Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет
Траектория Луны в гелиоцентрической системе отсчета.

Данная статья выражает собственное мнение автора и выставлена в личном блоге.

This research has made use of NASA's Astrophysics Data System

        Луна в своем движении вокруг Солнца совершает довольно сложные маневры, пересекая орбиту Земли. Можно подумать, что ее траектория напоминает синусоиду, наложенную на эллипс. Но тогда местами кривизна траектории становится положительной, т.е. выпуклой в сторону Солнца, что существенно нарушает баланс сил инерции и гравитации. 

Решение этого непростого вопроса я нашел в статье столетней давности 

Title: The Moon's Orbit Around the Sun

Authors: Turner, A. B.
Journal: Journal of the Royal Astronomical Society of Canada, Vol. 6, p.117
Bibliographic Code: 1912JRASC...6..117T

http://adsabs.harvard.edu/full/1912JRASC...6..117T

Позволю себе процитировать ее целиком

Перевод таков:

 

Мы привыкли думать о Луне как принадлежащей исключительно Земле и описывающей за год волнистый путь по отношению к орбите Земли. Очевидно, такая орбита Луны будет вогнутой в сторону солнца с 1-ой четверти до полной луной в 3-ей четверти и выпуклой с 3-го четверти через новолуние до первой четверти, а в некоторых старых книгах по астрономии, это было неправильно представлены таким образом. (Рис. 1).

Благодаря, однако, тому факту, что расстояние Луны от Земли очень мало по сравнению с расстоянием Земли от Солнца (около 1/400), а также тому, что она делает около 13 оборотов вокруг Земли в год, то лучше рассмотреть путь Луны, как тело описывающее орбиту вокруг Солнца, которая постоянно слегка возмущена притяжением Земли. Такой путь всегда будет вогнутым к солнцу, но близок к орбите Земли, пересекая ее два раза в месяц. Приближенное математическое решение задачи получено в предположении, что Земля движется по окружности, а орбита Луны представляет собой круг в той же плоскости. Возьмем Солнце в начале координат, пусть а радиус орбиты первого, с периодом Т. и b радиус орбиты спутника, с периодом Т / n, движущегося в той же плоскости. Начальные координаты спутника возьмем в фазе «новой» Луны, дальнейшее движение будет таким:

Рис 2. 

 

Теперь радиус кривизны определяется по формуле

Дифференцируя и подставляя мы находим, что для любой точки Р пути спутника

Когда …

 числитель всегда вещественный и положительный, а знак р зависит от знака знаменателя.

Три случая будут рассмотрены...

На этом я остановлюсь.

Я проверил правильность выкладок. Они верны. Но расчет по ним сделан автором не совсем точно.

Расчет в среде MathCad дает следующие результаты:

Орбита Луны практически не отличима от овала, кривизна которого не меняет знак, а вогнутость всегда обращена к Солнцу.

Это подтверждает и расчет по приведенной формуле для радиуса кривизны:

Итак, в новолуние радиус кривизны гелиоцентрической орбиты Луны составляет 1,621 а.е., а в полнолуние 0,749 а.е. (здесь Тёрнер ошибся). Теперь, если мы посчитаем баланс сил инерции, гравитации Земли и гравитации Солнца, то окажется, что несмотря на двойной перевес солнечной гравитации к земной, дисбаланс с силами инерции составит порядка 5% от от гравитации к Земле. При этом дисбаланс носит сжимающий характер, т.е. в полнолуние и новолуние он прижимает лунную гелиоцентрическую орбиту к земной.

Уважаемый Ingus,

Подскажите, пожалуйста, вот тут сформировался такой вопрос.

Если наблюдать движение Луны относительно Солнца, мы обнаружим самостоятельную солнечную (гелиоцентрическую) орбиту некоторого планетарного (+/-) тела, расположенную на сравнительно небольшом расстоянии от орбиты другого планетарного тела, большего по размерам. 

Тут мы видим, что когда Луна находится на внутренней стороне орбиты Земли она "по идее" должна меньший путь (по хорде орбиты) проходить быстрее, чем на внешней стороне (по дуге, большей чем дуга орбиты), где расстояние должно быть больше. Иными словами, если мерять цикл Луны дугами солнечной орбиты Луны, то путь от певрой четверти до третьей должен быть фактически длиннее, чем, скажем, от новолуния до полнолуния и от полнолуния до новолуния, которые "как бы" средние по величине.

Однако, на более коротком внутреннем участке Луна еще и "отстаёт" от Земли, а на внешнем - "обгоняет" Землю.

Значит ли это, что гелиоцентрическая орбитальная скорость Луны имеет переменную величину? Или всё-таки она постоянна, как и у Земли?

Помогите рассчитать фактическую гелиоцентрическую (не геоцентрическую) орбитальную скорость Луны на участке от полнолуния до новолуния и от от первой четверти до третьей и опять до первой, одного и того же цикла, например, в области перигелия Земли, например, текущего. Или хотя бы подскажите методику, как это сделать.

 

 

Уважаемый Ingus, (простите, а как Ваше имя-отчество?), я вынужден прервать наш интереснейший диалог до понедельника, когда надеюсь с вашей помощью узнать еще пару астрономических секретов. Надеюсь, я не слишком Вас утомляю?

У меня помимо лунной темы есть еще кое-какие вопросы по небесной механике, могу ли я расчитывать на вашу помощь?

Уважаемый Stupa, в миру я Иван Евгеньевич. А Вы? И да. Мне приятно быть полезным и отвечать на вопросы истинного ценителя вечности. Ибо только таковым интересна Луна и небесная механика, в которой я кое-что понимаю.

Уважаемый Stupa!

Благодарю за внимание, проявленное к моему скромному труду! Слова порой нас вводят в заблуждение, формулы же беспристрастны. В статье привдена зависимость гелиоцентрических координат Луны от углов. Положим угловые скорости движения Земли и Луны постоянными и продифференцируем координаты по времени. В итоге мы получим гелиоцентрическую скорость  Луны в любой момент времени. Давайте график ее построим, что ли.

По поводу слов и формул полностью согласен. Давате построим график. Только как? Мне, как неспециалисту, не очень понятно, с чего начать.

По поводу вашего скромного труда хочу заметить, что в интернете нигде больше не нашел ни одной статьи по вопросу гелиоцентрической орбиты Луны (в русском сегменте, у буржуев не искал). А мне кажется, этот факт заслуживает более пристального внимания. Ведь это в итоге касается всех вообще спутников всех планет. 

А Вы до какой степени неспециалист? Производные брать умеете? Писать формулы LaTex можете?

Нужно взять производную от $x=a\cos\theta-b\cos n\theta$

А нельзя посчитать реальную скорость Луны в км/с через истинную аномалию Земли?

Насколько я помню из школьного курса математики, производная от указанной вами функции должна быть: x'= b*n*sin nθ - a*sinθ

Честно сказать, давненько я "не брал в руки шашек"... Что такое LaTex я не знаю :( Но могу посчитать в экселе.

Выше вы считаете n=13, а дробное значение, т.е. 12,37,  тут нельзя подставить?

Ну потрудитесь, уж,  что тут сложного? Два значка доллара, а между ними выражение... И все у нас с Вами красиво получится:

Как я и сказал, положим угловую скорость обращения Земли по орбите постоянной и равной $\Omega$. Тогда $\theta=\Omega t$. Следовательно, 

$\dot{x}=b n \Omega \sin n \Omega t - a \Omega \sin \Omega t$ 

Так?

А теперь сделайте для $\dot{y}$ то же самое...

Поставил texmaker, разберусь с ним и вернусь к Вам на консультацию.

Вот здесь очень просто можно научиться писать формулы http://www.codecogs.com/eqneditor

 

Формулы кажется такие должны быть, но как из них график построить в этом latex пока не понимаю.

Замечательно! Быстро Вы освоились! Вот только забыли точку поставить над $x$ и $y$.  \dot x=$\dot x$

Теперь возведите обе компоненты скорости в квадрат и сложите.

В смысле, x'2+y'2?

А в чем смысл?

Ну мы же скорость ищем? Луны. Гелиоцентрическую.

 

так?

Боюсь, что не так... Как Вы получили удвоение? Давайте распишем здесь квадраты компонент:

$\dot x ^2=b^2n^2\omega^2\sin^2 n\omega t+a^2\omega^2\sin^2\omega t-2abn\omega^2\sin\omega t\sin n\omega t$

Понял про значки доллара. 

Итак:

$\dot x^{2} + \dot y^{2} =b^{2}n^{2}\omega ^{2}+a^{2}\omega ^{2}-4abn\omega ^{2} cos(\omega t-n\omega t)$

Короче, итог, кажется, такой:

у меня почему-то код формул не получается вставить, в предпросмотре он остается кодом, только картинкой получается

А что за браузер у Вас?

так?

Я в четверке сомневаюсь... и не видите ли Вы возможность свернуть выражение в скобках?

$\dot x^{2} + \dot y^{2} =b^{2}n^{2}\omega ^{2}+a^{2}\omega ^{2}-2abn\omega ^{2} cos(\omega t-n\omega t)$

ну да, с 4 погорячился

Какие скобки свернуть, в косинусе?

Что можете сказать о графике?

Воот! Уже лучше. Это уже можно построить...

 

И да, простите, а какова все же формула скорсоти v(t)? Прямо так:

$v(t)=\dot x^{2} + \dot y^{2} =b^{2}n^{2}\omega ^{2}+a^{2}\omega ^{2}-4abn\omega ^{2} cos(\omega t-n\omega t)$  ?

 

Конечно нет! 

$v^2(t)=\dot x^{2} + \dot y^{2} =b^{2}n^{2}\omega ^{2}+a^{2}\omega ^{2}-4abn\omega ^{2} cos(\omega t-n\omega t)$

А, ну да, понятно.

А чему равны переменные, в частности ω

 И t это что, дни?

С размерностями нужно аккуратнее... Первое правило. Расстояние всегда метры, время - секунды, масса - килограммы. Тогда не запутаетесь. $\omega$ это $2\pi$ деленное на продолжительность года в секундах.

А n в таком случае чему равно? 12,369?

И a - большая полуось в метрах? А b ?

Похоже, что скорость Луны на гелиоцентричекой орбите есть величина переменная. Единицы измерения тут не очень ясны, но по всей вероятности, она должна быть в диапазоне 28,7-30,7 км/с. Причем в начале периода она минимальная, в середине периода - достигает максимума и снова доходит до минимума к смене периодов. Что тут мы считаем началом периода? Новолуние?

Вопрос вот в чем: откуда она "знает", что ей нужно то притормаживать, то разгоняться?

Да. Новолуние это начало. Традиционно. Скорость меньше земной. Луна отстает. В полнолуние скорость выше земной. Луна обгоняет Землю. Знание ей дает Земля. Коль уж мы заговорили о разгоне и торможении, не посчитать ли нам ускорение Луны? Ускорение это вектор. У нас есть два источника силы - Солнце и Земля, две силы и две компоненты ускорения - к Солнцу и к Земле. Найдем их и оценим игру сил, кто там верховодит... Справимся?

Можно попробовать. Ускорение это ведь, кажется, производная от скорости? Только наверное лучше в другой ветке, а то тут уже ничего не видно.

И еще раз, пожалуйста, скажите, какие значения вы подставили в уравнение, я хочу у себя "в экселе" получить график и с ним поэкспериментировать.

 

да, точно так и у меня