Виктор Михайлович только что поделился радостным событием: видел комету, пролет МКС, метеор и пару спутников. Позже обещал написать личный комментарий.

Уважаемый, Георгий!

Возможно Вам будут интересны мои статьи по движению Луны и прецессии орбит на этом сайте 
http://www.spacephys.ru/raschet-skorosti-pretsessii-uzlov-lunnoi-orbity
http://www.spacephys.ru/raschet-perioda-lunno-solnechnoi-pretsessii-0

Что касается стабилизации спутника на орбите - есть две книги, в которых данный вопрос освещен подробнейшим образом. 

Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа.

   В данной статье осуществлён вывод выражений в относительном виде для определения ускорений малых тел L, расположенных неподвижно в любой точке плоскости орбиты планеты вокруг Солнца во вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) барической системе отсчёта. Так что все тела данной системы (Солнце, планета и тела L) по исходному условию расположены неподвижно друг относительно друга и все вместе синхронно вращаются с одной и той же угловой скоростью (ω) относительно неподвижных звёзд и вместе с ними вращается барическая неинерциальная система отсчёта (её начало помещено в центре инерции системы тел «Солнце-Планета»), в которой и осуществлён вывод выражений для ускорений притяжения и центробежного ускорения, действующих на малые тела L.

    Неподвижность тел L относительно планеты и Солнца была оговорена Лагранжем в качестве начального условия, чтобы определить существование особых, устойчивых по времени, точек в плоскости орбиты  планеты относительно Солнца и планеты, в которых может выполняться баланс (взаимная компенсация с учётом центробежного ускорения в неинерциальной системе) всех ускорений малых тел L (малых относительно планеты, так что можно пренебречь ответной реакцией планеты на её притяжение малым телом), при  котором эти малые тела могут теоретически долго находиться длительное время в состоянии покоя относительно Солнца и планеты (при отсутствии возмущений от других планет Солнечной системы) за счёт выполнения условий баланса ускорений в так называемых точках либрации малых тел, которые в количестве 5 точек относительно Солнца и планеты  (L1-L5) были впервые рассчитаны Лагранжем. (см.рис.)

Рис. Пять либрационных точек L1-L5 Лагранжа для малых тел относительно двух массивных тел.

     Благодаря правильно выбранной точке размещения НАЧАЛА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА В ЦЕНТРЕ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ двух тел (Солнца и планеты) центр такой барической системы отсчёта можно считать  неподвижным относительно звёзд (без линейной скорости и ускорения начала системы отсчёта) несмотря на синхронное вращение Солнца и планеты вокруг центра инерции системы,  но по нашему выбора будем считать её вращающейся с постоянной угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг центра инерции системы тел (система координат OXбарYбар).  В этой барической вращающейся неинерциальной системе отсчёта Солнце и планета, а также малые тела L (за счёт наложенного начального условия) на любой дальности от Солнца вращаются с одной и той же по величине угловой скоростью ω вокруг её центра, размещённого в центре инерции системы тел, со своими радиусами вращения  Солнца (R_С-Б выр.4) и Земли (R_Б-Р выр.6) до барцентра.     

     Исходное положение тела L относительно вращающейся системы отсчёта будем считать постоянным (статичная картина для малых тел L относительно Солнца и планеты)  и поэтому Кориолисово ускорение (2ω × Vr) для тел L будет нулевым из-за отсутствия линейной скорости перемещения (Vr=0) относительно системы отсчёта. В итоге, на тела L действует, кроме двух ускорений от притяжения Солнцем и Землёй, ещё и центробежное ускорение, вызванное вращением неинерциальной барической системы отсчёта вокруг неподвижного центра инерции системы (с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца). Все остальные ускорения, характерные в общем виде для неинерциальной системы отсчёта, отсутствуют (благодаря такому условию выбора системы отсчёта и начальным условиям), что упростило вид выражений ускорений для тел L1- L5 в такой неинерциальной системе отсчёта до дополнительного учёта лишь центробежного ускорения на все тела системы.   

     На рис.1 приведена схема воздействия на малое тело L ускорений от его притяжения Солнцем (g_C) и планетой (g_P). Там же показан вектор центробежного ускорения (g_{Lцентроб.}), действующий во вращающейся барической системе  отсчёта OX_барY_бар. по радиусу-вектору расстояния OL от центра вращения системы (центра инерции в точке О) до тела L и направленного от центра инерции.    На рис.1 показаны проекции векторов ускорений притяжения на перпендикуляр (нормаль) к радиусу-вектору расстояния OL и вдоль него).  При этом тело L может быть расположено в любой точке плоскости орбиты планеты (эклиптики) за счёт задания в полярной системе величины  угла φ (отсчитываемого от направления «Солнце-Планета» (радиус-вектор CP)) и текущего радиуса-вектора расстояния CL от центра масс Солнца до тела L (CL=k_CL/Rc·R_C ; см. выр.10). При этом дальность варьируется за счёт изменения величины коэффициента k_CL/Rc, введённого множителем на величину радиуса орбиты вращения планеты вокруг Солнца (R_C).     

        Важно подчеркнуть, что если в первом варианте постановки (см. предыдущую стсатью по  анализу баланса ускорений для тел L4-L5) малые тела L4-L5 при выводе выражений были условно помещены на круговую орбиту планеты с радиусом вращения Rc относительно центра масс Солнца (см. ниже рис.1),  то в данной постановке тело может расположено на любой дальности относительно величины радиуса вращения Rc, что позволяет рассчитать значения небаланса ускорений для всей плоскости эклиптики планеты и построить изолинии небаланса потенциальных ускорений тел L для определения формы областей неустойчивости вокруг точек либрации тел L1-L5.

     В итоге, вывод выражений для проекций ускорений притяжения тел L1-L5 Солнцем и планетой  осуществлён в общем виде для всей плоскости орбиты планеты. В качестве опорной траектории, относительно которой варьируется в требуемом диапазоне текущая дальность до конкретного положения тела L, взята круговая траектория вращения планеты вокруг Солнца с её угловой скоростью вращения ω (она же скорость вращения барсистемы) с радиусом вращения, равным R_C (при этом k_CL/Rc=1), равным, например, для планеты Земля:  ~149,6 млн.км. Подчеркнём, что главным условием при этом будет условие вращения для всех рассматриваемых тел вокруг общего центра инерции с одной и той же величиной угловой скорости вращения, равной угловой скоростью вращения планеты ω вокруг Солнца.

1. Предварительные соотношения для радиусов вращения тел в барической системе отсчёта  с учётом соотношения масс взаимно вращающихся тел (Солнца и планеты).  

   Воспользуемся соотношениями из предыдущего раздела для точек Лагранжа L4(L5).

M_С ·V_С = – (m_p·V_p); -баланс количества движения Солнца и планеты вокруг центра инерции…(1)

M_С ·R_С-Б = – (m_P ·R_Б-Р); - баланс моментов массы двух тел относительно барцентра  ……….... (2)

    Выразим расстояния от Солнца (R_С-Б) и Земли (R_Б-Р) до барцентра через полное расстояние между Солнцем и планетой  (R_C), которое равно сумме этих расстояний:

R_C = R_С-Б  + R_Б-Р ; - расстояние от Солнца до планеты через расстояния до центра инерции …… (3)

Если из выр.(3) значение для  R _Б-Р  = (R_C - R _С-Б ) подставить в выр.(2), то получим:

R_С-Б  = m_Р  / (m_Р + M_С)  · R_C  =  m_{Р отн} · R_C ;   откуда следует, что :

R_{С-Б отн}  = R_С-Б / R_C  = m_{Р отн} ;   - относительное расстояние Солнце-Барцентр ………….…...... (4)

 где:  m_{Р отн}  = m_Р  /(m_Р+M_С);  - относительная масса планеты в системе «Солнце-планета» …..... (5)

Если из выр.(3) значение для R _С-Б  = (R_C - R _Б-Р) подставить в выр.(2), то получим:

 R_Б-Р  =  M_С  / (m_Р +M_С) · R_C  =  M_{С отн}· R_C ; откуда следует, что :

R_{Б-Р отн}  = R_Б-Р / R_C  = M_{С отн} ;  - относительное расстояние Барцентр-Планета ………….…….. (6)

 где:                 M_{С отн}  = M_С / (m_Р+M_С) - относительная масса Солнца в системе «Солнце-планета» …... (7)

 M_{С отн} = ((M_C + m_Р) – m_Р) /(m_Р+M_С) = (1 – m_{Р отн}) ; связь относительных масс двух тел  …..… (8)

    Кроме того, далее нам понадобится  выразить отношение масс планеты и Солнца (m_p/Mc) через относительную массу планеты: m_{Р отн} = m_p /(M_C+m_p) (см. выр.(5)), для этого в знаменателе отношения масс (m_p/Mc) прибавим и вычтем к массе Солнца M_C массу планеты с  и поделим все члены на (M_C+m_p) :

 (m_p/M_C) = (m_p / ((M_C+m_p) –  m_p) = m_{Р отн}/(1–m_{Р отн}); ……………………………………....... (9)

  2. Выражения для расчёта дальностей тела L до Солнца, планеты и центра инерции системы отсчёта

    Кроме основных исходных параметров (масса Солнца (M_С), масса планеты (m_p) и её расстояние до Солнца (R_C) при условии круговой орбиты) введём ещё два независимых варьируемых параметра в полярной системе, определяющих положение тела L относительно Солнца и планеты:  угол φ направления на малое тело L из центра масс Солнца (относительно линии  Солнце-планета (ось OXбар)) и величина переменной дальности (CL) до тела L, варьируемая относительно величины расстояния планеты до центра масс Солнца (R_C) за счёт введения на неё переменного  по величине множителя в виде коэффициента дальности (k_CL/Rc) (см. выр.10).  Этих параметров достаточно для получения окончательных выражений для проекций ускорений тел L по всей плоскости траектории планеты в общем виде.

    Кстати, окончательные выражения, полученные в данной статье, для суммы относительных ускорений тела L,  ЗАВИСЯТ ТОЛЬКО ОТ ОДНОГО ИСХОДНОГО ПАРАМЕТРА:  ОТНОСИТЕЛЬНОЙ МАССЫ ПЛАНЕТЫ (m_{Р отн} =m_Р /(m_Р+M_С) (см. выр.(5).   Конкретная величины массы Солнца (M_С) и радиуса орбиты планеты (Rc) входят в окончательные выражения только в вынесенный общий множитель и могут быть использованы уже в конце расчётов для определения конкретной величины ускорений тела L в [м/сек²] или расстояния в [км] для точек L1-L3, т.е. для перевода относительных ускорений и коэффициента дальности в абсолютные значения.   Такой подход позволил получить единый  универсальный график зависимости балансировочного значения относительного коэффициента расстояния (k_CL/Rc) от величины относительной массы планеты m_{Р отн}  (в системе тел «Солнце-планета») для либрационных точек L1-L3, пригодный  для любых сочетаний масс звезды, планеты и радиуса орбиты планеты (см. этот график в  следующей статье, посвящённой расчёту конкретных балансировочных расстояний для либрационных точек L1-L3).  

   Начнём вывод для ускорений малого тела L с определения выражений для трёх расстояний от центра масс тела L до:   Солнца (CL), центра инерции (OL) и планеты (PL), необходимые для расчёта ускорений притяжения от Солнца и планеты (по закону всемирного тяготения Ньютона), а также для расчёта центробежного ускорения, направленного по радиусу-вектору дальности (OL) от центра инерции до тела L.  

CL = k_CL/Rc ·R_C ; варьируемый радиус-вектор расстояния тела L до центра масс Солнца …....  (10)

где: k_CL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 < k_CL/Rc < 2]. При  k_CL/Rcном.=1:  тело L находится на расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=R_C.

    С учётом исходного предположения о произвольном нахождении тела L относительно Солнца (с переменным радиусом-вектором CL=k_CL/Rc·R_C (по выр.(10)) необходимо найти для тела L также его расстояние OL от начала барсистемы, вращающейся вокруг точки О (центра инерции системы двух тел),  по радиусу-вектору OL, вдоль которого и направлено центробежное ускорение тела L.  Из двух прямоугольных треугольников Δ-CLM и Δ-OLM следует:

OL = (LM² +OM² )^1/2  = ( (CL·sin(φ))²  + (CL·cos(φ) – R_С-Б)²  )^1/2 ;  или

OL = ((k_CL/Rc·R_C ·sin(φ))²  + (k_CL/Rc·R_C ·cos(φ) –R_С-Б)² )^1/2 ;  и после выноса R_C  из под корня получим:

OL = R_C·[k²_CL/Rc –2·k_CL/Rc ·cos(φ)·R_{С-Б отн} +R²_{С-Б отн} ]^1/2; подставим R_{С-Б отн}=R_С-Б /R_C=m_{Р отн} (из выр.4):

OL = R_C ·[k²_CL/Rc –2·k_CL/Rc ·cos(φ)·m_{p отн} +m²_{p отн}]^1/2;

   Введём второй (уже зависимый от величины k_CL/Rc) коэффициент k_OL/Rc для расчёта текущего расстояния OL от тела L до центра инерции системы:

OL = k_OL/Rc ·R_C;   радиус-вектор дальности тела L до центра инерции системы……................  (11)

где: k_OL/Rc=[k²_CL/Rc  – 2·k_CL/Rc ·cos(φ)·m_{p отн} +m²_{p отн} ]^1/2; коэф.расстояния до центра инерции  (12)

 и где:  m_{Р отн} = m_Р /(m_Р+M_С) ;  относительная масса планеты в системе тел … выр.(5)

  И, наконец, определим расстояние PL от планеты до тела L из прямоугольных треугольников Δ-MLP и Δ-CLM:

PL = (LM²+MP²)^1/2  =[(CL·sin(φ))² + (R_C – CL·cos(φ))² ]^1/2; подставим (CL=k_CL/Rc·R_C) из выр.(10):

PL = [(k_CL/Rc·R_C·sin(φ)) ² + (R_C – k_CL/Rc·R_C·cos(φ))²] ^1/2  = R_C ·[(1–2·k_CL/Rc·cos(φ)+ k²_CL/Rc) ]^1/2 

Введём третий зависимый коэффициент k_PL/Rc для расчёта расстояния PL от тела L до центра масс планеты:

PL = k_PL/Rc ·R_C ;  радиус-вектор расстояния тела L до центра масс планеты  ……………. …..… (13)

где:   k_PL/Rc =[1–2·k_CL/Rc·cos(φ)+ k²_CL/Rc) ]^1/2; коэффициент расстояния до планеты ……….. (14)

3. Выражения для ускорений, действующих на малое тело L, в проекции по нормаль и вдоль радиуса-вектора дальности, исходящего из центра инерции системы к телу L.

    В принятой выше вращающейся системе отсчёта OXбарYбар на малое тело L (см. рис.1) действуют три ускорения: ускорение притяжения от  Солнца (g_C  - вектор красного цвета), от Земли (g_Р - вектор зелёного цвета) и фиктивное «антицетростремительное» (так называемое центробежное ускорение  со знаком минус:  - g_{центроб.L} - вектор чёрного цвета), т.к. выбранная барическая система является вращающейся и поэтому неинерциальной.

   Рассмотрим сумму проекции всех трёх ускорений тела L на два взаимно перпендикулярных направления:  на радиус–вектор OL, исходящий  из центра О барсистемы к телу L,  и на перпендикулярное (нормальное) к нему направление. Из рис.1 просто получить два основных выражения для ускорений тела L:

KR – ED = g_C · sin(ϴ)  – g_Р · sin(ϑ) = 0;  проекция на нормаль к радиусу-вектору OL ….......... (15)

LR + LD – g_{центроб.L}= 0;  или  g_C · cos(ϴ) + g_Р · cos(ϑ) – g_{центроб.L}= 0; проекция на радиус OL ... (16)

   Осталось вывести и подставить в выр.(15 и 16) значения для всех трёх ускорений, чтобы получить их функциональные  зависимости при заданном значения угла φ и относительной массы планеты  m_{Р отн} от величины изменяемого независимого коэффициента расстояния тела L (k_CL/Rc) от Солнца, за счёт вариации которого и можно определить ту его величину, при которой будет выполняться баланс в выражениях (15 и 16) и они действительно обнулятся при определённом значении угла φ,  что и будет свидетельствовать о нахождении величины дальности от Солнца (или дальности от планеты) для либрационных точек L1-L5, при которых и будет выполняться БАЛАНС (взаимная компенсация) всех трёх ускорений, а тело L будет при этом находиться в состоянии неподвижно в состоянии равновесия с учётом всех трёх составляющих ускорений:  притяжения от Солнца,  планеты  и центробежного ускорения во вращающейся барической систем отсчёта. 

    Баланс ускорений необходимо дополнительно исследовать на определение  характера устойчивости тела в состоянии баланса. Баланс может быть устойчивым или неустойчивым. Если при определённой величине начального отклонения тела от центра устойчивости, например по расстоянию, освобождённое тело возвращается в состояние равновесия, то баланс устойчивый, а если не возвращается и тело начинает всё дальше удаляться от положения равновесия, то баланс неустойчивый. Например, шарик, помещённый внутрь тонкой полусферической чашки находится в устойчивом равновесии, а при его размещении на той же, но перевёрнутой вверх дном чашке, неустойчив и при небольшом отклонении от шаткого равновесия скатывается с неё.

Бывают и смешанные виды устойчивости, когда в одном направлении по отклонению от равновесия есть устойчивость, а в другом, перпендикулярном направлении её нет. Например,  фигура в виде седла для лошади: в продольном сечении это вогнутая кривая, обладающая устойчивостью, а в поперечном сечении это выпуклая кривая, обладающая явной неустойчивостью.  Кстати, именно таким видом смешанной устойчивости обладают точки либрации L1-L3.     

4. Тригонометрические выражения для  sin() и cos() требуемых углов.

   Для нахождения  sin(ϴ) и cos(ϴ) от угла ϴ, под которым виден из тела L радиус R_С-Б вращения Солнца вокруг барцентра системы,  найдём из  прямоугольного треугольника Δ-CBO длину катета OB: 

 OB = OC ·sin(φ) = R_С-Б ·sin(φ); ……..…………………………………………..............….. (17)

  Из прямоугольного треугольника Δ-OBL с учётом выр.(4,11,12)  следует, что :  

sin(ϴ) = OB / OL = R_С-Б ·sin(φ) / (k_OL/Rc ·R_C) = m_{Р отн} · sin(φ) / k_OL/Rc ;  ………….……..… (18) 

cos(ϴ) = BL/OL = (CL–CB) / OL = (k_CL/Rc·R_{C -}– R_С-Б·cos(φ))/(k_OL/Rc ·R_C); и после деления на R_C:

cos(ϴ)  = (k_{CL/Rc -}– m_{Р отн}·cos(φ)) / k_OL/Rc ; …………..……..………………………………. (19) 

   При проектировании ускорения от планеты понадобятся значения sin(ϑ) и cos(ϑ) от угла ϑ, под которым виден из тела L радиус R_Б-Р орбиты планеты.  Из разностороннего Δ-OLP следует, что внутренний угол OLP, равный искомому углу ϑ, определяется суммой двух других углов OLM и MLP, т.е.:

 ϑ = (90⁰ - γ) + Ψ; ……………….…………….……………………………………………….. (20)

   Определим sin(γ) и cos(γ) для вспомогательного угла γ. Из прямоугольных треугольников Δ-OLM и Δ-СLM  с использованием текущей дальности тела L до Солнца  (CL=k_CL/Rc ·R_C) из выр.(10) и текущей дальности до центра инерции (барцентра) (OL=k_OL/Rc ·R_C) из выр.(11):

sin(γ) = LM / OL = CL·sin(φ)/OL = (k_CL/Rc·R_C)·sin(φ)/(k_OL/Rc·R_C) = k_CL/Rc·sin(φ) /k_OL/Rc … (21)

cos(γ) = OM / OL = (CL·cos(φ) – R_С-Б) / (k_OL/Rc·R_C)  после подстановки R_С-Б = R_C·m_{Р отн} из выр.(4):

cos(γ) = (k_CL/Rc·R_C·cos(φ) – R_C·m_{Р отн})/ (k_OL/Rc·R_C) = (k_CL/Rc ·cos(φ) – m_{Р отн}) / k_OL/Rc  ….… (22)

Применим известные выражения sin() и cos() для суммы двух углов  (90⁰ - γ) и Ψ  из выр.(20) :

sin(ϑ) = sin(90⁰– γ) · cos(Ψ) + cos(90⁰– γ) · sin(Ψ);

cos(ϑ) = cos(90⁰– γ) · cos(Ψ) – sin(90⁰– γ) · sin(Ψ);

С учётом того, что sin(90⁰– γ) = cos(γ), а  cos(90⁰– γ) = sin(γ)  получим окончательные выражения:

sin(ϑ) = cos(γ) · cos(Ψ)  +  sin(γ) · sin(Ψ); …………………………………………………. (23)

cos(ϑ) = sin(γ) · cos(Ψ)  –  cos(γ) · sin(Ψ); …………………………………………………. (24)

   Определим выражения для sin(Ψ) и cos(Ψ) вспомогательного угла Ψ из треугольника Δ-MLP с выр.(10 и 13) для расстояний  CL и PL:

sin(Ψ) = MP / PL = (R_C – k_CL/Rc·R_C·cos(φ)) / (k_PL/Rc ·R_C)   = (1- k_CL/Rc·cos(φ)) / k_PL/Rc ;  … (25)

cos(Ψ) = LM / PL = (k_CL/Rc·R_C·sin(φ)) / (k_PL/Rc ·R_C)   =  k_CL/Rc·sin(φ) / k_PL/Rc ;   …….....…. (26)

5. Расчёт проекций ускорений тела L на нормаль к радиусу-вектору OL из центра инерции

    Приступим к расчёту проекций ускорения тела L на нормаль к радиусу-вектору расстояния OL (выр.15):

KR – ED = g_C · sin(ϴ)  – g_Р · sin(ϑ) = 0;  проекция на нормаль к радиусу-вектору OL … (15)

где: g_Р и g_C  -ускорения притяжения тела L от планеты и Солнца из закона притяжения: g = G·m_i/R_i²,

где: G=(6,6726) ·10^-11 [м³·кг^-1·с^-2] - гравитационная постоянная из закона притяжения тел: F=G·m1·m2/R².

   Выражение для нормальной составляющей ускорения тела L от притяжения Солнцем (KR):

Воспользуемся выр. (10) для CL = k_CL/Rc ·R_C :

KR = g_C ·sin(ϴ) = (G·M_C /(CL²)) · sin(ϴ) = (G·M_C /(k_CL/Rc ·R_C)²  · sin(ϴ);

  Выделим характерный для всех ускорений общий множитель в виде ускорения планеты от её притяжения Солнцем: [G·M_C /R²_C] (см.ниже выр.(28) :

KR = [G·M_C/R²_C] · sin(ϴ) / k²_CL/Rc;  нормальное ускорение тела L от притяжения Солнцем ….. (27)

   Выражение для нормальной составляющей ускорения тела L от притяжения планетой (ED):

ED = g_Р ·sin(ϑ) = (G·m_p  / PL ²)  ·sin(ϑ)) = (G·m_p  / (k_PL/Rc ·R_C)² ) · sin(ϑ) ;

Умножим и поделим первый множитель на массу Солнца (Mc), чтобы выделить требуемый нам общий  множитель  [G·M_C /R²_C ], равный  центростремительному ускорению Земли от притяжения его Солнцем, который типичен для большинства рассматриваемых ускорений тела L :

g_Р-С=g_{Рцентростр.}=G·M_C /R²_C; центростремительное ускорение планеты от притяжения Солнцем . (28)

ED = [G·M_C /R²_C ]  · ((m_p /M_C) / k²_PL/Rc ) · sin(ϑ);   

    Подставим выр.(9) для (m_p/Mc) = m_{Р отн}/(1–m_{Р отн}), введя в него m_{Р отн} = m_p /(M_C+m_p) из выр.(5):

ED=[G·M_C /R²_C ]·m_{Р отн}·sin(ϑ) /[(1–m_{Р отн})·k²_PL/Rc]; нормальное ускорение тела L от планеты ...(29)

  Можно приступать к окончательному расчёту проекций ускорений тела L на нормаль к вектору дальности OL, подставив выр.(27 и 29) в выр.(15)  с выносом общего множителя [G·Mc /R²_C].

Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на нормаль к вектору расстояния OL:

KR – ED =[G·M_C /R²_C)]·[ sin(ϴ)/k²_CL/Rc – sin(ϑ)·m_{Р отн} /((1–m_{Р отн})·k²_PL/Rc)]; проекция ускорений на нормаль к вектору OL ……… (30)

где:  m_{Р отн} -выр.(5); sin(ϑ) -выр(23); k_OL/Rc -выр(12); k_PL/Rc -выр(14); sin(ϴ) -выр(18); k _CL/Rc–выр (10);

6. Расчёт проекций ускорений тела L на радиус-вектор, исходящий из центра инерции

  Выведем выражения для ускорений в другом, продольном направлении в проекции на радиус-вектор дальности в барсистеме (см.выр.(16)).

LR + LD – g_{центроб.L}= 0;  или  g_C · cos(ϴ) + g_Р · cos(ϑ) – g_{центроб.L}= 0; проекция на радиус OL ... (16)

Определим выражение для продольной составляющей ускорения тала L от притяжения Солнцем, воспользовавшись выр.(10) для текущей дальности до Солнца CL=k_Rc·R_C  :

LR = g_C ·cos(ϴ) = (G·M_C /(CL²) ·cos(ϴ) = (G·M_C /(k_CL/Rc·R_C) ²  ·cos(ϴ);

 После выделения общего множителя для ускорений  [G·M_C/R²_C] получим окончательное выражение:

LR = [G·M_C/R²_C] · cos(ϴ) / k²_CL/Rc ; продольное ускорение тела L от Солнца. ……..………. (31)

Найдём выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения планеты LD, подставив расстояние PL = k_PL/Rc ·R_C  из выр.(13) :

LD = g_Р · cos(ϑ) = (G·m_p /(PL)²) · cos(ϑ) = (G·m_p /(k_PL/Rc·R_C)²) · cos(ϑ);

Умножим и поделим на массу Солнца (Mc) для выделения общего множителя ускорений [G·Mc/R²_C ] :

LD = [G·M_C /R²_C]· (m_p /M_C) ·cos(ϑ) / k²_PL/Rc;

С применением выр.(9) заменим (m_p/M_C) = m_{Р отн}/(1–m_{Р отн}) и получим окончательное выражение:

LD = [G·M_C /R²_C] · cos(ϑ)·m_{Р отн} /((1–m_{Р отн})·k²_PL/Rc ); продольное ускорения L от планеты... (32)

Расчёт центробежного ускорения тела L, направленного вдоль радиуса-вектора OL

  Величина центробежного ускорения тела L во вращающейся с постоянной угловой скоростью ω барической системе отсчёта  (со скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца), будет определяться по известному выражению  a_{центроб.} = ω² ·R и для изменяемого (варьируемого) расстояния OL тела L от центра инерции системы R, равного OL=k_OL/Rc ·R_C (см.выр.(11)), будет линейно зависеть для тела L от величины радиуса вращения OL :

  g_{Lцентроб.}  = ω² · OL = ω² · (k_OL/Rc ·R_C);  ………….…………..……………………………… (33)

     Далее необходимо определим величину угловой скорости  ω  вращения планеты вокруг Солнца. Воспользуемся ранее введённым типичным множителем для ускорений в виде выр.(28) для величины центростремительного ускорения планеты (g_{Рцентростр.}=G·M_C /R²_C ); (выр.(28)).

   А вот величина угловой скорости вращения (ω) планеты вокруг Солнца зависит от фактического  радиуса вращения планеты вокруг центра инерции барсистемы двух тел (Солнца и планеты), равного длине отрезка  OP = R_Б-Р  = M_{С отн} ·R_C   (см.выр.(6)) в барсистеме.    В этой барической вращающейся системе Солнце и планета синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра инерции системы двух тел со своими радиусами вращения  Солнца (R_С-Б выр.(4)) и Земли (R_Б-Р выр.(6)) до барцентра.

    При вращении планеты по круговой траектории вокруг общего центра инерции с радиусом вращения планеты OP центростремительное ускорение притяжения от Солнца (см.выр.(26)) будет уравновешиваться во вращающейся системе отсчёта центробежным ускорением планеты по известному выражению  a_{центроб.} = ω²·R = ω² ·OP.  При этом заменим относительную массу Солнца на относительную массу планеты (M_{С отн} = (1–m_{Р отн} ) (выр.(8)) и тогда:

g_{P центростр.}= ω²·OP = ω²·R_Б-Р  = ω²·R_C ·M_{С отн}  = ω²·R_C·(1–m_{Р отн});  баланс центростремительного и центробежного ускорений планеты при круговой траектории вращения ......................... (34)

    Определим из выр.(34) квадрат угловой скорости вращения планеты и подставим величину g_{P центростр.} по закону взаимного притяжения масс из выр.(28) :

ω²  = g_{P центростр.} / (R_C·(1–m_{Р отн})) = (G·M_C/R²_C) / (R_C·(1–m_{Р отн})); - квадрат угловой скорости...(35)

   Окончательное вид выражения для центробежного ускорения  g_{Lцентроб.} тела L получим за счёт подстановки ω² из выр.(35) в выр.(33):

g_{Lцентроб.} = ω² ·(k_OL/Rc ·R_C) = (G·M_C/R²_C) / (R_C·(1–m_{Р отн}))  · (k_OL/Rc ·R_C);

  Выделим общей множитель [G·M_C/R²_C] и получим итоговое выр.(36) для центробежного ускорения тела L:

g_{Lцентроб.} = [G·M_C /R²_C] · k_OL/Rc /(1–m_{Р отн}) ; полное центробежное ускорение тела L (по OL) …. (36)

Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из  центра инерции системы отсчёта

    Подставим выражения для всех трёх проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL из выр.(31, 32 и 36) в выр.(16) получим итоговое выражение для расчёта баланса проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из центра инерции системы отсчёта:

LR + LD – g_{Lцентроб.} = [G·M_C /R²_C] · [cos(ϴ)/k²_CL/Rc + cos(ϑ) ·m_{Р отн} /((1–m_{Р отн})·k²_PL/Rc )  –  k_OL/Rc /(1–m_{Р отн})];  проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы …… (37)

где:  m_{Р отн} -выр.(5);  cos(ϑ) -выр(24);  k_OL/Rc -выр(12);  k_PL/Rc -выр(14);  cos(ϴ) -выр(19);  k _CL/Rc –выр.(10));

  В итоге, получены окончательные выражения для проекций ускорений малого тела L вдоль радиуса–вектора дальности OL (выр.(37)) и на нормаль к нему (выр.(30)).

   Кстати, эти же выражения могут быть использованы также в полной задаче расчёта динамики движения малых тел L в этой же  вращающейся барической системе отсчёта OXбарYбар. Для этого необходимо лишь спроектировать эти ускорения с направления OL на направление OP с учётом величины угла γ (см. выр.(21и 22) для sin(γ) и cos(γ)) для перехода в барическую систему отсчёта OXбарYбар. Для расчёта динамики движения тел L в OXбарYбар потребуется ещё ввести двойное интегрирование проекций линейных ускорений тела L для получения текущих составляющих скоростей и координат тела L, т.е.  его траектория движения и текущая скорость будут определены по времени для заданных начальных условий (по координатам и проекциям скорости) тела L.

   Но поскольку в задаче динамики движения тело L получит свободу перемещения относительно вращающейся системы отсчёта и у него появится линейная скорость Vr, то к  проекциям ускорений тела L в системе OXбарYбар необходимо ещё добавить выражения для проекций величины Кориолисова ускорения (2ω × Vr), действующего по нормали к направлению полного вектора линейной скорости Vr  и всё время поворачивающего вектор скорости влево от его направления движения (при положительном значении вектора вращения ω, т.е. против движения часовой стрелки, как на рис.1).  Иначе говоря, при любом перемещении тела L  Кориолисово ускорение (или «поворотное» ускорение) будет всё время действовать в плоскости эклиптики (орбиты) планеты) по нормали к вектору линейной скорости Vr тела L, всё время поворачивая этот вектор против часовой стрелки, т.е. в ту же сторону, куда осуществляется положительное вращение ω (против часовой стрелки) всей барической системы отсчёта вместе с Солнцем и планетой относительно тела L на рис.1.

  Георгий 03.06.2020г 11час.30мин. Время моск.

P.S.   Из-за громоздкости статьи было решено практические расчёты баланса перенести во вторую часть статьи, в которой на основании выр.(37) для продольного ускорения тела L будут определены балансировочные значения  относительного и абсолютного значений  коэффициента дальности тела L для точек либрации L1-L3, расположенных на линии «Солнце-Планета». В конце статьи  будет приведен универсальный график определения дальности для точек L1-L3 для любых соотношений масс планеты и Солнца.   

Уважаемый Всеволод Иванович! Вспышка была очень краткой. Мне показалось, что она имела красноватый оттенок, но это может быть обманом зрения. Длилась вспышка доли секунды и возникла в момент минимального углового сближения станции с Арктуром. Как будто она фиксировала этот факт. Я просто смотрел, не будет ли покрытия Арктура станцией. Но она прошла заметно ниже Арктура, а вспышка была выше и левее Арктура, но не на самой станции. Расстояние угловое было от вспышки до Арктура примерно такое же как и от него до станции. Навряд ли это был метеор.
       Вообще-то я уже не раз видел вспышки в ночном небе, не связанные с какими-то объектами. Как-то видел яркую зеленую вспышку к востоку от Веги, но это было несколько лет назад. Иногда вспышки дают вращающиеся большие спутники или вторые ступени, пока не сгорели в атмосфере. Но, как правило, их можно идентифицировать по тому, что через небольшое время, иногда с десяток секунд, вспышки повторяются. А тут была одиночная вспышка. Не понятно.

Из-за пасмурной погоды не удалось наблюдать пролеты 19-21 мая, но сегодня, 22 мая компенсировалось. Небо ясное, практически безоблачное.

Мы разделились. Половина семьи вышла смотреть МКС на свежем воздухе, оставшаяся часть наблюдала через пластиковое окно. Пролет был виден прекрасно, правда, понадобилось высоко запрокинуть голову. МКС долго пролетала над 10-этажным домом.

Отметили 2 момента:

1. На улице при пролете МКС при минимальном сближении МКС с Арктуром чуть выше Арктура и левее была видна яркая вспышка. Ни самолета, ни спутника в этой точке ни до, ни после не было.

2. Окно квартиры выходит на восток. Поэтому большая часть пролета даже перед кульминацией наблюдалась в восточной части.

     То, что я - "Телец" здесь нигде не упоминалось. А ты, Илья, откуда это взял?  (Я, признаться, сейчас плохо помню эту астрологию. Хотя раньше хорошо в этом разбирался.)  По приведённой  тобой звёздной карте (откуда у тебя такая красивая картинка?),  ты прав, - Солнце скорее в Овне, чем в Тельце. Ну, а прецессию забываешь? Которая за время существования астрологии  "увела" реальные звёзды на целый "знак". Т.е. одноимённые  ЗНАК  и  СОЗВЕЗДИЕ  сейчас - не одно и то же. (Уверен, что ты это знаешь.)    
 

Всеволод Иванович!

Диссипирующие факторы это, например - трение космического аппарата об остатки атмосферы. Ну, или, трение велосипедиста о воздух:) Но, я-то имел ввиду жизненную рутину, в которой нередко вязнут наши самые творческие порывы. Желаю Вам её поменьше встречать. Или иметь малое лобовое сопротивление в её среде:)

Про Солнце и планеты... Ну, например, видно, что Вы - не телец, как можно было подумать с первого взгляда, а, скорее - овен! :)

Дорогой Всеволод Иванович!

С некоторым опозданием присоединяюсь к поздавлениям Вас с юбилеем! Это поразительно, но Ваша жизненная орбита, состоящая уже из такого внушительного количества витков, не имеет тенденции к уменьшению полуосей от взаимодействия с разными рутинными диссипирующими факторами! Скорее, напротив - эксцентриситет её растёт и апогей всё более уходит в Космос. Недаром говорят, что психологический возраст не связан однозначно с возрастом физическим. Всегда приятно видеть и чувстововать Вашу живую увлечённость Космосом и не только!

Здоровья Вам в наше непростое время и дальнейшего долгого странствия в Космосе!

P.S. Посмотрим - где находилось Солнце и некоторые планеты в момент Вашего рождения?

Это самое первое сообщение ВИ0540 о наблюдении пролетов МКС в небе над Ульяновском.

Прошло почти 7 лет, на сайте о пролетах МКС набралось на данный момент 36 страниц, сотни сообщений с общим числом больше 100 000 просмотров.

Караул!  Меня рассекретили!  Я чувствую себя раздетым...  Долго в своём псевдониме  ВИ0540  я  скрывался  под инициалами  Владимира Ильича, и свои  месяц и год рождения  зашифровал  аж  четырёхзначным  числом с двумя нулями!  (Но пусть останется глубокой тайною хотя бы  чёртова дюжина  в числе  первого дня  моей жизни.)
     Но..  Всё равно  за этим уже не скроешься.   Колюсь дальше.

     Видит Бог - не только эти роковые числа определяли мою судьбу.  На  моё увлечение астрономией с детства очевидно влияли и сами звёзды.  Стал искать эти  звезды, под  которыми я родился...
     Это было в Иркутске, как сейчас помню,  в 21 час. 45 мин. местного "декретного" (тогда ещё)  времени. Получается, что в момент, когда я произнёс своё первое слово (пардон,- крик), надо мной в вечернем небе сияли звёзды Большой Медведицы с зенитом где-то под её животом, или - прямо в нём  (хорошо, я думаю, что - не под хвостом, который рядом...)    Но что предрекла мне эта звёздная Медведица, а что - досталось от родителей  и окружающих меня людей - не знаю.  Для таких случаяев у нас есть универсальное:  "на всё - воля божия".    И - никаких вопросов. (Правда, я - не крещёный  и, значит, - не верующий,  и  ОН  вряд ли тратит на меня свою волю?  Опять же это - только ЕМУ известно.. )
      Вот так и мучаюсь по жизни: некрещёный,  а сейчас ещё и рассекреченный...  (Утешить может лишь хоть одна ваша улыбка при чтении этого текста...)
                                                                                                         Ваш  ВИ0540
----------------
     И попутно, используя неупомянутые вами (понятно - не самые лучшие) мои качества: многословность, дотошность и даже мелочность,- отмечу пару "шероховатостей" в тексте вашего поздравления.
     1. Перед моим именем вы написали  "автора  сайта".  Конечно, я - автор не нашего сайта, а - лишь своих заметок  (может быть "активного пользователя"  или как-нибудь иначе).
     2. Я уже объяснял, что "точнейшие расчеты"  времени  вспышек Иридиумов делает сам интернет по указанию города (Ульяновск).  Мне остаётся только сделать более наглядную картинку с помощью своих ресурсов - дело хлопотное, но - не рассчёты.  (Я понимаю, что такие тонкости пишущий мне поздравление сам может и не упомнить. Но - взялся за гуж...)
     Скажете: всё это такие мелочи, не принципиально. Отвечу высокопарно: стремитесь к совершенству даже в мелочах!  Не ленитесь!