Уважаемая RMR_astra  поздравляю Вас с праздником, с Рождеством Христовым!  Желаю Вам всего самого хорошего! 

Ваш вопрос как бальзам для моей изголодавшейся теормеховской души! Это моя стихия! В самую точку (L2). Шутка.  Мы постараемся вместе с Вами  разобраться с этими точками L1-L5. Мне ещё пару месяцев назад было не до "сферы Хилла", а теперь,  как видите, разродился последним комментарием на тему "сфер". Надеюсь, Вам понравился мой комментарий. Извините, если поколебал веру многих в обоснованности применения всех сфер с тяжеловесными названиями, но кроме "сферы Хилла" говорить вообще больше не о чем.  Я, надеюсь, убедил и Вас в их бесполезности. А теперь это будет продолжением этой темы, следующим комментарием!  

Если коротко, то  ЯВНОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ  обладают, например,  точки: L1 и L2, да и то НЕПОЛНОЙ, а частичной за счёт своего положения на линии "Солнце-Земля". В одной плоскости, проходящей, например,  через точку L1 (или L2) и перпендикулярную линии "Солнце-Земля" по отклонению тел от этой лини УСТОЙЧИВОСТЬ ЕСТЬ, а вот в направлении вдоль этой же линии "Солнце-Земля" НЕТ никакой устойчивости, а есть положение НЕУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ для точки L1 (а для L2 его вовсе нет), т.е.  балансирования как у канатоходцев.

  В плоскости, перпендикулярной линии "Солнце-Земля" устойчивость по положению, в направлении перпендикулярном этой линии "Солнце-Земля" вызвана тем, что если тело L1 (или L2) начнёт вырываться вперёд или отставать вдоль своей орбиты относительно линии "Солнце-Земля", то ПРОЕКЦИЯ ОТ УСКОРЕНИЯ притяжения Землёй на эту плоскость СТАНЕТ НЕНУЛЕВОЙ И ПРИТЯГИВАЮЩЕЙ тело L1 (L2) к её прежнему положению на линию "Солнце-Земля" независимо от направления ухода (вперёд или назад) от Земли.  Это можно назвать устойчивостью по положению на линии «Солнце-Земля» за счёт ускорения притяжения к Земле.  Когда тела L1 и L2 расположены ровно на одной линии "Солнце - Земля " ПРОЕКЦИЯ ОТ полного УСКОРЕНИЯ притяжения Землёй для этих тел на эту перпендикулярную к линии плоскость НУЛЕВАЯ по величине.  Иначе говоря, Земля за счёт своей гравитации, не замечая  их мизерной массы тянет, за собой два мелких тела, не отпуская от себя ни вперёд, ни назад относительно линии "Солнце-Земля", искажая их нормальные орбитальные скорости, если бы не было притяжения близко расположенной Земли.  Ведь  нормальная величина орбитальной скорость кругового вращения для орбиты тела L1 всегда  БОЛЬШЕ орбитальной скорости Земли, а для тела L2 МЕНЬШЕ  орбитальной скорости Земли, если между телами L1и  L2 не было  бы Земли, например, при её расположении на другой стороне от Солнца. В процессе «волочения» за собой двух тел L1 и L2 (при удерживании их на линии «Солнце-Земля» )  Земля своим  притяжением ДОПОЛНИТЕЛЬНО сообщает БОЛЕЕ ВЫСОКУЮ скорость телу L2, и более НИЗКУЮ скорость для тела L1 относительно их НОРМАЛЬНЫХ ОРБИТАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ на тех же орбитах вокруг Солнца при условии отсутствия притяжения от Земли. При этом мы всё время подразумеваем, что рассматриваем в точках L1 и L2 не простые неуправляемые массы,  а  УПРАВЛЯЕМЫЕ СТАНЦИИ С КОРРЕКТИРУЮЩИМИ ДВИГАТЕЛЯМИ, которые УДЕРЖИВАЮТ  L1 и  L2 от естественного изменения расстояния  между  L1 (L2)  и Землёй вследствие присущей им НЕУСТОЙЧИВОСТИ , стабилизируя дальность за счёт периодических коррекций двигателем требуемые нам расстояния для станций L1 и L2.  

      Действительно, в направлении  линии "Солнце - Земля "  при небольшом отклонении от точки либрации (равенства ускорений притяжения от Солнца и Земли) в любом направлении вдоль линии "Солнце-Земля" тело L1 начнёт притягиваться либо к Солнцу , либо к Земле, т.е. куда отклонилось в том направлении и начнёт ускоряться, как например шар скатывается с гряды возвышенности в любую из сторон, а тело L2 - только всё время стремится "скатиться" в сторону Земли, т.к. у него вообще нет даже точки неустойчивого равновесия, как у L1.  Это и есть неустойчивость положения этих тел как вдоль вышеназванной  линии, так и для подавляющей части всех других линий, направленных под углами, менее 90 градусов к этой линии.   Поэтому-то и нужна подработка двигателями малой тяги (ускорения ведь в начале ухода мизерные) в противоположную сторону от сваливания тел L1 и L2 для компенсации ухода от требуемой нам дальности отстояния тел L1и L2 от Земли. В этом сможет помочь только измерение расстояния тел до Земли и периодическое включение двигателей по достижению предельно допустимого ухода для нас ухода тел от требуемого нам их положения относительно Земли. 

Ещё раз отметим, что НЕУПРАВЛЯЕМЫЕ тела не останутся в этих точках надолго и разбредутся  относительно своей начальной дальности до Землиэ  Но притянуть тела L1(L2) , если они представляют из себя управляемые  искусственные станции близко к Земле мы не позволим за счёт включения корректирующих реактивных двигателей, препятствующих сближению с Землёй (или уходу в сторону Солнца от балансировочного положения для тела L1 (L2 притягивает только Земля).    

Кстати, недавно видел небольшую мультипликацию на тему визуальной демонстрации вот этого вида неустойчивости в направлении «Солнце-Земля», правда, для тел ВРАЩАЮЩИХСЯ вокруг Солнца или Земли в виде эдакой восьмёрки в центре одного из кругов которой расположено Солнце, а в другом центре Земля (а может это была выдуманная пара тел). Так вот при вращении третьего тела на предельной дальности, близкой к положению точки L1,  оно проскакивало через эту самую точку либрации L1с орбиты вокруг одного тела на орбиту вокруг соседнего тела, выписывая траектории в виде восьмёрки. Что вполне можно теоретически допустить.

Приведу Вам аналогию с пространственной формой этой самой НЕПОЛНОЙ  устойчивости из интернета. Где-то я успел недавно её увидеть. Это самое обыкновенное седло для лошади в направлении туловища лошади сечение седла представляет собой что-то похожее на вогнутую кривую, передний и задний выступы седла не дают вам съехать вперёд или назад при торможении или разгоне лошади - это устойчивость вдоль туловища лошади, а вот в перпендикулярном к туловищу направлению сечение седла представляет выпуклую вверх кривую, чтобы Вы могли удобно сидеть без мешающих выступов, а иногда и невольно, свалиться при повороте с лошади в любую сторону влево или вправо. Это уже неустойчивость  в другом направлении. Вот такая картина с устойчивостью для точки L1.  А для точки L2  это не уже не выпуклая вверх кривая, а наклонная линия в сторону Земли  без всяких положений неустойчивого равновесия.

Без периодической (возможно и довольно редкой по времени) коррекции малой тягой в точке L1 всё равно не обойтись.

В этом плане точка  L2 ещё хуже: там нужно ВСЁ ВРЕМЯ КОМПЕНСИРОВАТЬ ускоряющее притяжения от Земли (или же, отдельными редкими включениями двигателя (коррекциями) компенсировать накопившуюся величину сближения с Землёй по расстоянию до неё с момента предыдущей коррекции). Ведь для того, чтобы висеть над планетой БЕЗ орбитальной скорости вокруг неё (не вращаясь) надо  создавать реактивную тягу двигателем, компенсирующую силу притяжения к Земле, ну как, например, у вертолёта: пока винт вращается он висит над Землёй.  Хотя продольная устойчивость  для  L2  вдоль  линии "Солнце - Земля "), как и в L1, тоже есть, но вдоль линии "Солнце - Земля -L2"сечение уже не выпуклая вверх кривая, как в L1, а наклонная кривая в сторону Земли, скатывающая всё время тело L2 в сторону Земли. Так что необходим запас топлива для удержания тел L1 и L2 в требуемых нам положениях относительно Земли.  С точки зрения максимального увеличения миссии нахождения тела в точке L2 это отодвинуться подальше от Земли, где ускорения притяжения от Земли будет поменьше и соответственно меньше требуемый запас топлива на борту станции.

  Подчеркну, что все притягивающие тела (Солнце и Земля) расположены СЛЕВА от точки L2 , а справа от неё НЕТ НИКАКОГО притягивающего тела  , которое смогло бы скомпенсировать силу притяжения от Земли, действующую на L2. , там пустота.  Ведь сила притяжения от Солнца "работает" на вращение обеих тел Земли и L2 , а осталась ещё и сила притяжения между Землёй и телом L2 в её полном виде, а поскольку нет вращения L2 вокруг Земли (т.е.  НЕТ орбитальной скорости вокруг Земли), то оно ускояясь рухнет прямо на Землю какому-нибудь новому несостоявшемуся Ньютону, если не скомпенсировать притяжение Земли силой тяги двигателя.  Ведь справа от Земли, увы, НЕТ второго Солнца для L2. При этом надо на борту станции иметь неприкосновенный аварийный запас топлива для сообщения спутнику к моменту окончания его миссии станций  в точках L1 и L2 (при выработке основного запаса топлива) небольшой орбитальной скорости относительно Земли для их ухода на Земную орбиту, чтобы они не рухнул на Землю, а продолжили свою работу, но  уже в качестве земных орбитальных  спутников и ,естественно, с безусловным покиданием точек  L1 и L2 и  переходом на спутниковую орбиту Земли, где им уже точно не понадобится включать двигатель, если орбита будет довольно высокой без торможения остатками атмосферы на этих высотах.  Хотя для точки L2 этот запас топлива может оказаться даже не нужным, поскольку тело L2 при вращении его на линии «Солнце- Земля» уже более высокую скорость относительно скорости Земли и вполне возможно. Что при падении тела L2 при падении тела в сторону Земли с уже выключенными двигателями оно ДОПОЛНИТЕЛЬНО РАЗГОНИТСЯ Землёй  и сможет выйти на эллиптическую довольно вытянутую орбиту, как и в моей задаче «Трёх тел» на максимальной дальности «сферы Хилла» (при условии соответствующего превышения  по скорости относительно скорости Земли за счёт соответствующей дальности отстояния тела L2 от Земли). Возможность этого саморазгона надо проверить расчётами, или определить такую большую дальность отстояния L2 от Замли, чтобы это выполнялось. Однако, скорее всего, такая вытянутая орбита с существенно переменной эллиптической скоростью вращения не подойдёт для станции  и тогда надо иметь специальный неприкосновенный запас топлива, чтобы сообщить станции дополнительную скорость до величины КРУГОВОЙ орбитальной скорости вокруг Земли на типовой для тела L2 дальности, которую поддерживали до этого ранее коррекциями двигателя.

   Благодаря одному из комментариев в Интернете наткнулся на упоминание о БАР-Центре. И тут же понял, что это тот самый возможный и ЕДИНСТВЕННЫЙ источник дополнительных возмущений при расчёте влияния Солнца на тела, для точек L3-L5, объясняющий их существование как либрационных точек. В своей полной программе "Трёх тел" в блоке расчёта начальных условий мне приходится определять его координаты. Короче суть состоит в том, что центр вращения системы Солнце-Земля расположен не в центре масс Солнца, а чуть смещён в сторону Земли в отношении обратной пропорциональности их масс. И поэтому и Земля и Солнце вращаются относительно него, а не вокруг центра масс Солнца. Это, возможно, и  приведёт к тому, что Солнце описывает вокруг Бар-Центра также мизерную круговую орбиту, как и Земля свою орбиту вокруг Бар-центра. Это можно представить в виде вращения длинного горизонтального стержня на концах которого расположены Солнце и Земля вокруг вертикальной оси, приваренной вместе Бар-центра, слегка смещённого от Солнца в сторону Земли), а вот теперь Солнце, возможно,  сможет вносить дополнительные возмущения на движение мелких тел L3-L5 которые будут вращаться уже НЕ ОТНОСИТЕЛЬНО Бар-Центра как Земля и Солнце, а относительно ТОЛЬКО ЦЕНТРА МАСС Солнца, поскольку их массы не сравнимы с массой Земли и уж тем более Солнца и НИКАКОГО дополнительного смещения Солнца в их строну НЕ БУДЕТ.  А вот влияние этого дополнительного "эксцентриситета" вращений точек L3-L5 вокруг Солнца, а  Земли и Солнца  вокруг Бар-Центра надо проанализировать. Мне можно и  промоделировать это на своей программе "Трёх тел", но потребуется её доработка по изменению блока ввода начальных условий для тел типа L1-L5. 

 Однако на движение  L1 и L2  вращение Солнца вокруг Бар-Центра не окажет никакого влияния, т.к. эти точки лежат на одной прямой Солнце-Земля. Для них все вышеприведенные выводы останутся без изменений.

  В  процессе анализа точек L1-L5 забыл ответить на ваш прямой вопрос о точке L2 по поводу равенства ускорений от Солнца и Земли. Поискав информацию о точках L1 в L2 интернете увидел картинку, где для этих точек берут расстояние из "сферы Хилла" ПО ОБЕ СТОРОНЫ ОТ ЗЕМЛИ величиной  1,5 млн.км (хотя правильнее брать более точную оценку этой дальности из рис.1 предыдущего моего комментария о "сферах" ~1,68млн.км). Это весьма странно для внешней стороны от Земли, т.е. для точки L2.  До этого я не знал о конкретной величине дальности до точки L2 и рассуждения проводил выше в общем виде без учёта величины дальности. И понял, что, возможно,  по умолчанию имеется в виду, видимо,  дальность до L2, соответствующая радиусу  "сферы Хилла" для Земли, хотя это вовсе и необязательно для L2, т.к. для неё НЕТ положения УРАВНОВЕШИВАНИЯ ускорений от Солнца и Земли, поскольку они для тела L2 ТОЛЬКО СУММИРУТСЯ, т.к. Солнце и Земля расположены по одну сторону от тела L2 ! А вот для тела L1 они вычитаются и на дальности близкой к радиусу "сферы Хилла" для Земли полностью уравновешиваются и тело свободно висит между двумя притягивающими в разные стороны большими массами и поэтому появляется неустойчивое положение равновесия для тела L1.

  Повторюсь, видимо, многие считают точку L2 (с дальностью от Земли, раной радиусу "сферы Хилла") похожей на L1 с точки зрения равенства ускорений притяжения от Солнца и Земли. Элементарное заблуждение!  Если в точке L1  они РАЗНОНАПРАВЛЕНЫ и уравновешивают друг друга до НУЛЯ, то в точке L2, отстоящей на почти такое же расстояние (оно немного поменьше, но это сейчас неважно) эти ускорения уже СУММИРУЮТСЯ как НАПРАВЛЕННЫЕ УЖЕ В ОДНУ И ТУ ЖЕ СТОРОНУ к Солнцу. 

  Но уже было отмечено в начале данного ответа, реально надо учитывать не их сумму, а только УСКОРЕНИЕ от Земли, т.к. ускорение от Солнца полностью занято  искривлением траектории L2, превращая её в орбиту вокруг Солнца, как  и одновременно с этим формирует орбиту вращения и для Земли.  А в остатке имеем ускорение притяжения от Земли для тела L2, под воздействием которого тело L2 всё время  стремится к ускоренному падению на Землю.

 Все мои рассуждения проводились в ИНЕРЦИАЛЬНОЙ невращающейся  системе координат, в которой все тела видны из космоса (в положении  над Солнцем)  ВРАЩАЮЩИМИСЯ ВОКРУГ него и поэтому мне не надо было заморачиваться учётом  фиктивных центробежных сил (а точнее, центробежными ускорениями) из-за вращения тел вокруг Солнца.

 Теперь можно, для сравнения,  провести этот же анализ ускорений для L2 и в неинерциальной ВРАЩАЮЩЕЙСЯ Системе Координат(СК) с началом в центре масс Солнце  и продольной осью направленной на центр масс Земли и поэтому уже  вращающейся вместе с угловой скоростью вращения Земли вокруг Солнца, как это было сделано  в рис.для "сферы Хилла", приведенном в начале статьи. Для этого нам надо к ДОПОЛНИТЕЛЬНО  к гравитационным ускорениям от Солнца и Земли, действующим на тело L2,  ДОБАВИТЬ ещё и ЦЕНТРОБЕЖНОЕ УСКОРЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛА  НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СК, вызванное её вращением с угловой скоростью вращения Земли, которое и уравновесит ТОЛЬКО УСКОРЕНИЕ  ОТ СОЛНЦА для  L2.  Однако при этом НЕ НАДО забывать, что на тело L2  ДЕЙСТВУЕТ  ускорение от Земли, которое, в итоге,  осталось ничем нескомпенсированным, и будет вызывать ускоренное падение к Земле.      Видимо, многие, и забывают об ускорении, вызванном притяжением Земли, когда прикладывают ЦЕНТРОБЕЖНОЕ ускорение в неинерциальной СК, вызванное вращением тела L2 вокруг Солнца, и которое ЧИСЛЕННО РАВНО УСКОРЕНИЮ ОТ ЗЕМЛИ НА ДАЛЬНОСТИ  отстояния L2 от Земли  ДЛЯ "СФЕРЫ ХИЛЛА", где они действительно равны и наивно, полагают при этом, что ЗА СЧЁТ ЭТОГО ОНИ ОБНУЛИЛИ ВСЕ УСКОРЕНИЯ, действующие на L2,  ЗАБЫВ  про  действующее ничем нескомпенсированное ускорение от Земли.  

Так что, реально надо выводить станции в точку L2  не на дальность "сферы Хилла", а как можно дальше, что бы сэкономить на расходе топлива для компенсации притягивающего полного ускорения от Земли, но при этом будет ещё и ослабевать (но не пропадёт из пределами "сферы Хилла")  эффект от стабилизации по скорости за счёт Земли, увлекающей тело L2  к линии «Солнце-Земля».

  Впрочем, не надо думать, что в точке L2 ситуация по требуемому расходу намного хуже, чем в точке L1. Сами коррекции по величине тяги, а точнее, по расходу топлива на удержание  в области этих точек при дальности до L2, как и для  L1, равой радиусу "сферы Хилла"при УСЛОВИИ ОДИНОКОВОГО ОТКЛОНЕНИИ ОТ этих точек телами L1 и L2 ПО РАССТОЯНИЮ БУДУТ, естественно , РАВНЫМИ ПО ВЕЛИЧИНЕ РАСХОДА ТОПЛИВА , необходимому для возврата тела в исходное требуемое состояние на  одинаковую расчётную дальность (радиуса Хилла) , поскольку зависимость гравитационного притяжения Земли от дальности в обе стороны от Земли на точки L1и L2 симметричная, а ускорение от Солнца здесь ни при чём, т.к оно занято своим делом искривления траектории полёта Земли и тел L1 и L2 .

   Но разница между точками L1 и L2 всё-таки есть и состоит она в том, что при УДАЧНОМ ВОЗВРАТЕ ТОЧНО в точку L1, где обнулится разность ускорений от Солнца и Земли, тело L1 может  довольно долго продержаться в этом состоянии НЕУСТОЙЧИВОГО равновесия, пока оно рано или поздно из-за внешних возмущений обязательно начнёт опять отклоняться либо в сторону Солнца, либо к Земле. И чем ДОЛЬШЕ ПО ВРЕМЕНИ тело L1 будет сможет продержаться в состоянии неустойчивого равновесия НА СТОЛЬКО ЖЕ ДОЛЬШЕ ПО ВРЕМЕНИ до следующей коррекции своего положения оно сможет продлить СВОЮ МИССИЮ (до момента исчерпания бортового запаса топлива) НАХОЖДЕНИЯ в ТОЧКЕ L1  ПО СРАВНЕНИЮ С ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ МИССИИ для тела L2 (конечно же, при одинаковых условиях их по начальной массе и запасу топлива).  Ведь у тела L2 , по сравнению с тело L1  в принципе НЕТ ТАКОГО СОСТОЯНИЯ НЕУСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ  из-за того, что на него ВСЁ время действует ускорение притяжения от Земли!  И как только мы вернём за счёт очередной коррекции тело L2 на требуемое нам расстояние, равного величине радиуса "сферй Хилла,"   и выключим двигатель коррекции оно тут же  начнёт ускоряться в обратную сторону к Земле до момента следующей коррекции и т.д. .

Единственное, что поможет дополнительно продлить МИССИЮ  тела L2 в сравнении с миссией этой же станции в точке  L1 это снизить расход топлива на каждую коррекцию за счёт  вывода тела L2  на большую дальность, чем у тела L1, т.е. на расстояние большее радиуса "сферы Хилла", чего нельзя сделать, кстати, для тела L1, т.к оно жёстко определено величиной радиуса "сферы Хилла". Но, при этом надо учесть и проанализировать расчётами возможное  снижение эффективности удержания тела L2  Землёй по скорости  на линии "Солнце-Земля-тело L2" из-за уменьшения величины Земного ускорения. 

Георгий     09.01.2020 18ч.10м. вр.моск.