Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет
Обзор устойчивости точек Лагранжа L1-L5

Поиск угла выполнения баланса ускорений тел для точек либрации L4 (L5) Лагранжа.

 

1. Введение вращающейся барической системы отсчёта в центре инерции системы вращающихся тел.

 

     В соответствии со Следствии IV к  3-му Закону у Ньютона в «Началах» вводится определение центра тяжести системы нескольких тел:

  «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения;    поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится  в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»

   Такую систему тел, не подверженную внешнему воздействию, называют замкнутой.   Центром инерции системы, для которой рассчитываются расстояния (ri) от начала произвольной инерциальной системы координат до тел, является, например, точка С, задаваемая радиусом-вектором Rc :

 

            Rc  = Σ (mi · ri/ Σ mi ;  где: M = Σ mi  - масса системы тел  …………….……….… (1)

 

    При  воздействии однородного поля  тяжести понятие центра инерции совпадает с понятием центра тяжести материального тела:     rц.т.  = Σ (Gi · ri)  /  Σ Gi ;

Если начало системы отсчёта  поместить в центр инерции системы, то  Rc = 0 и тогда из выр.(1) :

 

 Σ (mi · ri) = 0;  сумма моментов масс тел относительно центра инерции барсистемы … (2)  

   

     В астрономии такой центр инерции принято называть барцентром (или барицентром)). Для нашего дальнейшего рассмотрения введём систему из двух основных космических тел, например, для определённости  Солнца и Земли, относительно которых будем рассматривать ускорения, действующие на относительно небольшие тела с названием L, практически не влияющих своей небольшой массой на движение Земли, расположенные на орбите Земли и вращающиеся по её орбите с той же угловой скоростью вокруг Солнца, как и Земля, но отстоящие от неё на некотором расстоянии на её орбите.  Это постановка задачи Лагранжа, открывшего наличие пяти характерных точек L1-L5 с определёнными  видами устойчивого положения таких тел относительно вращающихся Солнца и Земли.

     В данном комментарии попытаемся проверить наличие баланса ускорений только для точек L4 (L5), расположенных в области вершины правильного треугольника, опирающегося на радиус орбиты Земли.  

     Введём в рассмотрение неинерциальную вращающуюся систему отсчёта,  начало которой поместим в  неподвижный центр инерции системы двух космических тел, расположенный на линии Солнце-Земля, а продольную ось сиcтемы отсчёта OXбар направим в центр масс Земли, а на противоположном направлении этой оси будет находиться центр масс вращающегося Солнца, что будет обосновано ниже.   Такую систему отсчёта, если она не вращается, принято называть центральной инерциальной, однако в нашем случае это будет её разновидность в виде вращающейся неинерциальной  барической системы отсчёта, направленной своей осью OXбар на центр масс Земли и  вращающейся с угловой скоростью ω вращения Земли вокруг Солнца. В аналогичной системе отсчёта Лагранж открыл свои точки либрации для небольших тел L1-L5 с различной степенью их устойчивого положения относительно Земли и Солнца.  В данной постановке нас будет интересовать только точка L4 (L5) с её устойчивым равновесием по Лагранжу, а точнее расчёт угла визирования из центра масс Солнца (между направлением на Землю и точку L4), который считается равным 60 градусам и обозначим этот угол как φ.  Попробуем определить величину этого угла φ для разных соотношений масс Солнца и Земли.   В данном случае под  Землёй  понимаем некоторую условную планету с произвольной массой от минимальной (в солнечной системе планет) плоть до максимально допустимой  (теоретически, равной массе Солнца, т.е. для случая вращения, например, двойной звезды с равными массами звёзд).

 

2. Поучительная история поиска величины угла φ для либрационной точки L4 (L5)

 

     Дело в том, что при выводе соотношений для ускорений, действующих на тело L необходимо было решить самый важный и принципиальный вопрос: на какой круговой траектории необходимо разместить тело L, т.к. от этого зависит вид выводимых соотношений для проекций ускорений, а, следовательно, и величина угла φ балансного состояния в точке L4 (L5). Дело в том, что при наличии барсистемы есть две круговых траектории: Солнечная с началом координат в центре масс Солнечной системы отсчёта и Барическая с началом в центре масс (или инерции) системы двух тел (точка О) с меньшим радиусом вращения, чем у Солнечной системы, особенно при приближении массы планеты к массе Солнца, например, для случая двойной звезды с одинаковыми массами звёзд.

      В начале было решено разместить тело L на Солнечной орбите. После вывода выражения для нормальных (перпендикулярных) к радиусу-вектору дальности «Солнце - тело L» ускорений притяжения от Земли и Солнца был получен замечательный результат для точек L4(L5) в виде угла φбал = 60 град.   Причём этот результат оказался совершенно не зависящим от величины соотношения масс планеты к массе Солнца (mp/Mc).  Далее именно вывод этого выражения при размещении тела L на Солнечной орбите будет приведен полностью в данной статье.

      Однако такой результат вызвал некоторые подозрения, поскольку пример двойной звезды (при отношении масс, равным  mp/Mc =1) как бы давал повод усомниться в этом, поскольку на первый взгляд (как потом оказалось, ошибочный) точка L4, находясь на орбите звёзд,  должна быть видна  под углом φ=45градусов , а не 60 град.  Поэтому был проведён второй вариант вывода выражений, когда тело L лежит на круговой барической орбите, т.е. с радиусом–вектором, исходящим из начала центра инерции системы тел. Анализ новых выражений для этого случая действительно подтвердил зависимость угла φ от соотношения масс планеты и Солнца и для нормальных проекций ускорения и дал ожидаемый результат в 60 град для малых типичных соотношений планет и Солнца и 45 град. для mp/Mc =1.

     Однако последующая проверка баланса проекций ускорений в продольном направлении на радиус-вектор дальности с учётом величины центробежного ускорения показала, что  при 45 град (для mp/Mc =1) положение на общей орбите двух звёзд тела L4(L5) является несбалансированным и неустойчивым, т.к. сила притяжения двух звёзд гораздо больше центробежного ускорения в вершине прямоугольного треугольника с углом у основания в  45 градусов и тело L сразу с ускорением стремится в центру инерции системы (в центр вращения звёзд),  причём это положение крайне неустойчиво и при любом боковом отклонении от него тело L будет притянуто любой из звёзд. Простая проверка показала, что для баланса не только в поперечном, но и в продольном направлении тело L должно находиться на орбите с радиусом на ~73% больше, чем радиус орбиты двойной звезды, т.е. опять, под теми же  φ=60град!  Как, говорится, «круг замкнулся» и как в классической философии Гегеля произошло «отрицание отрицания», т.е. возврат к исходному варианту размещения тела L на Солнечной орбите как более правильному.  

     Стало ясно, что в будущих расчётах  придерживаться гипотезы нахождения тел L4(L5) на какой-либо круговой орбите нет особого смысла и необходим третий вариант расчёта выражений для проекций ускорений тела L (на нормаль и вдоль вектора-радиуса барической системы) для случая произвольного положения тела L без его привязки к какой-либо круговой орбите с сохранением величины угловой скорости вращения барсистемы!  При этом в этих выражениях можно существенно варьировать дальность до тела L в широком диапазоне дальности относительно Солнечной орбиты для поиска точек баланса ускорений в обоих направлениях, те. по всей плоскости рисунка с орбитами.   За счёт программирования этих громоздких выражений в программе на персональном компьютере, можно построить изолинии равных ускорений по всей плоскости картинки, как и на известном рисунке в Интернете для всех пяти точек либрации Лагранжа  L1-L5, получив области устойчивости тела L в плоскости орбит тел при условии вращения всей картинки с постоянной угловой скоростью вращения планеты вокруг Солнца, т.е. в неинерциальной барической системе отсчёта.

  

3. Предварительные соотношения для радиусов вращения тел в барической системе отсчёта  с учётом соотношения масс взаимно вращающихся тел (Солнца и Планеты (Земли)).

   Итак, из выр.(2) для неподвижного центра инерции двух тел получаем, что

MС ·VС =  (mp·Vp); -баланс количества движения Солнца и планеты вокруг центра инерции…(3)

что означает равенство количества движения у двух взаимодействующих тел относительно центра инерции, а знак минус свидетельствует о противоположной направленности векторов скоростей этих тел при их вращении вокруг общего  центра инерции - барцентра.  А поскольку вектора двух тел в каждый момент времени строго противоположны друг другу, то это означает, что  тела вращаются с одной и той же угловой скоростью вращения относительно  барцентра в разные противоположные стороны, поэтому  можно  заменить орбитальные скорости Солнца и планеты на выр.:  Vс = ω ·rс   и   Vp = ω ·rp ,   после их подстановки в выр.(3) и сокращения на скорость ω получим выр.(4) для моментов массы тел относительно барцентра,  представляющие собой просто равенство моментов масс тел системы, равное обычному правилу моментов сил для рычага (для этого лишь достаточно умножить на одно и тоже значение гравитационного притяжения из закона взаимного притяжения (обратных квадратов) для этой пары тел):   

MС ·RС-Б = – (mP ·RБ-Р); - баланс моментов массы двух тел относительно барцентра  ………... (4)

Выразим расстояния от Солнца (RС-Б) и Земли (RБ-Р) до барцентра через полное расстояние между Солнцем и Землёй  (RC), которое равно сумме этих расстояний:

RC = RС-Б  RБ-Р ; - расстояние от Солнца до планеты через расстояния до центра инерции …… (5)

Если из выр.(5) значение для  R Б-Р  = (RC - R С-Б ) подставить в выр.(4), то получим:

 RС-Б  = mР  / (mР + MС· RC  =  mР отн · RC ;   откуда следует, что :

RС-Б отн  = RС-Б / RC  = mР отн ;   - относительное расстояние Солнце-Барцентр ……………...... (6)

 где:  mР отн  = mР  / (mР + MС);  - относительная масса планеты в системе «Солнце-планета» …...…. (7)

Если из выр.(5) значение для R С-Б  = (RC - R Б-Р) подставить в выр.(4), то получим:

 RБ-Р  =  MС  / (mР + MС) · RC  =  MС отн· RC ; откуда следует, что :

RБ-Р отн  = RБ-Р / RC  = MС отн ;  - относительное расстояние Барцентр-Планета ………….…... (8)

где:      MС отн  = MС / (mР + MС) - относительная масса Солнца в системе «Солнце-планета» .... (9)

 MС отн  = ((MС + mР) – mР) / (mР + MС) = (1 – mР отн) ; - связь относительных масс двух тел … (10)

 

4. Постановка задачи определения баланса ускорений, действующих на  малое тело L.

     Благодаря правильно выбранной точке размещения начало барической системы отсчёта можно считать  неподвижным относительно звёзд (без линейной скорости и ускорения начала системы отсчёта),  но, в силу нашего выбора, вращающейся с угловой скоростью вращения Земли ω вокруг Солнца в системе координат OXбарYбар.  В этой барической вращающейся системе Солнце и Земля синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг её центра (размещённого в центре инерции системы тел по условию выбора системы отсчёта) со своими радиусами вращения  Солнца (RС-Б выр.6) и Земли (RБ-Р выр.8) до барцентра.

     Важно подчеркнуть, что в данном первом варианте постановки малое тело L условно помещено на круговую орбиту относительно центра масс Солнца с расстоянием до него Rc (см. рис.1).  При этом выражения для проекций ускорений, приложенных к телам, рассчитываются во вращающейся с угловой скоростью ω вращения планеты вокруг Солнца в барсистеме относительно радиуса-вектора OL тела L, исходящего из центра инерции системы Солнца и планеты (точки О) к телу L.      

    В такой сиcтеме отсчёта на малое тело L (см. рис.1) действуют только три ускорения: ускорение притяжения от  Солнца (gC  - вектор красного цвета), от Планеты (Земли) (gР - вектор зелёного цвета) и фиктивное «антицетростремительное» так называемое центробежное ускорение  со знаком минус:  (- gцентроб.L - вектор чёрного цвета), направленное вдоль по радиусу-вектору OL, т.к. выбранная барическая система является вращающейся и поэтому неинерциальна.   Поскольку будем рассматривать статическую схему ускорений, воздействующих на тело L, то относительную скорость перемещения тела L не будет рассматривать (Vr = 0),  поэтому и Кориолисово ускорение, равное (2ω × Vr), для тела будет нулевым.  

   Знаки для всех проекций ускорений, действующих на тело L,  примем положительными, если  они направлены в начало системы отсчёта, т.е. в точку О на рис.1.  Из центра масс Солнца тело L видно под углом φ относительно горизонтальной оси OXбар, соединяющей центры масс Солнца и планеты.

  Рассмотрим сумму проекции всех трёх ускорений тела L на  два взаимно перпендикулярных направления:  на радиус–вектор OL, исходящий  из центра О барсистемы к телу L и на перпендикулярное к нему направление. В итоге получим два выражения:

ED – KR = gР · sin(ϑ)  -  gC · sin(ϴ) = 0;  в проекции на нормаль к радиусу-вектору OL ……........... (11)

LD+LRgцентроб.L=0;  или  gР ·cos(ϑ) + gC ·cos(ϴ)gцентроб.L=0; -проекция на радиус-вектор OL... (12)

   Осталось вывести и подставить в выр.(11) и (12) значения для всех трёх ускорений, заменив все промежуточные  углы (кроме искомого угла φ) на исходные параметры из выр.5-10, чтобы получить зависимость искомого угла φ от соотношения масс двух исходных тел Солнца (MС отн) и Земли (mР отн) и определить величину угла φ, при котором выполнятся выр.(11 и 12) действительно обнулится,  что и будет свидетельствовать о наличии такого угла, при котором выполняется БАЛАНС (компенсация) ускорений, а точка L будет при этом находиться неподвижно относительно Солнца и Земли, находясь на расстоянии Rc до Солнца.   

 

5. Вывод выражения для угла φ  при проекции ускорений тела L на нормаль к радиусу-вектору его вращения относительно барцентра.

   С учётом исходного предположения о нахождении тела L на круговой орбите относительно Солнца (с радиусом Rc) необходимо найти для  тела L также его расстояние OL от начала барсистемы, вращающейся вокруг точки О (центра инерции системы двух тел),  по радиусу-вектору OL, вдоль которого и направлено центробежное ускорение тела L.  Из двух прямоугольных треугольников Δ-CLM и Δ-OLM следует:

OL = ( LM2   + OM2 )1/2  = ( (RC·sin(φ))+ (RC·cos(φ) RС-Б)2 ) 1/2  ;  или с учётом выр.(6 и 7)

OL = RC·(1cos(φ)·RС-Б отн + R2С-Б отн )1/2  =  RC · (1 cos(φ)· mp отн + m2p отн)1/2  или

OL = RC · OLотн ; ……………………………………………………………………….. (13)

где:   OLотн = (12·cos(φ)·mp отн + m2p отн)1/2;  и где…mР отн= RС-Б /RC;…………. (14)

Для нахождение sin(ϴ) от угла ϴ, под которым виден из тела L радиус RС-Б вращения Солнца вокруг барцентра системы,  найдём из  прямоугольного треугольника Δ-CBO длину катета OB: 

 OB = OC · sin(φ) = RС-Б · sin(φ); ……………………………………………….......….. (15)

  Из прямоугольного треугольника Δ-OBL с учётом выр.(12) и следует , что :  

sin(ϴ) = OB / OL = mР отн · sin(φ) / OLотн ; ……………..…………...…..……………… (16) 

cos(ϴ) = BL / OL = (1-cos(φ)·mР отн ) / OLотн ; ………..………………………………. (17) 

   При проектировании ускорения от планеты понадобятся значения sin(ϑ) и cos(ϑ) от угла ϑ.  Из равнобедренного Δ-CLP с равными сторонами CL=CP=RC следует, что внутренний угол CLP при основании LP удовлетворяет соотношению:

   ϴ + ϑ  =  (1800  - φ) / 2;  откуда следует, что   ϑ = (900 – (φ/2)) - ϴ; ………………….. (18)

Применим тригонометрические выражения  sin() и cos() для разности двух углов  (900 – (φ/2))  и  ϴ:

sin(ϑ) = sin((900–(φ/2))) · cos(ϴ–  cos ((900–(φ/2))) · sin(ϴ);

cos(ϑ) = cos((900–(φ/2))) · cos(ϴsin ((900–(φ/2))) · sin(ϴ);

      где: cos((900–(φ/2))sin(φ/2);   а sin ((900–(φ/2)))=cos(φ/2); 

sin(ϑ) = cos(φ/2) · cos(ϴ)   –  sin(φ/2) · sin(ϴ); …............................……..……………. (19)

cos(ϑ) = sin(φ/2) · cos(ϴcos(φ/2) · sin(ϴ); …….……………………..……………. (20)

 В итоге, получим окончательные выр. для проектирования ускорения планеты относительно радиуса-вектора  (с подстановкой  sin(ϴ) и cos(ϴ) из выр. (16 и 17) в выр.(19 и 20):

sin(ϑ) = cos(φ/2)·(1-cos(φ)·mР отн )    sin(φ/2)·mР отн·sin(φ) / OLотн ; ……....……… (21)

cos(ϑ) = sin(φ/2)·(1-cos(φ)·mР отн )  + cos(φ/2)·mР отн·sin(φ) / OLотн ;……….…….... (22)

    Кроме того, понадобится расстояние LP между планетой и телом L. Из равнобедренного треугольника Δ-CLP  с равными сторонами CL=CP=RC.  Высота ON, проведенная из вершины C делит угол φ пополам на φ/2 и тогда расстояние  LP  будет равно:

LP = 2·LN = 2·RC·sin(φ/2) ; ………………………………..………………………...… (23)

  Можем приступать к расчёту проекций ускорения тела L на нормаль к вектору дальности OL (выр.11):

ED – KR = gР · sin(ϑ)  -  gC · sin(ϴ) = 0;  в проекции на нормаль к радиусу-вектору OL ... (11)

Сначала определим выражение для нормальной составляющей ускорения от притяжения планеты ED:

ED = gР·sin(ϑ) = (G·mp /LP2) · [(cos(φ/2)·(1cos(φ)·mР отн ) sin(φ/2)·mР отн·sin(φ)] / OLотн;

где:  G =(6,6726) ·10-11 H·м2·кг-2 гравитационная постоянная из закона притяжения тел: F=G·m1·m2/R2).

ED = (G·mp /(4·R2C·sin2(φ/2))· [(cos(φ/2)·(1cos(φ)·mР отн ) sin(φ/2)·mР отн·sin(φ)] / OLотн;

ED = (G·Mc /(R2C ·OLотн)) · (mp/ Mc) ·[(cos(φ/2)·(1cos(φ)·mР отн ) sin(φ/2)·mР отн·sin(φ)] / [ 4 · sin2(φ/2) ]; ... (24)

Выражение для нормальной составляющей ускорения от притяжения Солнцем KR :

KR= gC · sin(ϴ) =  (G·Mc /(R2C·OLотн)· mР отн · sin(φ); ..………......………………..... (25)

После приравнивания ED = KR и сокращения на общий множитель (G·Mc /(R2C·OLотн)) получим:

(mp/Mc)·[(cos(φ/2)·(1cos(φ)·mР отн) sin(φ/2)·mР отн·sin(φ)] / [4·sin2(φ/2)] = mР отн·sin(φ); или

(mp/Mc) · [cos(φ/2) – mРотн·(cos(φ/2)·cos(φ) + sin(φ/2)·sin(φ))] = 4·sin2(φ/2) ·mРотн· (2·sin(φ/2)·cos(φ/2));  или

 (mp/Mc) ·[cos(φ/2) – mР отн·cos(φ φ/2)] = 8 · sin3(φ/2) · cos(φ/2);  или

(mp/Mc) · cos(φ/2) · (1 – mР отн)  =  mР отн · 8 ·sin3(φ/2) ·cos(φ/2); после сокращения на cos(φ/2):

(mp/Mc) · (1 – mР отн) / mР отн = sin3(φ/2);  выр. баланса  нормальных ускорений для тела L… (26)

Упростим вид левой части выр.(26)с учётом  выр.(7):  mР отн = mР /(mР + MС); :

(mp/Mc(1–mР отн)/mР отн = (mp/Mc(1/mР отн 1) = (mp/Mc((mР+MС)/mР 1) = (mp/Mc(1+Mc/mР 1) = 1;

Как видим, левая часть выр. (26) равна 1 и после подстановки 1 в выр.(26) получим окончательно:

1=8·sin3(φ/2);  sin3(φ/2)=1/8; sin3(φ/2)=(1/2)3; sin(φ/2)=1/2; или φ/2=300в итоге: φбал=600 … (27)

    Как видим, для тела L баланс проекций ускорений притяжения от Солнца и планеты на нормаль (перпендикуляр) к радиусу-вектору OL дальности тела L, исходящему из центра инерции системы двух тел (барцентра), при введении угла визирования φ из центра масс Солнца на тело L и планету выполняется при величине угла визирования φбал=600  (это точки либрации L4(L5) Лагранжа) и, как показали расчёты,  балансировочное значение этого угла φбал вообще не зависит от величины соотношения масс планеты и Солнца при условии нахождения тела L на круговой орбите относительно Солнца  (см. рис.1 и равносторонний треугольник Δ–C L4 P  со сторонами, равными расстоянию от Солнца до планеты  RC ) .

 

6. Вывод выражения для угла φ  при проекции ускорений тела L на радиус-вектор его вращения относительно начала барцентра в точке О.

  Осталось проверить наличие баланса ускорений в другом продольном направлении в проекции на радиус-вектор дальности в барсистеме (см.выр.(12)).

LD+LR = gцентроб.L;  или   gР · cos(ϑ) + gC · cos(ϴ) = gцентроб.L; – проекция на радиус-вектор OL ... (12)

Сначала определим выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения планеты LD:

LD = gР · cos(ϑ) = (G·mp /LP2) · [sin(φ/2)·(1-cos(φ)·mР отн )  + cos(φ/2)·mР отн·sin(φ)] / OLотн ;

LD = (G·mp /(R2C·sin2(φ/2))) ·[ sin(φ/2) – mР отн ·[sin(φ/2)·cos(φ) cos(φ/2)·sin(φ)] ] / OLотн ;

упростим выр.: [sin(φ/2)·cos(φ) cos(φ/2)·sin(φ)] = sin(φ/2 φ) = sin(φ φ/2) = sin(φ/2);  или

LD = (G·Mc /(R2C·OLотн)) ·  (mp/Mc)/(4·sin2(φ/2)) · [ sin(φ/2) – mР отн · [ – sin(φ/2)] ] ;  или

LD = (G·Mc /(R2C·OLотн)) ·  (mp/Mc)/(4·sin2(φ/2)) · [ sin(φ/2) · (1 + mР отн)] ;  или

LD = (G·Mc /(R2C·OLотн)) ·(mp/Mc)·(1+mР отн)/(sin(φ/2)); -прод. ускорение L от планеты... (27)

Выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения Солнцем LR :

LR = gC · cos(ϴ) =  (G·Mc /(R2C) · (1-cos(φ)·mР отн ) / OLотн ;  выделим множитель (как и в LD):

LR = (G·Mc /(R2C·OLотн)) · (1-cos(φ)·mР отн);  -продольное ускорение тела L от Солнца.... (28)

 

7. Расчёт центробежного ускорения по OL тела L при его нахождении на орбите Солнца

   Определим для  тела L в барсистеме величину центробежного ускорения, которое зависит от расстояния OL до центра инерции (точки О барсистемы). Поскольку барсистема вращается вокруг центра инерции с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца, то центробежное ускорение тела L будет равно с учётом выр.(13) для OL:

gLцентроб. = ω2 · OL = ω2 · (RC · OLотн);  ………………………..………………………….. (29)

 

  Осталось определить величину угловой скорости  ω  вращения планеты вокруг Солнца. Величина центростремительного ускорения планеты (gP) с учётом расстояния до Солнца, равному RC, будет равна :

gP центростр. = G · Mc / R2C ; …………………..………………………………..………..……. (30)

   А вот величина угловой скорости вращения планеты вокруг Солнца зависит от реального радиуса вращения планеты вокруг центра барсистемы двух тел (Солнца и планеты), равного отрезку OP = RБ-Р  = MС отн· RC   (см.выр.9) в барсистеме.    В этой барической вращающейся системе Солнце и Земля синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра инерции системы двух тел со своими радиусами вращения  Солнца (RС-Б выр.6) и Земли (RБ-Р выр.8) до барцентра.

   При вращении планеты по круговой траектории вокруг Солнца центростремительное ускорение определяется (с учётом выр.(10) для относительной массы Солнца (MС отн =(1 mР отн )):

gP центростр.= ω2·OP = ω2·RБ-Р = ω2·RC ·MС отн = ω2 ·RC·(1–mР отн); притяжения планеты Солнцем...(31)

Выделим величину угловой скорости вращения планеты и подставим выр.(30) :

ω2 = gP центростр. / (RC·(1–mР отн)) = (G·Mc/R2C) / (RC·(1–mР отн)); - квадрат угловой скорости ...(32)

Окончательное выр. для центробежного ускорения тела L за счёт подстановки ω2 из выр.(32) в (29):

gLцентроб. = ω2 · (RC·OLотн) = (G·Mc/R2C) / (RC·(1–mР отн))  · (RC·OLотн); далее

  Выделим общий множитель (G·Mc /(R2C· OLотн)), характерный для выр. (27 и 28),:

gLцентроб. = (G·Mc /(R2C· OLотн))  · OL2отн / (1–mР отн) ;  или

    Подставим  выр.(14) для OL отн в квадрате и получим окончательно выражение  для центробежного ускорения тела L при его положении на орбите Солнца(RC):

 gLцентроб. = (G·Mc /(R2C· OLотн))  · (– cos(φ)·mp отн + m2p отн) / (1– mР отн ); ……………. (33)

 

   Вывод всех трёх проекций ускорений тела L завершён и осталось лишь проверить наличие баланса ускорений в продольном направлении в виде проекций на радиус-вектор дальности OL в барсистеме (см.выр.(12)) с подстановкой всех трёх проекций ускорений тела L из выр.(27, 28 и 33):

LD LR – gцентроб.L=0;  - проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы... (12)

(G·Mc /(R2C·OLотн))·(mp/Mc)·(1+mР отн)/(sin(φ/2)) + (G·Mc /(R2C·OLотн))·(1cos(φ)·mР отн)

  (G·Mc /(R2C·OLотн))·(1cos(φ)·mp отн + m2p отн)/(1– mР отн ); ............................................  (12)

Сократим все три члена на общий множитель (G·Mc /(R2C·OLотн)) :

(mp/Mc)·(1+mР отн)/(sin(φ/2)) + (1cos(φ)·mР отн) (12·cos(φ)·mp отн+m2p отн)/(1–mР отн ) =0;

Предварительно преобразуем первый множитель (mp/Mc), введя в него mР отн = mp /(Mc+mp) :

 (mp/Mc) = (mp / (Mc+mp   mp) = mР отн/(1mР отн); ……….……………………………….. (34)

Вставим выр.(34) и приведём все три слагаемых в общему знаменателю  4·sin(φ/2)·(1–mР отн):

mРотн·(1–mРотн)·(1+mРотн)+4·sin(φ/2)·(1–mРотн)·[(1cos(φ)·mРотн)(12·cos(φ)·mРотн+m2Ротн)] = 0; - далее сократим общий множитель (1–mРотн) и упростим выр. в [...]

mР отн·(1+mР отн)  + sin(φ/2)·[ mР отн·(1+mР отн) · (cos(φ)-1) ] = 0; 

   Преобразуем (переходом от φ к φ/2)  выражение (cos(φ) - 1) = – sin2(φ/2) получим:

mР отн·(1+mР отн+ sin(φ/2) · [ mР отн·(1+mР отн) · (– sin2(φ/2)) ]=0;

И после сокращения на общий множитель mР отн·(1+mР отн) выражение становится не зависящим от соотношения масс Планеты и Солнца (mР отн) )! :

1–8·sin3(φ/2)=0;  или  sin3(φ/2) =( 1/2)3; или  sin(φ/2) = 1/2;  или  φ/2=300и  φбал = 600 … (35)

  Получено окончательное выр.(35), состоящее в том, независимо от соотношения масс планеты и Солнца (mР отн) баланс всех трёх продольных проекций ускорения тела L выполняется  при значении угла φбал = 600 . Иначе говоря при угле φ в 60сумма проекций от ускорений притяжения тела L  Солнцем и Планетой уравновешивается величиной центробежного ускорения вдоль радиуса-вектора, исходящего из начала барцентра (точки О) к телу L, находящемуся на круговой орбите вокруг Солнца с расстоянием, равным RC.  

    В итоге, доказано выполнение ПОЛНОГО БАЛАНСА ВСЕХ ТРЁХ УСКОРЕНИЙ, воздействующих на тело L  на круговой орбите относительно Солнца (как по нормали (см.выр.(27)), так и вдоль (выр.35) радиуса-вектора дальности из центра инерции системы двух тел «Солнца и планеты»),  при одном и том же значении угла φбал=600 независимо от величины отношения массы планеты к массе Солнца!   

     Как видим, для случая двойной звезды с одинаковыми массами звёзд, вращающимися по общей круговой орбите, тела в точках либрации L4 и L5 вращаются вокруг центра этой круговой орбиты звёзд с той же угловой скоростью вращения, находясь в вершинах двух равносторонних треугольников с радиусом, превышающим общий радиус обеих звёзд на ~73% и соответственно на столько же более высокой орбитальной скоростью.    При наблюдении со стороны на такую двойную звезду при наличии тел L4 и L5 два правильных симметрично расположенных  треугольника вращаются вокруг середины их общей стороны, по концах которой расположены две равных по массе звезды, а в противоположных  вершинах симметричных треугольников могут вращаться тела L4 и L5 с той же угловой скоростью, но с радиусом на 73% большем, чем радиус вращения звёзд, т.е. этакий разносторонний вращающийся крест (с отношением сторон 1,73 : 1), на концах малой стороны которого расположены звёзды, а на концах большой стороны - тела двух либрационных областей L4 и L5, расположенных симметрично относительно линии Солнце-Планета под углами 60 град.

   В данной статье доказан вывод Лагранжа о том, что БАЛАНС ВСЕХ ТРЁХ УСКОРЕНИЙ для тел в точках Лагранжа L4 и L5 (находящимися в вершинах двух равносторонних треугольников, опирающихся симметрично на центры масс Солнца и планеты)   ПОЛНОСТЬЮ ВЫПОЛНЯЕТСЯ в центре области, находящейся на круговой орбите вокруг Солнца с расстоянием, равным RC , и углом визирования   φбал = 600    из центра масс Солнца от планеты к телам L4(L5) и величина угла баланса не зависит от величины отношения массы планеты к массе Солнца.

   Можно заранее предсказать, что устойчивость положения тел L4(L5) в точке либрации будет обеспечиваться только ускорением Кориолиса, которое будет всё время заворачивать вектор скорости движения  тел L4(L5), стремящийся к геометрическому центу притяжения Солнца и планеты с периодом этого вращения, равным периоду вращения планеты вокруг Солнца, искривляя прямолинейную скорость ухода тела к центру притяжения в замкнутую орбиту вокруг центра точки либрации тел L4(L5). Останется лишь выяснить критический максимально допустимый радиус этих орбит, которые уже не замкнутся, а приведут к их раскручиванию по спирали и уходу тел от центра области либрации. 

       Кстати, механика подобного вращения тела L4(L5) в точке либрации весьма похожа на механику вращения Солнца вокруг барцентра, когда за счёт количества движения у планеты (mp·Vp) Солнце также вынуждено вращаться вокруг центра инерции системы двух тел, стремясь ускорением притяжения сблизиться с планетой по прямой, но наличие соответствующей орбитальной скорости планеты позволяет ей всё время уклоняться от этой встречи, приводя в итоге к круговым орбитам у обоих тел.  Точно также и тела L4(L5)  начинают сближаться с Солнцем и планетой (если тела  отошли от центра устойчивости либрационной области), но благодаря постоянному вращению системы двух тел (Солнца и планеты) вокруг тел с периодом вращения планеты вокруг Солнца (при этом условно можно перенести вектор угловой скорости вращения планеты вокруг Солнца в центр либрации тел), также тела начинают отслеживать своим вектором скорости сближения направление на  постоянно вращающийся вокруг них центр притяжения, что и приводит в появлению замкнутых траекторий вращения вокруг точки либрации с периодом вращения планеты вокруг Солнца. В итоге, центр области либрации тел L4 (L5) становится такой же точкой устойчивого вращения, как «барцентр» является точкой вращения для Солнца.

   Как видим, кориолисово ускорение выполняет роль стабилизирующего удерживающего фактора для тел в точках либрации L4 и L5 (впрочем, как и для всех остальных точек либрации L1-L5), который непрерывно «поворачивает» вектор скорости ухода тел (под углом 90 градусов к нему) от центра области равновесия влево, превращая скорость ухода от центра устойчивости в «орбитальную» скорость вращения вокруг этого центра либрации точек L4 (L5).   Было бы интересно на полной модели динамики движения тел L определить критерий, определяющий  максимально допустимый диаметр области устойчивости вокруг центра либрации, при превышении которого вращение вокруг центра начнёт постепенно раскручиваться с нарастающим по времени радиусом вращения с окончательным уходом тела L в сторону Солнца и планеты.

 

Георгий 22.04.2020г 20час.00мин. Время моск.

 В следующей статье попробую качественно оценить устойчивость и расстояние для остальных точек либрации L1-L3, раположенных на линии Солнце-Планета.  

P.S.  Поздравляю всех и жителей Ульяновска со знаменательным событием - 150-летием  со дня рождения В.И.Ленина, основателя государства нового социалистического типа, изменившего весь ход истории развития человечества на нашей небольшой планете Земля.  Россия прошла через испытания в первой мировой войне, а возродившись в новом качестве, смогла отстоять своё право на существование и победила во второй мировой, избавив от «коричневой чумы» всё человечество. Видимо, такова мировая судьба России. С наступающим 75-летием Дня Победы!      

 

Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа.

   В данной статье осуществлён вывод выражений в относительном виде для определения ускорений малых тел L, расположенных неподвижно в любой точке плоскости орбиты планеты вокруг Солнца во вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) барической системе отсчёта. Так что все тела данной системы (Солнце, планета и тела L) по исходному условию расположены неподвижно друг относительно друга и все вместе синхронно вращаются с одной и той же угловой скоростью (ω) относительно неподвижных звёзд и вместе с ними вращается барическая неинерциальная система отсчёта (её начало помещено в центре инерции системы тел «Солнце-Планета»), в которой и осуществлён вывод выражений для ускорений притяжения и центробежного ускорения, действующих на малые тела L.

    Неподвижность тел L относительно планеты и Солнца была оговорена Лагранжем в качестве начального условия, чтобы определить существование особых, устойчивых по времени, точек в плоскости орбиты  планеты относительно Солнца и планеты, в которых может выполняться баланс (взаимная компенсация с учётом центробежного ускорения в неинерциальной системе) всех ускорений малых тел L (малых относительно планеты, так что можно пренебречь ответной реакцией планеты на её притяжение малым телом), при  котором эти малые тела могут теоретически долго находиться длительное время в состоянии покоя относительно Солнца и планеты (при отсутствии возмущений от других планет Солнечной системы) за счёт выполнения условий баланса ускорений в так называемых точках либрации малых тел, которые в количестве 5 точек относительно Солнца и планеты  (L1-L5) были впервые рассчитаны Лагранжем. (см.рис.)

Рис. Пять либрационных точек L1-L5 Лагранжа для малых тел относительно двух массивных тел.

     Благодаря правильно выбранной точке размещения НАЧАЛА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА В ЦЕНТРЕ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ двух тел (Солнца и планеты) центр такой барической системы отсчёта можно считать  неподвижным относительно звёзд (без линейной скорости и ускорения начала системы отсчёта) несмотря на синхронное вращение Солнца и планеты вокруг центра инерции системы,  но по нашему выбора будем считать её вращающейся с постоянной угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг центра инерции системы тел (система координат OXбарYбар).  В этой барической вращающейся неинерциальной системе отсчёта Солнце и планета, а также малые тела L (за счёт наложенного начального условия) на любой дальности от Солнца вращаются с одной и той же по величине угловой скоростью ω вокруг её центра, размещённого в центре инерции системы тел, со своими радиусами вращения  Солнца (RС-Б выр.4) и Земли (RБ-Р выр.6) до барцентра.     

     Исходное положение тела L относительно вращающейся системы отсчёта будем считать постоянным (статичная картина для малых тел L относительно Солнца и планеты)  и поэтому Кориолисово ускорение (2ω × Vr) для тел L будет нулевым из-за отсутствия линейной скорости перемещения (Vr=0) относительно системы отсчёта. В итоге, на тела L действует, кроме двух ускорений от притяжения Солнцем и Землёй, ещё и центробежное ускорение, вызванное вращением неинерциальной барической системы отсчёта вокруг неподвижного центра инерции системы (с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца). Все остальные ускорения, характерные в общем виде для неинерциальной системы отсчёта, отсутствуют (благодаря такому условию выбора системы отсчёта и начальным условиям), что упростило вид выражений ускорений для тел L1- L5 в такой неинерциальной системе отсчёта до дополнительного учёта лишь центробежного ускорения на все тела системы.   

 

     На рис.1 приведена схема воздействия на малое тело L ускорений от его притяжения Солнцем (gC) и планетой (gP). Там же показан вектор центробежного ускорения (gLцентроб.), действующий во вращающейся барической системе  отсчёта OXбарYбар. по радиусу-вектору расстояния OL от центра вращения системы (центра инерции в точке О) до тела L и направленного от центра инерции.    На рис.1 показаны проекции векторов ускорений притяжения на перпендикуляр (нормаль) к радиусу-вектору расстояния OL и вдоль него).  При этом тело L может быть расположено в любой точке плоскости орбиты планеты (эклиптики) за счёт задания в полярной системе величины  угла φ (отсчитываемого от направления «Солнце-Планета» (радиус-вектор CP)) и текущего радиуса-вектора расстояния CL от центра масс Солнца до тела L (CL=kCL/Rc·RC ; см. выр.10). При этом дальность варьируется за счёт изменения величины коэффициента kCL/Rc, введённого множителем на величину радиуса орбиты вращения планеты вокруг Солнца (RC).     

        Важно подчеркнуть, что если в первом варианте постановки (см. предыдущую стсатью по  анализу баланса ускорений для тел L4-L5) малые тела L4-L5 при выводе выражений были условно помещены на круговую орбиту планеты с радиусом вращения Rc относительно центра масс Солнца (см. ниже рис.1),  то в данной постановке тело может расположено на любой дальности относительно величины радиуса вращения Rc, что позволяет рассчитать значения небаланса ускорений для всей плоскости эклиптики планеты и построить изолинии небаланса потенциальных ускорений тел L для определения формы областей неустойчивости вокруг точек либрации тел L1-L5.

     В итоге, вывод выражений для проекций ускорений притяжения тел L1-L5 Солнцем и планетой  осуществлён в общем виде для всей плоскости орбиты планеты. В качестве опорной траектории, относительно которой варьируется в требуемом диапазоне текущая дальность до конкретного положения тела L, взята круговая траектория вращения планеты вокруг Солнца с её угловой скоростью вращения ω (она же скорость вращения барсистемы) с радиусом вращения, равным RC (при этом kCL/Rc=1), равным, например, для планеты Земля:  ~149,6 млн.км. Подчеркнём, что главным условием при этом будет условие вращения для всех рассматриваемых тел вокруг общего центра инерции с одной и той же величиной угловой скорости вращения, равной угловой скоростью вращения планеты ω вокруг Солнца.

 

  1. Предварительные соотношения для радиусов вращения тел в барической системе отсчёта  с учётом соотношения масс взаимно вращающихся тел (Солнца и планеты).  

   Воспользуемся соотношениями из предыдущего раздела для точек Лагранжа L4(L5).

MС ·VС =  (mp·Vp); -баланс количества движения Солнца и планеты вокруг центра инерции…(1)

MС ·RС-Б = – (mP ·RБ-Р); - баланс моментов массы двух тел относительно барцентра  ……….... (2)

    Выразим расстояния от Солнца (RС-Б) и Земли (RБ-Р) до барцентра через полное расстояние между Солнцем и планетой  (RC), которое равно сумме этих расстояний:

RC = RС-Б  RБ-Р ; - расстояние от Солнца до планеты через расстояния до центра инерции …… (3)

Если из выр.(3) значение для  R Б-Р  = (RC - R С-Б ) подставить в выр.(2), то получим:

RС-Б  = mР  / (mР + MС· RC  =  mР отн · RC ;   откуда следует, что :

RС-Б отн  = RС-Б / RC  = mР отн ;   - относительное расстояние Солнце-Барцентр ………….…...... (4)

 где:  mР отн  = mР  /(mР+MС);  - относительная масса планеты в системе «Солнце-планета» …..... (5)

Если из выр.(3) значение для R С-Б  = (RC - R Б-Р) подставить в выр.(2), то получим:

 RБ-Р  =  MС  / (mР +MС) · RC  =  MС отн· RC ; откуда следует, что :

RБ-Р отн  = RБ-Р / RC  = MС отн ;  - относительное расстояние Барцентр-Планета ………….…….. (6)

 где:                 MС отн  = MС / (mР+MС) - относительная масса Солнца в системе «Солнце-планета» …... (7)

 MС отн = ((MC + mР) – mР) /(mР+MС) = (1 – mР отн) ; связь относительных масс двух тел  …..… (8)

  

    Кроме того, далее нам понадобится  выразить отношение масс планеты и Солнца (mp/Mc) через относительную массу планеты: mР отн = mp /(MC+mp) (см. выр.(5)), для этого в знаменателе отношения масс (mp/Mc) прибавим и вычтем к массе Солнца MC массу планеты с  и поделим все члены на (MC+mp) :

 (mp/MC) = (mp / ((MC+mp) –  mp) = mР отн/(1mР отн); ……………………………………....... (9)

 

  2. Выражения для расчёта дальностей тела L до Солнца, планеты и центра инерции системы отсчёта

    Кроме основных исходных параметров (масса Солнца (MС), масса планеты (mp) и её расстояние до Солнца (RC) при условии круговой орбиты) введём ещё два независимых варьируемых параметра в полярной системе, определяющих положение тела L относительно Солнца и планеты:  угол φ направления на малое тело L из центра масс Солнца (относительно линии  Солнце-планета (ось OXбар)) и величина переменной дальности (CL) до тела L, варьируемая относительно величины расстояния планеты до центра масс Солнца (RC) за счёт введения на неё переменного  по величине множителя в виде коэффициента дальности (kCL/Rc) (см. выр.10).  Этих параметров достаточно для получения окончательных выражений для проекций ускорений тел L по всей плоскости траектории планеты в общем виде.

    Кстати, окончательные выражения, полученные в данной статье, для суммы относительных ускорений тела L,  ЗАВИСЯТ ТОЛЬКО ОТ ОДНОГО ИСХОДНОГО ПАРАМЕТРА:  ОТНОСИТЕЛЬНОЙ МАССЫ ПЛАНЕТЫ (mР отн =mР /(mР+MС) (см. выр.(5).   Конкретная величины массы Солнца (MС) и радиуса орбиты планеты (Rc) входят в окончательные выражения только в вынесенный общий множитель и могут быть использованы уже в конце расчётов для определения конкретной величины ускорений тела L в [м/сек2] или расстояния в [км] для точек L1-L3, т.е. для перевода относительных ускорений и коэффициента дальности в абсолютные значения.   Такой подход позволил получить единый  универсальный график зависимости балансировочного значения относительного коэффициента расстояния (kCL/Rc) от величины относительной массы планеты mР отн  (в системе тел «Солнце-планета») для либрационных точек L1-L3, пригодный  для любых сочетаний масс звезды, планеты и радиуса орбиты планеты (см. этот график в  следующей статье, посвящённой расчёту конкретных балансировочных расстояний для либрационных точек L1-L3).  

   Начнём вывод для ускорений малого тела L с определения выражений для трёх расстояний от центра масс тела L до Солнца (CL), центра инерции (OL) и планеты (PL), необходимые для расчёта ускорений притяжения от Солнца и планеты (по закону всемирного тяготения Ньютона), а также для расчёта центробежного ускорения, направленного по радиусу-вектору дальности (OL) от центра инерции до тела L.  

CL = kCL/Rc ·RC ; варьируемый радиус-вектор расстояния тела L до центра масс Солнца …....  (10)

где: kCL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 < kCL/Rc < 2]. При  kCL/Rcном.=1:  тело L находится на расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=RC.

    С учётом исходного предположения о произвольном нахождении тела L относительно Солнца (с переменным радиусом-вектором CL=kCL/Rc·RC (по выр.(10)) необходимо найти для тела L также его расстояние OL от начала барсистемы, вращающейся вокруг точки О (центра инерции системы двух тел),  по радиусу-вектору OL, вдоль которого и направлено центробежное ускорение тела L.  Из двух прямоугольных треугольников Δ-CLM и Δ-OLM следует:

OL = (LM2 +OM2 )1/2  = ( (CL·sin(φ))+ (CL·cos(φ) RС-Б))1/2 ;  или

OL = ((kCL/Rc·RC ·sin(φ))+ (kCL/Rc·RC ·cos(φ) RС-Б)2 )1/2 ;  и после выноса RC  из под корня получим:

OL = RC·[k2CL/Rc kCL/Rc ·cos(φ)·RС-Б отн +R2С-Б отн ]1/2; подставим RС-Б отн=RС-Б /RC=mР отн (из выр.4):

OL = RC ·[k2CL/Rc kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн +m2p отн]1/2;

   Введём второй (уже зависимый от величины kCL/Rc) коэффициент kOL/Rc для расчёта текущего расстояния OL от тела L до центра инерции системы:

OL = kOL/Rc ·RC;   радиус-вектор дальности тела L до центра инерции системы……................  (11)

где: kOL/Rc=[k2CL/Rc  kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн +m2p отн ]1/2; коэф.расстояния до центра инерции  (12)

 и где:  mР отн = mР /(mР+MС) ;  относительная масса планеты в системе тел … выр.(5)

 

  И, наконец, определим расстояние PL от планеты до тела L из прямоугольных треугольников Δ-MLP и Δ-CLM:

PL = (LM2+MP2)1/2  =[(CL·sin(φ))2 + (RC CL·cos(φ))2 ]1/2; подставим (CL=kCL/Rc·RC) из выр.(10):

PL = [(kCL/Rc·RC·sin(φ)) 2 + (RC kCL/Rc·RC·cos(φ))2] 1/2  = RC ·[(1–2·kCL/Rc·cos(φ)+ k2CL/Rc) ]1/2 

Введём третий зависимый коэффициент kPL/Rc для расчёта расстояния PL от тела L до центра масс планеты:

PL = kPL/Rc ·RC ;  радиус-вектор расстояния тела L до центра масс планеты  ……………. …..… (13)

где:   kPL/Rc =[1–2·kCL/Rc·cos(φ)+ k2CL/Rc) ]1/2; коэффициент расстояния до планеты ……….. (14)

 

 

3. Выражения для ускорений, действующих на малое тело L, в проекции по нормаль и вдоль радиуса-вектора дальности, исходящего из центра инерции системы к телу L.

    В принятой выше вращающейся системе отсчёта OXбарYбар на малое тело L (см. рис.1) действуют три ускорения: ускорение притяжения от  Солнца (gC  - вектор красного цвета), от Земли (gР - вектор зелёного цвета) и фиктивное «антицетростремительное» (так называемое центробежное ускорение  со знаком минус:  - gцентроб.L - вектор чёрного цвета), т.к. выбранная барическая система является вращающейся и поэтому неинерциальной.

   Рассмотрим сумму проекции всех трёх ускорений тела L на два взаимно перпендикулярных направления:  на радиус–вектор OL, исходящий  из центра О барсистемы к телу L,  и на перпендикулярное (нормальное) к нему направление. Из рис.1 просто получить два основных выражения для ускорений тела L:

KR ED = gC · sin(ϴ)  gР · sin(ϑ) = 0;  проекция на нормаль к радиусу-вектору OL ….......... (15)

LR + LD gцентроб.L= 0;  или  gC · cos(ϴ) + gР · cos(ϑ) gцентроб.L= 0; проекция на радиус OL ... (16)

   Осталось вывести и подставить в выр.(15 и 16) значения для всех трёх ускорений, чтобы получить их функциональные  зависимости при заданном значения угла φ и относительной массы планеты  mР отн от величины изменяемого независимого коэффициента расстояния тела L (kCL/Rc) от Солнца, за счёт вариации которого и можно определить ту его величину, при которой будет выполняться баланс в выражениях (15 и 16) и они действительно обнулятся при определённом значении угла φ,  что и будет свидетельствовать о нахождении величины дальности от Солнца (или дальности от планеты) для либрационных точек L1-L5, при которых и будет выполняться БАЛАНС (взаимная компенсация) всех трёх ускорений, а тело L будет при этом находиться в состоянии неподвижно в состоянии равновесия с учётом всех трёх составляющих ускорений:  притяжения от Солнца,  планеты  и центробежного ускорения во вращающейся барической систем отсчёта. 

    Баланс ускорений необходимо дополнительно исследовать на определение  характера устойчивости тела в состоянии баланса. Баланс может быть устойчивым или неустойчивым. Если при определённой величине начального отклонения тела от центра устойчивости, например по расстоянию, освобождённое тело возвращается в состояние равновесия, то баланс устойчивый, а если не возвращается и тело начинает всё дальше удаляться от положения равновесия, то баланс неустойчивый. Например, шарик, помещённый внутрь тонкой полусферической чашки находится в устойчивом равновесии, а при его размещении на той же, но перевёрнутой вверх дном чашке, неустойчив и при небольшом отклонении от шаткого равновесия скатывается с неё.

Бывают и смешанные виды устойчивости, когда в одном направлении по отклонению от равновесия есть устойчивость, а в другом, перпендикулярном направлении её нет. Например,  фигура в виде седла для лошади: в продольном сечении это вогнутая кривая, обладающая устойчивостью, а в поперечном сечении это выпуклая кривая, обладающая явной неустойчивостью.  Кстати, именно таким видом смешанной устойчивости обладают точки либрации L1-L3.     

 

4. Тригонометрические выражения для  sin() и cos() требуемых углов.

   Для нахождения  sin(ϴ) и cos(ϴ) от угла ϴ, под которым виден из тела L радиус RС-Б вращения Солнца вокруг барцентра системы,  найдём из  прямоугольного треугольника Δ-CBO длину катета OB: 

 OB = OC ·sin(φ) = RС-Б ·sin(φ); ……..…………………………………………..............….. (17)

  Из прямоугольного треугольника Δ-OBL с учётом выр.(4,11,12)  следует, что :  

sin(ϴ) = OB / OL = RС-Б ·sin(φ) / (kOL/Rc ·RC) = mР отн · sin(φ) / kOL/Rc ;  ………….……..… (18) 

cos(ϴ) = BL/OL = (CLCB) / OL = (kCL/Rc·RC -RС-Б·cos(φ))/(kOL/Rc ·RC); и после деления на RC:

cos(ϴ= (kCL/Rc -mР отн·cos(φ)) / kOL/Rc ; …………..……..………………………………. (19) 

   При проектировании ускорения от планеты понадобятся значения sin(ϑ) и cos(ϑ) от угла ϑ, под которым виден из тела L радиус RБ-Р орбиты планеты.  Из разностороннего Δ-OLP следует, что внутренний угол OLP, равный искомому углу ϑ, определяется суммой двух других углов OLM и MLP, т.е.:

 ϑ = (900 - γ) + Ψ; ……………….…………….……………………………………………….. (20)

   Определим sin(γ) и cos(γ) для вспомогательного угла γ. Из прямоугольных треугольников Δ-OLM и Δ-СLM  с использованием текущей дальности тела L до Солнца  (CL=kCL/Rc ·RC) из выр.(10) и текущей дальности до центра инерции (барцентра) (OL=kOL/Rc ·RC) из выр.(11):

sin(γ) = LM / OL = CL·sin(φ)/OL = (kCL/Rc·RCsin(φ)/(kOL/Rc·RC) = kCL/Rc·sin(φ) /kOL/Rc … (21)

cos(γ) = OM / OL = (CL·cos(φ) RС-Б) / (kOL/Rc·RC)  после подстановки RС-Б = RC·mР отн из выр.(4):

cos(γ) = (kCL/Rc·RC·cos(φ) RC·mР отн)/ (kOL/Rc·RC) = (kCL/Rc ·cos(φ) mР отн) / kOL/Rc  ….… (22)

 

Применим известные выражения sin() и cos() для суммы двух углов  (900 - γ) и Ψ  из выр.(20) :

sin(ϑ) = sin(900γ) · cos(Ψ) + cos(900γ) · sin(Ψ);

cos(ϑ) = cos(900γ) · cos(Ψ) sin(900γ) · sin(Ψ);

С учётом того, что sin(900– γ) = cos(γ), а  cos(900– γ) = sin(γ)  получим окончательные выражения:

sin(ϑ) = cos(γ) · cos(Ψsin(γ) · sin(Ψ); …………………………………………………. (23)

cos(ϑ) = sin(γ) · cos(Ψ–  cos(γ) · sin(Ψ); …………………………………………………. (24)

   Определим выражения для sin(Ψ) и cos(Ψ) вспомогательного угла Ψ из треугольника Δ-MLP с выр.(10 и 13) для расстояний  CL и PL:

sin(Ψ) = MP / PL = (RC kCL/Rc·RC·cos(φ)) / (kPL/Rc ·RC)   = (1- kCL/Rc·cos(φ)) / kPL/Rc ;  … (25)

cos(Ψ) = LM / PL = (kCL/Rc·RC·sin(φ)) / (kPL/Rc ·RC)   =  kCL/Rc·sin(φ) / kPL/Rc ;   …….....…. (26)

 

5. Расчёт проекций ускорений тела L на нормаль к радиусу-вектору OL из центра инерции

    Приступим к расчёту проекций ускорения тела L на нормаль к радиусу-вектору расстояния OL (выр.15):

KR ED = gC · sin(ϴ)  gР · sin(ϑ) = 0;  проекция на нормаль к радиусу-вектору OL … (15)

где: gР и gC  -ускорения притяжения тела L от планеты и Солнца из закона притяжения: g = G·mi/Ri2,

где: G=(6,6726) ·10-113·кг-1·с-2] - гравитационная постоянная из закона притяжения тел: F=m1·m2/R2.

   Выражение для нормальной составляющей ускорения тела L от притяжения Солнцем (KR):

Воспользуемся выр. (10) для CL = kCL/Rc ·RC :

KR = gC ·sin(ϴ) = (G·MC /(CL2)) · sin(ϴ) = (G·MC /(kCL/Rc ·RC)· sin(ϴ);

  Выделим характерный для всех ускорений общий множитель в виде ускорения планеты от её притяжения Солнцем: [G·MC /R2C] (см.ниже выр.(28) :

KR = [G·MC/R2C] · sin(ϴ) / k2CL/Rc;  нормальное ускорение тела L от притяжения Солнцем ….. (27)

   Выражение для нормальной составляющей ускорения тела L от притяжения планетой (ED):

ED = gР ·sin(ϑ) = (G·mp  / PL 2·sin(ϑ)) = (G·m/ (kPL/Rc ·RC)2 ) · sin(ϑ) ;

Умножим и поделим первый множитель на массу Солнца (Mc), чтобы выделить требуемый нам общий  множитель  [G·MC /R2C ], равный  центростремительному ускорению Земли от притяжения его Солнцем, который типичен для большинства рассматриваемых ускорений тела L :

gР-С=gРцентростр.=G·MC /R2C; центростремительное ускорение планеты от притяжения Солнцем . (28)

ED = [G·MC /R2C ]  · ((mp /MC) / k2PL/Rc ) · sin(ϑ);   

    Подставим выр.(9) для (mp/Mc) = mР отн/(1mР отн), введя в него mР отн = mp /(MC+mp) из выр.(5):

ED=[G·MC /R2C ]·mР отн·sin(ϑ) /[(1mР отн)·k2PL/Rc]; нормальное ускорение тела L от планеты ...(29)

 

  Можно приступать к окончательному расчёту проекций ускорений тела L на нормаль к вектору дальности OL, подставив выр.(27 и 29) в выр.(15)  с выносом общего множителя [G·Mc /R2C].

Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на нормаль к вектору расстояния OL:

KR ED =[G·MC /R2C)]·[ sin(ϴ)/k2CL/Rc sin(ϑmР отн /((1mР отн)·k2PL/Rc)]; проекция ускорений на нормаль к вектору OL ……… (30)

где:  mР отн -выр.(5); sin(ϑ) -выр(23); kOL/Rc -выр(12); kPL/Rc -выр(14); sin(ϴ) -выр(18); k CL/Rc–выр (10);

 

6. Расчёт проекций ускорений тела L на радиус-вектор, исходящий из центра инерции

  Выведем выражения для ускорений в другом, продольном направлении в проекции на радиус-вектор дальности в барсистеме (см.выр.(16)).

LR + LD gцентроб.L= 0;  или  gC · cos(ϴ) + gР · cos(ϑ) gцентроб.L= 0; проекция на радиус OL ... (16)

Определим выражение для продольной составляющей ускорения тала L от притяжения Солнцем, воспользовавшись выр.(10) для текущей дальности до Солнца CL=kRc·RC  :

LR = gC ·cos(ϴ) = (G·MC /(CL2) ·cos(ϴ) = (G·MC /(kCL/Rc·RC) 2  ·cos(ϴ);

 После выделения общего множителя для ускорений  [G·MC/R2C] получим окончательное выражение:

LR = [G·MC/R2C] · cos(ϴ) / k2CL/Rc ; продольное ускорение тела L от Солнца. ……..………. (31)

Найдём выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения планеты LD, подставив расстояние PL = kPL/Rc ·RC  из выр.(13) :

LD = gР · cos(ϑ) = (G·mp /(PL)2) · cos(ϑ) = (G·mp /(kPL/Rc·RC)2) · cos(ϑ);

Умножим и поделим на массу Солнца (Mc) для выделения общего множителя ускорений [G·Mc/R2C ] :

LD = [G·MC /R2C]· (mp /MC) ·cos(ϑ) / k2PL/Rc;

С применением выр.(9) заменим (mp/MC) = mР отн/(1mР отн) и получим окончательное выражение:

LD = [G·MC /R2C] · cos(ϑmР отн /((1mР отн)·k2PL/Rc ); продольное ускорения L от планеты... (32)

 

Расчёт центробежного ускорения тела L, направленного вдоль радиуса-вектора OL

  Величина центробежного ускорения тела L во вращающейся с постоянной угловой скоростью ω барической системе отсчёта  (со скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца), будет определяться по известному выражению  aцентроб. = ω2 ·R и для изменяемого (варьируемого) расстояния OL тела L от центра инерции системы R, равного OL=kOL/Rc ·RC (см.выр.(11)), будет линейно зависеть для тела L от величины радиуса вращения OL :

  gLцентроб.  = ω2 · OL = ω2 · (kOL/Rc ·RC);  ………….…………..……………………………… (33)

     Далее необходимо определим величину угловой скорости  ω  вращения планеты вокруг Солнца. Воспользуемся ранее введённым типичным множителем для ускорений в виде выр.(28) для величины центростремительного ускорения планеты (gРцентростр.=G·MC /R2C ); (выр.(28)).

   А вот величина угловой скорости вращения (ω) планеты вокруг Солнца зависит от фактического  радиуса вращения планеты вокруг центра инерции барсистемы двух тел (Солнца и планеты), равного длине отрезка  OP = RБ-Р  = MС отн ·RC   (см.выр.(6)) в барсистеме.    В этой барической вращающейся системе Солнце и планета синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра инерции системы двух тел со своими радиусами вращения  Солнца (RС-Б выр.(4)) и Земли (RБ-Р выр.(6)) до барцентра.

    При вращении планеты по круговой траектории вокруг общего центра инерции с радиусом вращения планеты OP центростремительное ускорение притяжения от Солнца (см.выр.(26)) будет уравновешиваться во вращающейся системе отсчёта центробежным ускорением планеты по известному выражению  aцентроб. = ω2·R = ω2 ·OP.  При этом заменим относительную массу Солнца на относительную массу планеты (MС отн = (1–mР отн ) (выр.(8)) и тогда:

gP центростр.= ω2·OP = ω2·RБ-Р  = ω2·RC ·MС отн  = ω2·RC·(1–mР отн);  баланс центростремительного и центробежного ускорений планеты при круговой траектории вращения ......................... (34)

    Определим из выр.(34) квадрат угловой скорости вращения планеты и подставим величину gP центростр. по закону взаимного притяжения масс из выр.(28) :

ω2  = gP центростр. / (RC·(1–mР отн)) = (G·MC/R2C) / (RC·(1–mР отн)); - квадрат угловой скорости...(35)

   Окончательное вид выражения для центробежного ускорения  gLцентроб. тела L получим за счёт подстановки ω2 из выр.(35) в выр.(33):

gLцентроб. = ω2 ·(kOL/Rc ·RC) = (G·MC/R2C) / (RC·(1–mР отн)· (kOL/Rc ·RC);

  Выделим общей множитель [G·MC/R2C] и получим итоговое выр.(36) для центробежного ускорения тела L:

gLцентроб. = [G·MC /R2C] · kOL/Rc /(1–mР отн) ; полное центробежное ускорение тела L (по OL) …. (36)

Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из  центра инерции системы отсчёта

    Подставим выражения для всех трёх проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL из выр.(31, 32 и 36) в выр.(16) получим итоговое выражение для расчёта баланса проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из центра инерции системы отсчёта:

LR + LD gLцентроб. = [G·MC /R2C] · [cos(ϴ)/k2CL/Rc + cos(ϑ) ·mР отн /((1mР отн)·k2PL/Rc )  –  kOL/Rc /(1–mР отн)];  проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы… (37)

где:  mР отн -выр.(5);  cos(ϑ) -выр(24);  kOL/Rc -выр(12);  kPL/Rc -выр(14);  cos(ϴ) -выр(19);  k CL/Rc –выр.(10));

  В итоге, получены окончательные выражения для проекций ускорений малого тела L вдоль радиуса–вектора дальности OL (выр.(37)) и на нормаль к нему (выр.(30)).

   Кстати, эти же выражения могут быть использованы также в полной задаче расчёта динамики движения малых тел L в этой же  вращающейся барической системе отсчёта OXбарYбар. Для этого необходимо лишь спроектировать эти ускорения с направления OL на направление OP с учётом величины угла γ (см. выр.(21и 22) для sin(γ) и cos(γ)) для перехода в барическую систему отсчёта OXбарYбар. Для расчёта динамики движения тел L в OXбарYбар потребуется ещё ввести двойное интегрирование проекций линейных ускорений тела L для получения текущих составляющих скоростей и координат тела L, т.е.  его траектория движения и текущая скорость будут определены по времени для заданных начальных условий (по координатам и проекциям скорости) тела L.

   Но поскольку в задаче динамики движения тело L получит свободу перемещения относительно вращающейся системы отсчёта и у него появится линейная скорость Vr, то к  проекциям ускорений тела L в системе OXбарYбар необходимо ещё добавить выражения для проекций величины Кориолисова ускорения (2ω × Vr), действующего по нормали к направлению полного вектора линейной скорости Vr  и всё время поворачивающего вектор скорости влево от его направления движения (при положительном значении вектора вращения ω, т.е. против движения часовой стрелки, как на рис.1).  Иначе говоря, при любом перемещении тела L  Кориолисово ускорение (или «поворотное» ускорение) будет всё время действовать в плоскости эклиптики (орбиты) планеты) по нормали к вектору линейной скорости Vr тела L, всё время поворачивая этот вектор против часовой стрелки, т.е. в ту же сторону, куда осуществляется положительное вращение ω (против часовой стрелки) всей барической системы отсчёта вместе с Солнцем и планетой относительно тела L на рис.1.

 

  Георгий 03.06.2020г 11час.30мин. Время моск.

P.S.   Из-за громоздкости статьи было решено практические расчёты баланса перенести во вторую часть статьи, в которой на основании выр.(37) для продольного ускорения тела L будут определены балансировочные значения  относительного и абсолютного значений  коэффициента дальности тела L для точек либрации L1-L3, расположенных на линии «Солнце-Планета». В конце статьи  будет приведен универсальный график определения дальности для точек L1-L3 для любых соотношений масс планеты и Солнца.   

 

Расчёт расстояний до малых тел с балансом ускорений в либрационных точках  L1-L3 Лагранжа.

 

     В данной статье, являющимся продолжением предыдущей статьи «Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа», определим конкретные расстояние для малых тел L на которых выполняется баланс (уравновешивание) ускорений для трёх точек либрации Лагранжа L1-L3, расположенных на продольной оси OXбар вращающейся барической системы, проходящей через центр масс Солнца, центр барсистемы (он же центр инерции системы двух тел «Солнце-Земля» (точка О))  и центр масс какой-либо планеты. Вся барическая система принята вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца. В данном случае в качестве планеты рассматривались Земля, Юпитер, а также Луна в паре с Землёй для расчёта расстояния до точек либарции L1-L3 Лагранжа, поскольку, например, для Земли разработаны и реализованы различные проекты с использованием этих либрационных точек для размещения а них различных наблюдательных научных станций.

Рисунок  с расположением точек L1-L5 Лагранжа.

 

1. Вид выражений для расчёта баланса ускорений тела L в точках либрации L1-L3 Лагранжа.

 

   Приведём вид итогового выр.(37) для проекции всех трёх ускорений тела L в точках либрации L1-L3 на радиус-вектор OL барсистемы в общем виде для любой точки эклиптики планеты:

 

LR + LD gLцентроб. = [G·MC /R2C] · [cos(ϴ)/k2CL/Rc + cos(ϑ) ·mР отн /((1mР отн)·k2PL/Rc )  –  kOL/Rc /(1–mР отн)];  проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы  (37)

     Как видно из рис.2 для точек либрации тел L1-L3 Лагранжа, лежащих на одной прямой «Солнце-планета», требуется  задать величину угла визирования φ=00 (для точек либрации L1-L2)  и φ=1800 (для тот L3).  При этом необходимо в виду, что все три точки лежат на оси OXбар барсистемы, L3 расположена слева от Солнца, а L1 и L2 - справа от него. А точки L1 и L2 расположены слева и справа от планеты так, что в точке L1 ускорения притяжения от Солнца и планеты разнонаправлены и частично вычитаются друг из друга, а в точках  L2 и L3 направлены в одну сторону и складываются.

    Из геометрии рис.2 следует, что угол ϴ (угол визирования из тела L небольшого радиуса-вектора вращения Солнца вокруг центра инерции системы тел) для всех трёх точек L1-L3 равен 00 (cos(ϴ)=1), а вот угол ϑ (угол визирования из тела L большого радиуса-вектора вращения планеты) равен: ϑ=00 (cos(ϑ)=1) для точек L3 и L2 , где ускорения притяжения от Солнца и планеты складываются для тела L),  а вот для точки L1, расположенной между Солнцем и планетой,  ϑ=1800 (cos(ϑ)=1)  ускорения от Солнца и планеты разнонаправлены и вычитаются между собой.

     Кроме вышеотмеченной смены знака для cos(ϑ), в выр.(37) может изменяется для точек L1-L3 и вид выражений для относительных коэффициентов дальности kOL/Rc и kPL/Rc (см.ниже выр.(12 и 14)), т.к. они зависят от смены знака у cos(φ) при φ=1800. Ниже приведены эти выр. (12 и 14) в общем виде:

kOL/Rc= [k2CL/Rc  kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн +m2p отн ]1/2; коэф.расстояния до центра инерции. (12)

kPL/Rc = [1 – 2·kCL/Rc·cos(φ) + k2CL/Rc) ]1/2;  коэфф. расстояния до центра масс планеты …(14)

     И поэтому для точек  L1 и L2  (при φ=00 и cos(φ)=1) выр.(12 и 14) для этих коэффициентов равны:

kOL/Rc = (kCL/Rc mp отн);    и    kPL/Rc = (1 kCL/Rc);

     А вот для точки  L3  (при φ=1800 и cos(φ)=1) выр.(12 и 14) изменяют свой вид на:

kOL/Rc = (kCL/Rc + mp отн);    и    kPL/Rc = (1 + kCL/Rc);

 

 В итоге, для каждой из точек Лагранжа L1-L3  выр.(37) имеет свой индивидуальный вид:

 1 /k2CL/Rc  mР отн  /[(1mР отн)·(1kCL/Rc)2 = (kCL/Rc mp отн) /(1–mР отн); - для точки L1 … (38)

 1 /k2CL/Rc  + mР отн  /[(1mР отн)·(1kCL/Rc)2 = (kCL/Rc mp отн) /(1–mР отн); - для точки L2 … (39)

 1 /k2CL/Rc  + mР отн  /[(1mР отн)·(1+kCL/Rc)2 = (kCL/Rc +mp отн) /(1–mР отн); - для точки L3 … (40)

Примечание:

 Общий множитель [G·MC /R2C] в выр.(37), представляющий собой  величину ускорения притяжения планеты Солнцем,   в выр.(38-40) далее не рассматривается, поскольку все расчёты гораздо удобнее проводить в универсальном для всех планет относительном нормированном виде.  При необходимости, за счёт введения множителя [G·MC /R2C] можно всегда перейти от относительных безразмерных ускорений (и расстояний до Солнца, центра инерции и планеты  (по выр.(10,11 и 13) уже за счёт умножения на Rc (радиус орбиты планеты в [км])) для тела L в абсолютные значения ускорений в [м/сек2] и расстояний в [км].

 

 

2. Расчёт расстояний до точек либрации L1-L3 для планеты Земля

      Как видно из выр.(38-40) они являются сложной функцией от одного аргумента kCL/Rc  - относительного коэффициента дальности, определяющего расстояние тела L от центра масс Солнца по отношению в радиусу орбиты планеты в относительном виде:

  kCL/Rc = CL / RC ; (см.выр.(10) предыдущей статьи с методикой).

где: kCL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 < kCL/Rc < 2]. При  kCL/Rc=1 тело L находится расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=RC.

 

   Кроме того, члены выр.(38-40), включают в себя так же независимый параметр:  относительную массу планеты mР отн=mР /(mР+MС) (см. выр.(5)), которая может изменяться в широком диапазоне от ~0 (планеты с самой малой массой, например, Меркурий (с mР отн=0,000 000 166)  или, исключённый из списка планет, Плутон с массой в 22 раза меньшей, чем у Меркурия)  до максимум  0,50 (например, двойная звезда со свёздами равной массы).  Например,  для случая расчёта планеты Земля и Солнца её относительная масса равна:

mР отн = mР /(mР+MС) =5,9726·1024/(5,9726·1024 +1,98885·1030) =0,000003003; относит.масса Земли.

 

     Из-за сложности выр.(38-40) для поиска балансировочного значения kCL/Rc бал был применён в основном графический метод его решения для поиска баланса ускорений тел в точках L1-L3 Лагранжа.   Для этого (при заданном значении относительной массы планеты mР отн) на рис.1 строились  графики левой и правой частей выр.(38-40) для ряда перебираемых значений kCL/Rc  в ожидаемом диапазоне kCL/Rc по дальности (см. ниже таблицу№1) и в точках их пересечения определялось балансировочное значение коэффициента дальности kCL/Rc бал , которое затем дополнительно уточнялось для повышения точности.

 

     Для проведения расчётов применялся 10-разрядный десятичный научный калькулятор (“STAFF STF-169”) с точностью расчётов близкой к точности обычных 32-разрядных двоичных ПК.

    В качестве небольшого примера, в таблице №1 показана только малая часть (по три значения kCL/Rc) такого расчёта коэффициента дальности для точек L1-L3 Лагранжа планеты Земля с ограничением числа выводимых в таблицу результатов вычисления 5-ю разрядами после запятой.

 

Таблица №1 расчёта дальности до точек L1-L3 Лагранжа планеты Земля (mР отн Земли =0,000003003)

 1

kCL/Rc

0,982

0,99003

0,992

1,008

1,010029

1,018

1,000

2

(kCL/Rc–mpотн)/(1–mРотн)

0,98200

0,99003

0,99200

1,00800

1,01003

1,01800

 -

3

1 / k2CL/Rc

1,03700

1,02024

1,01619

0,98419

0,98024

0,96495

1,00000

4

mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2)

0,00927

0,03021

0,04692

0,04692

0,02986

0,00927

 -

 5

5 = 3 – 4  L1 по выр.38

1,02773

0,99003

0,96927

0,93727

0,95038

0,95568

 -

 6

6 = 3 + 4  L2 по выр.39

1,04627

1,05045

1,06311

1,03111

1,01010

0,97422

 -

7

(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)

0,98201

0,99004

0.99200

1,00800

1,01004

1,01800

1,00000

8

mРотн/((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2)

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

9

9 = 3 + 8  L3 по выр.40

1,03670

1,02024

1,01620

0,98419

0,98024

0,96495

1,00000

Примечание:

 Жирным шрифтом выделены значения параметров близкие к балансировочным, при которых центробежное ускорение (2 строка табл.) практически уравновешивается  воздействием притяжений от Солнца и планеты (5 и 6 строки соответственно для точек L1 и L2)), а для точки L3 это строки 7(центробежное) и 9 (притяжения) соответственно.

  На рис.1 показано применение метода графического решения этих табличных данных применительно к планете Земля.   Поскольку относительное центробежное ускорение малых тел L1-L3 (2-я строка таблицы  №1), практически совпало по величине со значением независимого коэффициента дальности (kCL/Rc) (1-я строка табл.) тел L  от Солнца, являющегося аргументом рис.1, то поэтому центробежное ускорение представлено на рис.1 прямой линией.   Там же построены графики левых частей выр.(38-40), представляющие собой относительную величину геометрической суммы ускорений притяжения тел L от Солнца и Земли (для точки L1 ускорения вычитаются (5 строка табл.), а для L2 – суммируются (6 строка).

     Пересечение этих кривых для разности и суммы относительных ускорений притяжения Солнца и Земли (строки 5 и 6) с графиком прямой линии от относительного центробежного ускорения (строка 2) позволило графически определить kCL/Rc бал (см.рис.1),  при которых и выполняется баланс ускорений притяжения с центробежным ускорением тел ( для точки либрации L1 при kCL/Rc бал ~= 0,99   и для точки L2  при kCL/Rc бал ~= 1,01.  Если пересчитать эти относительные расстояния от Солнца в расстояния от Земли (для этого  достаточно вычесть из них значение kCL/Rc =1,0 (действующее расстояние планеты Земля от Солнца), то окажется, что для точек либрации малых тел:  L1, расположенную ближе к Солнцу (т.е. между Солнцем и Землёй), и для точки L2, расположенную от Земли на ещё большее расстояние от Солнца,  расположение их по дальности относительно  Земли почти одинаковое и симметричное и равно  ±0,01 от Rc (расстояния Земли до Солнца Rc=149,6млн.км), т.е. расстояния до точек либрации L1 и L2 от Земли составляют:  -1,5млн.км для точки L2 (в сторону Солнца то Земли)  и  +1,5млн.км для точки L2 (ещё дальше от Солнца, чем Земля).

    Для точки либрации L3, расположенной на противоположной от Земли точке её орбиты, т.е. симметрично относительно Солнца (вспомним красивую сказку о симметричной невидимой планете Анти-Земля), то расчёты показали, что влиянием ускорения от Земли на таком расстоянии, равном диаметру орбиты Земли (2·Rc), на тела L можно пренебречь, т.к. оно в относительном виде менее 1·10-6 , а данные в таблице округлены  до точности до 1·10-5.  Поэтому  практически для точки L3 достаточно учитывать только притяжение от Солнца, т.е. использовать 3 строку таблицы №1, график которой построен на рис.1 в его центре и балансировочное значение относительного расстояния (kCL/Rc), естественно, совпало с расстоянием для Земли от Солнца, т.е. для точки L1:  kCL/Rc бал =1,0  или  ~149,6 млн.км.

 

3.  Итоговая таблица балансировочного kCL/Rc бал  для выбранных планет и значений относительной массы планеты для точек либрации L1-L3 Лагранжа.

 

       В виду особого интереса к планете Юпитер, обладающей в областях либрационных точек L4-L5 большим числом летающих космических тел (группы «троянцев» и «греков») были проведен так же и расчёт дальности до точек либрации Юпитера L1-L3.  Автор также обнаружил в интернете дальности для либрационных точек Луны относительно Земли с и идеями их использования для космических грузовых перевозок и временного размещения.  И, конечно, нельзя пройти мимо предельного варианта с максимально возможным значением относительной массы mp отн= 0,500 для случая двойной звезды из звёзд равной массы.

Все окончательные расчёты балансировочных значений относительного коэффициента дальности от Солнца (kCL/Rc бал для точки L3) и от планеты (kплCL/Rc бал для точек L1-L2) для этих планет представлены  в нижеследующей таблице №2.

Ниже приведена итоговая таблица №2 только с практически точными балансировочными значениями  kCL/Rc бал  для выбранных значений относительной массы планеты для точек либрации L1-L3 Лагранжа.

 

Таблица №2 с kCL/Rc бал точек L1-L3 для выбранных значений относительной массы планеты mРотн

 

Звезда-планета   (mРотн)

 

   (mРотн = 0,000 000 100)

Земля (mРотн = 0,000 003 003)

 

 

т. L1

т. L2

т. L3

т. L1

т. L2

т. L3

№ =0

kCL/Rc бал

0,9968

1,0032

1,000

0,990030

1,010029

1,000

1

kплCL/Rc бал= | 1 – kCL/Rc бал |

0,0032

0,0032

-

0,00997

0,010029

-

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(kCL/Rc–mp отн) / (1–mР отн)

0,99680

1,00320

-

0,99003

1,01003

-

3

1 / k2CL/Rc

1,00643

0,99363

1,00000

1,02024

0,98024

1,00000

4

mРотн  /((1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 )

0,00977

0,00977

-

0,03021

0,02986

-

 5

5 = 3 – 4    L1 по выр.(38)

0,99666

-

-

0,99003

-

-

 6

6 = 3 + 4    L2 по выр.(39)

-

1,00340

-

-

1,01010

-

7

(kCL/Rc+mp отн) / (1–mР отн)

0,99680

1,00320

1,00000

0,99004

1,01004

1,00000

8

mРотн/((1–mР отн)·(1+kCL/Rc)2 )

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

9

9 = 3 + 8    L3 по выр.(40)

1,00643

0,99363

1,00000

1,02024

0,98024

1,00000

 

Продолжение Таблицы №2

 

Звезда-планета  

(mРотн)

Юпитер

(mРотн=0,000 958 120)

Луна относительно Земли

(mРотн=0,012 302 347)

 

 

т. L1

т. L2

т. L3

т. L1

т. L2

т. L3

0

kCL/Rc бал

0.9333

1,0698

0,99945

0,84906

1,16790

0,9929

1

kплCL/Rc бал=|1–kCL/Rc бал|

0,0667

0,0698

-

0,15094

0,16790

-

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(kCL/Rc–mpотн)/(1–mРотн)

0,93324

1,06987

-

0.84720

1,16997

-

3

1 / k2CL/Rc

1,14804

0,87377

1,00110

1,38715

0,73314

1.01435

4

mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2)

0,21460

0,19596

-

0,53998

0,43640

-

 5

5 = 3 – 4  L1 по выр.38

0,93344

-

-

0,84717

-

-

 6

6 = 3 + 4  L2 по выр.39

-

1,06973

-

-

1,16954

-

7

(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)

0,93515

1,07178

1,00136

0,87181

1.19457

1,01742

8

mРотн /((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2)

0.00025

0,00022

0,00024

0,00360

0,00262

0,00310

9

9 = 3 + 8 L3 по выр.40

1,14829

0,87399

1,00134

1,39075

0,73576

1.01745

 

Продолжение Таблицы №3

 

Звезда-планета  (mРотн)

–   (mРотн = 0,100 )

Двойная звезда равных звёзд

(mРотн (максимум) = 0,500)

 

 

т. L1

т. L2

т. L3

т. L1

т. L2

т. L3

№ =0

kCL/Rc бал

0,70904

1,3597

0,9416

0,500

1,698405

0,698405

1

kплCL/Rc бал=|1–kCL/Rc бал|

0,29096

0,3597

-

0,500

0,698405

-

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(kCL/Rc–mpотн) / (1–mРотн)

0,67671

1,39967

-

0,00000

2,39681

-

3

1 / k2CL/Rc

1,98911

0,54090

1,12789

4,00000

0,34667

2,05015

4

mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2 )

1,31247

0,85877

-

4,00000

2,05015

-

 5

5 = 3 – 4  L1 по выр.38

0,67664

-

-

0,00000

-

-

 6

6 = 3 + 4    L2 по выр.(39)

-

1,39967

-

-

2,39682

-

7

(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)

0,89893

1,62189

1,15733

2,00000

4,39681

2,39681

8

mРотн /((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2 )

0,03804

0,01995

0,02947

0,44444

0,13734

0,34667

9

9 = 3 + 8  L3 по выр.40

2,02715

0,56085

1,15736

4,44444

0,48401

2,39682

 

 

4.  Универсальный график балансировочных значений коэффициентов расстояния для точек L1-L3 Лагранжа  в зависимости от относительной массы планеты.

 

   На основе данных, приведенных выше в таблице№2 и дополнительных расчётов был построен график балансировочных значений коэффициентов расстояния для точек L1-L3 Лагранжа в зависимости от относительной массы планеты mРотн  (см. рис.3) в широком диапазоне [0,000 000 1 – 0,500], охватывающим весь реальный диапазон применительно к Солнечной системе по её планетам (от Меркурия до Юпитера и Луны относительно Земли).  Из-за широкого диапазона по mРотн масштаб по горизонтальной оси относительной массы (7 десятичных порядков) выбран логарифмическим. Для повышения точности масштаб по вертикальной оси для kплCL/Rc бал  для первой половины графика был принят в десять раз более растянутым (для mРотн<0,001), чем для второй половины графика (для mРотн >0,001).

   Поскольку для точек L1 и L2 удобнее задавать расстояние от близко расположенной к ним планете, чем от Солнца, поэтому для них значение  kCL/Rc бал было пересчитано в «планетный» коэффициент kплCL/Rc бал за счёт вычитания 1, соответствующей  расстоянию планеты от Солнца (Rc) и взятия её по модулю, т.е.  kплCL/Rc бал = | kCL/Rc бал -1|  (сравните 0 и 1 строку в таблице №2).

    Поэтому по оси вертикальной оси графика (для точек L1 и L2) нанесён масштаб для «планетного» коэффициента дальности  kплCL/Rc бал , выдающего расстояние до планеты. Для точки L3  в таком пересчёте коэффициента нет необходимости, т.к. дальность до неё определяется относительно Солнца. Для точки L3 надо использовать масштаб справа от вертикальной оси графика, начинающийся со значения 1,00 (красная кривая).

   

         Для получения реальной дальности для любой планеты необходимо:

1. Рассчитать её относительную массу по выр.: mР отн = mР /(mР+MС), например,  по величине масс планеты (mР)   и массы Солнца (MС):

  mР отн = mР /(mР+MС) =5,9726·1024/(5,9726·1024 +1,98885·1030) =0,000003003; относит.масса Земли.

2.  Определить на графике по величине mР отн  балансировочное значение коэффициента расстояния (kплCL/Rc бал для точек L1-L2, или kCL/Rc бал для точки L3).

3.  Рассчитать абсолютное расстояние от Планеты (для точек L1и L2) или от Солнца (для точки L3),  умножив коэффициентов расстояния kCL/Rc бал на величину радиуса вращения планеты относительно Солнца (Rc), например, для Земли:  R(L1-L2) = kплCL/Rc бал· Rc = 0,01·149,6 [млн.км]~= 1,50 [млн.км].

    Интересно отметить, что для случая двойной звезды, состоящей из звёзд равной массы, (при mР отн =0,500) балансировочное расстояние до точек L3 и L2 оказалось одинаковым (хотя и рассчитывалось по разным выражениям  для левой звезды (для L3 по выр.(40))  и правой звезды (для L2 по выр. (39)) и  составляет  kCL/Rc бал = kплCL/Rc бал = ~0,6984 от расстояния между звёздами равной массы (Rc), что действительно соответствует ожидаемой симметрии расположения точек L2 и L3 относительно крайних звёзд и подтверждает правильность выр. для расчёта коэффициентов дальности.  

 

 

5.  Таблица абсолютных расстояний до точек либрации L1-L3 Лагранжа для некоторых планет.

 

   Для удобства, в нижеследующей таблице №3 приведен пример расчёт абсолютных расстояний до точек либрации L1-L3 Лагранжа для некоторых планет.

Источник данных по планетам из: http://www.shvedun.ru/hpss.htm) .

  ( Справка: Масса Солнца: 1 988 850,0·1024 кг )

Таблица №3 расстояний до точек либрации L1-L3 Лагража для некоторых планет

Планета

Земля

Сатурн

Юпитер

      Луна относительно Земли

Масса планеты

5,9726·1024кг

568,5·1024кг

1898,8·1024кг

0,073477·1024 кг

Отн.масса планеты[-]

0,000003003

0,000285762

0,000958120

0,012152839

Средний радиус вращения отн.Солнца

149,6млн.км

1433,8млн.км

778,5млн.км

363,1тыс.км(перигей)

405,7тыс.км(апогей)

kCL/Rc бал

 RL1  (точка L1)

       0,00997

  1,49млн.км

      ~0,0442

  63,4млн.км

      0,0667

51,9млн.км

0,15094

54,8 тыс.км(перигей)

61,2 тыс. км(апогей)

kCL/Rc бал

 RL2  (точка L2)

      0,010029

 1,50млн.км

      ~0,0455

 65,2млн.км

      0,0698

 54,3млн.км

0,16790

61,0тыс.км(перигей)

68,1тыс.км(апогей)

kCL/Rc бал

 RL3  (точка L3)

1,000

 149,6млн.км

1,000

 1433,8млн.км

0,99945 

 778,1млн.км

0,9929

360,5тыс.км(перигей)

402,8 тыс.км(апогей)

 

 

      Качественный анализ  влияния проекций от ускорений притяжения  тел L1-L3 на нормаль к линии «Солнце-планета» показывает, при любом небольшом отклонении малого тела L от этой линии вверх или вниз приводит к появлению небольшой нормальной составляющей ускорения от притяжения планетой (в точках L1-L2) или составляющей от притяжения Солнцем (в точке L3) с учётом наличия цента инерции, направленной в сторону возврату к этой линии, что напоминает уравнения качания вертикального маятника, где составляющая от силы тяжести маятника всегда направлена к нейтральному вертикальному его положению. Этот эффект способствует удержанию малого тела L ни линии «Солнце-планета», подтягивая его к этой линии. Возникает своеобразная устойчивость тела в направлении по нормали к линии  «Солнце-планета» в точках либрации L1-L3 при неустойчивости в другом, продольном направлении  «Солнце-планета», когда небольшое отклонение по расстоянию в сторону Солнца или планеты приводит к постепенному нарастающему по скорости уходу в начального сторону отклонения. Правда, это уход будет затруднён появлением кориолисова поворотного ускорения, приводящему к появлению закручивающейся спиральной траектории ухода от точки либрации.

    Кстати эти эффекты объясняются тем, что малые тела L, которые покинут, по какой-либо причине, области устойчивоcти    L4-L5, расположенные на радиусе вращения планеты (Rc) под углами  +-600 относительно линии «Солнце-планета» будут постепенно смещаться либо к планете, либо к Солнцу, смещаясь постепенно к линии «Солнце-планета» с набором, или с торможением  дополнительной скорости  относительного перемещения (Vr) относительно вращающейся системы отсчёта. При этом появится кориолисово ускорение, искривлющее и закручивающее эти траектории и малое тело будет неизбежно вытеснено на другие орбиты либо с большим радиусом вращения (при разгоне по скорости), либо с меньшим радиусом вращения (при торможении), чем у планеты. Для исследований этих траекторий потребуется программное моделирование расчёта траекторий относительного движения этих малых тел.

    Конечно, точки L1-L3 явно неустойчивы, но довольно малая начальная величина ускорения ухода (почти с нулевого начального значения) позволит довольно длительное время «продержаться» космическим станциям без коррекции реактивными двигателями  (по положению относительно планеты).

    Для исследования величины области устойчивости в точках L4-L5 необходимо так же моделированиена полной модели динамики движения малого тела L. Надеюсь, что удастся заняться этим моделированием уже в этом году.  А  на этом данная тема пока завершена.

 

  Георгий 05.06.2020г 22час.55мин. Время моск.