Не собирался я заниматься подбором параметров. 

Я Вам больше скажу, гелиоцентрической орбиты Луны тоже не существует... Солнце же не покоится... Все движется. И все зависит от того, где находится наблюдатель. Вы где находиться предпочитаете? На Солнце? Тогда да, орбита Луны похожа на орбиту Земли. А я вот в центре галактики нашей был. Как посмотришь оттуда, Луна такие кренделя выписывает! А  по возвращении домой в окно глянешь - Луна вокруг Земли так и ходит...

У нас нет точного знания о том, как образовалась система Земля-Луна, только несколько гипотез. 

Задача трех тел в случае С-З-Л упрощается, ибо Солнце в силу превосходства его массы можно остановить.

Хотите Кеплера понять? Второй закон выводится из сохранения момента импульса? Запишите момент импульса Луны и скажите сохраняется он или нет.

"Чтобы продать что-нибудь ненужное, нужно сначала купить что-нибудь ненужное, а у нас денег нет". Чтобы понять что-либо, нужно  отказаться от мелочей, типа эллиптичности, упростить модель так сказать. 

Хм. Понимаете, Иван Евгеньевич, Ваша изначальная статья привлекла меня как неспециалиста, поскольку тут было предложено красивое решение для гелиоцентрической орбиты Луны без учета GM. Когда мы с вами посчитали скорость теми же методами, как Вы говорите, эмпирическими, всё это стало ещё интереснее, поскольку мы тут имеем дело исключительно с гелиоцентрической орбитой. Единственное допущение, которое мы делаем, это то, что расстояния a и b постоянны. Вместо а мы можем подставить реальное значение радиус-вектора, для b мы также можем взять некоторую переменную величину - фактическое расстояние. Ведь оно же нам известно? 

Лично для меня является фактом, что никакой геоцентрической орбиты Луны не существует в природе, она существует только в нашем воображении. Геоцентрическая орбита нужна нам как математическая модель для решения ряда прикладных задач. Поэтому, очевидно, подбор параметров вырастает в сложную задачу, потому что мы хотим умозрительную модель привязать к реальному движению, не имея при этом ясного понимания того, как и почему данное движение (орбитальное, осевое) вообще происходит. Не знаю, готовы ли вы согласиться, что помимо ряда неподтверждаемых гипотез мы ничего не знаем ни о происхождении Земли и Луны, ни о том, как и почему они движутся. Зачем нам озадачиваться подбором параметров, если никакой реальной эмприрке это всё равно не соответствует? Не лучше ли рассматривать реальное движение и в нём пытаться обнаружить какие-нибудь закономерности. 

Когда мы хотим посчитать, как действуют на Луну массы Солнца и Земли, мы приходим, если я првильно понимаю, к задаче о взаимном движении трех тел. Мне сдаётся, что эта задача в общем случае не имеет решения. И конечно, без учета масс и расстояний, т.е. без батюшки Ньютона тут и вовсе делать нечего. Однако, позвольте спросить, можем ли мы сделать еще какие-то шаги в исследовании гелиоцентрической орбиты луны без учёта масс Солнца, Земли и Луны? Например, можно ли рассмотреть движение Луны по своей орбие (гелиоцентрической) с точки зрения второго закона Кеплера? Ведь если небесное тело движется по гелиоцентрической орбите, то этот закон для такого тела должен выполняться? 

Я все пытаюсь Вам втолковать, что решая систему ДУ для движения Луны в поле тяготения Солнца и Земли одновременно очень трудно подобрать параметры, чтобы Луна двигалась точно по окружности около Земли, как в нашей эмпирической модели...

Для этого достаточно, чтобы b было постоянным. Ну, и угол поворота. Разве в представленной модели геоцентрическая орбита Луны и так уже не круговая? 

Если бы Луна за одни земные сутки успевала бы сделать 10-20-100 оборотов вокруг Земли, наверное,  имело бы смыл говорить о геоцентрической орбите Луны. А так... Неужели мы без нее никак не обойдёмся? Или, зачем нам эти данные? Они сильно упрощают расчёты?

$\overline \rho=(x,y)$

$\overline a_{m-s}=(\frac{G M_s}{(x^2+y^2)^{3/2}} x, \frac{G M_s}{(x^2+y^2)^{3/2} }y)$

$\overline r=??$

$\overline a_{m-e}=??$

Продолжите...

А когда мы брали производные, это не было решением ДУ? Каково же тогда исходное уравнение?

Геоцентрическая? Мне кажется, у геоцентрической орбиты тут нет шансов. Если из этих параметров нужно сделать окружностью гелиоцентрическую орбиту, то мне кажется, $b$ и $n$ должны быть равны 1.

Расшифоровать. 

$\overline a_m$ - надо полагать, искомое укорение. $M_s$ - масса Солнца. $M_e$ - масса Земли. $\overline \rho$ - радиус-вектор Солнце-Земля, $\overline r$ - радиус-вектор Земля-Луна. Так?

Но разве в числителе не должно стоять произведение масс?

$\overline a_m=\frac{G M_s M_m}{\rho^3} \overline \rho+\frac{G M_e M_m}{r^3}\overline r$

Если так, то не понятно, где же тут масса Луны? Разве она не нужна нам здесь? Вообще, мне представляется, что по сути нам нужно два других вектора, вектор Земля-Луна и вектор Солнце-Луна. Если мы рассматриваем гелиоцентрическую орбиту Луны, а не системы "Земля-Луна".

И еще. Честно сказать, я до последнего момента верил, что мы сможем обойтись тут без G и масс. Хотя и не понятно, как в таком случае можно оценить влияние Земли и Солнца. Как вы считаете, можно ли это GM как-нибудь вынести за скобки?

Если с расшифровкой я не ошибся, то по всей вероятности координаты $\overline \rho$ должны быть $(x=a*cos\theta, y=a*sin\theta)$. Для $\overline r - (x=b*n^2*cos(n\theta), y=b*n^2*sin(n\theta$)), а для $\overline a_m$ по всей видимости сумма этих двух, т.е. по сути та самая вторая производная, которую мы брали.

Я понимаю, что по сути расстояния a и b мы можем рассматривать как векторы. В новолуние они будут противоположны по направлению, т.е. получится (a-b), a в полнолуние наоборот, оба будут направлены в сторону Солнца, (a+b). В этих точках ускорение будет достигать экстремумов. А в первой и третьей четвертях они будут перпендикулярны, и в этих точках ускорение меняет знак. Я только не знаю, как это записать в виде формул. Практического навыка не хватает.

Вы правы, это опечатка, а на самом деле это : Солнце-Луна и Земля-Луна.

А почему не Солнце-Луна и Земля-Луна? Мы же хотим оценть влияние Солнца и Земли на Луну?

Честно сказать, не знаю, с какой стороны подойти к этой задаче. Подставить в формулы углы и получить координаты? Но это будет пара координат, а тут, как я понимаю, должно быть минимум две пары, раз векторов два.

А в итоге что мы должны получить, график? У меня получился такой: