F,  равному отношению силы притяжения от Солнца к силе притяжения от Земли для  выделенных точек на рис.2),  хотя  внутри «сферы Хилла» Земля, не взирая ни на какие большие величины «Соотношения сил» устойчиво удерживает все свои  спутники независимо от величины их массы, вплоть до Луны, что и  свидетельствует о полной бесполезности (или «Не играет никакой роли в космодинамике» - по В.И.Левантовскому) применения понятия «Соотношения сил».

   Фактически  СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ Солнцем начинает оказывать своё влияние на относительные траектории спутников Земли  только при больших радиусах их орбит, сравнимых с орбитой Луны и более, из-за  роста  неоднородности гравитационного поля ускорения от Солнца на траектории полёта спутников Земли,  НО ТОЛЬКО НЕ  НАПРЯМУЮ, А ЗА СЧЁТ ОДНОГО ПРИРАЩЕНИЯ  СВОЕГО  ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ на рассматриваемое тела (например, Луну)  относительно значения этого же самого  вектора ускорения в  начале применяемой системы координат, например, в  центре масс Земли для Земной СК, если в ней рассчитывается траектория Луны вокруг Земли.   А ведь ПРИРАЩЕНИЕ ОТ ВЕКТОРА УСКОРЕНИЯ  и  ПОЛНАЯ ВЕЛИЧИНА ЭТОГО ВЕКТОРА, что эквивалентно применению термина «Соотношение сил (ускорений)»,   ведь не одно и то же, как не совпадает  в математике понятие о  дифференциале ( приращении)  силы   и  величине самой силы.

  В итоге, «Сфера притяжения» из всех рассмотренных «сфер» для планет, по моему твёрдому убеждению, вообще не имеет никакого права на своё существование как не только бесполезная, но и вредная по своей сути, искажающая в задаче «Трёх тел» реальную механику вращения тела относительно другого для малоподготовленных читателей из-за чисто формального рассмотрения величины «соотношения сил», при том, что величина этой силы притяжения от Солнца не оказывает никакого практического влияния  на относительное вращение Луны вокруг Земли при существующей орбите Луны.

P.S.      Что же, в итоге,  можно выделить и рекомендовать из рассмотренного изобилия «сфер», достойных  общедоступного упоминания  на просторах Интернета?  По «Гамбургскому счёту», только одну «сферу»  -  «сферу Хилла» и больше никаких других из вышерассмотренных так называемых «сфер», за серьёзными названиями которых нет единой величины радиуса «сфер», несмотря на одно и то же их предназначение.   Только «Сфера Хилла» представляет важную и конкретную по величине характеристику гравитационных возможностей планеты в условиях её подчинённого положения относительно  гравитационного поля звезды по имени «Солнце»  И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ  МАКСИМАЛЬНЫЙ  ВОЗМОЖНЫЙ РАДИУС СФЕРЫ, внутри которой планета  может стабильно удерживать свои спутники от гравитационных притязаний Солнца по срыву спутников с их относительных траекторий вращения вокруг планеты.

   По моему скромному мнению, упоминание «сфер» с названиями  («сфера действия тяготения», «сфера действия» и «сфера влияния»), НЕ ОТРАЖАЮЩИМИ ИХ ОДИНАКОВОГО  РЕАЛЬНОГО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЯ переходить из одной системы координат в другую при расчёте межпланетных траекторий, следует ограничить кругом специалистов их и предложивших для своих же расчётов. Либо раскрыть их истинный смысл, заменив их названия на более понятное: «Сфера стыковки межпланетных траекторий».    Видимо, только «солидность» названий  этих «сфер» и позволила им  закрепиться в умах  пользователей Интернета, поверивших в серьёзность их смысла и поставивших  их в один ряд с единственной и действительно важной для планет характеристикой - «Сферой Хилла».

В итоге, всё изобилие  названий гравитационных "сфер" для планеты Земля оказалось на удивление однообразным и малополезным для широкой публики в Интернете, несмотря на свои солидные названия.   

Однако,  Со Старым Новым Годом  и  новыми понятными названиями для «сфер»!

 До ближайшей  встречи на Лунных орбитах, поскольку на наших глазах разворачивается  уже не "киношная", а реальная гонка полётов человека на Луну. Определим параметры «сферы удержания спутников» для Луны.

 Георгий. 13.01.2020г. 17час.40мин время моск.

Уважаемый Георгий!

Ваша статья «Определение величины радиуса «сферы переключения межпланетных траекторий»при выводе космического аппарата на орбиту спутника Луны»настолько актуальна, что ее надо опубликовать в соответствующем научном жунале.

Ваше объяснение синхронизации вращения Луны несовпадением центра масс с геометрическим центром, безусловно, справедливо, но оно не единственное.

В астрономической литературе это явление объяснается более эффективным, дифференциальным действием притяжения. Ближайшая к планете сторона спутника притягивается к планете сильнее, чем противоположная. Это приводит к растяжению спутника, образованию выпуклостей с двух сторон: большей в направлении планеты и меньшей с противоположной. Движение спутника по орбите заставляет выпуклости всегда быть направлеными на(от) планету, то есть смещаться по телу планеты в сторону, противоположную освому вращению. Осевое вращение замедляется, пока ни становится равным периоду орбитального движения.

 Я расчеты не проводила, но, думаю, что вторая причина эффективнее первой. Синхронный спутник Юпитера Ио деформируется и поэтому разогревается так, что на его поверхности действует множество вулканов, а на синхронном спутнике Юпитера Европе – под ледяной поверхностью – жидкий океан.

 Ту же природу имеют приливы и отливы на Земле под действием дифференциального притяжения Луны.

Интересно, не проводили ли Вы расчеты. Желаю дальнейших успехов!

Уважаемая RMR_astra!

С Вашим первым утверждением я не согласен, но согласен с уважаемым Георгием, однако со вторым Вашим утвержденим по поводу Рогозина я полностью согласен. Хотелось бы согласиться с Георгием, но пока оснований для оптимизма мало. Однако еще есть время и, надеюсь, оно скоро наступит.

Уважаемая RMR_astra, большое спасибо за оценку моих заметок. В ближайшие дни Вас и всех читателей данного сайта  ждёт ещё одно небольшое, но весьма оригинальное и неожиданное для большинства читателей сообщение, связанное с расчётами траекторий аппратов очень близко подлетевших к Солнцу таких, например,  как зонд "Паркер", о существовании которого я ещё и пару недель назад ничего не знал.

 Выражаю Вам, RMR_astra,  БОЛЬШУЮ  БЛАГОДАРНОСТЬ за Ваше сообщение о зонде "Паркер"!

  Действительно, ПОРАЗИТЕЛЬНО  ИНТЕРЕСНЫЙ ПРОЕКТ, миссия которого позволит пролить свет на  не только на излучения Солнца (ну и каламбур), но и прояснить многие вопросы, связанные с механикой полёта тел в таких экстремальных близких условий пролёта у центральной звезды планетной системы и даже оценить многие интересные вопросы, связанные, например,  с формированием гравитацонного поля вокруг звезды (т.к. есть некоторые оригинальные теории по этому поводу) и многое чего другого.

    Обидно, что эти данные, наверняка,  не будут доступны всем нашим заинтересованным в этих вопросах учёным, а очень жаль. Упустили мы инициативу, превратившись в "извозчиков"  на МКС, вместо реализации по настоящему интересных космических исследований, прежде всего Луны и вот таких оригинальных запусков зонда к Солнцу...   Ну не нужны нам на сегодняшнем этапе развития никакие марсы и прочие безжизненные планеты вместе с безумными и авантюрными идеями их колонизации.   Пора начинать наводить порядок на самой Земле (хотя бы с мусором в океанах и в ближем космосе по расчистке от космического "мусора" на орбитах, пока ещё не поздно) и  начать в ближайшее время серьёзное освоение Луны,  на которую, уверяю Вас, ещё не ступала нога ни одного человека, ну а в американском шоу можно всякое показать, на это они мастера ...  Как бы не проиграть нам в этом возобновившемся соревновании прежде всего китайцам. Очень уж медленно и неуверенно раскачиваемся, отодвигая даты запусков всё дальше и дальше. Надо бросить все силы на освоение Луны - вот наша приоритетная задача на ближйшие десятилетия в космических программах, а не марсовые прожекты по поиску каких-то там следов бывших цивизизаций, от которых нам никакого проку нет на данном этапе развития космической техники.

  Я верю в Вас, Д.О. Рогозин.   Вы же патриот отечества!  Дмитрий Олегович, не подведите!   Пора всерьёз браться за Луну, ещё можно успеть!     Выполните мечту Сергея Павловича Королёва:      

В п е р ё д  ,  к  Л у н е !   П о к а ж е м   н а  ч т о   е щ ё  с п о с о б н а  Р о с с и я !

Георгий. 02.02.2020г 18ч.10мин. Время моск.