Всеволод Иванович, у нас сейчас в деревенской местности плохая мобильная связь, постоянно прерывается. Только в лесу нормальная. Выйдем смотреть пролет МКС.
Можно обойтись и без карты, поставлю простую иллюстрацию пролета.
Но теперь серый прямоугольник исчез совсем вместе с картой пролетов. Верните, пожалуйста, пусть останется интрига. А так придется и комментарии удалять.
Уважаемая Полина!
На моём первоначальном рисунке, конечно, этого прямоугольника нет. ("Не виноватая я!") Видимо, появился он как-то при переносе его на сайт ЛКИ. Я вчера замучился в попытках избавиться от этого, как я его тоже про себя называл, "серого квадрата Малевича". И сегодня так и не понял, откуда он взялся.
Примерно за час до рассвета 19 июля 2020 года в небе Северного и Южного полушарий можно будет наблюдать 5 планет Солнечной системы — Меркурий, Марс, Венеру, Юпитер и Сатурн. Одновременно с ними в небе будет сиять Луна.
Это явление называют «парадом планет», хотя такой термин не научный и используется только для популяризации астрономии в СМИ.
Все планеты можно будет наблюдать невооруженным глазом. Они будут необычно яркими, и найти их в небе не составит труда. Сложнее всего будет заметить Меркурий. Его следует искать примерно за 45 минут до рассвета, желательно использовать бинокль или телескоп.
Без ваших сообщений взгляд в небо блуждает без цели.
Только поясните, пожалуйста, что означает серый прямоугольник рядом с картой пролета МКС. Вот так, наверное, и современники Малевича, разглядывая черный квадрат, пытались найти скрытый смысл.
Спасибо за подсказку. По вашим подсчетам я действительно видел МКС. Я видел нечто очень похожее, как раз незадолго до 24:00. Траектория и вид объекта соответствовали МКС. Траектория низкая, как вы и пишите.
Вчера, по всей видимости, также видел МКС около 23:30 также на очень низкой траектории. Хотел еще раз посмотреть комету, но на горизонте на севере облака ее закрывали, хотя все остальное небо было отлично видно. Чистое звездное небо, особенно на юг и восток. Спутники летают туда-сюда. Штук пять видел. Видел непонятную короткую вспышку, яркую, в направлении почти точно на север ниже кромки облаков. Левее и чуть ниже Капеллы, которая слабо просвечивала сквозь полоску облаков.
Для погоды лета 2020 г. характерно появление очень устойчивых малоподвижных антициклонов с высокой температурой, то в области центральной Сибири (в начале лета), то позже в Европейской части России (июнь-июль) . Однако холод проникает через соседние области России: то на Дальнем Востоке, то в Центральной Сибири, например, сибирские заморозки 21-22 июля и похолодание вплоть до Монголии в новолуние от 21.07.2020г. Как видим влияние притяжения Луны проявляется даже летом.
К сожалению, Ульяновску не повезло с похолоданием. У нас, в Дубне и в восточной половине Европеейской части последнее полнолуние от 5.07.2020г привело не только к вытеснению жары к Уралу (так же и из всей северной части Европы) , но и залило дождями так, что Москва уже поплыла от почти ежедневных дождей с месячной нормой осадков , да и Дубне досталось, хотя у нас обычно выпадает дождей в 2-3 раза меньше, чем в Москве (сказывается влияние воздущных течений от поверхности Волжского водохрахранилища).
Подробнее об летних наблюдениях сообщил в конце статьи "Суперлуние,полнолуние, Лунная иллюзия.." (заметка от 09-07-2020г). Подолжим наблюдения за погодой в августе.
Почему-то в данных НАСА в интернете, вечрние пролёты МКС 12 июля не указаны. Но первый полночный пролёт МКС 13 июля для Ульяновска - в 01:36 (высокий: 52°) . Значит предыдущий - минуты за 2 до полуночи и существенно ниже (и может даже - в тени - ?)
Это Вам, Виктор Михайлович, ориентировка по МКС.
На комету я (по честному) ещё не сориентировался. А МКС собираюсь увидеть сегодня, 13 июля, (в мой день рождения) в 23:11, 5 , 20° на юге. И - будем следить..
Виктор Михайлович только что поделился радостным событием: видел комету, пролет МКС, метеор и пару спутников. Позже обещал написать личный комментарий.
С удовольствием пишу, что комету видел. Меня навел на ее просмотр админ нашего сайта. Сообщение Ильи увидел уже позже.
Комета висит над горизонтом почти на севере (чуть-чуть смещена к западу) там, где находится Солнце после захода. Поэтому комету пока видно не очень хорошо. Но, как сообщил Илья, она будет подниматься над горизонтом и окажется близко к Большой Медведице к концу июля. Поэтому наблюдать комету в 23-24 часа будет все лучше и лучше. После 23 июля она будет удаляться от нас и потихоньку гаснуть.
Вообще, в нашем небе большое движение. За полчаса наблюдений 12 июля с 23-30 до 24-00 (примерно) видел пролет двух спутников по разным траекториям. Кроме этого, видел, по всей видимости, пролет МКС. Яркость объекта и его траектория указывают на то, что это, скорее всего, МКС, но уважаемый ВИ0540 ничего на сайте не сообщал по этому поводу. Поэтому есть сомнения.
Но кроме спутников я еще увидел и метеор, который падал с севера на юг. Начальную точку входа в атмосферу я не успел увидеть, но, похоже, она была где-то в области Большой Медведицы. Траектория прошла чуть ниже Арктура, самой яркой звезды в этой части неба. Сгорел метеор полностью, не долетев до горизонта.
Смотрите на небо! Там много чего любопытного, интересного, а порой и важного, можно увидеть!!!
Виктор Михайлович только что поделился радостным событием: видел комету, пролет МКС, метеор и пару спутников. Позже обещал написать личный комментарий.
Ракета-носитель Falcon 9 должна была стартовать с космодрома на мысе Канаверал во Флориде 12 июля 2020 года около 6 вечера по московскому времени. Предполагается, что станет частью миссии по созданию полномасштабной Сети широкополосного доступа в интернет из любого уголка планеты.
Запуск должен стать десятым по выводу на орбиту группы аппаратов Starlink, начиная с мая прошлого года. Его откладывали уже несколько раз. Изначально он был запланирован на конец июня. Ракета Falcon-9 частной космической компании Space-X предпринимателя Илона Маска должна доставить на орбиту очередную партию из 57 мини-спутников, которые станут частью проекта развертывания глобальной сети интернет-покрытия системы Starlink. Орбитальная группировка уже насчитывает более 500 аппаратов, всего их будет около 12 тысяч. Space X планируют уже в этом году обеспечить интернет-покрытием всю территорию Северной Америки.
Предполагается, что ракета также два малых космических аппарата дистанционного зондирования Земли — Global-5 и 6 американской компании BlackSky. Они предназначены для мультиспектральной съемки планеты в оптическом диапазоне с разрешением около одного метра.
Общая сумма инвестиций, направленная на реализацию проекта Starlink, оценивается в 10 миллиардов долларов.
Влияние притяжения Луны на атмосферу и погоду Земли в средних широтах (лето 2020г).
Нелишне напомнить текст моей погодной приметы:
« Наступление полнолуния и новолуния сопровождается интенсивным вторжением северо-западных ветров (с вероятностью до 85-90%) из приполярной области Земли и по прошествии от 3-6 дней после наступления этих фаз Луны для средних широт Земли на один-два дня происходит резкое похолодание из-за принесенного арктического холодного воздуха». Аналогичное явление должно наблюдаться и в средних широтах Южного полушария Земли.
Сегодня 9 апреля аконец-то сдуло западным ветром область повышенной жары (под 30-32 град днём) на 4 сутки после полнолуния (5 июля 2020г) в Дубне (на Волге, на севере Московской области в 130 км севернее Москвы) , длившуюся в течении пары недель. При этом вся область повышенной температуры ушла в сторону Урала (см.на рис.1 оранжевое пятно с повышенной температурой). Думаю, что и Ульяновск вскоре охладится благодаря этому течению. Холодное «дыхание» Гренландии охладило Великобританию и всю северную часть Европы (Германию, Польшу, Финляндию,Украину и запад европейской части России) плоть до Московской области (температура утром 12-14 град.).
Рис1. Температура 09-07-2020г на 12час. дня Моск.вр. (после полнолуния 05-07-2020г)
Кстати, после предыдущего полнолуния (5июня 2020г) похолодание не смогло прорваться в Европейскую часть России (антициклон был очень мощным), а прорвалось в Центральную Сибирь и Дальний Восток и дошло даже до Монголии! (см. Рис.2 также на 4 день после полнолуния, т.е. 9.06.2020г.)
Рис2. Температура 09-06-2020г на 23час. дня Моск.вр. (после полнолуния 05-06-2020г)
Не отстало от этого полнолуния в июне 2020г. и последующее за ним новолуние (21.06.2020г). Приведу недавнее сообщение о заморозках в центральной Сибири:
К вопросу о заморозках в Сибири в новолуние 21-06-2020
Научный руководитель Гидрометцентра России Роман Вильфанд заявил о завершении "необычной погодной ситуации" и постепенном возвращении тепла в регионы. В Гидрометцентре уточнили, что повторения заморозков не предвидится, передает "РИА Новости".
"Заморозки уже тоже прекращаются. Эта необычная ситуация завершится, становится больше солнца, температура повышается", - заметил Вильфанд.
Ранее в выходные Гидрометцентр прогнозировал ночные заморозки в Башкирии, Пермском и Алтайском краях, Свердловской, Челябинской, Курганской, а также Новосибирской, Тюменской и Омской областях. По словам синоптика, в этих регионах "остается аномалия".
Так, температура на юге Западной Сибири будет ниже нормы на 4-6 градусов, однако заморозков больше не ожидается.
"Уже в конце июня почва прогрета настолько, что верхние 60 см уже теплые. Поэтому даже если будет холодный воздух, то уже теоретически не будет заморозков. Ведь, чтобы были заморозки, воздуху придется охладить и почву, что практически невозможно", - пояснил Вильфанд.
По словам метеоролога, причиной заморозков в Сибири стало совпадение нескольких факторов. Облачная и дождливая погода совпала с периодом северных ветров, что мешает воздуху прогреваться от солнца, в то время как ночью облака ненадолго расходятся и почва еще сильнее и быстрее остывает.»
На раннее похолодание, состоявшееся сразу на момент новолуния(21.6.2020г), видимо, сказалось «нерассосавшееся» ещё до конца похолодание от предыдущего полнолуния (5.06.2020г) двухнедельной давности. На рис.3 показаны области низких температур в Сибири и на Дальнем Востоке по сосотоянию на 4 день после новолуния, т.е. 25.06.2020 на 18 час. Моск.вр.
Рис3. Температура 25-06-2020г на 18 час. Моск.вр. (после новолуния 21-06-2020г)
Как видим, влияния полнолуний и новолуний на погоду северных средних широт вполне очевидно даже летом (вплоть до заморозков в середине лета!).
Остаётся пожелать метеорологам обратить пристальное внимание на существенное влияние фаз Луны относительно Земли и Солнца на воздушные течения с приполярных областей Земли к экватору, что сильнее всего проявляется на погоду в средних широтах Земли.
Как видите, влияние это вполне очевидное, хотя об этом Вы нигде ничего не прочитаете, что весьма странно при таком обилии информации от метеоспутников Земли и сотни лет метеорологических наблюдений за погодой.
Вы заинтересовали своими наблюдениями об изменении погоды после полнолуния. В зимнее и весеннее время наступало похолодание, которое реально происходило.
5 июля 2020 года было очередное полнолуние, закралась мысль, а вдруг жара спадет? Но стало ещё жарче.
А вы не исследовали, как полнолуние действует летом? Может, с точностью наоборот?
Расчёт расстояний до малых тел с балансом ускорений в либрационных точках L1-L3 Лагранжа.
В данной статье, являющимся продолжением предыдущей статьи «Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа», определим конкретные расстояние для малых тел L на которых выполняется баланс (уравновешивание) ускорений для трёх точек либрации Лагранжа L1-L3, расположенных на продольной оси OXбар вращающейся барической системы, проходящей через центр масс Солнца, центр барсистемы (он же центр инерции системы двух тел «Солнце-Земля» (точка О)) и центр масс какой-либо планеты. Вся барическая система принята вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца. В данном случае в качестве планеты рассматривались Земля, Юпитер, а также Луна в паре с Землёй для расчёта расстояния до точек либарции L1-L3 Лагранжа, поскольку, например, для Земли разработаны и реализованы различные проекты с использованием этих либрационных точек для размещения а них различных наблюдательных научных станций.
Рисунок с расположением точек L1-L5 Лагранжа.
1. Вид выражений для расчёта баланса ускорений тела L в точках либрации L1-L3 Лагранжа.
Приведём вид итогового выр.(37) для проекции всех трёх ускорений тела L в точках либрации L1-L3 на радиус-вектор OL барсистемы в общем виде для любой точки эклиптики планеты:
LR+ LD– gLцентроб. = [G·MC/R2C] · [cos(ϴ)/k2CL/Rc+ cos(ϑ) ·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc)– kOL/Rc /(1–mР отн)]; проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы (37)
Как видно из рис.2 для точек либрации тел L1-L3 Лагранжа, лежащих на одной прямой «Солнце-планета», требуется задать величину угла визирования φ=00 (для точек либрации L1-L2) и φ=1800 (для тот L3).При этом необходимо в виду, что все три точки лежат на оси OXбар барсистемы, L3 расположена слева от Солнца, а L1 и L2 - справа от него. А точки L1 и L2 расположены слева и справа от планеты так, что в точке L1 ускорения притяжения от Солнца и планеты разнонаправлены и частично вычитаются друг из друга, а в точках L2 и L3 направлены в одну сторону и складываются.
Из геометрии рис.2 следует, что угол ϴ (угол визирования из тела L небольшого радиуса-вектора вращения Солнца вокруг центра инерции системы тел) для всех трёх точек L1-L3 равен 00 (cos(ϴ)=1), а вот угол ϑ (угол визирования из тела L большого радиуса-вектора вращения планеты) равен: ϑ=00 (cos(ϑ)=1) для точек L3 и L2 , где ускорения притяжения от Солнца и планеты складываются для тела L), а вот для точки L1, расположенной между Солнцем и планетой, ϑ=1800 (cos(ϑ)=–1) ускорения от Солнца и планеты разнонаправлены и вычитаются между собой.
Кроме вышеотмеченной смены знака для cos(ϑ), в выр.(37) может изменяется для точек L1-L3 и вид выражений для относительных коэффициентов дальности kOL/Rc и kPL/Rc (см.ниже выр.(12 и 14)), т.к. они зависят от смены знака у cos(φ) при φ=1800. Ниже приведены эти выр. (12 и 14) в общем виде:
kOL/Rc= [k2CL/Rc– 2·kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн+m2pотн]1/2; коэф.расстояния до центра инерции. (12)
kPL/Rc= [1 – 2·kCL/Rc·cos(φ) + k2CL/Rc) ]1/2; коэфф. расстояния до центра масс планеты …(14)
И поэтому для точек L1 и L2 (при φ=00 и cos(φ)=1) выр.(12 и 14) для этих коэффициентов равны:
kOL/Rc= (kCL/Rc– mpотн); иkPL/Rc= (1 – kCL/Rc);
А вот для точки L3 (при φ=1800 и cos(φ)= –1) выр.(12 и 14) изменяют свой вид на:
kOL/Rc= (kCL/Rc+ mpотн); иkPL/Rc= (1 + kCL/Rc);
В итоге, для каждой из точек Лагранжа L1-L3 выр.(37) имеет свой индивидуальный вид:
1 /k2CL/Rc– mР отн /[(1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 = (kCL/Rc–mpотн) /(1–mР отн); - для точки L1 … (38)
1 /k2CL/Rc+ mР отн /[(1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 = (kCL/Rc–mpотн) /(1–mР отн); - для точки L2 … (39)
1 /k2CL/Rc+ mР отн /[(1–mР отн)·(1+kCL/Rc)2 = (kCL/Rc+mpотн) /(1–mР отн); - для точки L3 … (40)
Примечание:
Общий множитель [G·MC /R2C] в выр.(37), представляющий собой величину ускорения притяжения планеты Солнцем, в выр.(38-40) далее не рассматривается, поскольку все расчёты гораздо удобнее проводить в универсальном для всех планет относительном нормированном виде. При необходимости, за счёт введения множителя [G·MC /R2C] можно всегда перейти от относительных безразмерных ускорений (и расстояний до Солнца, центра инерции и планеты (по выр.(10,11 и 13) уже за счёт умножения на Rc (радиус орбиты планеты в [км])) для тела L в абсолютные значения ускорений в [м/сек2] и расстояний в [км].
2. Расчёт расстояний до точек либрации L1-L3 для планеты Земля
Как видно из выр.(38-40) они являются сложной функцией от одного аргумента kCL/Rc - относительного коэффициента дальности, определяющего расстояние тела L от центра масс Солнца по отношению в радиусу орбиты планеты в относительном виде:
kCL/Rc = CL/ RC; (см.выр.(10) предыдущей статьи с методикой).
где: kCL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 <kCL/Rc < 2]. При kCL/Rc=1 тело L находится расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=RC.
Кроме того, члены выр.(38-40), включают в себя так же независимый параметр: относительную массу планеты mР отн=mР /(mР+MС) (см. выр.(5)), которая может изменяться в широком диапазоне от ~0 (планеты с самой малой массой, например, Меркурий (с mР отн=0,000 000 166) или, исключённый из списка планет, Плутон с массой в 22 раза меньшей, чем у Меркурия) до максимум 0,50 (например, двойная звезда со свёздами равной массы). Например, для случая расчёта планеты Земля и Солнца её относительная масса равна:
mР отн = mР /(mР+MС) =5,9726·1024/(5,9726·1024 +1,98885·1030) =0,000003003; относит.масса Земли.
Из-за сложности выр.(38-40) для поиска балансировочного значения kCL/Rc балбыл применён в основном графический метод его решения для поиска баланса ускорений тел в точках L1-L3 Лагранжа. Для этого (при заданном значении относительной массы планетыmР отн) на рис.1 строились графики левой и правой частей выр.(38-40) для ряда перебираемых значений kCL/Rc в ожидаемом диапазоне kCL/Rc по дальности (см. ниже таблицу№1) и в точках их пересечения определялось балансировочное значение коэффициента дальности kCL/Rc бал , которое затем дополнительно уточнялось для повышения точности.
Для проведения расчётов применялся 10-разрядный десятичный научный калькулятор (“STAFF STF-169”) с точностью расчётов близкой к точности обычных 32-разрядных двоичных ПК.
В качестве небольшого примера, в таблице №1 показана только малая часть (по три значения kCL/Rc) такого расчёта коэффициента дальности для точек L1-L3 Лагранжа планеты Земля с ограничением числа выводимых в таблицу результатов вычисления 5-ю разрядами после запятой.
Таблица №1 расчёта дальности до точек L1-L3 Лагранжа планеты Земля (mР отн Земли =0,000003003)
1
kCL/Rc
0,982
0,99003
0,992
1,008
1,010029
1,018
1,000
2
(kCL/Rc–mpотн)/(1–mРотн)
0,98200
0,99003
0,99200
1,00800
1,01003
1,01800
-
3
1 / k2CL/Rc
1,03700
1,02024
1,01619
0,98419
0,98024
0,96495
1,00000
4
mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2)
0,00927
0,03021
0,04692
0,04692
0,02986
0,00927
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.38
1,02773
0,99003
0,96927
0,93727
0,95038
0,95568
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.39
1,04627
1,05045
1,06311
1,03111
1,01010
0,97422
-
7
(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)
0,98201
0,99004
0.99200
1,00800
1,01004
1,01800
1,00000
8
mРотн/((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2)
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.40
1,03670
1,02024
1,01620
0,98419
0,98024
0,96495
1,00000
Примечание:
Жирным шрифтом выделены значения параметров близкие к балансировочным, при которых центробежное ускорение (2 строка табл.) практически уравновешивается воздействием притяжений от Солнца и планеты (5 и 6 строки соответственно для точек L1 и L2)), а для точки L3 это строки 7(центробежное) и 9 (притяжения) соответственно.
На рис.1 показано применение метода графического решения этих табличных данных применительно к планете Земля. Поскольку относительное центробежное ускорение малых тел L1-L3 (2-я строка таблицы №1), практически совпало по величине со значением независимого коэффициента дальности (kCL/Rc) (1-я строка табл.) тел L от Солнца, являющегося аргументом рис.1, то поэтому центробежное ускорение представлено на рис.1 прямой линией. Там же построены графики левых частей выр.(38-40), представляющие собой относительную величину геометрической суммы ускорений притяжения тел L от Солнца и Земли (для точки L1 ускорения вычитаются (5 строка табл.), а для L2 – суммируются (6 строка).
Пересечение этих кривых для разности и суммы относительных ускорений притяжения Солнца и Земли (строки 5 и 6) с графиком прямой линии от относительного центробежного ускорения (строка 2) позволило графически определить kCL/Rc бал (см.рис.1), при которых и выполняется баланс ускорений притяжения с центробежным ускорением тел ( для точки либрации L1 при kCL/Rc бал~= 0,99 и для точки L2 при kCL/Rc бал~= 1,01. Если пересчитать эти относительные расстояния от Солнца в расстояния от Земли (для этого достаточно вычесть из них значение kCL/Rc =1,0 (действующее расстояние планеты Земля от Солнца), то окажется, что для точек либрации малых тел: L1, расположенную ближе к Солнцу (т.е. между Солнцем и Землёй), и для точки L2, расположенную от Земли на ещё большее расстояние от Солнца, расположение их по дальности относительно Земли почти одинаковое и симметричное и равно ±0,01 от Rc (расстояния Земли до Солнца Rc=149,6млн.км), т.е. расстояния до точек либрации L1 и L2 от Земли составляют: -1,5млн.км для точки L2 (в сторону Солнца то Земли) и +1,5млн.км для точки L2 (ещё дальше от Солнца, чем Земля).
Для точки либрации L3, расположенной на противоположной от Земли точке её орбиты, т.е. симметрично относительно Солнца (вспомним красивую сказку о симметричной невидимой планете Анти-Земля), то расчёты показали, что влиянием ускорения от Земли на таком расстоянии, равном диаметру орбиты Земли (2·Rc), на тела L можно пренебречь, т.к. оно в относительном виде менее 1·10-6 , а данные в таблице округлены до точности до 1·10-5. Поэтому практически для точки L3 достаточно учитывать только притяжение от Солнца, т.е. использовать 3 строку таблицы №1, график которой построен на рис.1 в его центре и балансировочное значение относительного расстояния (kCL/Rc), естественно, совпало с расстоянием для Земли от Солнца, т.е. для точки L1: kCL/Rc бал =1,0 или ~149,6 млн.км.
3. Итоговая таблица балансировочного kCL/Rc бал для выбранных планет и значений относительной массы планеты для точек либрации L1-L3 Лагранжа.
В виду особого интереса к планете Юпитер, обладающей в областях либрационных точек L4-L5 большим числом летающих космических тел (группы «троянцев» и «греков») были проведен так же и расчёт дальности до точек либрации Юпитера L1-L3. Автор также обнаружил в интернете дальности для либрационных точек Луны относительно Земли с и идеями их использования для космических грузовых перевозок и временного размещения. И, конечно, нельзя пройти мимо предельного варианта с максимально возможным значением относительной массы mp отн= 0,500 для случая двойной звезды из звёзд равной массы.
Все окончательные расчёты балансировочных значений относительного коэффициента дальности от Солнца (kCL/Rc бал для точки L3) и от планеты (kплCL/Rc бал для точек L1-L2) для этих планет представлены в нижеследующей таблице №2.
Ниже приведена итоговая таблица №2 только с практически точными балансировочными значениями kCL/Rc бал для выбранных значений относительной массы планеты для точек либрации L1-L3 Лагранжа.
Таблица №2 с kCL/Rc бал точек L1-L3 для выбранных значений относительной массы планеты mРотн
Звезда-планета (mРотн)
– (mРотн = 0,000 000 100)
Земля (mРотн = 0,000 003 003)
т. L1
т. L2
т. L3
т. L1
т. L2
т. L3
№ =0
kCL/Rc бал
0,9968
1,0032
1,000
0,990030
1,010029
1,000
1
kплCL/Rc бал= | 1 – kCL/Rc бал|
0,0032
0,0032
-
0,00997
0,010029
-
2
(kCL/Rc–mpотн) / (1–mР отн)
0,99680
1,00320
-
0,99003
1,01003
-
3
1 / k2CL/Rc
1,00643
0,99363
1,00000
1,02024
0,98024
1,00000
4
mРотн /((1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 )
0,00977
0,00977
-
0,03021
0,02986
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.(38)
0,99666
-
-
0,99003
-
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.(39)
-
1,00340
-
-
1,01010
-
7
(kCL/Rc+mpотн) / (1–mР отн)
0,99680
1,00320
1,00000
0,99004
1,01004
1,00000
8
mРотн/((1–mР отн)·(1+kCL/Rc)2 )
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.(40)
1,00643
0,99363
1,00000
1,02024
0,98024
1,00000
Продолжение Таблицы №2
Звезда-планета
(mРотн)
Юпитер
(mРотн=0,000 958 120)
Луна относительно Земли
(mРотн=0,012 302 347)
т. L1
т. L2
т. L3
т. L1
т. L2
т. L3
0
kCL/Rc бал
0.9333
1,0698
0,99945
0,84906
1,16790
0,9929
1
kплCL/Rc бал=|1–kCL/Rc бал|
0,0667
0,0698
-
0,15094
0,16790
-
2
(kCL/Rc–mpотн)/(1–mРотн)
0,93324
1,06987
-
0.84720
1,16997
-
3
1 / k2CL/Rc
1,14804
0,87377
1,00110
1,38715
0,73314
1.01435
4
mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2)
0,21460
0,19596
-
0,53998
0,43640
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.38
0,93344
-
-
0,84717
-
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.39
-
1,06973
-
-
1,16954
-
7
(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)
0,93515
1,07178
1,00136
0,87181
1.19457
1,01742
8
mРотн /((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2)
0.00025
0,00022
0,00024
0,00360
0,00262
0,00310
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.40
1,14829
0,87399
1,00134
1,39075
0,73576
1.01745
Продолжение Таблицы №3
Звезда-планета (mРотн)
– (mРотн = 0,100 )
Двойная звезда равных звёзд
(mРотн (максимум) = 0,500)
т. L1
т. L2
т. L3
т. L1
т. L2
т. L3
№ =0
kCL/Rc бал
0,70904
1,3597
0,9416
0,500
1,698405
0,698405
1
kплCL/Rc бал=|1–kCL/Rc бал|
0,29096
0,3597
-
0,500
0,698405
-
2
(kCL/Rc–mpотн) / (1–mРотн)
0,67671
1,39967
-
0,00000
2,39681
-
3
1 / k2CL/Rc
1,98911
0,54090
1,12789
4,00000
0,34667
2,05015
4
mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2 )
1,31247
0,85877
-
4,00000
2,05015
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.38
0,67664
-
-
0,00000
-
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.(39)
-
1,39967
-
-
2,39682
-
7
(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)
0,89893
1,62189
1,15733
2,00000
4,39681
2,39681
8
mРотн /((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2 )
0,03804
0,01995
0,02947
0,44444
0,13734
0,34667
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.40
2,02715
0,56085
1,15736
4,44444
0,48401
2,39682
4. Универсальный график балансировочных значений коэффициентов расстояния для точек L1-L3 Лагранжа в зависимости от относительной массы планеты.
На основе данных, приведенных выше в таблице№2 и дополнительных расчётов был построен график балансировочных значений коэффициентов расстояния для точек L1-L3 Лагранжа в зависимости от относительной массы планеты mРотн (см. рис.3) в широком диапазоне [0,000 000 1 – 0,500], охватывающим весь реальный диапазон применительно к Солнечной системе по её планетам (от Меркурия до Юпитера и Луны относительно Земли). Из-за широкого диапазона по mРотн масштаб по горизонтальной оси относительной массы (7 десятичных порядков) выбран логарифмическим. Для повышения точности масштаб по вертикальной оси для kплCL/Rc бал для первой половины графика был принят в десять раз более растянутым (для mРотн<0,001), чем для второй половины графика (для mРотн >0,001).
Поскольку для точек L1 и L2 удобнее задавать расстояние от близко расположенной к ним планете, чем от Солнца, поэтому для них значение kCL/Rc бал было пересчитано в «планетный» коэффициент kплCL/Rc бал за счёт вычитания 1, соответствующей расстоянию планеты от Солнца (Rc) и взятия её по модулю, т.е. kплCL/Rc бал = | kCL/Rc бал -1| (сравните 0 и 1 строку в таблице №2).
Поэтому по оси вертикальной оси графика (для точек L1 и L2) нанесён масштаб для «планетного» коэффициента дальности kплCL/Rc бал , выдающего расстояние до планеты. Для точки L3 в таком пересчёте коэффициента нет необходимости, т.к. дальность до неё определяется относительно Солнца. Для точки L3 надо использовать масштаб справа от вертикальной оси графика, начинающийся со значения 1,00 (красная кривая).
Для получения реальной дальности для любой планеты необходимо:
1. Рассчитать её относительную массу по выр.: mР отн = mР /(mР+MС), например, по величине масс планеты (mР) и массы Солнца (MС):
mР отн = mР /(mР+MС) =5,9726·1024/(5,9726·1024 +1,98885·1030) =0,000003003; относит.масса Земли.
2. Определить на графике по величине mР отн балансировочное значение коэффициента расстояния (kплCL/Rc бал для точек L1-L2, или kCL/Rc бал для точки L3).
3. Рассчитать абсолютное расстояние от Планеты (для точек L1и L2) или от Солнца (для точки L3), умножив коэффициентов расстояния kCL/Rc бал на величину радиуса вращения планеты относительно Солнца (Rc), например, для Земли: R(L1-L2) = kплCL/Rc бал·Rc = 0,01·149,6 [млн.км]~= 1,50 [млн.км].
Интересно отметить, что для случая двойной звезды, состоящей из звёзд равной массы, (при mР отн =0,500) балансировочное расстояние до точек L3 иL2 оказалось одинаковым (хотя и рассчитывалось по разным выражениям для левой звезды (для L3 по выр.(40)) и правой звезды (дляL2 по выр. (39)) и составляет kCL/Rc бал = kплCL/Rc бал = ~0,6984 от расстояния между звёздами равной массы (Rc), что действительно соответствует ожидаемой симметрии расположения точек L2 и L3 относительно крайних звёзд и подтверждает правильность выр. для расчёта коэффициентов дальности.
5. Таблица абсолютных расстояний до точек либрации L1-L3 Лагранжа для некоторых планет.
Для удобства, в нижеследующей таблице №3 приведен пример расчёт абсолютных расстояний до точек либрации L1-L3 Лагранжа для некоторых планет.
Таблица №3 расстояний до точек либрации L1-L3 Лагража для некоторых планет
Планета
Земля
Сатурн
Юпитер
Луна относительно Земли
Масса планеты
5,9726·1024кг
568,5·1024кг
1898,8·1024кг
0,073477·1024 кг
Отн.масса планеты[-]
0,000003003
0,000285762
0,000958120
0,012152839
Средний радиус вращения отн.Солнца
149,6млн.км
1433,8млн.км
778,5млн.км
363,1тыс.км(перигей)
405,7тыс.км(апогей)
kCL/Rc бал
RL1 (точка L1)
0,00997
1,49млн.км
~0,0442
63,4млн.км
0,0667
51,9млн.км
0,15094
54,8 тыс.км(перигей)
61,2 тыс. км(апогей)
kCL/Rc бал
RL2 (точка L2)
0,010029
1,50млн.км
~0,0455
65,2млн.км
0,0698
54,3млн.км
0,16790
61,0тыс.км(перигей)
68,1тыс.км(апогей)
kCL/Rc бал
RL3 (точка L3)
1,000
149,6млн.км
1,000
1433,8млн.км
0,99945
778,1млн.км
0,9929
360,5тыс.км(перигей)
402,8 тыс.км(апогей)
Качественный анализ влияния проекций от ускорений притяжения тел L1-L3 на нормаль к линии «Солнце-планета» показывает, при любом небольшом отклонении малого тела L от этой линии вверх или вниз приводит к появлению небольшой нормальной составляющей ускорения от притяжения планетой (в точках L1-L2) или составляющей от притяжения Солнцем (в точке L3) с учётом наличия цента инерции, направленной в сторону возврату к этой линии, что напоминает уравнения качания вертикального маятника, где составляющая от силы тяжести маятника всегда направлена к нейтральному вертикальному его положению. Этот эффект способствует удержанию малого тела L ни линии «Солнце-планета», подтягивая его к этой линии. Возникает своеобразная устойчивость тела в направлении по нормали к линии «Солнце-планета» в точках либрации L1-L3 при неустойчивости в другом, продольном направлении «Солнце-планета», когда небольшое отклонение по расстоянию в сторону Солнца или планеты приводит к постепенному нарастающему по скорости уходу в начального сторону отклонения. Правда, это уход будет затруднён появлением кориолисова поворотного ускорения, приводящему к появлению закручивающейся спиральной траектории ухода от точки либрации.
Кстати эти эффекты объясняются тем, что малые тела L, которые покинут, по какой-либо причине, области устойчивоcти L4-L5, расположенные на радиусе вращения планеты (Rc) под углами +-600 относительно линии «Солнце-планета» будут постепенно смещаться либо к планете, либо к Солнцу, смещаясь постепенно к линии «Солнце-планета» с набором, или с торможением дополнительной скорости относительного перемещения (Vr) относительно вращающейся системы отсчёта. При этом появится кориолисово ускорение, искривлющее и закручивающее эти траектории и малое тело будет неизбежно вытеснено на другие орбиты либо с большим радиусом вращения (при разгоне по скорости), либо с меньшим радиусом вращения (при торможении), чем у планеты. Для исследований этих траекторий потребуется программное моделирование расчёта траекторий относительного движения этих малых тел.
Конечно, точки L1-L3 явно неустойчивы, но довольно малая начальная величина ускорения ухода (почти с нулевого начального значения) позволит довольно длительное время «продержаться» космическим станциям без коррекции реактивными двигателями (по положению относительно планеты).
Для исследования величины области устойчивости в точках L4-L5 необходимо так же моделированиена полной модели динамики движения малого тела L. Надеюсь, что удастся заняться этим моделированием уже в этом году. А на этом данная тема пока завершена.
Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа.
В данной статье осуществлён вывод выражений в относительном виде для определения ускорений малых тел L, расположенных неподвижно в любой точке плоскости орбиты планеты вокруг Солнца во вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) барической системе отсчёта. Так что все тела данной системы (Солнце, планета и тела L) по исходному условию расположены неподвижно друг относительно друга и все вместе синхронно вращаются с одной и той же угловой скоростью (ω) относительно неподвижных звёзд и вместе с ними вращается барическая неинерциальная система отсчёта (её начало помещено в центре инерции системы тел «Солнце-Планета»), в которой и осуществлён вывод выражений для ускорений притяжения и центробежного ускорения, действующих на малые тела L.
Неподвижность тел L относительно планеты и Солнца была оговорена Лагранжем в качестве начального условия, чтобы определить существование особых, устойчивых по времени, точек в плоскости орбиты планеты относительно Солнца и планеты, в которых может выполняться баланс (взаимная компенсация с учётом центробежного ускорения в неинерциальной системе) всех ускорений малых тел L (малых относительно планеты, так что можно пренебречь ответной реакцией планеты на её притяжение малым телом), при котором эти малые тела могут теоретически долго находиться длительное время в состоянии покоя относительно Солнца и планеты (при отсутствии возмущений от других планет Солнечной системы) за счёт выполнения условий баланса ускорений в так называемых точках либрации малых тел, которые в количестве 5 точек относительно Солнца и планеты (L1-L5) были впервые рассчитаны Лагранжем. (см.рис.)
Рис. Пять либрационных точек L1-L5 Лагранжа для малых тел относительно двух массивных тел.
Благодаря правильно выбранной точке размещения НАЧАЛА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА В ЦЕНТРЕ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ двух тел (Солнца и планеты) центр такой барической системы отсчёта можно считать неподвижным относительно звёзд (без линейной скорости и ускорения начала системы отсчёта) несмотря на синхронное вращение Солнца и планеты вокруг центра инерции системы, но по нашему выбора будем считать её вращающейся с постоянной угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг центра инерции системы тел (система координат OXбарYбар). В этой барической вращающейся неинерциальной системе отсчёта Солнце и планета, а также малые тела L (за счёт наложенного начального условия) на любой дальности от Солнца вращаются с одной и той же по величине угловой скоростью ω вокруг её центра, размещённого в центре инерции системы тел, со своими радиусами вращения Солнца (RС-Б выр.4) и Земли (RБ-Р выр.6) до барцентра.
Исходное положение тела L относительно вращающейся системы отсчёта будем считать постоянным (статичная картина для малых тел L относительно Солнца и планеты) и поэтому Кориолисово ускорение (2ω × Vr) для тел L будет нулевым из-за отсутствия линейной скорости перемещения (Vr=0) относительно системы отсчёта. В итоге, на тела L действует, кроме двух ускорений от притяжения Солнцем и Землёй, ещё и центробежное ускорение, вызванное вращением неинерциальной барической системы отсчёта вокруг неподвижного центра инерции системы (с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца). Все остальные ускорения, характерные в общем виде для неинерциальной системы отсчёта, отсутствуют (благодаря такому условию выбора системы отсчёта и начальным условиям), что упростило вид выражений ускорений для тел L1- L5 в такой неинерциальной системе отсчёта до дополнительного учёта лишь центробежного ускорения на все тела системы.
На рис.1 приведена схема воздействия на малое тело L ускорений от его притяжения Солнцем (gC) и планетой (gP). Там же показан вектор центробежного ускорения (gLцентроб.), действующий во вращающейся барической системе отсчёта OXбарYбар. по радиусу-вектору расстояния OL от центра вращения системы (центра инерции в точке О) до тела L и направленного от центра инерции. На рис.1 показаны проекции векторов ускорений притяжения на перпендикуляр (нормаль) к радиусу-вектору расстояния OL и вдоль него). При этом тело L может быть расположено в любой точке плоскости орбиты планеты (эклиптики) за счёт задания в полярной системе величины угла φ (отсчитываемого от направления «Солнце-Планета» (радиус-вектор CP)) и текущего радиуса-вектора расстояния CL от центра масс Солнца до тела L (CL=kCL/Rc·RC; см. выр.10). При этом дальность варьируется за счёт изменения величины коэффициента kCL/Rc, введённого множителем на величину радиуса орбиты вращения планеты вокруг Солнца (RC).
Важно подчеркнуть, что если в первом варианте постановки (см. предыдущую стсатью по анализу баланса ускорений для тел L4-L5) малые тела L4-L5 при выводе выражений были условно помещены на круговую орбиту планеты с радиусом вращения Rc относительно центра масс Солнца (см. ниже рис.1), то в данной постановке тело может расположено на любой дальности относительно величины радиуса вращения Rc, что позволяет рассчитать значения небаланса ускорений для всей плоскости эклиптики планеты и построить изолинии небаланса потенциальных ускорений тел L для определения формы областей неустойчивости вокруг точек либрации тел L1-L5.
В итоге, вывод выражений для проекций ускорений притяжения тел L1-L5 Солнцем и планетой осуществлён в общем виде для всей плоскости орбиты планеты. В качестве опорной траектории, относительно которой варьируется в требуемом диапазоне текущая дальность до конкретного положения тела L, взята круговая траектория вращения планеты вокруг Солнца с её угловой скоростью вращения ω (она же скорость вращения барсистемы) с радиусом вращения, равным RC (при этом kCL/Rc=1), равным, например, для планеты Земля: ~149,6 млн.км. Подчеркнём, что главным условием при этом будет условие вращения для всех рассматриваемых тел вокруг общего центра инерции с одной и той же величиной угловой скорости вращения, равной угловой скоростью вращения планеты ωвокруг Солнца.
Предварительные соотношения для радиусов вращения тел в барической системе отсчёта с учётом соотношения масс взаимно вращающихся тел (Солнца и планеты).
Воспользуемся соотношениями из предыдущего раздела для точек Лагранжа L4(L5).
MС ·VС=– (mp·Vp); -баланс количества движения Солнца и планеты вокруг центра инерции…(1)
MС·RС-Б = – (mP·RБ-Р); - баланс моментов массы двух тел относительно барцентра ……….... (2)
Выразим расстояния от Солнца (RС-Б) и Земли (RБ-Р) до барцентра через полное расстояние между Солнцем и планетой (RC), которое равно сумме этих расстояний:
RC= RС-Б + RБ-Р ; - расстояние от Солнца до планеты через расстояния до центра инерции …… (3)
Если из выр.(3) значение для R Б-Р = (RC - R С-Б ) подставить в выр.(2), то получим:
RС-Б= mР/ (mР +MС) · RC = mР отн · RC; откуда следует, что :
где: MС отн =MС / (mР+MС) - относительная масса Солнца в системе «Солнце-планета» …... (7)
MС отн = ((MC+ mР) – mР) /(mР+MС) = (1 – mРотн) ; связь относительных масс двух тел …..… (8)
Кроме того, далее нам понадобится выразить отношение масс планеты и Солнца (mp/Mc) через относительную массу планеты: mР отн = mp /(MC+mp) (см. выр.(5)), для этого в знаменателе отношения масс (mp/Mc) прибавим и вычтем к массе Солнца MCмассу планеты с и поделим все члены на (MC+mp) :
2. Выражения для расчёта дальностей тела L до Солнца, планеты и центра инерции системы отсчёта
Кроме основных исходных параметров (масса Солнца (MС), масса планеты (mp) и её расстояние до Солнца (RC) при условии круговой орбиты) введём ещё два независимых варьируемых параметра в полярной системе, определяющих положение тела L относительно Солнца и планеты: угол φ направления на малое тело L из центра масс Солнца (относительно линии Солнце-планета (ось OXбар)) и величина переменной дальности (CL) до тела L, варьируемая относительно величины расстояния планеты до центра масс Солнца (RC) за счёт введения на неё переменного по величине множителя в виде коэффициента дальности (kCL/Rc) (см. выр.10). Этих параметров достаточно для получения окончательных выражений для проекций ускорений тел L по всей плоскости траектории планеты в общем виде.
Кстати, окончательные выражения, полученные в данной статье, для суммы относительных ускорений тела L, ЗАВИСЯТ ТОЛЬКО ОТ ОДНОГО ИСХОДНОГО ПАРАМЕТРА: ОТНОСИТЕЛЬНОЙ МАССЫ ПЛАНЕТЫ (mР отн =mР /(mР+MС) (см. выр.(5). Конкретная величины массы Солнца (MС) и радиуса орбиты планеты (Rc) входят в окончательные выражения только в вынесенный общий множитель и могут быть использованы уже в конце расчётов для определения конкретной величины ускорений тела L в [м/сек2] или расстояния в [км] для точек L1-L3, т.е. для перевода относительных ускорений и коэффициента дальности в абсолютные значения. Такой подход позволил получить единый универсальный график зависимости балансировочного значения относительного коэффициента расстояния (kCL/Rc) от величины относительной массы планеты mР отн (в системе тел «Солнце-планета») для либрационных точек L1-L3, пригодный для любых сочетаний масс звезды, планеты и радиуса орбиты планеты (см. этот график в следующей статье, посвящённой расчёту конкретных балансировочных расстояний для либрационных точек L1-L3).
Начнём вывод для ускорений малого тела L с определения выражений для трёх расстояний от центра масс тела L до: Солнца (CL), центра инерции (OL) и планеты (PL), необходимые для расчёта ускорений притяжения от Солнца и планеты (по закону всемирного тяготения Ньютона), а также для расчёта центробежного ускорения, направленного по радиусу-вектору дальности (OL) от центра инерции до тела L.
CL = kCL/Rc·RC; варьируемый радиус-вектор расстояния тела L до центра масс Солнца ….... (10)
где: kCL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 <kCL/Rc < 2]. При kCL/Rcном.=1: тело L находится на расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=RC.
С учётом исходного предположения о произвольном нахождении тела L относительно Солнца (с переменным радиусом-вектором CL=kCL/Rc·RC (по выр.(10)) необходимо найти для тела L также его расстояние OL от начала барсистемы, вращающейся вокруг точки О (центра инерции системы двух тел), по радиусу-вектору OL, вдоль которого и направлено центробежное ускорение тела L. Из двух прямоугольных треугольников Δ-CLM и Δ-OLM следует:
OL = (LM2 +OM2 )1/2 = ( (CL·sin(φ))2 + (CL·cos(φ) –RС-Б)2 )1/2 ; или
OL= ((kCL/Rc·RC·sin(φ))2 + (kCL/Rc·RC·cos(φ) –RС-Б)2 )1/2 ; и после выноса RC из под корня получим:
OL = RC·[k2CL/Rc–2·kCL/Rc·cos(φ)·RС-Б отн+R2С-Б отн]1/2; подставим RС-Б отн=RС-Б /RC=mР отн (из выр.4):
Введём третий зависимый коэффициент kPL/Rc для расчёта расстояния PL от тела L до центра масс планеты:
PL=kPL/Rc·RC; радиус-вектор расстояния тела L до центра масс планеты ……………. …..… (13)
где: kPL/Rc=[1–2·kCL/Rc·cos(φ)+ k2CL/Rc) ]1/2; коэффициент расстояния до планеты……….. (14)
3. Выражения для ускорений, действующих на малое тело L, в проекции по нормаль и вдоль радиуса-вектора дальности, исходящего из центра инерции системы к телу L.
В принятой выше вращающейся системе отсчёта OXбарYбар на малое тело L (см. рис.1) действуют три ускорения: ускорение притяжения от Солнца (gC - вектор красного цвета), от Земли (gР - вектор зелёного цвета) и фиктивное «антицетростремительное» (так называемое центробежное ускорение со знаком минус: - gцентроб.L - вектор чёрного цвета), т.к. выбранная барическая система является вращающейся и поэтому неинерциальной.
Рассмотрим сумму проекции всех трёх ускорений тела L на два взаимно перпендикулярных направления: на радиус–вектор OL, исходящий из центра О барсистемы к телу L, и на перпендикулярное (нормальное) к нему направление. Из рис.1 просто получить два основных выражения для ускорений тела L:
KR– ED =gC· sin(ϴ) – gР · sin(ϑ) = 0; проекция на нормаль к радиусу-вектору OL ….......... (15)
LR+ LD– gцентроб.L= 0; или gC· cos(ϴ) + gР · cos(ϑ) – gцентроб.L= 0; проекция на радиус OL ...(16)
Осталось вывести и подставить в выр.(15 и 16) значения для всех трёх ускорений, чтобы получить их функциональные зависимости при заданном значения угла φ и относительной массы планеты mР отн от величины изменяемого независимого коэффициента расстояния тела L (kCL/Rc) от Солнца, за счёт вариации которого и можно определить ту его величину, при которой будет выполняться баланс в выражениях (15 и 16) и они действительно обнулятся при определённом значении угла φ, что и будет свидетельствовать о нахождении величины дальности от Солнца (или дальности от планеты) для либрационных точек L1-L5, при которых и будет выполняться БАЛАНС (взаимная компенсация) всех трёх ускорений, а тело L будет при этом находиться в состоянии неподвижно в состоянии равновесия с учётом всех трёх составляющих ускорений: притяжения от Солнца, планеты и центробежного ускорения во вращающейся барической систем отсчёта.
Баланс ускорений необходимо дополнительно исследовать на определение характера устойчивости тела в состоянии баланса. Баланс может быть устойчивым или неустойчивым. Если при определённой величине начального отклонения тела от центра устойчивости, например по расстоянию, освобождённое тело возвращается в состояние равновесия, то баланс устойчивый, а если не возвращается и тело начинает всё дальше удаляться от положения равновесия, то баланс неустойчивый. Например, шарик, помещённый внутрь тонкой полусферической чашки находится в устойчивом равновесии, а при его размещении на той же, но перевёрнутой вверх дном чашке, неустойчив и при небольшом отклонении от шаткого равновесия скатывается с неё.
Бывают и смешанные виды устойчивости, когда в одном направлении по отклонению от равновесия есть устойчивость, а в другом, перпендикулярном направлении её нет. Например, фигура в виде седла для лошади: в продольном сечении это вогнутая кривая, обладающая устойчивостью, а в поперечном сечении это выпуклая кривая, обладающая явной неустойчивостью. Кстати, именно таким видом смешанной устойчивости обладают точки либрации L1-L3.
4. Тригонометрические выражения для sin() и cos() требуемых углов.
Для нахождения sin(ϴ) и cos(ϴ) от угла ϴ, под которым виден из тела L радиус RС-Б вращения Солнца вокруг барцентра системы, найдём из прямоугольного треугольника Δ-CBO длину катета OB:
OB = OC·sin(φ) = RС-Б·sin(φ); ……..…………………………………………..............….. (17)
Из прямоугольного треугольника Δ-OBL с учётом выр.(4,11,12) следует, что :
При проектировании ускорения от планеты понадобятся значения sin(ϑ) и cos(ϑ) от угла ϑ, под которым виден из тела L радиус RБ-Р орбиты планеты. Из разностороннего Δ-OLP следует, что внутренний угол OLP, равный искомому углу ϑ, определяется суммой двух других углов OLM и MLP, т.е.:
Определим sin(γ) и cos(γ) для вспомогательного углаγ. Из прямоугольных треугольников Δ-OLM и Δ-СLM с использованием текущей дальности тела L до Солнца (CL=kCL/Rc·RC) из выр.(10) и текущей дальности до центра инерции (барцентра) (OL=kOL/Rc ·RC) из выр.(11):
Умножим и поделим первый множитель на массу Солнца (Mc), чтобы выделить требуемый нам общий множитель [G·MC/R2C ], равный центростремительному ускорению Земли от притяжения его Солнцем, который типичен для большинства рассматриваемых ускорений тела L :
gР-С=gРцентростр.=G·MC/R2C; центростремительное ускорение планеты от притяжения Солнцем . (28)
Подставим выр.(9) для (mp/Mc) = mР отн/(1–mР отн), введя в негоmР отн = mp /(MC+mp) из выр.(5):
ED=[G·MC/R2C]·mР отн·sin(ϑ) /[(1–mР отн)·k2PL/Rc]; нормальное ускорение тела L от планеты ...(29)
Можно приступать к окончательному расчёту проекций ускорений тела Lна нормаль к вектору дальностиOL, подставив выр.(27 и 29) в выр.(15) с выносом общего множителя [G·Mc/R2C].
Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на нормаль к вектору расстояния OL:
KR– ED=[G·MC/R2C)]·[ sin(ϴ)/k2CL/Rc– sin(ϑ)·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc)]; проекция ускорений на нормаль к вектору OL ……… (30)
6. Расчёт проекций ускорений тела L на радиус-вектор, исходящий из центра инерции
Выведем выражения для ускорений в другом, продольном направлении в проекции на радиус-вектор дальности в барсистеме (см.выр.(16)).
LR+ LD– gцентроб.L= 0; или gC· cos(ϴ) + gР · cos(ϑ) – gцентроб.L= 0; проекция на радиус OL ...(16)
Определим выражение для продольной составляющей ускорения тала L от притяжения Солнцем, воспользовавшись выр.(10) для текущей дальности до Солнца CL=kRc·RC:
Умножим и поделим на массу Солнца (Mc) для выделения общего множителя ускорений [G·Mc/R2C ]:
LD = [G·MC /R2C]· (mp /MC) ·cos(ϑ) / k2PL/Rc;
С применением выр.(9) заменим (mp/MC) = mР отн/(1–mР отн) и получим окончательное выражение:
LD = [G·MC/R2C] · cos(ϑ)·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc); продольное ускорения L от планеты... (32)
Расчёт центробежного ускорения тела L, направленного вдоль радиуса-вектора OL
Величина центробежного ускорения тела L во вращающейся с постоянной угловой скоростью ω барической системе отсчёта (со скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца), будет определяться по известному выражению aцентроб. = ω2 ·R и для изменяемого (варьируемого) расстояния OL тела L от центра инерции системы R, равного OL=kOL/Rc ·RC (см.выр.(11)), будет линейно зависеть для тела L от величины радиуса вращения OL :
Далее необходимо определим величину угловой скорости ω вращения планеты вокруг Солнца. Воспользуемся ранее введённым типичным множителем для ускорений в виде выр.(28) для величины центростремительного ускорения планеты (gРцентростр.=G·MC/R2C ); (выр.(28)).
А вот величина угловой скорости вращения (ω) планеты вокруг Солнца зависит от фактического радиуса вращения планеты вокруг центра инерции барсистемы двух тел (Солнца и планеты), равного длине отрезка OP = RБ-Р = MС отн ·RC (см.выр.(6)) в барсистеме. В этой барической вращающейся системе Солнце и планета синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра инерции системы двух тел со своими радиусами вращения Солнца (RС-Б выр.(4)) и Земли (RБ-Р выр.(6)) до барцентра.
При вращении планеты по круговой траектории вокруг общего центра инерции с радиусом вращения планеты OP центростремительное ускорение притяжения от Солнца (см.выр.(26)) будет уравновешиваться во вращающейся системе отсчёта центробежным ускорением планеты по известному выражению aцентроб. = ω2·R = ω2 ·OP.При этом заменим относительную массу Солнца на относительную массу планеты (MС отн = (1–mР отн ) (выр.(8)) и тогда:
gP центростр.= ω2·OP= ω2·RБ-Р= ω2·RC·MС отн= ω2·RC·(1–mР отн);баланс центростремительного и центробежного ускорений планеты при круговой траектории вращения ......................... (34)
Определим из выр.(34) квадрат угловой скорости вращения планеты и подставим величину gP центростр.по закону взаимного притяжения масс из выр.(28) :
Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из центра инерции системы отсчёта
Подставим выражения для всех трёх проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL из выр.(31, 32 и 36) в выр.(16) получим итоговое выражение для расчёта баланса проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из центра инерции системы отсчёта:
LR+ LD– gLцентроб. = [G·MC/R2C] · [cos(ϴ)/k2CL/Rc+ cos(ϑ) ·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc)– kOL/Rc /(1–mР отн)]; проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы …… (37)
В итоге, получены окончательные выражения для проекций ускорений малого тела L вдоль радиуса–вектора дальности OL (выр.(37)) и на нормаль к нему (выр.(30)).
Кстати, эти же выражения могут быть использованы также в полной задаче расчёта динамики движения малых тел L в этой же вращающейся барической системе отсчёта OXбарYбар. Для этого необходимо лишь спроектировать эти ускорения с направления OL на направление OP с учётом величины угла γ (см. выр.(21и 22) для sin(γ) и cos(γ)) для перехода в барическую систему отсчёта OXбарYбар. Для расчёта динамики движения тел L в OXбарYбар потребуется ещё ввести двойное интегрирование проекций линейных ускорений тела L для получения текущих составляющих скоростей и координат тела L, т.е. его траектория движения и текущая скорость будут определены по времени для заданных начальных условий (по координатам и проекциям скорости) тела L.
Но поскольку в задаче динамики движения тело L получит свободу перемещения относительно вращающейся системы отсчёта и у него появится линейная скорость Vr,то к проекциям ускорений тела L в системе OXбарYбар необходимо ещё добавить выражения для проекций величины Кориолисова ускорения (2ω × Vr), действующего по нормали к направлению полного вектора линейной скорости Vr и всё время поворачивающего вектор скорости влево от его направления движения (при положительном значении вектора вращения ω, т.е. против движения часовой стрелки, как на рис.1). Иначе говоря, при любом перемещении тела L Кориолисово ускорение (или «поворотное» ускорение) будет всё время действовать в плоскости эклиптики (орбиты) планеты) по нормали к вектору линейной скорости Vr тела L, всё время поворачивая этот вектор против часовой стрелки, т.е. в ту же сторону, куда осуществляется положительноевращение ω (против часовой стрелки) всей барической системы отсчёта вместе с Солнцем и планетой относительно тела L на рис.1.
Георгий 03.06.2020г 11час.30мин. Время моск.
P.S. Из-за громоздкости статьи было решено практические расчёты баланса перенести во вторую часть статьи, в которой на основании выр.(37) для продольного ускорения тела L будут определены балансировочные значения относительного и абсолютного значений коэффициента дальности тела L для точек либрации L1-L3, расположенных на линии «Солнце-Планета». В конце статьи будет приведен универсальный график определения дальности для точек L1-L3 для любых соотношений масс планеты и Солнца.
Уважаемый Виктор Михайлович! Оказывается, Вы "уже не раз" видели в небе какие-то разноцветные вспышки, вспоминали об огнях НЛО, пролетающего над нашим Засвияжъем, и другие подобные явления. Не боитесь за своё звание академика при таких антинаучных признаниях?
Например, мне, любителю, здесь всё ясно (как говорит Гнездилов в сериале "Пёс"). Вспышка - это прокол в другое измерение, пространство которого удаляется от нашей Галактики с околосветовой скоростью. Отсюда - красное смещение. Арктур здесь непричём. Всё.
Правда... Кто сделал этот прокол? Пока непонятно...
----------------
(сегодня вечером...)
Уважаемый Виктор Михайлович! Я хотел это написать в виде шутки. А сейчас прочитал и стало стыдно.. Получилось как-то фамильярно, грубо и неуважительно. Извините меня, пожалуйста... ВИ0540
Уважаемый Всеволод Иванович! Вспышка была очень краткой. Мне показалось, что она имела красноватый оттенок, но это может быть обманом зрения. Длилась вспышка доли секунды и возникла в момент минимального углового сближения станции с Арктуром. Как будто она фиксировала этот факт. Я просто смотрел, не будет ли покрытия Арктура станцией. Но она прошла заметно ниже Арктура, а вспышка была выше и левее Арктура, но не на самой станции. Расстояние угловое было от вспышки до Арктура примерно такое же как и от него до станции. Навряд ли это был метеор.
Вообще-то я уже не раз видел вспышки в ночном небе, не связанные с какими-то объектами. Как-то видел яркую зеленую вспышку к востоку от Веги, но это было несколько лет назад. Иногда вспышки дают вращающиеся большие спутники или вторые ступени, пока не сгорели в атмосфере. Но, как правило, их можно идентифицировать по тому, что через небольшое время, иногда с десяток секунд, вспышки повторяются. А тут была одиночная вспышка. Не понятно.
Да, я не могу вспомнить, какое явление или объект может давать такую вспышку? А насколько она была кратковременной? Если предположить - метеор, летящий точно по лучу нашего зрения, то обычно он сгорает не мгновенно, и вспышка была бы "разгорающейся" и, чем ярче, тем продолжительней. А причину кратковременой спышки я... пожалуй, не знаю. Остаётся что-то "непознанное" - и... тем более интересное.
Из-за пасмурной погоды не удалось наблюдать пролеты 19-21 мая, но сегодня, 22 мая компенсировалось. Небо ясное, практически безоблачное.
Мы разделились. Половина семьи вышла смотреть МКС на свежем воздухе, оставшаяся часть наблюдала через пластиковое окно. Пролет был виден прекрасно, правда, понадобилось высоко запрокинуть голову. МКС долго пролетала над 10-этажным домом.
Отметили 2 момента:
1. На улице при пролете МКС при минимальном сближении МКС с Арктуром чуть выше Арктура и левее была видна яркая вспышка. Ни самолета, ни спутника в этой точке ни до, ни после не было.
2. Окно квартиры выходит на восток. Поэтому большая часть пролета даже перед кульминацией наблюдалась в восточной части.
Про прецессию - знаю. Только, знают ли про неё современные доморощенные астрологи? Некоторые из них уверены, что Солнце реально находится именно в тех созвездиях Зодиака, которые они привыкли ассоциировать с различными периодами времени. А оно находится на 1 созвездие "раньше".
А, поскольку, в основе астрологии лежит идея о том, что через конфигурацию небесных явлений, высшие "эфирные" существа показывают нам некие знаки, то современным, творчески мыслящим астрологам стоит задуматься и о смысле прецессионного сдвига Солнца по эклиптике. Наверное, в этом тоже есть некий высший знак?!
То, что я - "Телец" здесь нигде не упоминалось. А ты, Илья, откуда это взял? (Я, признаться, сейчас плохо помню эту астрологию. Хотя раньше хорошо в этом разбирался.) По приведённой тобой звёздной карте (откуда у тебя такая красивая картинка?), ты прав, - Солнце скорее в Овне, чем в Тельце. Ну, а прецессию забываешь? Которая за время существования астрологии "увела" реальные звёзды на целый "знак". Т.е. одноимённые ЗНАК и СОЗВЕЗДИЕ сейчас - не одно и то же. (Уверен, что ты это знаешь.)
Всеволод Иванович, у нас сейчас в деревенской местности плохая мобильная связь, постоянно прерывается. Только в лесу нормальная. Выйдем смотреть пролет МКС.
Можно обойтись и без карты, поставлю простую иллюстрацию пролета.
Да, но не могу скопировать старый рисунок. Попробую подрисовать новый. Нам бы лучше - по телефону, но - не знаю Ваш мобильник .
Но теперь серый прямоугольник исчез совсем вместе с картой пролетов. Верните, пожалуйста, пусть останется интрига. А так придется и комментарии удалять.
Уважаемая Полина!
На моём первоначальном рисунке, конечно, этого прямоугольника нет. ("Не виноватая я!") Видимо, появился он как-то при переносе его на сайт ЛКИ. Я вчера замучился в попытках избавиться от этого, как я его тоже про себя называл, "серого квадрата Малевича". И сегодня так и не понял, откуда он взялся.
Примерно за час до рассвета 19 июля 2020 года в небе Северного и Южного полушарий можно будет наблюдать 5 планет Солнечной системы — Меркурий, Марс, Венеру, Юпитер и Сатурн. Одновременно с ними в небе будет сиять Луна.
Это явление называют «парадом планет», хотя такой термин не научный и используется только для популяризации астрономии в СМИ.
Все планеты можно будет наблюдать невооруженным глазом. Они будут необычно яркими, и найти их в небе не составит труда. Сложнее всего будет заметить Меркурий. Его следует искать примерно за 45 минут до рассвета, желательно использовать бинокль или телескоп.
Из различных источников интернета.
Уважаемый ВИ0540, спасибо за информацию.
Без ваших сообщений взгляд в небо блуждает без цели.
Только поясните, пожалуйста, что означает серый прямоугольник рядом с картой пролета МКС. Вот так, наверное, и современники Малевича, разглядывая черный квадрат, пытались найти скрытый смысл.
Всеволод Иванович!
Спасибо за подсказку. По вашим подсчетам я действительно видел МКС. Я видел нечто очень похожее, как раз незадолго до 24:00. Траектория и вид объекта соответствовали МКС. Траектория низкая, как вы и пишите.
Вчера, по всей видимости, также видел МКС около 23:30 также на очень низкой траектории. Хотел еще раз посмотреть комету, но на горизонте на севере облака ее закрывали, хотя все остальное небо было отлично видно. Чистое звездное небо, особенно на юг и восток. Спутники летают туда-сюда. Штук пять видел. Видел непонятную короткую вспышку, яркую, в направлении почти точно на север ниже кромки облаков. Левее и чуть ниже Капеллы, которая слабо просвечивала сквозь полоску облаков.
Уважаемый Георгий!
Спасибо за ответ. Ваш и мой комментарии перенесены из другой статьи не по данной теме.
Георгий, вы обратили внимание на комментарий Ingus-а ?
Ingus давно занимается Луной и много написал об этом на сайте в своем личном блоге и проекте, специально созданном для него Неочевидное вероятное.
Уважаемая Полина!
Для погоды лета 2020 г. характерно появление очень устойчивых малоподвижных антициклонов с высокой температурой, то в области центральной Сибири (в начале лета), то позже в Европейской части России (июнь-июль) . Однако холод проникает через соседние области России: то на Дальнем Востоке, то в Центральной Сибири, например, сибирские заморозки 21-22 июля и похолодание вплоть до Монголии в новолуние от 21.07.2020г. Как видим влияние притяжения Луны проявляется даже летом.
К сожалению, Ульяновску не повезло с похолоданием. У нас, в Дубне и в восточной половине Европеейской части последнее полнолуние от 5.07.2020г привело не только к вытеснению жары к Уралу (так же и из всей северной части Европы) , но и залило дождями так, что Москва уже поплыла от почти ежедневных дождей с месячной нормой осадков , да и Дубне досталось, хотя у нас обычно выпадает дождей в 2-3 раза меньше, чем в Москве (сказывается влияние воздущных течений от поверхности Волжского водохрахранилища).
Подробнее об летних наблюдениях сообщил в конце статьи "Суперлуние,полнолуние, Лунная иллюзия.." (заметка от 09-07-2020г). Подолжим наблюдения за погодой в августе.
Георгий. 17.07.2020г. 13ч.20мин. Время Моск.
Почему-то в данных НАСА в интернете, вечрние пролёты МКС 12 июля не указаны. Но первый полночный пролёт МКС 13 июля для Ульяновска - в 01:36 (высокий: 52°) . Значит предыдущий - минуты за 2 до полуночи и существенно ниже (и может даже - в тени - ?)
Это Вам, Виктор Михайлович, ориентировка по МКС.
На комету я (по честному) ещё не сориентировался. А МКС собираюсь увидеть сегодня, 13 июля, (в мой день рождения) в 23:11, 5 , 20° на юге. И - будем следить..
Появились первые фотографии кометы в интернете:
Необходима хорошая аппаратура и увеличение для таких снимков. С плохим зрением комету и не увидишь.
Николай Стрижаков выставлял на сайте замечательные фотографии, сделанные с помощью телескопа.
Многие уже связывают комету с неким предсказанием в довесок к високосному году 2020, который и так полон неожиданностей.
Виктор Михайлович только что поделился радостным событием: видел комету, пролет МКС, метеор и пару спутников. Позже обещал написать личный комментарий.
С удовольствием пишу, что комету видел. Меня навел на ее просмотр админ нашего сайта. Сообщение Ильи увидел уже позже.
Комета висит над горизонтом почти на севере (чуть-чуть смещена к западу) там, где находится Солнце после захода. Поэтому комету пока видно не очень хорошо. Но, как сообщил Илья, она будет подниматься над горизонтом и окажется близко к Большой Медведице к концу июля. Поэтому наблюдать комету в 23-24 часа будет все лучше и лучше. После 23 июля она будет удаляться от нас и потихоньку гаснуть.
Виктор Михайлович только что поделился радостным событием: видел комету, пролет МКС, метеор и пару спутников. Позже обещал написать личный комментарий.
Ракета-носитель Falcon 9 должна была стартовать с космодрома на мысе Канаверал во Флориде 12 июля 2020 года около 6 вечера по московскому времени. Предполагается, что станет частью миссии по созданию полномасштабной Сети широкополосного доступа в интернет из любого уголка планеты.
Запуск должен стать десятым по выводу на орбиту группы аппаратов Starlink, начиная с мая прошлого года. Его откладывали уже несколько раз. Изначально он был запланирован на конец июня. Ракета Falcon-9 частной космической компании Space-X предпринимателя Илона Маска должна доставить на орбиту очередную партию из 57 мини-спутников, которые станут частью проекта развертывания глобальной сети интернет-покрытия системы Starlink. Орбитальная группировка уже насчитывает более 500 аппаратов, всего их будет около 12 тысяч. Space X планируют уже в этом году обеспечить интернет-покрытием всю территорию Северной Америки.
Предполагается, что ракета также два малых космических аппарата дистанционного зондирования Земли — Global-5 и 6 американской компании BlackSky. Они предназначены для мультиспектральной съемки планеты в оптическом диапазоне с разрешением около одного метра.
Общая сумма инвестиций, направленная на реализацию проекта Starlink, оценивается в 10 миллиардов долларов.
Источник информации
Уважаемый, Георгий!
Возможно Вам будут интересны мои статьи по движению Луны и прецессии орбит на этом сайте
http://www.spacephys.ru/raschet-skorosti-pretsessii-uzlov-lunnoi-orbity
http://www.spacephys.ru/raschet-perioda-lunno-solnechnoi-pretsessii-0
Что касается стабилизации спутника на орбите - есть две книги, в которых данный вопрос освещен подробнейшим образом.
Влияние притяжения Луны на атмосферу и погоду Земли в средних широтах (лето 2020г).
Нелишне напомнить текст моей погодной приметы:
« Наступление полнолуния и новолуния сопровождается интенсивным вторжением северо-западных ветров (с вероятностью до 85-90%) из приполярной области Земли и по прошествии от 3-6 дней после наступления этих фаз Луны для средних широт Земли на один-два дня происходит резкое похолодание из-за принесенного арктического холодного воздуха». Аналогичное явление должно наблюдаться и в средних широтах Южного полушария Земли.
Сегодня 9 апреля аконец-то сдуло западным ветром область повышенной жары (под 30-32 град днём) на 4 сутки после полнолуния (5 июля 2020г) в Дубне (на Волге, на севере Московской области в 130 км севернее Москвы) , длившуюся в течении пары недель. При этом вся область повышенной температуры ушла в сторону Урала (см.на рис.1 оранжевое пятно с повышенной температурой). Думаю, что и Ульяновск вскоре охладится благодаря этому течению. Холодное «дыхание» Гренландии охладило Великобританию и всю северную часть Европы (Германию, Польшу, Финляндию,Украину и запад европейской части России) плоть до Московской области (температура утром 12-14 град.).
Рис1. Температура 09-07-2020г на 12час. дня Моск.вр. (после полнолуния 05-07-2020г)
Кстати, после предыдущего полнолуния (5июня 2020г) похолодание не смогло прорваться в Европейскую часть России (антициклон был очень мощным), а прорвалось в Центральную Сибирь и Дальний Восток и дошло даже до Монголии! (см. Рис.2 также на 4 день после полнолуния, т.е. 9.06.2020г.)
Рис2. Температура 09-06-2020г на 23час. дня Моск.вр. (после полнолуния 05-06-2020г)
Не отстало от этого полнолуния в июне 2020г. и последующее за ним новолуние (21.06.2020г). Приведу недавнее сообщение о заморозках в центральной Сибири:
К вопросу о заморозках в Сибири в новолуние 21-06-2020
(https://ren.tv/news/v-rossii/714046-vilfand-vozvrashcheniia-zamorozkov-v-regionakh-rossii-mozhno-ne-opasatsia )
« 22 июня 2020, 04:31
Научный руководитель Гидрометцентра России Роман Вильфанд заявил о завершении "необычной погодной ситуации" и постепенном возвращении тепла в регионы. В Гидрометцентре уточнили, что повторения заморозков не предвидится, передает "РИА Новости".
"Заморозки уже тоже прекращаются. Эта необычная ситуация завершится, становится больше солнца, температура повышается", - заметил Вильфанд.
Ранее в выходные Гидрометцентр прогнозировал ночные заморозки в Башкирии, Пермском и Алтайском краях, Свердловской, Челябинской, Курганской, а также Новосибирской, Тюменской и Омской областях. По словам синоптика, в этих регионах "остается аномалия".
Так, температура на юге Западной Сибири будет ниже нормы на 4-6 градусов, однако заморозков больше не ожидается.
"Уже в конце июня почва прогрета настолько, что верхние 60 см уже теплые. Поэтому даже если будет холодный воздух, то уже теоретически не будет заморозков. Ведь, чтобы были заморозки, воздуху придется охладить и почву, что практически невозможно", - пояснил Вильфанд.
По словам метеоролога, причиной заморозков в Сибири стало совпадение нескольких факторов. Облачная и дождливая погода совпала с периодом северных ветров, что мешает воздуху прогреваться от солнца, в то время как ночью облака ненадолго расходятся и почва еще сильнее и быстрее остывает.»
На раннее похолодание, состоявшееся сразу на момент новолуния(21.6.2020г), видимо, сказалось «нерассосавшееся» ещё до конца похолодание от предыдущего полнолуния (5.06.2020г) двухнедельной давности. На рис.3 показаны области низких температур в Сибири и на Дальнем Востоке по сосотоянию на 4 день после новолуния, т.е. 25.06.2020 на 18 час. Моск.вр.
Рис3. Температура 25-06-2020г на 18 час. Моск.вр. (после новолуния 21-06-2020г)
Как видим, влияния полнолуний и новолуний на погоду северных средних широт вполне очевидно даже летом (вплоть до заморозков в середине лета!).
Остаётся пожелать метеорологам обратить пристальное внимание на существенное влияние фаз Луны относительно Земли и Солнца на воздушные течения с приполярных областей Земли к экватору, что сильнее всего проявляется на погоду в средних широтах Земли.
Как видите, влияние это вполне очевидное, хотя об этом Вы нигде ничего не прочитаете, что весьма странно при таком обилии информации от метеоспутников Земли и сотни лет метеорологических наблюдений за погодой.
Георгий. 09.07.2020г. 14час.50мин. Врем моск.
Уважаемый Георгий!
Вы заинтересовали своими наблюдениями об изменении погоды после полнолуния. В зимнее и весеннее время наступало похолодание, которое реально происходило.
5 июля 2020 года было очередное полнолуние, закралась мысль, а вдруг жара спадет? Но стало ещё жарче.
А вы не исследовали, как полнолуние действует летом? Может, с точностью наоборот?
Расчёт расстояний до малых тел с балансом ускорений в либрационных точках L1-L3 Лагранжа.
В данной статье, являющимся продолжением предыдущей статьи «Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа», определим конкретные расстояние для малых тел L на которых выполняется баланс (уравновешивание) ускорений для трёх точек либрации Лагранжа L1-L3, расположенных на продольной оси OXбар вращающейся барической системы, проходящей через центр масс Солнца, центр барсистемы (он же центр инерции системы двух тел «Солнце-Земля» (точка О)) и центр масс какой-либо планеты. Вся барическая система принята вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца. В данном случае в качестве планеты рассматривались Земля, Юпитер, а также Луна в паре с Землёй для расчёта расстояния до точек либарции L1-L3 Лагранжа, поскольку, например, для Земли разработаны и реализованы различные проекты с использованием этих либрационных точек для размещения а них различных наблюдательных научных станций.
Рисунок с расположением точек L1-L5 Лагранжа.
1. Вид выражений для расчёта баланса ускорений тела L в точках либрации L1-L3 Лагранжа.
Приведём вид итогового выр.(37) для проекции всех трёх ускорений тела L в точках либрации L1-L3 на радиус-вектор OL барсистемы в общем виде для любой точки эклиптики планеты:
LR + LD – gLцентроб. = [G·MC /R2C] · [cos(ϴ)/k2CL/Rc + cos(ϑ) ·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc ) – kOL/Rc /(1–mР отн)]; проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы (37)
Как видно из рис.2 для точек либрации тел L1-L3 Лагранжа, лежащих на одной прямой «Солнце-планета», требуется задать величину угла визирования φ=00 (для точек либрации L1-L2) и φ=1800 (для тот L3). При этом необходимо в виду, что все три точки лежат на оси OXбар барсистемы, L3 расположена слева от Солнца, а L1 и L2 - справа от него. А точки L1 и L2 расположены слева и справа от планеты так, что в точке L1 ускорения притяжения от Солнца и планеты разнонаправлены и частично вычитаются друг из друга, а в точках L2 и L3 направлены в одну сторону и складываются.
Из геометрии рис.2 следует, что угол ϴ (угол визирования из тела L небольшого радиуса-вектора вращения Солнца вокруг центра инерции системы тел) для всех трёх точек L1-L3 равен 00 (cos(ϴ)=1), а вот угол ϑ (угол визирования из тела L большого радиуса-вектора вращения планеты) равен: ϑ=00 (cos(ϑ)=1) для точек L3 и L2 , где ускорения притяжения от Солнца и планеты складываются для тела L), а вот для точки L1, расположенной между Солнцем и планетой, ϑ=1800 (cos(ϑ)=–1) ускорения от Солнца и планеты разнонаправлены и вычитаются между собой.
Кроме вышеотмеченной смены знака для cos(ϑ), в выр.(37) может изменяется для точек L1-L3 и вид выражений для относительных коэффициентов дальности kOL/Rc и kPL/Rc (см.ниже выр.(12 и 14)), т.к. они зависят от смены знака у cos(φ) при φ=1800. Ниже приведены эти выр. (12 и 14) в общем виде:
kOL/Rc= [k2CL/Rc – 2·kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн +m2p отн ]1/2; коэф.расстояния до центра инерции. (12)
kPL/Rc = [1 – 2·kCL/Rc·cos(φ) + k2CL/Rc) ]1/2; коэфф. расстояния до центра масс планеты …(14)
И поэтому для точек L1 и L2 (при φ=00 и cos(φ)=1) выр.(12 и 14) для этих коэффициентов равны:
kOL/Rc = (kCL/Rc – mp отн); и kPL/Rc = (1 – kCL/Rc);
А вот для точки L3 (при φ=1800 и cos(φ)= –1) выр.(12 и 14) изменяют свой вид на:
kOL/Rc = (kCL/Rc + mp отн); и kPL/Rc = (1 + kCL/Rc);
В итоге, для каждой из точек Лагранжа L1-L3 выр.(37) имеет свой индивидуальный вид:
1 /k2CL/Rc – mР отн /[(1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 = (kCL/Rc –mp отн) /(1–mР отн); - для точки L1 … (38)
1 /k2CL/Rc + mР отн /[(1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 = (kCL/Rc –mp отн) /(1–mР отн); - для точки L2 … (39)
1 /k2CL/Rc + mР отн /[(1–mР отн)·(1+kCL/Rc)2 = (kCL/Rc +mp отн) /(1–mР отн); - для точки L3 … (40)
Примечание:
Общий множитель [G·MC /R2C] в выр.(37), представляющий собой величину ускорения притяжения планеты Солнцем, в выр.(38-40) далее не рассматривается, поскольку все расчёты гораздо удобнее проводить в универсальном для всех планет относительном нормированном виде. При необходимости, за счёт введения множителя [G·MC /R2C] можно всегда перейти от относительных безразмерных ускорений (и расстояний до Солнца, центра инерции и планеты (по выр.(10,11 и 13) уже за счёт умножения на Rc (радиус орбиты планеты в [км])) для тела L в абсолютные значения ускорений в [м/сек2] и расстояний в [км].
2. Расчёт расстояний до точек либрации L1-L3 для планеты Земля
Как видно из выр.(38-40) они являются сложной функцией от одного аргумента kCL/Rc - относительного коэффициента дальности, определяющего расстояние тела L от центра масс Солнца по отношению в радиусу орбиты планеты в относительном виде:
kCL/Rc = CL / RC ; (см.выр.(10) предыдущей статьи с методикой).
где: kCL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 < kCL/Rc < 2]. При kCL/Rc=1 тело L находится расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=RC.
Кроме того, члены выр.(38-40), включают в себя так же независимый параметр: относительную массу планеты mР отн=mР /(mР+MС) (см. выр.(5)), которая может изменяться в широком диапазоне от ~0 (планеты с самой малой массой, например, Меркурий (с mР отн=0,000 000 166) или, исключённый из списка планет, Плутон с массой в 22 раза меньшей, чем у Меркурия) до максимум 0,50 (например, двойная звезда со свёздами равной массы). Например, для случая расчёта планеты Земля и Солнца её относительная масса равна:
mР отн = mР /(mР+MС) =5,9726·1024/(5,9726·1024 +1,98885·1030) =0,000003003; относит.масса Земли.
Из-за сложности выр.(38-40) для поиска балансировочного значения kCL/Rc бал был применён в основном графический метод его решения для поиска баланса ускорений тел в точках L1-L3 Лагранжа. Для этого (при заданном значении относительной массы планеты mР отн) на рис.1 строились графики левой и правой частей выр.(38-40) для ряда перебираемых значений kCL/Rc в ожидаемом диапазоне kCL/Rc по дальности (см. ниже таблицу№1) и в точках их пересечения определялось балансировочное значение коэффициента дальности kCL/Rc бал , которое затем дополнительно уточнялось для повышения точности.
Для проведения расчётов применялся 10-разрядный десятичный научный калькулятор (“STAFF STF-169”) с точностью расчётов близкой к точности обычных 32-разрядных двоичных ПК.
В качестве небольшого примера, в таблице №1 показана только малая часть (по три значения kCL/Rc) такого расчёта коэффициента дальности для точек L1-L3 Лагранжа планеты Земля с ограничением числа выводимых в таблицу результатов вычисления 5-ю разрядами после запятой.
Таблица №1 расчёта дальности до точек L1-L3 Лагранжа планеты Земля (mР отн Земли =0,000003003)
1
kCL/Rc
0,982
0,99003
0,992
1,008
1,010029
1,018
1,000
2
(kCL/Rc–mpотн)/(1–mРотн)
0,98200
0,99003
0,99200
1,00800
1,01003
1,01800
-
3
1 / k2CL/Rc
1,03700
1,02024
1,01619
0,98419
0,98024
0,96495
1,00000
4
mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2)
0,00927
0,03021
0,04692
0,04692
0,02986
0,00927
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.38
1,02773
0,99003
0,96927
0,93727
0,95038
0,95568
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.39
1,04627
1,05045
1,06311
1,03111
1,01010
0,97422
-
7
(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)
0,98201
0,99004
0.99200
1,00800
1,01004
1,01800
1,00000
8
mРотн/((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2)
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.40
1,03670
1,02024
1,01620
0,98419
0,98024
0,96495
1,00000
Примечание:
Жирным шрифтом выделены значения параметров близкие к балансировочным, при которых центробежное ускорение (2 строка табл.) практически уравновешивается воздействием притяжений от Солнца и планеты (5 и 6 строки соответственно для точек L1 и L2)), а для точки L3 это строки 7(центробежное) и 9 (притяжения) соответственно.
На рис.1 показано применение метода графического решения этих табличных данных применительно к планете Земля. Поскольку относительное центробежное ускорение малых тел L1-L3 (2-я строка таблицы №1), практически совпало по величине со значением независимого коэффициента дальности (kCL/Rc) (1-я строка табл.) тел L от Солнца, являющегося аргументом рис.1, то поэтому центробежное ускорение представлено на рис.1 прямой линией. Там же построены графики левых частей выр.(38-40), представляющие собой относительную величину геометрической суммы ускорений притяжения тел L от Солнца и Земли (для точки L1 ускорения вычитаются (5 строка табл.), а для L2 – суммируются (6 строка).
Пересечение этих кривых для разности и суммы относительных ускорений притяжения Солнца и Земли (строки 5 и 6) с графиком прямой линии от относительного центробежного ускорения (строка 2) позволило графически определить kCL/Rc бал (см.рис.1), при которых и выполняется баланс ускорений притяжения с центробежным ускорением тел ( для точки либрации L1 при kCL/Rc бал ~= 0,99 и для точки L2 при kCL/Rc бал ~= 1,01. Если пересчитать эти относительные расстояния от Солнца в расстояния от Земли (для этого достаточно вычесть из них значение kCL/Rc =1,0 (действующее расстояние планеты Земля от Солнца), то окажется, что для точек либрации малых тел: L1, расположенную ближе к Солнцу (т.е. между Солнцем и Землёй), и для точки L2, расположенную от Земли на ещё большее расстояние от Солнца, расположение их по дальности относительно Земли почти одинаковое и симметричное и равно ±0,01 от Rc (расстояния Земли до Солнца Rc=149,6млн.км), т.е. расстояния до точек либрации L1 и L2 от Земли составляют: -1,5млн.км для точки L2 (в сторону Солнца то Земли) и +1,5млн.км для точки L2 (ещё дальше от Солнца, чем Земля).
Для точки либрации L3, расположенной на противоположной от Земли точке её орбиты, т.е. симметрично относительно Солнца (вспомним красивую сказку о симметричной невидимой планете Анти-Земля), то расчёты показали, что влиянием ускорения от Земли на таком расстоянии, равном диаметру орбиты Земли (2·Rc), на тела L можно пренебречь, т.к. оно в относительном виде менее 1·10-6 , а данные в таблице округлены до точности до 1·10-5. Поэтому практически для точки L3 достаточно учитывать только притяжение от Солнца, т.е. использовать 3 строку таблицы №1, график которой построен на рис.1 в его центре и балансировочное значение относительного расстояния (kCL/Rc), естественно, совпало с расстоянием для Земли от Солнца, т.е. для точки L1: kCL/Rc бал =1,0 или ~149,6 млн.км.
3. Итоговая таблица балансировочного kCL/Rc бал для выбранных планет и значений относительной массы планеты для точек либрации L1-L3 Лагранжа.
В виду особого интереса к планете Юпитер, обладающей в областях либрационных точек L4-L5 большим числом летающих космических тел (группы «троянцев» и «греков») были проведен так же и расчёт дальности до точек либрации Юпитера L1-L3. Автор также обнаружил в интернете дальности для либрационных точек Луны относительно Земли с и идеями их использования для космических грузовых перевозок и временного размещения. И, конечно, нельзя пройти мимо предельного варианта с максимально возможным значением относительной массы mp отн= 0,500 для случая двойной звезды из звёзд равной массы.
Все окончательные расчёты балансировочных значений относительного коэффициента дальности от Солнца (kCL/Rc бал для точки L3) и от планеты (kплCL/Rc бал для точек L1-L2) для этих планет представлены в нижеследующей таблице №2.
Ниже приведена итоговая таблица №2 только с практически точными балансировочными значениями kCL/Rc бал для выбранных значений относительной массы планеты для точек либрации L1-L3 Лагранжа.
Таблица №2 с kCL/Rc бал точек L1-L3 для выбранных значений относительной массы планеты mРотн
Звезда-планета (mРотн)
– (mРотн = 0,000 000 100)
Земля (mРотн = 0,000 003 003)
т. L1
т. L2
т. L3
т. L1
т. L2
т. L3
№ =0
kCL/Rc бал
0,9968
1,0032
1,000
0,990030
1,010029
1,000
1
kплCL/Rc бал= | 1 – kCL/Rc бал |
0,0032
0,0032
-
0,00997
0,010029
-
2
(kCL/Rc–mp отн) / (1–mР отн)
0,99680
1,00320
-
0,99003
1,01003
-
3
1 / k2CL/Rc
1,00643
0,99363
1,00000
1,02024
0,98024
1,00000
4
mРотн /((1–mР отн)·(1–kCL/Rc)2 )
0,00977
0,00977
-
0,03021
0,02986
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.(38)
0,99666
-
-
0,99003
-
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.(39)
-
1,00340
-
-
1,01010
-
7
(kCL/Rc+mp отн) / (1–mР отн)
0,99680
1,00320
1,00000
0,99004
1,01004
1,00000
8
mРотн/((1–mР отн)·(1+kCL/Rc)2 )
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.(40)
1,00643
0,99363
1,00000
1,02024
0,98024
1,00000
Продолжение Таблицы №2
Звезда-планета
(mРотн)
Юпитер
(mРотн=0,000 958 120)
Луна относительно Земли
(mРотн=0,012 302 347)
т. L1
т. L2
т. L3
т. L1
т. L2
т. L3
0
kCL/Rc бал
0.9333
1,0698
0,99945
0,84906
1,16790
0,9929
1
kплCL/Rc бал=|1–kCL/Rc бал|
0,0667
0,0698
-
0,15094
0,16790
-
2
(kCL/Rc–mpотн)/(1–mРотн)
0,93324
1,06987
-
0.84720
1,16997
-
3
1 / k2CL/Rc
1,14804
0,87377
1,00110
1,38715
0,73314
1.01435
4
mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2)
0,21460
0,19596
-
0,53998
0,43640
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.38
0,93344
-
-
0,84717
-
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.39
-
1,06973
-
-
1,16954
-
7
(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)
0,93515
1,07178
1,00136
0,87181
1.19457
1,01742
8
mРотн /((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2)
0.00025
0,00022
0,00024
0,00360
0,00262
0,00310
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.40
1,14829
0,87399
1,00134
1,39075
0,73576
1.01745
Продолжение Таблицы №3
Звезда-планета (mРотн)
– (mРотн = 0,100 )
Двойная звезда равных звёзд
(mРотн (максимум) = 0,500)
т. L1
т. L2
т. L3
т. L1
т. L2
т. L3
№ =0
kCL/Rc бал
0,70904
1,3597
0,9416
0,500
1,698405
0,698405
1
kплCL/Rc бал=|1–kCL/Rc бал|
0,29096
0,3597
-
0,500
0,698405
-
2
(kCL/Rc–mpотн) / (1–mРотн)
0,67671
1,39967
-
0,00000
2,39681
-
3
1 / k2CL/Rc
1,98911
0,54090
1,12789
4,00000
0,34667
2,05015
4
mРотн/((1–mРотн)·(1–kCL/Rc)2 )
1,31247
0,85877
-
4,00000
2,05015
-
5
5 = 3 – 4 L1 по выр.38
0,67664
-
-
0,00000
-
-
6
6 = 3 + 4 L2 по выр.(39)
-
1,39967
-
-
2,39682
-
7
(kCL/Rc+mpотн)/(1–mРотн)
0,89893
1,62189
1,15733
2,00000
4,39681
2,39681
8
mРотн /((1–mРотн)·(1+kCL/Rc)2 )
0,03804
0,01995
0,02947
0,44444
0,13734
0,34667
9
9 = 3 + 8 L3 по выр.40
2,02715
0,56085
1,15736
4,44444
0,48401
2,39682
4. Универсальный график балансировочных значений коэффициентов расстояния для точек L1-L3 Лагранжа в зависимости от относительной массы планеты.
На основе данных, приведенных выше в таблице№2 и дополнительных расчётов был построен график балансировочных значений коэффициентов расстояния для точек L1-L3 Лагранжа в зависимости от относительной массы планеты mРотн (см. рис.3) в широком диапазоне [0,000 000 1 – 0,500], охватывающим весь реальный диапазон применительно к Солнечной системе по её планетам (от Меркурия до Юпитера и Луны относительно Земли). Из-за широкого диапазона по mРотн масштаб по горизонтальной оси относительной массы (7 десятичных порядков) выбран логарифмическим. Для повышения точности масштаб по вертикальной оси для kплCL/Rc бал для первой половины графика был принят в десять раз более растянутым (для mРотн<0,001), чем для второй половины графика (для mРотн >0,001).
Поскольку для точек L1 и L2 удобнее задавать расстояние от близко расположенной к ним планете, чем от Солнца, поэтому для них значение kCL/Rc бал было пересчитано в «планетный» коэффициент kплCL/Rc бал за счёт вычитания 1, соответствующей расстоянию планеты от Солнца (Rc) и взятия её по модулю, т.е. kплCL/Rc бал = | kCL/Rc бал -1| (сравните 0 и 1 строку в таблице №2).
Поэтому по оси вертикальной оси графика (для точек L1 и L2) нанесён масштаб для «планетного» коэффициента дальности kплCL/Rc бал , выдающего расстояние до планеты. Для точки L3 в таком пересчёте коэффициента нет необходимости, т.к. дальность до неё определяется относительно Солнца. Для точки L3 надо использовать масштаб справа от вертикальной оси графика, начинающийся со значения 1,00 (красная кривая).
Для получения реальной дальности для любой планеты необходимо:
1. Рассчитать её относительную массу по выр.: mР отн = mР /(mР+MС), например, по величине масс планеты (mР) и массы Солнца (MС):
mР отн = mР /(mР+MС) =5,9726·1024/(5,9726·1024 +1,98885·1030) =0,000003003; относит.масса Земли.
2. Определить на графике по величине mР отн балансировочное значение коэффициента расстояния (kплCL/Rc бал для точек L1-L2, или kCL/Rc бал для точки L3).
3. Рассчитать абсолютное расстояние от Планеты (для точек L1и L2) или от Солнца (для точки L3), умножив коэффициентов расстояния kCL/Rc бал на величину радиуса вращения планеты относительно Солнца (Rc), например, для Земли: R(L1-L2) = kплCL/Rc бал· Rc = 0,01·149,6 [млн.км]~= 1,50 [млн.км].
Интересно отметить, что для случая двойной звезды, состоящей из звёзд равной массы, (при mР отн =0,500) балансировочное расстояние до точек L3 и L2 оказалось одинаковым (хотя и рассчитывалось по разным выражениям для левой звезды (для L3 по выр.(40)) и правой звезды (для L2 по выр. (39)) и составляет kCL/Rc бал = kплCL/Rc бал = ~0,6984 от расстояния между звёздами равной массы (Rc), что действительно соответствует ожидаемой симметрии расположения точек L2 и L3 относительно крайних звёзд и подтверждает правильность выр. для расчёта коэффициентов дальности.
5. Таблица абсолютных расстояний до точек либрации L1-L3 Лагранжа для некоторых планет.
Для удобства, в нижеследующей таблице №3 приведен пример расчёт абсолютных расстояний до точек либрации L1-L3 Лагранжа для некоторых планет.
Источник данных по планетам из: http://www.shvedun.ru/hpss.htm) .
( Справка: Масса Солнца: 1 988 850,0·1024 кг )
Таблица №3 расстояний до точек либрации L1-L3 Лагража для некоторых планет
Планета
Земля
Сатурн
Юпитер
Луна относительно Земли
Масса планеты
5,9726·1024кг
568,5·1024кг
1898,8·1024кг
0,073477·1024 кг
Отн.масса планеты[-]
0,000003003
0,000285762
0,000958120
0,012152839
Средний радиус вращения отн.Солнца
149,6млн.км
1433,8млн.км
778,5млн.км
363,1тыс.км(перигей)
405,7тыс.км(апогей)
kCL/Rc бал
RL1 (точка L1)
0,00997
1,49млн.км
~0,0442
63,4млн.км
0,0667
51,9млн.км
0,15094
54,8 тыс.км(перигей)
61,2 тыс. км(апогей)
kCL/Rc бал
RL2 (точка L2)
0,010029
1,50млн.км
~0,0455
65,2млн.км
0,0698
54,3млн.км
0,16790
61,0тыс.км(перигей)
68,1тыс.км(апогей)
kCL/Rc бал
RL3 (точка L3)
1,000
149,6млн.км
1,000
1433,8млн.км
0,99945
778,1млн.км
0,9929
360,5тыс.км(перигей)
402,8 тыс.км(апогей)
Качественный анализ влияния проекций от ускорений притяжения тел L1-L3 на нормаль к линии «Солнце-планета» показывает, при любом небольшом отклонении малого тела L от этой линии вверх или вниз приводит к появлению небольшой нормальной составляющей ускорения от притяжения планетой (в точках L1-L2) или составляющей от притяжения Солнцем (в точке L3) с учётом наличия цента инерции, направленной в сторону возврату к этой линии, что напоминает уравнения качания вертикального маятника, где составляющая от силы тяжести маятника всегда направлена к нейтральному вертикальному его положению. Этот эффект способствует удержанию малого тела L ни линии «Солнце-планета», подтягивая его к этой линии. Возникает своеобразная устойчивость тела в направлении по нормали к линии «Солнце-планета» в точках либрации L1-L3 при неустойчивости в другом, продольном направлении «Солнце-планета», когда небольшое отклонение по расстоянию в сторону Солнца или планеты приводит к постепенному нарастающему по скорости уходу в начального сторону отклонения. Правда, это уход будет затруднён появлением кориолисова поворотного ускорения, приводящему к появлению закручивающейся спиральной траектории ухода от точки либрации.
Кстати эти эффекты объясняются тем, что малые тела L, которые покинут, по какой-либо причине, области устойчивоcти L4-L5, расположенные на радиусе вращения планеты (Rc) под углами +-600 относительно линии «Солнце-планета» будут постепенно смещаться либо к планете, либо к Солнцу, смещаясь постепенно к линии «Солнце-планета» с набором, или с торможением дополнительной скорости относительного перемещения (Vr) относительно вращающейся системы отсчёта. При этом появится кориолисово ускорение, искривлющее и закручивающее эти траектории и малое тело будет неизбежно вытеснено на другие орбиты либо с большим радиусом вращения (при разгоне по скорости), либо с меньшим радиусом вращения (при торможении), чем у планеты. Для исследований этих траекторий потребуется программное моделирование расчёта траекторий относительного движения этих малых тел.
Конечно, точки L1-L3 явно неустойчивы, но довольно малая начальная величина ускорения ухода (почти с нулевого начального значения) позволит довольно длительное время «продержаться» космическим станциям без коррекции реактивными двигателями (по положению относительно планеты).
Для исследования величины области устойчивости в точках L4-L5 необходимо так же моделированиена полной модели динамики движения малого тела L. Надеюсь, что удастся заняться этим моделированием уже в этом году. А на этом данная тема пока завершена.
Георгий 05.06.2020г 22час.55мин. Время моск.
Методика определения ускорений и их баланса для малых тел в точках либрации L1-L5 Лагранжа.
В данной статье осуществлён вывод выражений в относительном виде для определения ускорений малых тел L, расположенных неподвижно в любой точке плоскости орбиты планеты вокруг Солнца во вращающейся с угловой скоростью вращения планеты (ω) барической системе отсчёта. Так что все тела данной системы (Солнце, планета и тела L) по исходному условию расположены неподвижно друг относительно друга и все вместе синхронно вращаются с одной и той же угловой скоростью (ω) относительно неподвижных звёзд и вместе с ними вращается барическая неинерциальная система отсчёта (её начало помещено в центре инерции системы тел «Солнце-Планета»), в которой и осуществлён вывод выражений для ускорений притяжения и центробежного ускорения, действующих на малые тела L.
Неподвижность тел L относительно планеты и Солнца была оговорена Лагранжем в качестве начального условия, чтобы определить существование особых, устойчивых по времени, точек в плоскости орбиты планеты относительно Солнца и планеты, в которых может выполняться баланс (взаимная компенсация с учётом центробежного ускорения в неинерциальной системе) всех ускорений малых тел L (малых относительно планеты, так что можно пренебречь ответной реакцией планеты на её притяжение малым телом), при котором эти малые тела могут теоретически долго находиться длительное время в состоянии покоя относительно Солнца и планеты (при отсутствии возмущений от других планет Солнечной системы) за счёт выполнения условий баланса ускорений в так называемых точках либрации малых тел, которые в количестве 5 точек относительно Солнца и планеты (L1-L5) были впервые рассчитаны Лагранжем. (см.рис.)
Рис. Пять либрационных точек L1-L5 Лагранжа для малых тел относительно двух массивных тел.
Благодаря правильно выбранной точке размещения НАЧАЛА СИСТЕМЫ ОТСЧЁТА В ЦЕНТРЕ ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ двух тел (Солнца и планеты) центр такой барической системы отсчёта можно считать неподвижным относительно звёзд (без линейной скорости и ускорения начала системы отсчёта) несмотря на синхронное вращение Солнца и планеты вокруг центра инерции системы, но по нашему выбора будем считать её вращающейся с постоянной угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг центра инерции системы тел (система координат OXбарYбар). В этой барической вращающейся неинерциальной системе отсчёта Солнце и планета, а также малые тела L (за счёт наложенного начального условия) на любой дальности от Солнца вращаются с одной и той же по величине угловой скоростью ω вокруг её центра, размещённого в центре инерции системы тел, со своими радиусами вращения Солнца (RС-Б выр.4) и Земли (RБ-Р выр.6) до барцентра.
Исходное положение тела L относительно вращающейся системы отсчёта будем считать постоянным (статичная картина для малых тел L относительно Солнца и планеты) и поэтому Кориолисово ускорение (2ω × Vr) для тел L будет нулевым из-за отсутствия линейной скорости перемещения (Vr=0) относительно системы отсчёта. В итоге, на тела L действует, кроме двух ускорений от притяжения Солнцем и Землёй, ещё и центробежное ускорение, вызванное вращением неинерциальной барической системы отсчёта вокруг неподвижного центра инерции системы (с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца). Все остальные ускорения, характерные в общем виде для неинерциальной системы отсчёта, отсутствуют (благодаря такому условию выбора системы отсчёта и начальным условиям), что упростило вид выражений ускорений для тел L1- L5 в такой неинерциальной системе отсчёта до дополнительного учёта лишь центробежного ускорения на все тела системы.
На рис.1 приведена схема воздействия на малое тело L ускорений от его притяжения Солнцем (gC) и планетой (gP). Там же показан вектор центробежного ускорения (gLцентроб.), действующий во вращающейся барической системе отсчёта OXбарYбар. по радиусу-вектору расстояния OL от центра вращения системы (центра инерции в точке О) до тела L и направленного от центра инерции. На рис.1 показаны проекции векторов ускорений притяжения на перпендикуляр (нормаль) к радиусу-вектору расстояния OL и вдоль него). При этом тело L может быть расположено в любой точке плоскости орбиты планеты (эклиптики) за счёт задания в полярной системе величины угла φ (отсчитываемого от направления «Солнце-Планета» (радиус-вектор CP)) и текущего радиуса-вектора расстояния CL от центра масс Солнца до тела L (CL=kCL/Rc·RC ; см. выр.10). При этом дальность варьируется за счёт изменения величины коэффициента kCL/Rc, введённого множителем на величину радиуса орбиты вращения планеты вокруг Солнца (RC).
Важно подчеркнуть, что если в первом варианте постановки (см. предыдущую стсатью по анализу баланса ускорений для тел L4-L5) малые тела L4-L5 при выводе выражений были условно помещены на круговую орбиту планеты с радиусом вращения Rc относительно центра масс Солнца (см. ниже рис.1), то в данной постановке тело может расположено на любой дальности относительно величины радиуса вращения Rc, что позволяет рассчитать значения небаланса ускорений для всей плоскости эклиптики планеты и построить изолинии небаланса потенциальных ускорений тел L для определения формы областей неустойчивости вокруг точек либрации тел L1-L5.
В итоге, вывод выражений для проекций ускорений притяжения тел L1-L5 Солнцем и планетой осуществлён в общем виде для всей плоскости орбиты планеты. В качестве опорной траектории, относительно которой варьируется в требуемом диапазоне текущая дальность до конкретного положения тела L, взята круговая траектория вращения планеты вокруг Солнца с её угловой скоростью вращения ω (она же скорость вращения барсистемы) с радиусом вращения, равным RC (при этом kCL/Rc=1), равным, например, для планеты Земля: ~149,6 млн.км. Подчеркнём, что главным условием при этом будет условие вращения для всех рассматриваемых тел вокруг общего центра инерции с одной и той же величиной угловой скорости вращения, равной угловой скоростью вращения планеты ω вокруг Солнца.
Воспользуемся соотношениями из предыдущего раздела для точек Лагранжа L4(L5).
MС ·VС = – (mp·Vp); -баланс количества движения Солнца и планеты вокруг центра инерции…(1)
MС ·RС-Б = – (mP ·RБ-Р); - баланс моментов массы двух тел относительно барцентра ……….... (2)
Выразим расстояния от Солнца (RС-Б) и Земли (RБ-Р) до барцентра через полное расстояние между Солнцем и планетой (RC), которое равно сумме этих расстояний:
RC = RС-Б + RБ-Р ; - расстояние от Солнца до планеты через расстояния до центра инерции …… (3)
Если из выр.(3) значение для R Б-Р = (RC - R С-Б ) подставить в выр.(2), то получим:
RС-Б = mР / (mР + MС) · RC = mР отн · RC ; откуда следует, что :
RС-Б отн = RС-Б / RC = mР отн ; - относительное расстояние Солнце-Барцентр ………….…...... (4)
где: mР отн = mР /(mР+MС); - относительная масса планеты в системе «Солнце-планета» …..... (5)
Если из выр.(3) значение для R С-Б = (RC - R Б-Р) подставить в выр.(2), то получим:
RБ-Р = MС / (mР +MС) · RC = MС отн· RC ; откуда следует, что :
RБ-Р отн = RБ-Р / RC = MС отн ; - относительное расстояние Барцентр-Планета ………….…….. (6)
где: MС отн = MС / (mР+MС) - относительная масса Солнца в системе «Солнце-планета» …... (7)
MС отн = ((MC + mР) – mР) /(mР+MС) = (1 – mР отн) ; связь относительных масс двух тел …..… (8)
Кроме того, далее нам понадобится выразить отношение масс планеты и Солнца (mp/Mc) через относительную массу планеты: mР отн = mp /(MC+mp) (см. выр.(5)), для этого в знаменателе отношения масс (mp/Mc) прибавим и вычтем к массе Солнца MC массу планеты с и поделим все члены на (MC+mp) :
(mp/MC) = (mp / ((MC+mp) – mp) = mР отн/(1–mР отн); ……………………………………....... (9)
2. Выражения для расчёта дальностей тела L до Солнца, планеты и центра инерции системы отсчёта
Кроме основных исходных параметров (масса Солнца (MС), масса планеты (mp) и её расстояние до Солнца (RC) при условии круговой орбиты) введём ещё два независимых варьируемых параметра в полярной системе, определяющих положение тела L относительно Солнца и планеты: угол φ направления на малое тело L из центра масс Солнца (относительно линии Солнце-планета (ось OXбар)) и величина переменной дальности (CL) до тела L, варьируемая относительно величины расстояния планеты до центра масс Солнца (RC) за счёт введения на неё переменного по величине множителя в виде коэффициента дальности (kCL/Rc) (см. выр.10). Этих параметров достаточно для получения окончательных выражений для проекций ускорений тел L по всей плоскости траектории планеты в общем виде.
Кстати, окончательные выражения, полученные в данной статье, для суммы относительных ускорений тела L, ЗАВИСЯТ ТОЛЬКО ОТ ОДНОГО ИСХОДНОГО ПАРАМЕТРА: ОТНОСИТЕЛЬНОЙ МАССЫ ПЛАНЕТЫ (mР отн =mР /(mР+MС) (см. выр.(5). Конкретная величины массы Солнца (MС) и радиуса орбиты планеты (Rc) входят в окончательные выражения только в вынесенный общий множитель и могут быть использованы уже в конце расчётов для определения конкретной величины ускорений тела L в [м/сек2] или расстояния в [км] для точек L1-L3, т.е. для перевода относительных ускорений и коэффициента дальности в абсолютные значения. Такой подход позволил получить единый универсальный график зависимости балансировочного значения относительного коэффициента расстояния (kCL/Rc) от величины относительной массы планеты mР отн (в системе тел «Солнце-планета») для либрационных точек L1-L3, пригодный для любых сочетаний масс звезды, планеты и радиуса орбиты планеты (см. этот график в следующей статье, посвящённой расчёту конкретных балансировочных расстояний для либрационных точек L1-L3).
Начнём вывод для ускорений малого тела L с определения выражений для трёх расстояний от центра масс тела L до: Солнца (CL), центра инерции (OL) и планеты (PL), необходимые для расчёта ускорений притяжения от Солнца и планеты (по закону всемирного тяготения Ньютона), а также для расчёта центробежного ускорения, направленного по радиусу-вектору дальности (OL) от центра инерции до тела L.
CL = kCL/Rc ·RC ; варьируемый радиус-вектор расстояния тела L до центра масс Солнца ….... (10)
где: kCL/Rc – свободный независимый переменный коэффициент, задающий дальность до тела L: [0 < kCL/Rc < 2]. При kCL/Rcном.=1: тело L находится на расстоянии планеты от Солнца, т.к. CL=RC.
С учётом исходного предположения о произвольном нахождении тела L относительно Солнца (с переменным радиусом-вектором CL=kCL/Rc·RC (по выр.(10)) необходимо найти для тела L также его расстояние OL от начала барсистемы, вращающейся вокруг точки О (центра инерции системы двух тел), по радиусу-вектору OL, вдоль которого и направлено центробежное ускорение тела L. Из двух прямоугольных треугольников Δ-CLM и Δ-OLM следует:
OL = (LM2 +OM2 )1/2 = ( (CL·sin(φ))2 + (CL·cos(φ) – RС-Б)2 )1/2 ; или
OL = ((kCL/Rc·RC ·sin(φ))2 + (kCL/Rc·RC ·cos(φ) –RС-Б)2 )1/2 ; и после выноса RC из под корня получим:
OL = RC·[k2CL/Rc –2·kCL/Rc ·cos(φ)·RС-Б отн +R2С-Б отн ]1/2; подставим RС-Б отн=RС-Б /RC=mР отн (из выр.4):
OL = RC ·[k2CL/Rc –2·kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн +m2p отн]1/2;
Введём второй (уже зависимый от величины kCL/Rc) коэффициент kOL/Rc для расчёта текущего расстояния OL от тела L до центра инерции системы:
OL = kOL/Rc ·RC; радиус-вектор дальности тела L до центра инерции системы……................ (11)
где: kOL/Rc=[k2CL/Rc – 2·kCL/Rc ·cos(φ)·mp отн +m2p отн ]1/2; коэф.расстояния до центра инерции (12)
и где: mР отн = mР /(mР+MС) ; относительная масса планеты в системе тел … выр.(5)
И, наконец, определим расстояние PL от планеты до тела L из прямоугольных треугольников Δ-MLP и Δ-CLM:
PL = (LM2+MP2)1/2 =[(CL·sin(φ))2 + (RC – CL·cos(φ))2 ]1/2; подставим (CL=kCL/Rc·RC) из выр.(10):
PL = [(kCL/Rc·RC·sin(φ)) 2 + (RC – kCL/Rc·RC·cos(φ))2] 1/2 = RC ·[(1–2·kCL/Rc·cos(φ)+ k2CL/Rc) ]1/2
Введём третий зависимый коэффициент kPL/Rc для расчёта расстояния PL от тела L до центра масс планеты:
PL = kPL/Rc ·RC ; радиус-вектор расстояния тела L до центра масс планеты ……………. …..… (13)
где: kPL/Rc =[1–2·kCL/Rc·cos(φ)+ k2CL/Rc) ]1/2; коэффициент расстояния до планеты ……….. (14)
3. Выражения для ускорений, действующих на малое тело L, в проекции по нормаль и вдоль радиуса-вектора дальности, исходящего из центра инерции системы к телу L.
В принятой выше вращающейся системе отсчёта OXбарYбар на малое тело L (см. рис.1) действуют три ускорения: ускорение притяжения от Солнца (gC - вектор красного цвета), от Земли (gР - вектор зелёного цвета) и фиктивное «антицетростремительное» (так называемое центробежное ускорение со знаком минус: - gцентроб.L - вектор чёрного цвета), т.к. выбранная барическая система является вращающейся и поэтому неинерциальной.
Рассмотрим сумму проекции всех трёх ускорений тела L на два взаимно перпендикулярных направления: на радиус–вектор OL, исходящий из центра О барсистемы к телу L, и на перпендикулярное (нормальное) к нему направление. Из рис.1 просто получить два основных выражения для ускорений тела L:
KR – ED = gC · sin(ϴ) – gР · sin(ϑ) = 0; проекция на нормаль к радиусу-вектору OL ….......... (15)
LR + LD – gцентроб.L= 0; или gC · cos(ϴ) + gР · cos(ϑ) – gцентроб.L= 0; проекция на радиус OL ... (16)
Осталось вывести и подставить в выр.(15 и 16) значения для всех трёх ускорений, чтобы получить их функциональные зависимости при заданном значения угла φ и относительной массы планеты mР отн от величины изменяемого независимого коэффициента расстояния тела L (kCL/Rc) от Солнца, за счёт вариации которого и можно определить ту его величину, при которой будет выполняться баланс в выражениях (15 и 16) и они действительно обнулятся при определённом значении угла φ, что и будет свидетельствовать о нахождении величины дальности от Солнца (или дальности от планеты) для либрационных точек L1-L5, при которых и будет выполняться БАЛАНС (взаимная компенсация) всех трёх ускорений, а тело L будет при этом находиться в состоянии неподвижно в состоянии равновесия с учётом всех трёх составляющих ускорений: притяжения от Солнца, планеты и центробежного ускорения во вращающейся барической систем отсчёта.
Баланс ускорений необходимо дополнительно исследовать на определение характера устойчивости тела в состоянии баланса. Баланс может быть устойчивым или неустойчивым. Если при определённой величине начального отклонения тела от центра устойчивости, например по расстоянию, освобождённое тело возвращается в состояние равновесия, то баланс устойчивый, а если не возвращается и тело начинает всё дальше удаляться от положения равновесия, то баланс неустойчивый. Например, шарик, помещённый внутрь тонкой полусферической чашки находится в устойчивом равновесии, а при его размещении на той же, но перевёрнутой вверх дном чашке, неустойчив и при небольшом отклонении от шаткого равновесия скатывается с неё.
Бывают и смешанные виды устойчивости, когда в одном направлении по отклонению от равновесия есть устойчивость, а в другом, перпендикулярном направлении её нет. Например, фигура в виде седла для лошади: в продольном сечении это вогнутая кривая, обладающая устойчивостью, а в поперечном сечении это выпуклая кривая, обладающая явной неустойчивостью. Кстати, именно таким видом смешанной устойчивости обладают точки либрации L1-L3.
4. Тригонометрические выражения для sin() и cos() требуемых углов.
Для нахождения sin(ϴ) и cos(ϴ) от угла ϴ, под которым виден из тела L радиус RС-Б вращения Солнца вокруг барцентра системы, найдём из прямоугольного треугольника Δ-CBO длину катета OB:
OB = OC ·sin(φ) = RС-Б ·sin(φ); ……..…………………………………………..............….. (17)
Из прямоугольного треугольника Δ-OBL с учётом выр.(4,11,12) следует, что :
sin(ϴ) = OB / OL = RС-Б ·sin(φ) / (kOL/Rc ·RC) = mР отн · sin(φ) / kOL/Rc ; ………….……..… (18)
cos(ϴ) = BL/OL = (CL–CB) / OL = (kCL/Rc·RC -– RС-Б·cos(φ))/(kOL/Rc ·RC); и после деления на RC:
cos(ϴ) = (kCL/Rc -– mР отн·cos(φ)) / kOL/Rc ; …………..……..………………………………. (19)
При проектировании ускорения от планеты понадобятся значения sin(ϑ) и cos(ϑ) от угла ϑ, под которым виден из тела L радиус RБ-Р орбиты планеты. Из разностороннего Δ-OLP следует, что внутренний угол OLP, равный искомому углу ϑ, определяется суммой двух других углов OLM и MLP, т.е.:
ϑ = (900 - γ) + Ψ; ……………….…………….……………………………………………….. (20)
Определим sin(γ) и cos(γ) для вспомогательного угла γ. Из прямоугольных треугольников Δ-OLM и Δ-СLM с использованием текущей дальности тела L до Солнца (CL=kCL/Rc ·RC) из выр.(10) и текущей дальности до центра инерции (барцентра) (OL=kOL/Rc ·RC) из выр.(11):
sin(γ) = LM / OL = CL·sin(φ)/OL = (kCL/Rc·RC)·sin(φ)/(kOL/Rc·RC) = kCL/Rc·sin(φ) /kOL/Rc … (21)
cos(γ) = OM / OL = (CL·cos(φ) – RС-Б) / (kOL/Rc·RC) после подстановки RС-Б = RC·mР отн из выр.(4):
cos(γ) = (kCL/Rc·RC·cos(φ) – RC·mР отн)/ (kOL/Rc·RC) = (kCL/Rc ·cos(φ) – mР отн) / kOL/Rc ….… (22)
Применим известные выражения sin() и cos() для суммы двух углов (900 - γ) и Ψ из выр.(20) :
sin(ϑ) = sin(900– γ) · cos(Ψ) + cos(900– γ) · sin(Ψ);
cos(ϑ) = cos(900– γ) · cos(Ψ) – sin(900– γ) · sin(Ψ);
С учётом того, что sin(900– γ) = cos(γ), а cos(900– γ) = sin(γ) получим окончательные выражения:
sin(ϑ) = cos(γ) · cos(Ψ) + sin(γ) · sin(Ψ); …………………………………………………. (23)
cos(ϑ) = sin(γ) · cos(Ψ) – cos(γ) · sin(Ψ); …………………………………………………. (24)
Определим выражения для sin(Ψ) и cos(Ψ) вспомогательного угла Ψ из треугольника Δ-MLP с выр.(10 и 13) для расстояний CL и PL:
sin(Ψ) = MP / PL = (RC – kCL/Rc·RC·cos(φ)) / (kPL/Rc ·RC) = (1- kCL/Rc·cos(φ)) / kPL/Rc ; … (25)
cos(Ψ) = LM / PL = (kCL/Rc·RC·sin(φ)) / (kPL/Rc ·RC) = kCL/Rc·sin(φ) / kPL/Rc ; …….....…. (26)
5. Расчёт проекций ускорений тела L на нормаль к радиусу-вектору OL из центра инерции
Приступим к расчёту проекций ускорения тела L на нормаль к радиусу-вектору расстояния OL (выр.15):
KR – ED = gC · sin(ϴ) – gР · sin(ϑ) = 0; проекция на нормаль к радиусу-вектору OL … (15)
где: gР и gC -ускорения притяжения тела L от планеты и Солнца из закона притяжения: g = G·mi/Ri2,
где: G=(6,6726) ·10-11 [м3·кг-1·с-2] - гравитационная постоянная из закона притяжения тел: F=G·m1·m2/R2.
Выражение для нормальной составляющей ускорения тела L от притяжения Солнцем (KR):
Воспользуемся выр. (10) для CL = kCL/Rc ·RC :
KR = gC ·sin(ϴ) = (G·MC /(CL2)) · sin(ϴ) = (G·MC /(kCL/Rc ·RC)2 · sin(ϴ);
Выделим характерный для всех ускорений общий множитель в виде ускорения планеты от её притяжения Солнцем: [G·MC /R2C] (см.ниже выр.(28) :
KR = [G·MC/R2C] · sin(ϴ) / k2CL/Rc; нормальное ускорение тела L от притяжения Солнцем ….. (27)
Выражение для нормальной составляющей ускорения тела L от притяжения планетой (ED):
ED = gР ·sin(ϑ) = (G·mp / PL 2) ·sin(ϑ)) = (G·mp / (kPL/Rc ·RC)2 ) · sin(ϑ) ;
Умножим и поделим первый множитель на массу Солнца (Mc), чтобы выделить требуемый нам общий множитель [G·MC /R2C ], равный центростремительному ускорению Земли от притяжения его Солнцем, который типичен для большинства рассматриваемых ускорений тела L :
gР-С=gРцентростр.=G·MC /R2C; центростремительное ускорение планеты от притяжения Солнцем . (28)
ED = [G·MC /R2C ] · ((mp /MC) / k2PL/Rc ) · sin(ϑ);
Подставим выр.(9) для (mp/Mc) = mР отн/(1–mР отн), введя в него mР отн = mp /(MC+mp) из выр.(5):
ED=[G·MC /R2C ]·mР отн·sin(ϑ) /[(1–mР отн)·k2PL/Rc]; нормальное ускорение тела L от планеты ...(29)
Можно приступать к окончательному расчёту проекций ускорений тела L на нормаль к вектору дальности OL, подставив выр.(27 и 29) в выр.(15) с выносом общего множителя [G·Mc /R2C].
Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на нормаль к вектору расстояния OL:
KR – ED =[G·MC /R2C)]·[ sin(ϴ)/k2CL/Rc – sin(ϑ)·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc)]; проекция ускорений на нормаль к вектору OL ……… (30)
где: mР отн -выр.(5); sin(ϑ) -выр(23); kOL/Rc -выр(12); kPL/Rc -выр(14); sin(ϴ) -выр(18); k CL/Rc–выр (10);
6. Расчёт проекций ускорений тела L на радиус-вектор, исходящий из центра инерции
Выведем выражения для ускорений в другом, продольном направлении в проекции на радиус-вектор дальности в барсистеме (см.выр.(16)).
LR + LD – gцентроб.L= 0; или gC · cos(ϴ) + gР · cos(ϑ) – gцентроб.L= 0; проекция на радиус OL ... (16)
Определим выражение для продольной составляющей ускорения тала L от притяжения Солнцем, воспользовавшись выр.(10) для текущей дальности до Солнца CL=kRc·RC :
LR = gC ·cos(ϴ) = (G·MC /(CL2) ·cos(ϴ) = (G·MC /(kCL/Rc·RC) 2 ·cos(ϴ);
После выделения общего множителя для ускорений [G·MC/R2C] получим окончательное выражение:
LR = [G·MC/R2C] · cos(ϴ) / k2CL/Rc ; продольное ускорение тела L от Солнца. ……..………. (31)
Найдём выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения планеты LD, подставив расстояние PL = kPL/Rc ·RC из выр.(13) :
LD = gР · cos(ϑ) = (G·mp /(PL)2) · cos(ϑ) = (G·mp /(kPL/Rc·RC)2) · cos(ϑ);
Умножим и поделим на массу Солнца (Mc) для выделения общего множителя ускорений [G·Mc/R2C ] :
LD = [G·MC /R2C]· (mp /MC) ·cos(ϑ) / k2PL/Rc;
С применением выр.(9) заменим (mp/MC) = mР отн/(1–mР отн) и получим окончательное выражение:
LD = [G·MC /R2C] · cos(ϑ)·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc ); продольное ускорения L от планеты... (32)
Расчёт центробежного ускорения тела L, направленного вдоль радиуса-вектора OL
Величина центробежного ускорения тела L во вращающейся с постоянной угловой скоростью ω барической системе отсчёта (со скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца), будет определяться по известному выражению aцентроб. = ω2 ·R и для изменяемого (варьируемого) расстояния OL тела L от центра инерции системы R, равного OL=kOL/Rc ·RC (см.выр.(11)), будет линейно зависеть для тела L от величины радиуса вращения OL :
gLцентроб. = ω2 · OL = ω2 · (kOL/Rc ·RC); ………….…………..……………………………… (33)
Далее необходимо определим величину угловой скорости ω вращения планеты вокруг Солнца. Воспользуемся ранее введённым типичным множителем для ускорений в виде выр.(28) для величины центростремительного ускорения планеты (gРцентростр.=G·MC /R2C ); (выр.(28)).
А вот величина угловой скорости вращения (ω) планеты вокруг Солнца зависит от фактического радиуса вращения планеты вокруг центра инерции барсистемы двух тел (Солнца и планеты), равного длине отрезка OP = RБ-Р = MС отн ·RC (см.выр.(6)) в барсистеме. В этой барической вращающейся системе Солнце и планета синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра инерции системы двух тел со своими радиусами вращения Солнца (RС-Б выр.(4)) и Земли (RБ-Р выр.(6)) до барцентра.
При вращении планеты по круговой траектории вокруг общего центра инерции с радиусом вращения планеты OP центростремительное ускорение притяжения от Солнца (см.выр.(26)) будет уравновешиваться во вращающейся системе отсчёта центробежным ускорением планеты по известному выражению aцентроб. = ω2·R = ω2 ·OP. При этом заменим относительную массу Солнца на относительную массу планеты (MС отн = (1–mР отн ) (выр.(8)) и тогда:
gP центростр.= ω2·OP = ω2·RБ-Р = ω2·RC ·MС отн = ω2·RC·(1–mР отн); баланс центростремительного и центробежного ускорений планеты при круговой траектории вращения ......................... (34)
Определим из выр.(34) квадрат угловой скорости вращения планеты и подставим величину gP центростр. по закону взаимного притяжения масс из выр.(28) :
ω2 = gP центростр. / (RC·(1–mР отн)) = (G·MC/R2C) / (RC·(1–mР отн)); - квадрат угловой скорости...(35)
Окончательное вид выражения для центробежного ускорения gLцентроб. тела L получим за счёт подстановки ω2 из выр.(35) в выр.(33):
gLцентроб. = ω2 ·(kOL/Rc ·RC) = (G·MC/R2C) / (RC·(1–mР отн)) · (kOL/Rc ·RC);
Выделим общей множитель [G·MC/R2C] и получим итоговое выр.(36) для центробежного ускорения тела L:
gLцентроб. = [G·MC /R2C] · kOL/Rc /(1–mР отн) ; полное центробежное ускорение тела L (по OL) …. (36)
Окончательное выражение для проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из центра инерции системы отсчёта
Подставим выражения для всех трёх проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL из выр.(31, 32 и 36) в выр.(16) получим итоговое выражение для расчёта баланса проекций ускорений тела L на радиус-вектор дальности OL, исходящий из центра инерции системы отсчёта:
LR + LD – gLцентроб. = [G·MC /R2C] · [cos(ϴ)/k2CL/Rc + cos(ϑ) ·mР отн /((1–mР отн)·k2PL/Rc ) – kOL/Rc /(1–mР отн)]; проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы …… (37)
где: mР отн -выр.(5); cos(ϑ) -выр(24); kOL/Rc -выр(12); kPL/Rc -выр(14); cos(ϴ) -выр(19); k CL/Rc –выр.(10));
В итоге, получены окончательные выражения для проекций ускорений малого тела L вдоль радиуса–вектора дальности OL (выр.(37)) и на нормаль к нему (выр.(30)).
Кстати, эти же выражения могут быть использованы также в полной задаче расчёта динамики движения малых тел L в этой же вращающейся барической системе отсчёта OXбарYбар. Для этого необходимо лишь спроектировать эти ускорения с направления OL на направление OP с учётом величины угла γ (см. выр.(21и 22) для sin(γ) и cos(γ)) для перехода в барическую систему отсчёта OXбарYбар. Для расчёта динамики движения тел L в OXбарYбар потребуется ещё ввести двойное интегрирование проекций линейных ускорений тела L для получения текущих составляющих скоростей и координат тела L, т.е. его траектория движения и текущая скорость будут определены по времени для заданных начальных условий (по координатам и проекциям скорости) тела L.
Но поскольку в задаче динамики движения тело L получит свободу перемещения относительно вращающейся системы отсчёта и у него появится линейная скорость Vr, то к проекциям ускорений тела L в системе OXбарYбар необходимо ещё добавить выражения для проекций величины Кориолисова ускорения (2ω × Vr), действующего по нормали к направлению полного вектора линейной скорости Vr и всё время поворачивающего вектор скорости влево от его направления движения (при положительном значении вектора вращения ω, т.е. против движения часовой стрелки, как на рис.1). Иначе говоря, при любом перемещении тела L Кориолисово ускорение (или «поворотное» ускорение) будет всё время действовать в плоскости эклиптики (орбиты) планеты) по нормали к вектору линейной скорости Vr тела L, всё время поворачивая этот вектор против часовой стрелки, т.е. в ту же сторону, куда осуществляется положительное вращение ω (против часовой стрелки) всей барической системы отсчёта вместе с Солнцем и планетой относительно тела L на рис.1.
Георгий 03.06.2020г 11час.30мин. Время моск.
P.S. Из-за громоздкости статьи было решено практические расчёты баланса перенести во вторую часть статьи, в которой на основании выр.(37) для продольного ускорения тела L будут определены балансировочные значения относительного и абсолютного значений коэффициента дальности тела L для точек либрации L1-L3, расположенных на линии «Солнце-Планета». В конце статьи будет приведен универсальный график определения дальности для точек L1-L3 для любых соотношений масс планеты и Солнца.
Уважаемый Виктор Михайлович! Оказывается, Вы "уже не раз" видели в небе какие-то разноцветные вспышки, вспоминали об огнях НЛО, пролетающего над нашим Засвияжъем, и другие подобные явления. Не боитесь за своё звание академика при таких антинаучных признаниях?
Например, мне, любителю, здесь всё ясно (как говорит Гнездилов в сериале "Пёс"). Вспышка - это прокол в другое измерение, пространство которого удаляется от нашей Галактики с околосветовой скоростью. Отсюда - красное смещение. Арктур здесь непричём. Всё.
Правда... Кто сделал этот прокол? Пока непонятно...
----------------
(сегодня вечером...)
Уважаемый Виктор Михайлович! Я хотел это написать в виде шутки. А сейчас прочитал и стало стыдно.. Получилось как-то фамильярно, грубо и неуважительно. Извините меня, пожалуйста... ВИ0540
Уважаемый Всеволод Иванович! Вспышка была очень краткой. Мне показалось, что она имела красноватый оттенок, но это может быть обманом зрения. Длилась вспышка доли секунды и возникла в момент минимального углового сближения станции с Арктуром. Как будто она фиксировала этот факт. Я просто смотрел, не будет ли покрытия Арктура станцией. Но она прошла заметно ниже Арктура, а вспышка была выше и левее Арктура, но не на самой станции. Расстояние угловое было от вспышки до Арктура примерно такое же как и от него до станции. Навряд ли это был метеор.
Вообще-то я уже не раз видел вспышки в ночном небе, не связанные с какими-то объектами. Как-то видел яркую зеленую вспышку к востоку от Веги, но это было несколько лет назад. Иногда вспышки дают вращающиеся большие спутники или вторые ступени, пока не сгорели в атмосфере. Но, как правило, их можно идентифицировать по тому, что через небольшое время, иногда с десяток секунд, вспышки повторяются. А тут была одиночная вспышка. Не понятно.
Да, я не могу вспомнить, какое явление или объект может давать такую вспышку? А насколько она была кратковременной? Если предположить - метеор, летящий точно по лучу нашего зрения, то обычно он сгорает не мгновенно, и вспышка была бы "разгорающейся" и, чем ярче, тем продолжительней. А причину кратковременой спышки я... пожалуй, не знаю. Остаётся что-то "непознанное" - и... тем более интересное.
Из-за пасмурной погоды не удалось наблюдать пролеты 19-21 мая, но сегодня, 22 мая компенсировалось. Небо ясное, практически безоблачное.
Мы разделились. Половина семьи вышла смотреть МКС на свежем воздухе, оставшаяся часть наблюдала через пластиковое окно. Пролет был виден прекрасно, правда, понадобилось высоко запрокинуть голову. МКС долго пролетала над 10-этажным домом.
Отметили 2 момента:
1. На улице при пролете МКС при минимальном сближении МКС с Арктуром чуть выше Арктура и левее была видна яркая вспышка. Ни самолета, ни спутника в этой точке ни до, ни после не было.
2. Окно квартиры выходит на восток. Поэтому большая часть пролета даже перед кульминацией наблюдалась в восточной части.
Всеволод Иванович!
Про прецессию - знаю. Только, знают ли про неё современные доморощенные астрологи? Некоторые из них уверены, что Солнце реально находится именно в тех созвездиях Зодиака, которые они привыкли ассоциировать с различными периодами времени. А оно находится на 1 созвездие "раньше".
А, поскольку, в основе астрологии лежит идея о том, что через конфигурацию небесных явлений, высшие "эфирные" существа показывают нам некие знаки, то современным, творчески мыслящим астрологам стоит задуматься и о смысле прецессионного сдвига Солнца по эклиптике. Наверное, в этом тоже есть некий высший знак?!
Картинка - с астронета.
То, что я - "Телец" здесь нигде не упоминалось. А ты, Илья, откуда это взял? (Я, признаться, сейчас плохо помню эту астрологию. Хотя раньше хорошо в этом разбирался.) По приведённой тобой звёздной карте (откуда у тебя такая красивая картинка?), ты прав, - Солнце скорее в Овне, чем в Тельце. Ну, а прецессию забываешь? Которая за время существования астрологии "увела" реальные звёзды на целый "знак". Т.е. одноимённые ЗНАК и СОЗВЕЗДИЕ сейчас - не одно и то же. (Уверен, что ты это знаешь.)