Благдаря ссылке в исходной статье на ведущего автора миссии Космического Зонда "Паркер"(КЗП) удалось найти оригинал основной статьи авторского коллектива, возглавляемого неким Yanping Guo, по теоретическому обоснованию миссии полёта к Солнцу и 7 коррекциям орбиты для вывода зонда в его перигелии на  беспрецендентно минимальное расстояние к Солнцу с целью исследования всех видов излучений от Солнца. Вот ссылка на огригинал статьи в Интернете:

https://issfd.org/ISSFD_2014/ISSFD24_Paper_S6-2_Guo.pdf

СОЛНЕЧНЫЙ «ЗОНД+» :   ОБЗОР ЦЕЛИ ПРОЕКТА  И ЕГО ОПИСАНИЕ.

Yanping Guo(1), James McAdams(2), Martin Ozimek(2), and Wen-Jong Shyong(2) (1)Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory, 11100 Johns Hopkins Rd. Laurel, Maryland, 20723, (240) 228-7541, Yanping.Guo@jhuapl.edu (2) Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory, 11100 Johns Hopkins Rd. Laurel, Maryland, 20723 Jim.McAdams@jhuapl.edu, Martin.Ozimek@jhuapl.edu, Wen-Jong.Shyong@jhuapl.edu

"Реферат:  Миссия исследования Солнца «ЗОНД+», с запланированным запуском в 2018г, впервые приблизиться к Солнцу в пределах 10 солнечных радиусов (RS  (= 0,696млн.км,*)). Космический корабль достигнет Солнца в серии эллиптических гелиоцентрических орбит походящих внутри солнечной системы. Расстояния перигелия орбит будет постепенно уменьшаться с применением гравитационного притяжения Венерой вплоть до достижения  9.86 RS ( = 9,86 * 0,696млн.км = 6,74млн.км *). Ключевые элементы базового проекта миссии включают запуск зонда, семь коррекций с использованием гравитации Венеры  и помогают получить 7 видов траектории миссии V 1-7, и беспрецедентные 24 близких солнечных пролета в течение  7-летней продолжительности миссии проекта. Научные наблюдения и измерения  начнутся через три месяца после пролёта в первом перигелии на расстоянии 36 RS (=27,14 млн.км*), который будет новым рекордом по минимальному расстоянию для космического зонда относительно Солнца, и на протяжении всей миссии будет сопровождаться регулярными пролётами у Солнца от 3 до 4 раз за год. Из-за Солнечной активности связь с космическим кораблем может быть задействована не по всей траектории внутри солнечной системы. Профиль покрытия полной связью показан на рисунках совместных орбит, вместе с рисунками  маневров коррекции траектории."

*) Примечания мои, а также далее по тексту с символом:  *).

  Описание идеи задействовать эллиптическую орбиту для зонда с периодом вращения, равным периоду вращения планеты Меркурий вокруг Солнца, с целью исключения нежелательных встречь зонда с Меркурием. 

"2.3.  Финальная Солнечная Орбита после 7-ой коррекции у Венеры, SPP («космического зонда Паркер» (КЗП)*))  сформирует солнечную орбиту с перигелием 9.86 RS ( = 9,86 * 0,696млн.км = 6,74млн.км*)) и афелием 0.73 AU ( = 0,73 * 149,6млн.км = 109,21 млн.км *)).  Эта финальная солнечная орбита миссии удовлетворяет требования науки. Финальая солнечная орбита сориентирована близкой к плоскости эклиптики с наклоном 3.4 градуса  к плоскости эклиптики. Орбитальный период - 88 дней, который равен  орбитальному периоду планеты Меркурий, что позволяет избежать возможности столкновения (зонда) с Меркурием в связи с отсутствием  заметного гравитационного воздействия от Меркурия, способного изменить финальную (окончательную)  солнечную орбиту (зонда). Космический корабль SPP (КЗП) останется на этой конечной солнечной орбите и будет  встречаться с Солнцем регулярно через каждые 88 дней."

   Замечания о  предусмотренных программой 7-ми коррекциях орбиты зонда за счёт использования ускорения от притяжения Венерой: 

"  4. Геометрия коррекций от Венеры.

Фигура 3 показывает ориентацию траектории космического корабля и Венеры, а также  солнечного освещения для каждых из семи коррекций от Венеры. Траектория космического корабля при применении коррекций притяжением Венеры с №№ 1,2.5 и 6  Венеры будут производиться на НИСХОДЯЩИХ участках траектории полёта Зонда между Солнцем и Венерой.   Ещё  три коррекции с №№ 3,4 и7 произойдут относительно Венеры на ВОСХОДЯЩИХ участках траектории зонда, т.е. когда он будет находиться дальше от Солнца, чем центр Венеры.    Некоторая часть траектории космического корабля пройдёт в тени от Венеры (при солнечным затмении Венерой).  Космический корабль испытает кратковременное солнечное затмение в течение этих трех коррекций от Венеры.   Самое длинное солнечное затмение будет 661 секунды на  3-ей коррекции от Венеры, и самое короткое солнечное затмение 501 секунд произойдет на 7-ой  Венере. Эти краткие солнечные периоды затмения не нарушат работу блока питания космического корабля или термического ограничения на коррекцию от Венеры (а кто бы сомневался в этом, если он рассчитан на гораздо более тяжёлые условия по "поджариванию" вблизи самого Солнца ?!)   Среди семи коррекций от Венеры, самая близкая к Венере коррекция №7 произойдёт на расстоянии в 317 км от Венере.   Вторая ближайшая коррекция с №=3 произойдет на 834 км от Венеры. Остальная часть коррекций от Венеры  произойдет на гораздо больших расстояниях в диапазоне от 2392 до 3939 км. Расстояния  этих коррекций не вызывают беспокойства о безопасности космического корабля и не требуют задействования оптической навигации для предварительного повышения точности коррекции."

=========================================================================

" 5.1. Солнечные пролёты

   Многократно повторяющихся одинаковые пролёты (зонда) в перигелии относительно Солнца представляют из  себя семь видов основных траекторий (по числу коррекций и со своими семью периодами вращения относительно Солнца). Три типа перигелиевых пролёта  P4, P6 и P8 состоят из  двух повторяющихся последовательных солнечных пролётов.  Два типа перигелия P1 и P22 (P24 – это ошибка в статье, см.фиг.6 для P22 *) имеют по три повторяющихся солнечных пролета. Перигелий P17 имеет пять пролётов, а перигелий P10  - семь пролётов. Эти повторные солнечные пролёты (с одинаковой дистанцией зонда в перигелии)  создают благоприятные возможности  для научных наблюдений и измерений и увеличивает общее время, проведенное в районе ближнего Солнца, что критически важно для накопления данных для далнейших полноценных научных исследований. Детальное  солнечное расстояние и профили скорости вблизи Солнца на каждом солнечном пролёте научного этапа порисованы на Фиг.4."

   На рис.4 показаны МИНИМАЛЬНЫЕ РАССТОЯНИЯ (видимо, от барцентра Солнца в AU,  где AU =149,6 млн.км - среднее расстояние от Земли до Солнца) и ВЕЛИЧИНЫ СКОРОСТИ (в км/сек) ЗОНДА по дням (до и после перигелия) относительно момента истинного перигелия. Показаны семь рисунков после проведения каждой из 7-ми коррекций, выраженную в номерах орбит относительно Солнца, отсчитываемых от начала миссии зонда (всего запланировано 24 (с их номерами: #1 - #24) солнечных пролёта. 

==================================================================

«  Профили расстояний от Солнца

 Изменение солнечного расстояния космического аппарата SPP (КЗП) в зависимости от времени полёта (в днях (=24 час) с момента старта КЗП)  в течение 7-летней продолжительности полета показано на рис. 6.    Число солнечных орбит миссии четко показано в этом солнечном профиле расстояния. Существует 25 афелиев (от А1 до А25) и 24 перигелия (от Р1 до Р24), в общей сложности 24  (с мх номерами: #1 - #24) полных солнечных орбиты. Каждая орбита начинается в аафелии (наибольшем расстоянии от Солнца), проходит через перигелий (наименьшее расстояние) и заканчивается в следующем афелии. Например, число орбиты n, начинается с An, проходит через Pn и заканчивается на A(n+1). Подробно показано (как в соответствии в 7 коррекциями орбиты КЗП в области орбиты Венеры) уменьшаются расстояния перигелия и афелия относительно Солнца.  

  Дополнительное примечание:   

   Диапазон расстояния от афелия до следующего за ним перигелия, если между ними НЕТ этапа коррекции орбиты в виде круглого рисунка Венеры в верхней части рис.6 по дальности,  определяет большую полуось эллиптической орбиты зонда, а, следовательно, и его период вращения (в днях полёта) относительно Солнца для последующих солнечных пролётов. Если же на пути вниз от афелия до перигелия ЕСТЬ коррекция (в виде кружка Венеры), то для определения параметров НОВОЙ эллиптической орбиты в результате этой коррекции надо взять расстояние от нижнего текущего после коррекции перигелия до следующего заним афелия.

    В результате предусмотренных программмой семи коррекций, постепенно снижающих скорость полёта зонда в верхней части орбиты, преследуется цель перехода (к семи видам расстояния в перигелии) со всё более меньшей дальностью до Солнца и неизбежным нарастанием максимальной скорости зонда в нижней части орбиты из-за его дополнительного разгона притяжением Солнца вследствие потери скорости зонда при каждой новой  коррекции орбиты в её афелии (вот откуда неизбежно растут и эти «побочные рекорды по скорости», что, однако, неплохо с точки зрения снижения времени пребывания зонда при облёте Солнца в его перигелии для уменьшения общего накопленного массой зонда количества тепла от Солнца (чтобы зонд не перегрелся)  с последующим остыванием зонда в  области его афелия у орбиты Венеры). 

   Значение периода обращения зонда вокруг Солнца (в днях) для каждого его солнечного пролёта  показано в виде таблицы в верхней части рис.6. Для завершения первой орбиты потребуется 168 дней, а для завершения последней - только 88 дней, причем этот период окажется меньше первоначально почти на 50% в ходе 8-й миссии. 

   Это упоминание о некоей "8-й миссии зонда", видимо, связано с  последующими вращениями зонда по окончании его последнего 24-го пролёта относительно Солнца, предусмотренного основной программой полёта, и его дальнейшему уже «бонусному», неуправляемому коррекциями, полёту с неясной пока продолжительностью существования зонда в этой его последней,  8-ой миссии.*) 

   Не забываем о том, что период 88 дней необхолим для полного исключения вероятности встречи зонда на малых расстояниях с планетой Меркурий, имеющей период вращения вокруг Солнца  ~88 земных дня и, конечно же, с учётом выбора разработчиками данного проекта соотвествующей фазы их относительного вращения для обеспечения максимального расстояния между ними с целью снижения возмущающего гравитационного притяжения Меркурия на траекторию зонда. *). 

      Получение семи видов минимального расстояния зонда в его перигелии объясняется введением по программе полёта семи запланированных коррекций скорости полёта зонда за счёт его предварительного выведения путём включения корректирующего реактивного двигателя  и вывода зонда в требуемую расчётную область пространства на заданное расстояние для попадания зонда перед набегающей Венерой в требуемую точку на так называемой "сфере переключения межпланетных траекторий" Венеры с целью снижения его скорости полёта под воздействием её гравитационного притяжения.  На рис.6 для расстояний отмечены случаи семи коррекций с прорисовкой семи венерианских кружков. Дальность полета зонда от Солнца является основным фактором, определяющим конструкцию системы полета SPP (КЗП). Солнечное расстояние определяет требования к размеру солнечных батарей, удовлетворяющих требованиям по энергоснабжению, поддержания работы системы температурного режима по тепловой защите и охлаждению, ситемы управления космическим аппарата и передачи данных. На рис. 6 показано максимальное солнечное расстояние 1,018 AU (= 1,018*149,6млн.км  = 152,3млн.км) на орбите #1 и минимальное солнечное расстояние 0,04587 AU (9,86 RS)  (= 6,86млн.км) на орбитах #22-#24 и далее по времени. Траектория зонда никогда не будет удаляться от Солнца дальше, чем орбитальное расстояние Земли, что позволяет использовать на космическом аппарате солнечные батареи минимальных размеров.»

   В заключение, остаётся пожелать команде управления Космическим Зондом «Паркер» полного и успешного выполнения запланированной программы полёта по изучению излучений Солнца для получения новых данных на благо всего человечества в течение ближайших 5,6 лет работы зонда на солнечной орбите.

Георгий. 31.01.2020г 20ч.25 мин. Время моск.

Уважаемый ВИ0540, я точно не единственная смотрю на МКС вечерами. Всегда привлекаю тех, кто рядом во время пролетов. Когда проходящие мимо люди видят тех, кто смотрит высоко в небо, обязательно обращают внимание и непроизвольно смотрят в том же направлении. Равнодушных не бывает.

А повод выйти на свежий воздух ради МКС предствляется не менее важным, чем выгулять собаку.    

"И всё-таки ОНА вертится!"- последние слова Галилео Галилея, которые ученый трепетно держал много лет в душе и мыслях, несмотря на запрет церкви произносить вслух.

P.S. Тем, кто наблюдают за МКС, вполне достаточно времени кульминации. Звездные карты пролетов МКС, конечно, красиво, и они уже оставили свой след в архиве интернета.

Уважаемый Георгий! Спасибо за замечания и дополнения.

     Глубокоуважаемые RMR_astra!

    Скоро допишу небольшой комментарий по либрационным точкам L1-L5, в т.ч. с выводом графика для определения угла на точки L4(L5) и  простеньким  анализом их устойчивости на уровне качественных рассуждений.

      В ответ на ваше замечание от 18.01.2020 могу сообщить следующее:

Сначала о  том, что удалось сделать за последние дни.

    Во-первых, формулу угла для  точек Лагранжа L4 L5 удалось получить решением простой геометрической картинки  с ускорениями от Солнца и Земли  за несколько часов работы и при обязательном условии введения учёта наличия Бар-Центра общего вращения Солнца и Земли. Без него ничего бы не вышло! Странно, что в интернете шаром покати при поиске ответа на данный вопрос.

В итоге,  100% подтверждение Лагранжа: угол действительно 60 град и НЕ ЗАВИСИТ ни от чего!  После всех сокращений одинаковых членов в громоздких выражениях просто НИЧЕГО НЕ ОСТАЛОСЬ, кроме нижеследующего выражения для самого угла в виде:

   sin³ (φ/2) =1/8( =0,125);  А это значит, что   sin (φ/2) = 0,5  и  φ/2 = 30 град и окончательно:  φ =60 град!

      Этот угол появляется у любой планеты независимо даже от величины соотношения её массы к массе Солнца и  расстояния до него! Просто  поразительно!  Так что мои предположения о возможном влиянии на величину этого угла «массового плеча планеты просто не оправдались.

       В итоге, на вершине равностороннего треугольника, опирающегося вершинами нижней горизонтальной стороны на Солнце (например, слева) и Землю (справа), по направлению перпендикулярному к линии от Солнца к верхнему углу тела  L4  ПРОЕКЦИИ ускорения от Солнца и Земли, направленные влево и вправо ВЗАИМНО  УРАВНОВЕШИВАЮТСЯ, а вот вдоль этой левой восходящей стороны треугольника, идущей от Солнца к L4 баланса НЕТ и тело L4 увлекается в направлении действия центробежной силы, т.е. на него действует дополнительное небольшое ускорение вверх вдоль левой стороны треугольника от Солнца к L4 и далее отбрасывает  дальше в космос от круговой траектории (но надо бы окончательно убедиться в правильности направления (ОТ или НА Солнце)) отброса. (а то не получилось бы, как у  М.Жванецкого: «тщательнее, надо, ребята, тщательнее,  а то C2H5OH на пару и не берёт!»)

Это ускорение отброса (или притяжения?) независимо от его направления,  приведёт в эллиптической орбите и орбита тела начнёт из-за этого дрейфовать в сторону Земли, т.к. проекция орбитальной скорости тела на его бывшую круговую орбиту уменьшится, а дальше с ним расправится сама Земля, расшвыряв его в зависимости от случайных условий встречи в самых разнообразных направлениях: от гравитационного разгона с выбросом  далеко за пределы орбиты планеты, до резкого торможения с падением либо на саму Землю, либо с уходом на орбиту с меньшим радиусом вращения, что будет самым вероятным событием в итоге встречи тела с Землёй.  Качество зачистки траектория планеты от мусорных тел  на её орбите – это вопрос только времени, чем дольше, тем «тщательнее» будет расчищена.  Как, видим,  в деле расчистки траектории от мусора  планете помогает само Солнце благодаря его вращению вокруг Бар-центра, что придаёт всем телам небольшие дополнительные ускорения как в направлении на Солнце, так и от Солнца,  придавая эллиптичности этим орбитам тел вместо круговых малоподвижных орбит относительно Земли, которая уже вслед  за Солцем окончательно подчищает наплывающие на неё эллиптические орбиты мусорных тел.

    Пока не ясно, но по моему в левой половине траектории Земли, где нет точек L4 L5, картина противоположная и Солнце за счёт эксцентриситета от Бар–центра будет дополнительно притягивать к себе   тела с орбиты Земли, увлекая их в более нижние слои орбит  с появлением эллиптичности и сползанием опять же в сторону Земли с неизбежной гравитационной расправой.

      Кстати, проводя рассуждения о всяких видах устойчивости не надо забывать о ПРАКТИЧЕСКИ МАЛОЗАМЕТНОЙ ВЕЛИЧИНЕ ЭТИХ УСКОРЕНИЙ, особенно от Земли на расстоянии 149,6 млн. км. Как вы, наверное, помните из моего предыдущего комментария о сферах., там даже просто пренебрегли величиной этого ускорения от  Земли на дальности до Солнца при вычислении ПРИРАЩЕНИЯ поправок в Солнечной системе координат от возмущений Земли, где брали не приращение притяжения от Земли относительно Солнца, а просто саму величину ускорения Земли без вычета из неё этой мелочи.  При таких незаметных ускорениях на таких расстояниях просто смешно рассматривать какую-то там устойчивость. По простейшим прикидкам, получается, что дрейфовать тела L4 L5 по причине продольной неустойчивости могут 100 лет и  более в сторону Солнца!  Я даже подумал, а сколько лет прошло с момента начала наблюдения «троянцев» вокруг Юпитера. Может быть они уже последние из могикан, и скоро разбегутся из точек L4 L5 в течение последних десятилетий ?

     Вообще у меня возникла мысль написать программку рисования красивых цветных изолиний, да ещё и в изометрии с выбором  угла просмотра от вертикали для лучшего разглядывания деталей, да ещё и с  рисованием величины ускорений в виде столбиков, чтобы получилась неровная поверхность с провалами  и выпуклостями в области Солнца, Земли  и либрационных точек, куда скатываются под действием тяготения тела (по типу «сферы Хилла») или даже ещё круче. Для этого даже не надо рассчитывать траектории полёта, а надо лишь рисовать статику в неинерциальной системе координат, просканировав всю область траектории Солнца по углу от 0 до 360 градусов и по дальности от малой до требуемой орбиты, используя только статику ускорений   от Солнца, Земли  и центробежных сил. Тут больше работы с графикой, чем с расчётами.

Эх, неплохо бы. Я думаю этим заняться в ближайшее время!  Для этого у меня всё есть и отлаженная программа «3 тел» с её изометрией. Кстати, формулы для расчёта проекции в изометрии пришлось выводить самому. Сначала хотел найти готовые формулы в Интернете, но не тут то было , как всегда ничего не нашёл, а  ведь в играх их много в стандартных библиотеках, но воспользоваться ими реально довольно сложно, да  и непривычно для меня,  поэтому  проще вывести их самому.  Сколько раз в этом убеждался: поиск занимает дни, а выводишь формулу за несколько часов.

     Кстати, в ответ  на Ваши пожелания, там запросто можно было бы в той задаче наглядно увидеть влияние возмущающих гравитационных факторов и даже не одного, а одновременно  нескольких статично расположенных, путём задания требуемых направлений на них по азимуту, расстоянию и гравитационной массе, но конечно, в пределах плоскости эклиптики основной планеты без  третьей координаты высоты над эклиптикой, что бы сильно не усложнять расчёты.      А то мне, что-то не очень нравятся эти картинки в Интернете, т.к. замечаю в них ошибки, крайние синие треугольники не туда направлены, например, в точках L1 и L3.  

  В общем, через пару дней выдам данные по выводу угла Лагранжа и возьмусь за этого, нашего уважаемого, сами понимаете, Шекспира («сферу Хилла»).

С Крещенскими праздниками!

Геннадий. 19.01.2020г. 21ч.30мин. Время моск.

Уважаемая RMR-astra!

   К большому сожалению, мне не удалось найти в интернете ни одного вразумительного объяснения причин устойчивости точек либрации L4 и L5 – все ссылаются на самого Лагранжа или пишут что-то непонятное.  Да кто бы сомневался в правоте Лагранжа относительно открытых им точек неустойчивого равновесия L1-L5. Не зря его выводы были так высоко оценены парижскими учёными.  Но эти шаткие равновесия  разрушаются  как самой Землёй , так и с привлечением к ней на помощь, (как ни странно это покажется на первый взгляд)  самого Солнца для расчистки орбиты Земли от всяких посторонних тел на её орбите во внутреннюю область орбит, расположенных между Солнцем и Землёй.   Да куда же ещё и без дополнительной помощи в выведении из положения шаткого равновесия  за счёт  внешних возмущений от других планет.   

    Где убедительное  и понятное объяснение в интернете феномена этих точек? Неужели армия преподавателей Теоретической механики в вузах не смогла снизойти до этого. Им, видимо, не до этого…  Придётся сделать это за них.

  Короче, не зря «распетушился», обещаю в течение нескольких недель оформить комментарий на эту тему и вывести формулу для расчёта угла для точек L5(L6) из геометрического рисунка, в основу которого положен учёт влияния величины радиуса Бар-центра для Солнца на компенсацию притягивающим ускорением от Солнца  величины  притягивающего ускорения от плавнеты Земля на тела в точках L4 (L5).

    Вполне возможно,  что «общепринятый» на рис. для "сферы Хилла" угол в 60 градусов для точек L4,  L5 это вовсе не закон, а случайное "красивое" совпадение, а величина этого угла будет целиком и полностью определяться величиной такого параметра планеты в Солнечной системе как «массовый момент планеты», равный  произведению массы планеты на расстояние (её радиус вращение) до Бар-центра (=Мпланеты * Rпланеты до бар-центра), поскольку при изменении величины «массового момента планеты» будет изменять и величина этого угла!  В дальнейшем определим его для нескольких планет Солнечной системы.

    По сути, «массовый момент" планеты во вращельном движении аналогичен моменту от рычага Архимеда (момента силы в статике, без вращения) . Как помним, Архимеду  не хватало только точки опоры для своего рычага, чтобы поднять собственной силой планету. Момент силы Архимеда, равный произведению силы на плечо рычага и есть аналог произведения массы планеты на её расстояние до Бар-центра  во вращательном движении двух тел вокруг Бар-центра (Мпланеты * Rпланеты до бар-центра),позволяющий заставить вращаться само Солнце вокруг Бари-центра с тем же самым по величине «массовым моментом Солнца» (=Мсолнца * Rсолнца до бар-центра). Иначе говоря, планета стнановится сама "Архимедом" (но только во вращательном движении),  приводящая своим «массовым моментом планеты" к появлению ответного, точно такого же по величине, «массовый момента Солнца", за счёт вовлечения Солнца во вращение относительно Бар-центра (центра инерции системы Солнце-Земля) с его плечом Rсолнца до Бар-центра.

   Не надо думать, что радиус Солнца относительно Бар-Центра уж очень мал. За счёт своего длинного рычага (радиуса планеты относительно Бар-центра) даже несравнимо малая масса Земли по отношению к массе Солнца вызывает появление довольно заметного радиуса вращения у самого Солнца.   В итоге, планете даже не потребовалась точка опоры, которую безуспешно искал Архимед, чтобы заставить дополнительно вращаться Солнце вокруг  Бар-центра и вызвать этим вращением появление новых точек всё равно шаткого (а не полного, как считают многие) равновесия L3-L5  в дополнение к точкам  L1 и L2 зависящим, в основном, от притяжения Земли.

 До ближайшего комментария.

 Георгий. 16.01.2020. 11ч.25м время моск.  

На сайте сделаны небольшие изменения. В некоторых материалах убрана строка Закреплять вверху списков. Из-за этого изменился порядок расположения материалов, но все они остались на главных страницах, которых, правда, набралось уже 118. Материалы упорядочены по дате выставления на сайт на главных страницах, а также в разделе Проекты и Знание- Сила.

Статьи, к которым написаны комментарии в настоящее время, наоборот, выставлены выше других на первое место на главной странице.

Приятно удивило, что материал RMR_astra  Что сильнее притягивает Луну: Земля или Солнце?, написанный несколько лет назад, привлек внимание и свежий взгляд нового участника сайта Георгия.  Видимо, данная информация заинтересовала многих, если число просмотров оказалось свыше 45 тысяч.

Уважаемая RMR_astra, спасибо за ответ.

   В свою очередь хочу узнать: каково же на самом деле расстояние для КА Спектр РГ, которое стремятся поддерживать за счёт коррекций. Неужели оно близко к радиусу "сферы Хилла" или всё-таки подальше до 2-3 млн.км.  Прочитал про долгие годы переносов запуска КА. Как я понял, это зеркальный телескоп, созданный в Европе, схемы Ньютона, а может быть даже Максутова с передней линзой для герметичности от космической пыли.  Когда-то в школьные годы сделал себе из двух положительных очковых линз 1,0  и 20 диоптрий зрительную трубу с перевёрнутым изображением. А мы, наверное, как в последнее время, в роли извозчика, или хотя бы разработали для него двигатель и систему управления ориентацией.   И кто на себя взял роль управления коррекциями, надеюсь, что наши специалисты.  НЕ запомнил диаметр зеркала, видимо приличный, около метра.  Интересно на сколько лет рассчитана его миссия в т.L2. и каков запас топлива на борту и какова его судьба после исчерпания запаса топлива на борту и выведут ли его после этого на спутниковую орбиту или утопят в океане. И что надеются открыть нового с этим КА. 

   P.S. почему-то оказалось заблокированной возможность окорректировать мой предыдущий ответ Вам от 9.01.2020 с описанием либрационных точек, т.е. НЕТ кнопки "изменить", а захотелось немного добавить текста и убрать синтаксические ошибки. В чём дело?

Кстати, нашёл ещё интересную статью по точкам Лагранжа, вот её начало:

https://yandex.ru/turbo?text=https%3A%2F%2Fhightech.fm%2F2019%2F05%2F22%2Flagrange-point

"Полет в точку Лагранжа: как устроены самые странные места в Солнечной системе, где практически не работает гравитация       Святослав Иванов, 22 мая 2019

Что такое точка Лагранжа?

В 1772 году математик Жозу Луи Лагранж вычислил в своем исследовании «Проблема трех тел», что гравитационное поле Земли должно нейтрализовать гравитационное притяжение самого большого объекта в Солнечной системе — Солнца — в пяти областях пространства. По сути, эти пять точек являются единственными местами в нашей системе, где практически не работает гравитация благодаря одинаковой силе притяжения от нескольких космических тел.

 пять точек Лагранжа — L1, L2, L3, L4 и L5. Для ученых наиболее интересными для изучения являются точки L4 и L5 — единственные стабильные области из всех точек Лагранжа. Если спутник попадет в точки L1 или L2, через несколько месяцев орбиты изменятся и область отсутствия гравитации также сместится, поэтому космическому телу придется совершать различные маневры, чтобы оставаться в этой области.

Точки L4 и L5, которые считаются самыми стабильными, расположены на плоскости земной орбиты на расстоянии 150 млн км от нашей планеты (для сравнения, расстояние от Земли до Луны составляет 383,4 тыс. км, среднее расстояние до Венеры — от 38 до 250 млн км в зависимости от местоположения планет). При этом L4 вращается вокруг Солнца на 60° впереди Земли, а L5 — на 60° позади.

Вокруг других планет в Солнечной системе ученые также наблюдают похожие области. В 1906 году астроном и пионер астрофотографии Максимилиан Вольф обнаружил астероид, который находится постоянно в одном и том же месте за главным поясом астероидов между орбитами Марса и Юпитера.

Этот астероид оказался точкой L4 Юпитера. Ученые назвали его Ахиллесом — именно с него пошла традиция называть все подобные астероиды именами участников Троянской войны. Сейчас благодаря этому открытию астрофизики обнаружили более тысячи астероидов, находящихся в двух стабильных точках Лагранжа Юпитера.

....

Точка Лагранжа — это такое место в космосе, где объединенные гравитационные силы двух очень массивных тел — Земли и Солнца или Земли и Луны — равны центробежной силе, ощущаемой намного меньшим третьим телом. Взаимодействие этих сил создает точку равновесия, где может быть навечно «припаркован» условный космический корабль для проведения наблюдений."

===============

Обратите внимание на неграмотный заголовок:  "где практически не работает гравитация". 

Опять вспомнил про неудачные названия "сфера притяжения"  и "сфера влияния". Можно подумать, что есть такие места , куда не дотянется "длинная" рука гравитации от любой планеты Солнечной системы в виде гравитационных возмущений. А в первом абзаце автор даже не понимает, что устойчивость в точках L4 и L5 без учёта Бар-центра   НЕВОЗМОЖНО НИЧЕМ ОБЪЯСНИТЬ, т.к. ничто не мешает притянуть Земле к себе оба тела L4 и L5, если не привлечь эффекты от учёта влияния бар-центра, эффект действия от которого я пока и сам ещё не понял и пора начать разобираться с  точками L3-L5.

Кстати, на цветном рисунке с точками L1-L5  для L2 допущена грубая ошибка: там  НЕ ДОЛЖНО БЫТЬ правого синего треугольника, направленного от Земли вправо, как будто  тело кем-то притягивается вправо, поскольку там ПУСТОТА и НЕТ никаких тел, а оба тела и Земля и Солнце тянут ВЛЕВО!  Опять перемудрили с центробежной силой, думая, что скомпенсировали ею притяжение Земли! ОШИБКА.  Получилась  как бы такая же точка НЕУСТОЙЧИВОГО равновесия для L2, как и в L1 !  А вот для L1 нарисовано всё правильно: синие треугольники указывают направления ухода от положения неустойчивого равновесия в ОБЕ СТОРОНЫ, а вот в L2 должен быть ТОЛЬКО ОДИН или можно и ДВА синих треугольника, НО второй, правый, треугольник должен быть направлен  остриём ВЛЕВО  (а не вправо!) к Земле, куда и притягивается всё время тело L2!       Кстати,  и у L3 та же самая ошибка: левый синий треугольник  должен быть  направлен НЕ ВЛЕВО, А ВПРАВО!  Поскольку слева от точки L3 НЕТ НИКАКИХ гравитаторов и ускорение м.б. направлено ТОЛЬКО к Солнцу!  А может быть и в L4 и L5  тоже ошиблись и никакой учёт Бара не поможет?  

   А вот красные треугольники показывают на устойчивость по отношению к линии "Солнце-Земля", прижимая тела  L1 и L2 с двух сторон к линии "Солнце-Земля". Это совершенно правильно.

Кстати вдруг заметил, что на  точки L1 и L2 с учётом их неустойчивого равновесия и даже отсутствия оного может неслабо повлиять Луна своими гравитационными возмущениями, особенно на точки L1 и L2 как наиболее близкие к Луне. 

    Решил обновить свои потускневшие от пыли времён знания по теоретической механике и полистал книгу М.А.Айзермана "Классическая механика", третье издание,от 2005г., написанную на полной теоретической базе преподавателем курса классической механики в МФТИ, одолженную вчера у моего внука, студента 3-го курса МФТИ, для озакомления. Книга мне понравилась и вызвала желание получше вникнуть в идеи инвариантности и ковариантности законов. К своему стыду, понял, что именно Лагранж вывел уравнения для расчёта движения тел в НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ системах координат со всем букетом новых ("фиктивных") ускорений от сил инерции, расширив область применения уравнений Ньютона из инерциальной системы координат в неинерцаальную, а не Д'Аламбер, принцип которого твёрдо отложился в памяти из курса теоретической механики технического ВУЗ-а с институтских лет.  Как написано в аннотации  к этой книге, "она базируется на основных понятиях механики, так и обосновании лагранжева и гамильтонова ФОРМАЛИЗМА".   Это, косвенно оправдывает, часто применяемый мною из-за многочисленных ошибок при применении понятия центробежных ускорений там,  где их вообще нет и в помине, термин О ФИКТИВНОСТИ СИЛ ИНЕРЦИИ, появляющихся ТОЛЬКО в НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ системах координат  (почерпнутый мною из ранее упомянутой книги А.Ю. Ишлинского). 

P.S.    Так что, за все, возможные,  ошибки на вышеприведенном цветном рисунке для "сферы Хилла"  надо "благодарить" современных инерпретаторов уравнений Лагранжа, не очень грамотно применяющих его уравнения. Хотелось бы узнать из первых рук, т.е.  от авторов этого рисунка с их синими треугольниками,  их оригинальные комментарии к нему по поводу точек L1-L5.    Придётся самому разбираться  с точками L3-L5 в любезных мне инерциальных простых системах, не позволяющих плутать в дебрях компенсаций центробежными ускорениями, хотя их добавление  в неинерциальных системах на представляет ровным счётом никаких трудностей, а носит чисто формальный характер. В "инерциалке" часто проще проводить объяснение формирования траекторий движения тел для начинающих и рассуждать ТОЛЬКО о реальных Ньтоновых силах гравитационного притяжения, действующих на тела, что бы не было в умах эклектической мешанины из реальных и фиктивных центробежных,  ускорений!

Георгий. 11.01.2020 10ч58м. вр.моск.

Уважаемая RMR_astra  поздравляю Вас с праздником, с Рождеством Христовым!  Желаю Вам всего самого хорошего! 

Ваш вопрос как бальзам для моей изголодавшейся теормеховской души! Это моя стихия! В самую точку (L2). Шутка.  Мы постараемся вместе с Вами  разобраться с этими точками L1-L5. Мне ещё пару месяцев назад было не до "сферы Хилла", а теперь,  как видите, разродился последним комментарием на тему "сфер". Надеюсь, Вам понравился мой комментарий. Извините, если поколебал веру многих в обоснованности применения всех сфер с тяжеловесными названиями, но кроме "сферы Хилла" говорить вообще больше не о чем.  Я, надеюсь, убедил и Вас в их бесполезности. А теперь это будет продолжением этой темы, следующим комментарием!  

Если коротко, то  ЯВНОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ  обладают, например,  точки: L1 и L2, да и то НЕПОЛНОЙ, а частичной за счёт своего положения на линии "Солнце-Земля". В одной плоскости, проходящей, например,  через точку L1 (или L2) и перпендикулярную линии "Солнце-Земля" по отклонению тел от этой лини УСТОЙЧИВОСТЬ ЕСТЬ, а вот в направлении вдоль этой же линии "Солнце-Земля" НЕТ никакой устойчивости, а есть положение НЕУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ для точки L1 (а для L2 его вовсе нет), т.е.  балансирования как у канатоходцев.

  В плоскости, перпендикулярной линии "Солнце-Земля" устойчивость по положению, в направлении перпендикулярном этой линии "Солнце-Земля" вызвана тем, что если тело L1 (или L2) начнёт вырываться вперёд или отставать вдоль своей орбиты относительно линии "Солнце-Земля", то ПРОЕКЦИЯ ОТ УСКОРЕНИЯ притяжения Землёй на эту плоскость СТАНЕТ НЕНУЛЕВОЙ И ПРИТЯГИВАЮЩЕЙ тело L1 (L2) к её прежнему положению на линию "Солнце-Земля" независимо от направления ухода (вперёд или назад) от Земли.  Это можно назвать устойчивостью по положению на линии «Солнце-Земля» за счёт ускорения притяжения к Земле.  Когда тела L1 и L2 расположены ровно на одной линии "Солнце - Земля " ПРОЕКЦИЯ ОТ полного УСКОРЕНИЯ притяжения Землёй для этих тел на эту перпендикулярную к линии плоскость НУЛЕВАЯ по величине.  Иначе говоря, Земля за счёт своей гравитации, не замечая  их мизерной массы тянет, за собой два мелких тела, не отпуская от себя ни вперёд, ни назад относительно линии "Солнце-Земля", искажая их нормальные орбитальные скорости, если бы не было притяжения близко расположенной Земли.  Ведь  нормальная величина орбитальной скорость кругового вращения для орбиты тела L1 всегда  БОЛЬШЕ орбитальной скорости Земли, а для тела L2 МЕНЬШЕ  орбитальной скорости Земли, если между телами L1и  L2 не было  бы Земли, например, при её расположении на другой стороне от Солнца. В процессе «волочения» за собой двух тел L1 и L2 (при удерживании их на линии «Солнце-Земля» )  Земля своим  притяжением ДОПОЛНИТЕЛЬНО сообщает БОЛЕЕ ВЫСОКУЮ скорость телу L2, и более НИЗКУЮ скорость для тела L1 относительно их НОРМАЛЬНЫХ ОРБИТАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ на тех же орбитах вокруг Солнца при условии отсутствия притяжения от Земли. При этом мы всё время подразумеваем, что рассматриваем в точках L1 и L2 не простые неуправляемые массы,  а  УПРАВЛЯЕМЫЕ СТАНЦИИ С КОРРЕКТИРУЮЩИМИ ДВИГАТЕЛЯМИ, которые УДЕРЖИВАЮТ  L1 и  L2 от естественного изменения расстояния  между  L1 (L2)  и Землёй вследствие присущей им НЕУСТОЙЧИВОСТИ , стабилизируя дальность за счёт периодических коррекций двигателем требуемые нам расстояния для станций L1 и L2.  

      Действительно, в направлении  линии "Солнце - Земля "  при небольшом отклонении от точки либрации (равенства ускорений притяжения от Солнца и Земли) в любом направлении вдоль линии "Солнце-Земля" тело L1 начнёт притягиваться либо к Солнцу , либо к Земле, т.е. куда отклонилось в том направлении и начнёт ускоряться, как например шар скатывается с гряды возвышенности в любую из сторон, а тело L2 - только всё время стремится "скатиться" в сторону Земли, т.к. у него вообще нет даже точки неустойчивого равновесия, как у L1.  Это и есть неустойчивость положения этих тел как вдоль вышеназванной  линии, так и для подавляющей части всех других линий, направленных под углами, менее 90 градусов к этой линии.   Поэтому-то и нужна подработка двигателями малой тяги (ускорения ведь в начале ухода мизерные) в противоположную сторону от сваливания тел L1 и L2 для компенсации ухода от требуемой нам дальности отстояния тел L1и L2 от Земли. В этом сможет помочь только измерение расстояния тел до Земли и периодическое включение двигателей по достижению предельно допустимого ухода для нас ухода тел от требуемого нам их положения относительно Земли. 

Ещё раз отметим, что НЕУПРАВЛЯЕМЫЕ тела не останутся в этих точках надолго и разбредутся  относительно своей начальной дальности до Землиэ  Но притянуть тела L1(L2) , если они представляют из себя управляемые  искусственные станции близко к Земле мы не позволим за счёт включения корректирующих реактивных двигателей, препятствующих сближению с Землёй (или уходу в сторону Солнца от балансировочного положения для тела L1 (L2 притягивает только Земля).    

Кстати, недавно видел небольшую мультипликацию на тему визуальной демонстрации вот этого вида неустойчивости в направлении «Солнце-Земля», правда, для тел ВРАЩАЮЩИХСЯ вокруг Солнца или Земли в виде эдакой восьмёрки в центре одного из кругов которой расположено Солнце, а в другом центре Земля (а может это была выдуманная пара тел). Так вот при вращении третьего тела на предельной дальности, близкой к положению точки L1,  оно проскакивало через эту самую точку либрации L1с орбиты вокруг одного тела на орбиту вокруг соседнего тела, выписывая траектории в виде восьмёрки. Что вполне можно теоретически допустить.

Приведу Вам аналогию с пространственной формой этой самой НЕПОЛНОЙ  устойчивости из интернета. Где-то я успел недавно её увидеть. Это самое обыкновенное седло для лошади в направлении туловища лошади сечение седла представляет собой что-то похожее на вогнутую кривую, передний и задний выступы седла не дают вам съехать вперёд или назад при торможении или разгоне лошади - это устойчивость вдоль туловища лошади, а вот в перпендикулярном к туловищу направлению сечение седла представляет выпуклую вверх кривую, чтобы Вы могли удобно сидеть без мешающих выступов, а иногда и невольно, свалиться при повороте с лошади в любую сторону влево или вправо. Это уже неустойчивость  в другом направлении. Вот такая картина с устойчивостью для точки L1.  А для точки L2  это не уже не выпуклая вверх кривая, а наклонная линия в сторону Земли  без всяких положений неустойчивого равновесия.

Без периодической (возможно и довольно редкой по времени) коррекции малой тягой в точке L1 всё равно не обойтись.

В этом плане точка  L2 ещё хуже: там нужно ВСЁ ВРЕМЯ КОМПЕНСИРОВАТЬ ускоряющее притяжения от Земли (или же, отдельными редкими включениями двигателя (коррекциями) компенсировать накопившуюся величину сближения с Землёй по расстоянию до неё с момента предыдущей коррекции). Ведь для того, чтобы висеть над планетой БЕЗ орбитальной скорости вокруг неё (не вращаясь) надо  создавать реактивную тягу двигателем, компенсирующую силу притяжения к Земле, ну как, например, у вертолёта: пока винт вращается он висит над Землёй.  Хотя продольная устойчивость  для  L2  вдоль  линии "Солнце - Земля "), как и в L1, тоже есть, но вдоль линии "Солнце - Земля -L2"сечение уже не выпуклая вверх кривая, как в L1, а наклонная кривая в сторону Земли, скатывающая всё время тело L2 в сторону Земли. Так что необходим запас топлива для удержания тел L1 и L2 в требуемых нам положениях относительно Земли.  С точки зрения максимального увеличения миссии нахождения тела в точке L2 это отодвинуться подальше от Земли, где ускорения притяжения от Земли будет поменьше и соответственно меньше требуемый запас топлива на борту станции.

  Подчеркну, что все притягивающие тела (Солнце и Земля) расположены СЛЕВА от точки L2 , а справа от неё НЕТ НИКАКОГО притягивающего тела  , которое смогло бы скомпенсировать силу притяжения от Земли, действующую на L2. , там пустота.  Ведь сила притяжения от Солнца "работает" на вращение обеих тел Земли и L2 , а осталась ещё и сила притяжения между Землёй и телом L2 в её полном виде, а поскольку нет вращения L2 вокруг Земли (т.е.  НЕТ орбитальной скорости вокруг Земли), то оно ускояясь рухнет прямо на Землю какому-нибудь новому несостоявшемуся Ньютону, если не скомпенсировать притяжение Земли силой тяги двигателя.  Ведь справа от Земли, увы, НЕТ второго Солнца для L2. При этом надо на борту станции иметь неприкосновенный аварийный запас топлива для сообщения спутнику к моменту окончания его миссии станций  в точках L1 и L2 (при выработке основного запаса топлива) небольшой орбитальной скорости относительно Земли для их ухода на Земную орбиту, чтобы они не рухнул на Землю, а продолжили свою работу, но  уже в качестве земных орбитальных  спутников и ,естественно, с безусловным покиданием точек  L1 и L2 и  переходом на спутниковую орбиту Земли, где им уже точно не понадобится включать двигатель, если орбита будет довольно высокой без торможения остатками атмосферы на этих высотах.  Хотя для точки L2 этот запас топлива может оказаться даже не нужным, поскольку тело L2 при вращении его на линии «Солнце- Земля» уже более высокую скорость относительно скорости Земли и вполне возможно. Что при падении тела L2 при падении тела в сторону Земли с уже выключенными двигателями оно ДОПОЛНИТЕЛЬНО РАЗГОНИТСЯ Землёй  и сможет выйти на эллиптическую довольно вытянутую орбиту, как и в моей задаче «Трёх тел» на максимальной дальности «сферы Хилла» (при условии соответствующего превышения  по скорости относительно скорости Земли за счёт соответствующей дальности отстояния тела L2 от Земли). Возможность этого саморазгона надо проверить расчётами, или определить такую большую дальность отстояния L2 от Замли, чтобы это выполнялось. Однако, скорее всего, такая вытянутая орбита с существенно переменной эллиптической скоростью вращения не подойдёт для станции  и тогда надо иметь специальный неприкосновенный запас топлива, чтобы сообщить станции дополнительную скорость до величины КРУГОВОЙ орбитальной скорости вокруг Земли на типовой для тела L2 дальности, которую поддерживали до этого ранее коррекциями двигателя.

   Благодаря одному из комментариев в Интернете наткнулся на упоминание о БАР-Центре. И тут же понял, что это тот самый возможный и ЕДИНСТВЕННЫЙ источник дополнительных возмущений при расчёте влияния Солнца на тела, для точек L3-L5, объясняющий их существование как либрационных точек. В своей полной программе "Трёх тел" в блоке расчёта начальных условий мне приходится определять его координаты. Короче суть состоит в том, что центр вращения системы Солнце-Земля расположен не в центре масс Солнца, а чуть смещён в сторону Земли в отношении обратной пропорциональности их масс. И поэтому и Земля и Солнце вращаются относительно него, а не вокруг центра масс Солнца. Это, возможно, и  приведёт к тому, что Солнце описывает вокруг Бар-Центра также мизерную круговую орбиту, как и Земля свою орбиту вокруг Бар-центра. Это можно представить в виде вращения длинного горизонтального стержня на концах которого расположены Солнце и Земля вокруг вертикальной оси, приваренной вместе Бар-центра, слегка смещённого от Солнца в сторону Земли), а вот теперь Солнце, возможно,  сможет вносить дополнительные возмущения на движение мелких тел L3-L5 которые будут вращаться уже НЕ ОТНОСИТЕЛЬНО Бар-Центра как Земля и Солнце, а относительно ТОЛЬКО ЦЕНТРА МАСС Солнца, поскольку их массы не сравнимы с массой Земли и уж тем более Солнца и НИКАКОГО дополнительного смещения Солнца в их строну НЕ БУДЕТ.  А вот влияние этого дополнительного "эксцентриситета" вращений точек L3-L5 вокруг Солнца, а  Земли и Солнца  вокруг Бар-Центра надо проанализировать. Мне можно и  промоделировать это на своей программе "Трёх тел", но потребуется её доработка по изменению блока ввода начальных условий для тел типа L1-L5. 

 Однако на движение  L1 и L2  вращение Солнца вокруг Бар-Центра не окажет никакого влияния, т.к. эти точки лежат на одной прямой Солнце-Земля. Для них все вышеприведенные выводы останутся без изменений.

  В  процессе анализа точек L1-L5 забыл ответить на ваш прямой вопрос о точке L2 по поводу равенства ускорений от Солнца и Земли. Поискав информацию о точках L1 в L2 интернете увидел картинку, где для этих точек берут расстояние из "сферы Хилла" ПО ОБЕ СТОРОНЫ ОТ ЗЕМЛИ величиной  1,5 млн.км (хотя правильнее брать более точную оценку этой дальности из рис.1 предыдущего моего комментария о "сферах" ~1,68млн.км). Это весьма странно для внешней стороны от Земли, т.е. для точки L2.  До этого я не знал о конкретной величине дальности до точки L2 и рассуждения проводил выше в общем виде без учёта величины дальности. И понял, что, возможно,  по умолчанию имеется в виду, видимо,  дальность до L2, соответствующая радиусу  "сферы Хилла" для Земли, хотя это вовсе и необязательно для L2, т.к. для неё НЕТ положения УРАВНОВЕШИВАНИЯ ускорений от Солнца и Земли, поскольку они для тела L2 ТОЛЬКО СУММИРУТСЯ, т.к. Солнце и Земля расположены по одну сторону от тела L2 ! А вот для тела L1 они вычитаются и на дальности близкой к радиусу "сферы Хилла" для Земли полностью уравновешиваются и тело свободно висит между двумя притягивающими в разные стороны большими массами и поэтому появляется неустойчивое положение равновесия для тела L1.

  Повторюсь, видимо, многие считают точку L2 (с дальностью от Земли, раной радиусу "сферы Хилла") похожей на L1 с точки зрения равенства ускорений притяжения от Солнца и Земли. Элементарное заблуждение!  Если в точке L1  они РАЗНОНАПРАВЛЕНЫ и уравновешивают друг друга до НУЛЯ, то в точке L2, отстоящей на почти такое же расстояние (оно немного поменьше, но это сейчас неважно) эти ускорения уже СУММИРУЮТСЯ как НАПРАВЛЕННЫЕ УЖЕ В ОДНУ И ТУ ЖЕ СТОРОНУ к Солнцу. 

  Но уже было отмечено в начале данного ответа, реально надо учитывать не их сумму, а только УСКОРЕНИЕ от Земли, т.к. ускорение от Солнца полностью занято  искривлением траектории L2, превращая её в орбиту вокруг Солнца, как  и одновременно с этим формирует орбиту вращения и для Земли.  А в остатке имеем ускорение притяжения от Земли для тела L2, под воздействием которого тело L2 всё время  стремится к ускоренному падению на Землю.

 Все мои рассуждения проводились в ИНЕРЦИАЛЬНОЙ невращающейся  системе координат, в которой все тела видны из космоса (в положении  над Солнцем)  ВРАЩАЮЩИМИСЯ ВОКРУГ него и поэтому мне не надо было заморачиваться учётом  фиктивных центробежных сил (а точнее, центробежными ускорениями) из-за вращения тел вокруг Солнца.

 Теперь можно, для сравнения,  провести этот же анализ ускорений для L2 и в неинерциальной ВРАЩАЮЩЕЙСЯ Системе Координат(СК) с началом в центре масс Солнце  и продольной осью направленной на центр масс Земли и поэтому уже  вращающейся вместе с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, как это было сделано  в рис.для "сферы Хилла", приведенном в начале статьи. Для этого нам надо к ДОПОЛНИТЕЛЬНО  к гравитационным ускорениям от Солнца и Земли, действующим на тело L2,  ДОБАВИТЬ ещё и ЦЕНТРОБЕЖНОЕ УСКОРЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛА  НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СК, вызванное её вращением с угловой скоростью вращения Земли, которое и уравновесит ТОЛЬКО УСКОРЕНИЕ  ОТ СОЛНЦА для  L2.  Однако при этом НЕ НАДО забывать, что на тело L2  ДЕЙСТВУЕТ  ускорение от Земли, которое, в итоге,  осталось ничем нескомпенсированным, и будет вызывать ускоренное падение к Земле.      Видимо, многие, и забывают об ускорении, вызванном притяжением Земли, когда прикладывают ЦЕНТРОБЕЖНОЕ ускорение в неинерциальной СК, вызванное вращением тела L2 вокруг Солнца, и которое ЧИСЛЕННО РАВНО УСКОРЕНИЮ ОТ ЗЕМЛИ НА ДАЛЬНОСТИ  отстояния L2 от Земли  ДЛЯ "СФЕРЫ ХИЛЛА", где они действительно равны и наивно, полагают при этом, что ЗА СЧЁТ ЭТОГО ОНИ ОБНУЛИЛИ ВСЕ УСКОРЕНИЯ, действующие на L2,  ЗАБЫВ  про  действующее ничем нескомпенсированное ускорение от Земли.  

Так что, реально надо выводить станции в точку L2  не на дальность "сферы Хилла", а как можно дальше, что бы сэкономить на расходе топлива для компенсации притягивающего полного ускорения от Земли, но при этом будет ещё и ослабевать (но не пропадёт из пределами "сферы Хилла")  эффект от стабилизации по скорости за счёт Земли, увлекающей тело L2  к линии «Солнце-Земля».

  Впрочем, не надо думать, что в точке L2 ситуация по требуемому расходу намного хуже, чем в точке L1. Сами коррекции по величине тяги, а точнее, по расходу топлива на удержание  в области этих точек при дальности до L2, как и для  L1, равой радиусу "сферы Хилла"при УСЛОВИИ ОДИНОКОВОГО ОТКЛОНЕНИИ ОТ этих точек телами L1 и L2 ПО РАССТОЯНИЮ БУДУТ, естественно , РАВНЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ РАСХОДА ТОПЛИВА , необходимому для возврата тела в исходное требуемое состояние на  одинаковую расчётную дальность (радиуса Хилла) , поскольку зависимость гравитационного притяжения Земли от дальности в обе стороны от Земли на точки L1и L2 симметричная, а ускорение от Солнца здесь ни при чём, т.к оно занято своим делом искривления траектории полёта Земли и тел L1 и L2 .

   Но разница между точками L1 и L2 всё-таки есть и состоит она в том, что при УДАЧНОМ ВОЗВРАТЕ ТОЧНО в точку L1, где обнулится разность ускорений от Солнца и Земли, тело L1 может  довольно долго продержаться в этом состоянии НЕУСТОЙЧИВОГО равновесия, пока оно рано или поздно из-за внешних возмущений обязательно начнёт опять отклоняться либо в сторону Солнца, либо к Земле. И чем ДОЛЬШЕ ПО ВРЕМЕНИ тело L1 будет сможет продержаться в состоянии неустойчивого равновесия НА СТОЛЬКО ЖЕ ДОЛЬШЕ ПО ВРЕМЕНИ до следующей коррекции своего положения оно сможет продлить СВОЮ МИССИЮ (до момента исчерпания бортового запаса топлива) НАХОЖДЕНИЯ в ТОЧКЕ L1  ПО СРАВНЕНИЮ С ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ МИССИИ для тела L2 (конечно же, при одинаковых условиях их по начальной массе и запасу топлива).  Ведь у тела L2 , по сравнению с тело L1  в принципе НЕТ ТАКОГО СОСТОЯНИЯ НЕУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ  из-за того, что на него ВСЁ время действует ускорение притяжения от Земли!  И как только мы вернём за счёт очередной коррекции тело L2 на требуемое нам расстояние, равного величине радиуса "сферй Хилла,"   и выключим двигатель коррекции оно тут же  начнёт ускоряться в обратную сторону к Земле до момента следующей коррекции и т.д. .

Единственное, что поможет дополнительно продлить МИССИЮ  тела L2 в сравнении с миссией этой же станции в точке  L1 это снизить расход топлива на каждую коррекцию за счёт  вывода тела L2  на большую дальность, чем у тела L1, т.е. на расстояние большее радиуса "сферы Хилла", чего нельзя сделать, кстати, для тела L1, т.к оно жёстко определено величиной радиуса "сферы Хилла". Но, при этом надо учесть и проанализировать расчётами возможное  снижение эффективности удержания тела L2  Землёй по скорости  на линии "Солнце-Земля-тело L2" из-за уменьшения величины Земного ускорения. 

Георгий     09.01.2020 18ч.10м. вр.моск.

Уважаемая  RMR_astrа            

пт, 03/01/2020 - 16:34.

Спасибо за обращение ко мне, но я, к сожалению, не являюсь спецалистом по космическим полётам и никогда с ними не сталкивался. Вся воя трудовая деятельность прошла в расчётах траекторий самонаведения ЛА.  Посмотрел на Вашу ссылку гало-орбиты и одноимпульсные и понял, что эти вопросы мне не по зубам. В них своя сложная для меня специфика. Поэтому извините, что ничем Вам не смогу помочь. Для меня это совершенно другая область космической баллистики со своими специфическими методами и приёмами решения тректорных вопросов, которыми мне не довелось заниматься.

Уверяю Вас, что  это не отписка с моей стороны, а честное признание в своей некомпетентности в данной технической области. Но я всегда буду рад Вам оказать поддержку, если у Вас возникнут ещё вопросы, которые мне окажутся по силам.

 Поздравляю Вас с Новым Годом! Желаю здоровья, личного счастья и успхов в Вашей деятельности.

Георгий. 06.01.2020. 23ч15м время моск.

     Знакомство жены с видом пролетающей МКС соответствует не её вниманию к этому, а, скорее, поговорке "С кем поведёшься..."

Прекрасное объяснение данного вопроса: грамотно с точки зрения законов класической механики, кратко и  чётко! Короче не скажешь...

Но на мой взгляд, из-за краткости объяснение  оказалось рассчитаным  на более продвинутого читателя (знакомого с понятием сферы действия тела), который уже и сам близок к правильному ответу.   Для совсем начинающих, которых ещё очень много, надо бы поподробнее, но это уже ближе к статье, чем к комментарию... 

Редко в последние времена удаётся прочитать такие краткие комментарии. Отлично.