Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет
Отчет по гранту РФФИ 11-01-00747-а (2011)
Название проекта: Математическое моделирование нелинейных волновых процессов с помощью метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к задачам механики и гидродинамики
 
Аннотация:
Проект направлен на построение математических моделей нелинейных процессов в различных механических и гидродинамических системах на основе метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа с помощью его распространении на многомерные нелинейные уравнения в частных производных размерности 1+1, 1+2 и выше, а так же на уравнения конечномерных и решеточных динамических систем. В качестве основных приложений будут рассматриваться модели нелинейных волн в сжимаемой жидкости, модели конечномерных и решеточных механических и физических систем
 
Фундаментальная научная проблема, на решение которой направлен проект:
Проект направлен на решение фундаментальной проблемы создания новых методов аналитического и численного моделирования и анализа нелинейных процессов как в непрерывных, так и дискретных системах, на основе различных вариантов метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа с приложениями к гидродинамике сжимаемой жидкости, к моделям дискретных механических, физических и биологических систем и к обработке данных.

 
Конкретная фундаментальная задача в рамках проблемы, на решение которой направлен проект:
Конкретными фундаментальными задачами, на решение которых направлен проект, являются:
1) Методы построения и анализа моделей одномерных, двумерных и трехмерных течений сжимаемой жидкости (вязкой и идеальной), основанные на линеаризации уравнений Эйлера и Навье-Стокса с помощью многомерных обобщенных подстановок Коула-Хопфа.
2) Развитие метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа для нелинейных задач в размерности 1+2 и выше.
3) Построение, анализ и классификация конечномерных моделей механических, физических и биологических систем, уравнения которых допускают линеаризацию с помощью дифференциально-алгебраического аналога обобщенных подстановок Коула-Хопфа.
4) Применение дифференциально-алгебраического обобщения метода подстановок Коула-Хопфа к задачам обработки изображений.
5) Применение дифференциально-алгебраического обобщения метода подстановок Коула-Хопфа к построению и анализу нелинейных динамических моделей на решетках с приложениями к задачам механики и физики.
 
 
Предлагаемые методы и подходы:
В качестве основных методов при выполнении проекта будут использоваться:
1) метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и выше, который был разработан в последние два года в работах нашей группы (Журавлев, Никитин, 2007; Журавлев, Зиновьев, 2008; Журавлев, 2009, 2010);
2) Методы применения подстановок Коула-Хопфа для анализа задач многомерных течений сжимаемой жидкости (Журавлев, Зиновьев, 2008, 2010)
3) Дифференциально-алгебраическое обобщение метода подстановок Коула-Хопфа для решеточных моделей и сеточных аналогов нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (Журавлев, Самойлов и др., 2009).
4) метод обратной задачи рассеяния для точноинтегрируемых нелинейных эволюционных уравнений в форме метода тождеств Лагранжа (Журавлев, 1996; Журавлев, 2001) и метода преобразования Дарбу для многомерных нелинейных эволюционных уравнений;
5) Современные методы численного анализа и визуализации процессов на ЭВМ.

Ожидаемые в конце 2011 года научные результаты:
К концу 2011 года будут достигнуты следующие результаты:
1) Разработана методика вычисления уравнений сжимаемой жидкости, линеаризуемых с помощью метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и выше, и проведен анализ моделей течений с различными типами пространственных симметрий.
2) Развит дифференциально-алгебраический вариант метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к конечномерным и решеточным системам, с использованием понятия разностных производных и дифференцирования на матричных алгебрах. На его основе проведены исследования конечномерных механических и биологических систем, в том числе, моделей гиперциклов.
3) Построены и исследованы линеаризуемые модели течений сжимаемого самогравитирущего газа. Рассмотрены их приложения к задачам астрофизики.
4) На основе дифференциально-алгебраического варианта метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа проведен анализ решений нелинейных уравнений, являющихся сеточными аналогами нелинейных уравнений в частных производных типа Бюргерса с различными дисперсионными свойствами.

 

ОТЧЕТ 2011 года
 
Аннотация
 
Методом обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПКХ) проведены исследования динамики сжимаемой среды в собственном поле тяготения для различных типов начальных условий. Построены аналитические модели формирования плотных объектов из пылевых облаков и модели формирования обратной волны в самогравитирующей пыли при начальном условии в форме расходящейся от центра волны разряжения. Найдены точно решаемые модели формирования плоских волн сжатия при наличии глобального потока расширения среды типа потока Хаббла. Предложен метод анализа условий замыкания систем базовых дифференциальных соотношений в МОПКХ для вспомогательной функции с помощью методов теории графов. Рассмотрены новые варианты построения интегрируемых с помощью МОПКХ уравнений на сетках. Проанализированы новые уравнения на сетках и их точные решения. Разработан первый набор алгоритмов построения с помощью МОПКХ нелинейных эмпирических моделей процессов на основе цифровых рядов и изображений. Рассмотрены новые варианты применения МОПКХ к динамическим системам, связанным с алгебраическими структурами с различными типами симметрий. Проведены исследования способов вычисления интегралов движения для динамических систем, связанных с алгебрами.
 
Основные публикации
 
1. В.М. Журавлев, К.С. Обрубов. Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа в теории конечномерных нелинейных динамических систем. Вест. Сам. гос. тех. ун-та. Серия. Физ.-Мат. науки.- 2011. N 1(22). C. 83-89

2. В.М. Журавлев, П.П. Миронов. Динамика случайно-возмущенной системы Вольтерра-Лотки и метод максимальной энтропии. Нелинейный мир, - Т.9, N 4, 2011. C. 201-212

3. V. M. Zhuravlev and D.A.Zinov’ev. Nonlinear Waves in Self-Gravitating Compressible Fluid
and Generalized Cole−Hopf Substitutions. Physics of Wave Phenomena, 2011, Vol. 19, No. 4, pp. 313–317

4.  V. M. Zhuravlev, T. V. Podymova, and E. A. Pereskokov. Cosmological Models with a Specified Trajectory on the Energy Phase Plane.Gravitation and Cosmology, 2011, Vol. 17, No. 2, pp. 101–109.

5. В.М. Журавлев, С.В. Летуновский. Анализ долговременной эволюции активности Солнца на основе ряда чисел Вольфа. (I Методика). // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2010, N4, c. 120-129 (rar-архив)

7. В. М. Журавлев, А. В. Патрушев. Динамика самогравитирующего пылевого диска
в слабонелинейном режиме. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион.Физико-математические науки.-2011.-N1.-C. 69-78

8. В.М. Журавлев, С.В. Летуновский. Анализ долговременной эволюции активности Солнца на основе ряда чисел Вольфа. (II Результаты). // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2011, N3, с 161-175

9. Zhuravlev V.M. A topological interpretation of quantum theory and elementary particle structure. Gravitation and Cosmology, 2011, Vol. 17, No. 3,pp. 201–217.

 

Развернутый отчет

3.1.    Номер проекта
11-01-00747
3.2.    Название проекта
Математическое моделирование нелинейных волновых процессов с помощью метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к задачам механики и гидродинамики
3.3.    Коды классификатора, соответствующие содержанию фактически проделанной работы
01-201 01-207 01-214 01-421 01-422 01-434
3.4.    Объявленные ранее цели проекта на 2011 год
К концу 2011 года будут достигнуты следующие результаты:
1) Разработана методика вычисления уравнений сжимаемой жидкости, линеаризуемых с помощью метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в размерности 1+2 и выше, и проведен анализ моделей течений с различными типами пространственных симметрий.
2) Развит дифференциально-алгебраический вариант метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа в приложении к конечномерным и решеточным системам с использованием понятия разностных производных и дифференцирования на матричных алгебрах. На его основе проведены исследования конечномерных механических и биологических систем, в том числе, моделей гиперциклов.
3) Построены и исследованы линеаризуемые модели течений сжимаемого самогравитирущего газа. Рассмотрены их приложения к задачам астрофизики.
4) На основе дифференциально-алгебраического варианта метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа проведен анализ решений нелинейных уравнений, являющихся сеточными аналогами нелинейных уравнений в частных производных типа Бюргерса с различными дисперсионными свойствами.
3.5.    Степень выполнения поставленных в проекте задач
Все поставленные задачи выполнены.
3.6.    Полученные за отчетный период важнейшие результаты
1. Разработан специальный вариант метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПКХ) применимый для задач в размерности 1+2 и 1+3. Метод использован для построения точных решений трехмерных течений сжимаемой идеальной жидкости на основе уравнений бессдвиговой конгруэнции. Найдены новые точные решения, построена предварительная классификация нарушений бессдвиговой конгруэнции, которые приводят к различным типам распределений плотности в потоке. Кроме этого, результаты применялись в задаче моделирования структуры и динамики заряженных частиц в топологической квантовой теории.

2. Развит вариант метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа с заменой пространственных производных на производные на алгебрах (коммутаторы), применимый для построения точных решений нелинейных динамических систем. Развит метод вычисления интегралов движения таких систем. Построены примеры точно интегрируемых динамических систем для некоторых типов алгебр и их интегралов движения. В качестве примеров были рассмотрены уравнения типа гиперциклов и Вольтерра-Лотки на алгебре su[2].

3. Построены и проанализированы с помощью МОПКХ точные модели динамики формирования структур в самогравитирующей среде для плоских, цилиндрических и сферических конфигураций. Найдены точные решения для самогравитирующей вязкой среды в плоском случае, а для цилиндрической и сферической симметрий - для идеальной жидкости. Найден метод с помощью МОПКХ построения решения динамики самогравитирующей среды с нулевым давлением и произвольным начальным распределением скорости и плотности потока с цилиндрической и сферической симметриями. Для набора начальных распределений вычислено время образования сингулярности в центре сжатия. Построены новые решения в задаче о формировании кольцевых структур во вращающемся диске самогравитирующей пыли с галилеевским трением. Разработан метод в рамках МОПКХ анализа процессов адиабатической эволюции газовой самогравитирующей среды. Кроме этого, метод применен к анализу некоторых типов ионно-звуковых волн в плазме.

4. Разработаны основы построения алгоритмов МОПКХ для сеточных уравнений. Проведен анализ таких уравнений. Разработаны численные алгоритмы построения эмпирических моделей процессов с помощью сеточного аналога МОПКХ. Разработан ряд численных алгоритмов построения линейных двумерных моделей процессов на основе цифровых рядов и изображений. К ним относятся метод двумерной авторегрессии и метод, основанный на вейвлет-преобразоваании сигналов.

5. С помощью метода максимальной энтропии проанализирована динамика случайно-возмущенного твердого тела. Проанализирована динамика вблизи состояния с максимумом энтропии при наличии малых корреляций между возмущениями скоростей при вращении вдоль главных осей. Найдены условия устойчивости по Ляпунову. Рассмотрены предельные случаи больших и малых дисперсий.
3.7.    Степень новизны полученных результатов
Новыми оригинальными результатами, полученными в рамках проекта, являются:

1) Применение метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПКХ) к задачам описания течений самогравитирующей среды. Впервые построены в явном виде точные решения процесса сжатия локальных возмущений под действием собственного поля тяготения для плоской, цилиндрической и сферической симметрии начального возмущения.

2) Применение МОПКХ к задаче о трехмерных течениях. Впервые с помощью МОПКХ, применяемого к уравнениям бессдвиговой конгруэнции, найдены точные решения для трехмерных течений идеальной сжимаемой жидкости. Построена предварительная классификация таких решений. Впервые этот метод применен к задаче о динамике заряженных частиц.

3) Применение МОПКХ к уравнениям, содержащим обобщенные производные, такие как сеточные производные и производные на алгебрах. Впервые найден способ с помощью процедуры линеаризации типа Коула-Хопфа строить точные решения для динамических систем, связанных с алгебрами. Так же впервые МОПКХ применен к сеточным уравнениям с различными типами сеточных производных. Найдены новые уравнения, интегрируемые с помощью такого подхода. Впервые предложен метод применения МОПКХ с сеточными производными для построения эмпирических моделей процессов.

4) Впервые метод максимальной энтропии в сочетании с методом Рейнольдса применен к анализу динамики абсолютно твердого тела со случайными внешними моментами. Проанализирована динамика тела вблизи состояния с максимумом энтропии. Выписаны точные решения.
3.8.    Сопоставление полученных результатов с мировым уровнем
Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПКХ) является одним из общих методов построения точно интегрируемых уравнений наряду с таким методом, как Метод обратной задачи. Метод впервые разработан в нашей группе. Работы по его развитию являются работами мирового уровня. Варианты этого метода, связанные с использованием обобщенных производных (сеточных, коммутаторов и т.п.), являются новым направлением в теории построения точно решаемых динамических систем и уравнений в частных производных мирового уровня. Метод анализа динамики самогравитирующей среды с помощью МОПКХ является новым и оригинальным методом, сопоставимым с другими методами в этой области, и превосходит для ряда задач.
Применение метода максимальной энтропии для замыкания систем уравнений Рейнольдса в задачах описания случайно возмущенных систем является новым методом мирового уровня.
3.9.    Методы и подходы, использованные в ходе выполнения проекта
1) Основным методом при выполнении исследований в рамках данного проекта является метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа (МОПКХ), являющийся оригинальной собственной разработкой нашей группы. В рамках данных работ развит новый вариант МОПКХ, специализированный для построения гидродинамических уравнений и их решений.

2) Одним из оригинальных подходов, использованных в рамках данного проекта, является использование уравнения бессдвиговых конгруэнций для построения точных решений динамики трехмерных течений идеальной сжимаемой жидкости. На основе МОПКХ из уравнений бессдвиговой конгруэнции с помощью процедуры дополнения поля сдвигов строится уравнение сохранения массы жидкости.

3) Оригинальным подходом, использованным в рамках данного проекта, является подход, основанный на доказательстве существования обобщенных подстановок Коула-Хопфа для уравнений, имеющих вид уравнений с производными обобщенного вида, для которых выполняется условие перестановочности и правило Лейбница в обобщенной форме. К таким уравнениям принадлежат уравнения на алгебрах и сеточные уравнения.

4) Для анализа стохастических систем в среднем в рамках проекта применяется метод максимальной энтропии в новой огригинальной форме, развитой в работах нашей группы. Метод применяется для замыкания системы усредненных уравнений Рейнольдса, возникающих при анализе случайно-возмущенных уравнений в частных производных и дискретных динамических систем.
3.10.1.1.    Количество научных работ, опубликованных в ходе выполнения проекта
17
3.10.1.2.    Из них включенных в перечень ВАК
7
3.10.1.3.    Из них включенных в системы цитирования (Web of science, Scopus, Web of Knowledge, Astrophysics, PubMed, Mathematics, Chemical Abstracts, Springer, Agris, GeoRef)
7
3.10.2.    Количество научных работ, подготовленных в ходе выполнения проекта и принятых к печати в 2011 г.
1
3.11.    Участие в научных мероприятиях по тематике проекта, которые проводились при финансовой поддержке Фонда
5
 

Результаты в развернутой форме.

I. Метод обобщенных подстановок Коула-Хопфа

I.1  Подстановка Коула-Хопфа

Подстановка Коула-Хопфа я вляется специальным методом построения точных решений уравнения Бюргерса:

$$u_t+uu_x=\nu u_{xx}, \hspace{2cm} (1.1)$$

которое представляет собой уравнение одномерного течения несжимаемой вязкой жидкости при отсутствие градиента давления и других внешних сил. Здесь $u(x,t)$ - скорость потока в точке с координатой $x$ в момент времени $t$, a $\nu$  - коэффициент кинематической вязкости. Коул и Хопф независимо показали, что функция $\phi(x,t)$, связанная с функцией $u(x,t)$ соотношением:

$$u(x,t) = -2\nu \frac{\partial \ln \phi}{\partial x}, \hspace{2cm} (1.2)$$

 удовлетворяет линейному уравнению теплопроводности:

$$\phi_t=\nu\phi_{xx}. \hspace{2cm} (1.3)$$                                                            

Пскольку решения последнего уравнения  строятся простым спообом, то из них легко построить и решения уравнения Бюргерса. В этом и состоит метод подстановок Коула-Хопфа.

I.2. Уравнение переноса температуры

Идея метода обобщенных подстановок Коула-Хопфа основывается на следующем наблюдении.

Рассмотрим задачу о перемещении в одномерном пространстве точек с заданной температурой $T$ в случае, если  изменения температуры описываются уравнением теплопровдности простейшего вида:

$$T_t= k T_{xx}, \hspace{2cm} (2.1)$$                                                                   

где $k$ - коэффициент теплопроводности.  Пусть $T(x,t)$ - некотрое решение уравнения темпопроводности (2.1). Тогда закон перемещения

$$ x = x(t;T_0) \hspace{2cm} (2.2)$$

в пространстве точки, в которой  температура равна заданному значению $T_0$, можно записать в виде неявного уравнения:

$$T(x(t).t)=T_0. \hspace{2cm} (2.3)$$

Дифференцируя последнее уравнение по времени, находим:

$$\frac{\partial T}{\partial t}+\frac{dx}{dt}\frac{\partial T}{\partial x}=0,$$

где $V(t;T_0)=dx/dt$ - скорость перемещения точки с заданной температурой. Очевидно, что это соотношение имеет одинаковый вид для любых допустимых значений $T_0$ температуры. Поэтому в каждый момент времени в каждой точке пространства уравнение 

$$\frac{\partial T}{\partial t}+V(x,t)\frac{\partial T}{\partial x}=0 \hspace{2cm} (2.4)$$

описывает скорость $V(x,t)$ движения точки со значением $T(x,t)$ температуры, которое оно имеет в этой точки в данный момент времени. Поэтому уравнение (2.4) можно назвать уравнением переноса температуры. С точки зрения гидродинамики температура в таком подходе играет роль лагранжева маркера.

Поставим такой вопрос: можно ли указать уравнение для скорости переноса $V(x,t)$, универсальное для всех решений уравнения (2.1)?

Ответ на этот вопрос был дан в работе [Ur]. Что бы воспроизвести этот ответ рассмотрим совместно   с (2.1) и (2.4) некоторые дифференциальные следствия этих уравнений. Именно, рассмотрим следующие пять соотношений:

$$T_{tx}=k T_{xxx},$$

$$T_{tt}=k T_{xxt},$$

$$T_{tx}+V_xT_{x}+VT_{xx}=0, \hspace{2cm} (2.5)$$

$$T_{tt}+V_t T_{x}+VT_{xt}=0,$$

$$T_{txx}+2V_xT_{xx}+V_{xx}T_{x}+VT_{xxx}=0$$

Простой проверкой убеждаемся, что совокупность из семи уравнений (2.1), (2.4) и (2.5) представляют собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно семи первых производных функции $T$, т.е. величин $T_x,T_t,T_{xx},T_{xt},T_{tt},T_{xxx},T_{xxt}$. В силу этого для того, что бы существовали не тривиальные (отличные от нуля) решения этой системы, необходимо и достаточно, что бы определитель этой системы был равен нулю. Вычисляя определитель этой системы размерности 7, находим условие существования такого решения в виде уравнения:

$$V_t+2VV_x=kV_{xx}, \hspace{2cm} (2.6)$$

которое по сути совпадает с уравнением Бюргерса (1,1) при условии $2V=u$ и $k=\nu$. Уравнение (2.6) и есть уравнение для скорсти переноса температуры в пространстве, форма которого  не зависит от выбранного решения уравнения теплопроводности (2.1). При этом соотношение (2.4) играет по сути роль подстановки Коула-Хопфа.

I.3. Обобщенные подстановки Коула-Хопфа

Обобщение этой схемы строится следующим образом:

Рассмотрим вместо уравнения (2.1) для функции $T(x,t)$ уравнение следующего вида:

$$T_{xx}+ U(x,t)T_{x}=0, \hspace{2cm} (3.1)$$

которое содержит вспомогательную функцию $U(x,t)$. Если теперь использовать в дополнение к этому уравнению те же оставшиеся уравнения (2.4) и (2.5), что и вслучае, рассмотренном  выше, то мы опять получим линейную алгебраическую однородную систему из семи уравнений относительно тех же семи производных функции $T$. Вычисляя ее определитель, находим, что теперь условием совместности новой системы будет уравнение следующего вида:

$$U_{t}+ \frac{\partial}{\partial x}\Big(U(x,t)V(x,t)\Big)=V_{xx}, \hspace{2cm} (3.2)$$

которое связывает две функции $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Это означает, что для произвольной функции $T(x,t)$  функции $U(x,t)$ и $V(x,t)$, заданные соотношениями (3.1) и (2.4), связаны одним универсальным соотношением (3.2). 

Важным в этом обобщении является то, что по сравнению с первоначальной схемой, в новом варианте появляется дополнительная произвольная функция. Это позволяет построить общую схему построения нелинейных уравнений, для которых уравнения (2.4) и (3.1) являются обобщенными подстановками типа Коула-Хопфа.   Идея состоит в том, что произвольность функции $T(x,t)$ позволяет в общую схему включать любое дополнительное линейное (или интегрируемое) уравнения для функции $T(x,t)$, которое в результате подстановок (2.4) и (3.1) превращается в уравнение для функций $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Такое уравнение совместно с (3.2) и дает новую интегрируемую систему уравнений  для $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Это оказывается возможным, поскольку из уравнений (2.4) и (3.1) можно получить все возможные дифференциальные следствия, которые можно записать в следующем виде:

$$T^{[n,m]}=A^{(n.m)}(U,V)T_x. \hspace{2cm} (3.3)$$

Здесь

$$T^{[n,m]}=\frac{\partial^{n+m} T}{\partial x^n \partial t^m},$$

$A^{(n.m)}(U,V)$ - дифференциальные полиномы от $U(x,t)$ и $V(x,t)$. Эти полиномы могут быть расчитатны с помощью следующих рекуррентных соотноршений:

$$A^{(n+1,m)}(U,V) = \frac{\partial}{\partial x}A^{(n,m)}(U,V) - A^{(n.m)}(U,V)U$$

$$A^{(n,m+1)}(U,V) = \frac{\partial}{\partial t}A^{(n,m)}(U,V) - A^{(n.m)}(U,V)Q,$$

где $Q=V_x-UV$, $A^{(1,0)}=1,~~A^{(0,1)}=-V,~~A^{(2,0)}=-U$.

Пусть функция $T(x,t)$ удовлетворяет дополнительному уравнению:

$$\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{m=1}^M C_{n.m}(x,t)T^{[n,m]}=C_{01}(x,t)T_t+C_{01}(x,t)T_x, \hspace{2cm} (3.4)$$

где $C_{n,m}(x,t)$ - заданные функции координаты и времени. Тогда, используя (3.3), для функций $U$ и $V$ получаем нелинейное дифференциальное уравнение

$$\sum\limits_{n=1}^N\sum\limits_{m=1}^M C_{n.m}(x,t)A^{(n,m)}(U,V)+C_{01}(x,t)V=C_{01}(x,t). \hspace{2cm} (3.5)$$

Совместно с уравнением  (3.2) это уравнение представлет собой систему уравнений для функций $U$ и $V$, точные решения который задаются подстановками (2.4) и (3.1), при условии. что функция $T(x,t)$ удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (3.4).

I.4. Примеры

I.4.1 Скалярные уравнения

I.4.1.A Иерархия уравнений типа Бюргерса, аналгичных уравнениям типа КдВ

Для скалярных уравнений условие совместности можно записать в виде:

$$U_t=Q_x,$$ где $Q=V_x+UV$. При этом функции $A^{nk}[U,V]$: $$ A^{n+1\ k}=A^{nk}_x+A^{nk}A^{11},\quad{A^{n\ k+1}=A^{nk}_t+A^{nk}A^{02},}$$ $$n,k=0,1,2\ldots.$$ с начальными условиями: $$A^{01}=1,\quad{A^{10}=-\frac{1}{V},\quad A^{11}=\left[\frac{V_x}{V}-U\right],\quad A^{20}=\frac{U}{V},$$ $$A^{02}=\left[\frac{V_t}{V}-V_x+VU\right].$$ В частности для производных $T^{[n,0]}$ имеем следующие рекуррентные соотношения: $$T^{[n,0]}=\frac{1}{V}G_{n}[U]T_t,\quad n=1,2,\ldots$$ где $G_n[U]$ - дифференциальные выражения с постоянными коэффициентами относительно функции $U$, удовлетворяющие рекуррентному соотношению, $$G_{n+1}[U]=\frac{\partial}{\partial x}G_n[U]-UG_n[U],\quad n=1,2,\ldots.$$: с начальным условием: $$G_1[U]=-1.$$. Для нескольких первых шагов имеем: $$G_{2}=U,~~G_{3}=U_x-U^2,~~G_{4}=U_{xx}-3UU_x+U^3,$$ $$G_{5}=U_{xxx}-4UU_{xx}-3(U_x)^2+6U^2U_x-U^4,\ldots.$$

Используя соотношения  для $G_n(U)$ и полагая в качестве условия связи соотношение: $$V=\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)G_n[U],$$ которое соответствует базовому уравнению: $$\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)T^{[n,0]}=T_t.$$  приходим к последовательной цепочке уравнений:
$$\frac{\partial}{\partial t}U +\frac{\partial}{\partial x}\left[U\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)G_n[U]\right]=a\frac{\partial^2}{\partial x^2}\sum\limits_{n=1}^N C_n(x,t)G_n[U].$$
    Все эти уравнения образуют цепочку уравнений при произвольных функциях $C_n(x,t)$, аналогичных высшим уравнениям иерархии уравнений типа КдВ, но интегрируются не с помощью метода обратной задачи рассеяния, а линеаризуются с помощью обобщенной подстановки  Коула-Хопфа. Первые уравнения этой иерархии, соответствующие $G_1,~G_2,~G_3,~\ldots$   и постоянным коэффициентам $C_n$  имеют следующий вид: $$ U_t + C_1\frac{\partial}{\partial x}U=0,$$ $$U_t + C_2\frac{\partial }{\partial x}\left( U^2 - U_x\right)=0,$$ $$U_t + C_3\frac{\partial }{\partial x}\left(3UU_x-U^3-U_{xx}\right)=0,$$ $$U_t + C_4\frac{\partial }{\partial x}\left( 4 UU_{xx}+3\Big(U_x\Big)^2-6U^2U_x +U^4 - U_{xxx}\right)=0$$ $$\cdots \cdots$$

I.4.1.Б Уравнения телеграфного типа

   Еще один пример - это уравнения телеграфного типа: $$T_{xt}+a T_t+ b T_x=0$$ $$V_x-UV+a V-b=0;$$ $$\frac{\partial}{\partial t \prt x}\ln V+\frac{\partial}{\partial t}\left[a-\frac{b}{V}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[aV-b\right]=0.$$ Здесь $a,~b$ - произвольные функции $x,t$. Еще одно уравнение этого типа имеет такой вид:$$T_{tt}+\Gg T_{xx}+\ga T_t+\gb T_x=0,$$ $$\left[V_t-VV_x+V^2U\right]+\Gg U+\ga V-\gb=0;$$ $$\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{V_t+\Gg_x/2}{\Gg+V^2}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\gamma V_x-\gamma_t/2}{\Gg+V^2}\right]=$$ $$=\frac{\partial}{\partial t}\left[\frac{\alpha V-\beta}{\gamma+V^2}\right]+\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{V(\alpha V-\beta)}{\Gg+V^2}\right].$$ Здесь $\alpha,\beta,\gamma$ - произвольные функции $x,t$

I.4.1.В Уравнения гидродинамического типа

Cодержательный пример интегрирования уравнений гидродинамического типа, рассмотренный в [22], дает нелинейное базовое уравнение для $T$   следующего вида: $$T_{xx}T_{tt}-\Big(T_{xt}\Big)^2=0. \hspace{2cm}(4.1B)$$. Этому уравнению соответствует связь:$$U\left(V_t-VV_x+V^2U\right)=(V_x-VU)^2.$$ Преобразуя последнее соотношение и объединяя его с производящим уравнением  (3.2), получаем систему уравнений гидродинамического типа: $$U(V_t+VV_x)=\left(V_x\right)^2,$$ $$U_t+\frac{\partial}{\partial x}\Big(UV\Big)=V_{xx}.$$  Умножая второе уравнение на $V$ и складывая его с первым, получаем следующую эквивалентную систему:$$\frac{\partial}{\partial t}\Big(UV\Big)+\frac{\partial}{\partial x}\Big(UV^2)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}V^2,$$ $$U_t+\frac{\partial}{\partial x}\Big(UV\Big)=V_{xx}.$$  Эту систему можно привести к системе уравнений одномерного течения сжимаемого газа: $$\frac{\partial}{\partial t}\Big(\rho u\Big)+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u^2)=0 \hspace{3cm} (4.2B)$$ $$\rho_t+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u\Big)=0,\hspace{3cm} (4.3B)$$ если сопоставить плотности сжимаемого газа скорости течения газа  следующие функции: $$\rho=U, u=V-U^{-1}V_x, (4.4B)$$ и учесть, что: $$p=V_t+VV_x-U^{-1}\Big(V_x\Big)^2=0.$$

Решение уравнения  (4.1B) можно искать в виде  $$ T_t=S(T_x)$$, где $S=S(q)$   - произвольная дифференцируемая функция своего аргумента. В результате замены: $T_x=q$ , последнее уравнение приводится к уравнению: $$q_t=R(q)q_x,$$ интегралом котрого является соотношение: $$F\Big(q,x+R(q)t\Big)=0,$$ где $F(\xi,\tau)$ - произвольная дифференцируемая функция и $R(q)=dS/dq$. После построения решения для функции $T$  вид функций $U$ и   $V$ отыскивается с помощью подстановок: $$V=-\frac{T_t}{T_x}, \rho=U=-\frac{T_{xx}}{T_x}, u=-\frac{T_{xt}}{T_{xx}}.$$ После этого могут быть найдены плотность потока и его скорость из соотношений (4.4B). Все решения уравнений  (4.2B) и (4.3B) определяются двумя дифференцируемыми функциями $S$ и $H$.
 

I.5. Матричные уравнения

I.5.1  Матричные базовые уравнения 

Результаты вычисления уравнений типа Бюргерса, связанные со скалярными уравнениями, переносятся на случай матричных уравнений. Пусть $\hat{T}(x,t)$ - квадратная матрица конечной размерности $N\times N$. элементы котрой зависят от $x$ и $t$. Рассмторим для этой функции следующие базовые уравнения: $$\hat{T}_t+\hat{V}\hat{T}_x=0$$ $$\hat{T}_{xx}+\hat{U}\hat{T}_x=0$$. Условием совместности этих базовых уравнений является уравнение: $$\hat{U}_t-\hat{Q}_x-[\hat{U},\hat{Q}]=0,\hspace{3cm}(5.1),$$ связывающее матрицы $\hat{V}$ и $\hat{U}$. Здесь $[\hat{U},\hat{Q}]=\hat{U}\hat{Q}-\hat{Q}\hat{U}$ - матричный коммутатор, и $\hat{Q}=\hat{V}_x+\hat{V}\hat{U}$.

Схема вычислений уравнений и их решений при этом остается той же, что и в скалярном случае. В качестве замыкающих уравнений для получения луравнений типа Бюргерса теперь необходимо добавлять интегрируемые матричые уравнения относительно функции $\hat{T}$.

I.5.2  Примеры. Матричные уравнения

I.5.2.A  Пример 1.

  Рассмотрим в качестве простого примера уравнения для $\hat{T}$ следующего типа: $$\hat{T}_{xt}=\hat{C}\hat{T}_{xx}$$, где $\hat{C}$ постоянная матрица $N\times N$. Это уравнение эквивалентно связи: $$\hat{Q}=\hat{C}\hat{U}$$. Подставляя это соотношение в уравнение совместности (5.1), получаем для матрицы $\hat{U}$ уравнение следующего вида: $$\hat{U}_t-\hat{C}\hat{U}_x+[\hat{C},\hat{U}]\hat{U}=0.$$

Рассмотрим случай матриц размерности $N=2$. Введем следующие обозначения:  $$\hat{U}=\left(\begin{array}{l}a(x,t)\hspace{0.5cm}u(x,t)\\ v(x,t)\hspace{0.5cm}b(x,t)\end{array}\right),\hspace{2cm}(5.2)$$ $$\hat{C}=\left(\begin{array}{l} 0\hspace{0.5cm}\lambda\\ -\lambda\hspace{0.5cm}0\end{array}\right),$$ $$A(x,t)=a(x,t)+iv(x,t), B(x,t)=b(x,t)+iu(x,t).$$ Тогда комплексные функции $A$ и $B$ удовлеьворяют следующим уравнениям: $$A_t+i\lambda A_{x} +i\lambda A^*B^*-i\lambda \Big|A\Big|^2=0,$$ $$B_t-i\lambda B_{x} -i\lambda B^* A^*+i\lambda \Big|B\Big|^2=0.$$ Эти уравнения имеют отношение к динамике оптических импульсов в среде с квадратичной нелинейностью. 

Сами решения этих уравнений строятся из решений системы уравнений для $\hat{T}$. Пусть $$\hat{T}=\left(\begin{array}{l}p(x,t)\hspace{0.5cm}q(x,t)\\ r(x,t)\hspace{0.5cm}s(x,t)\end{array}\right),$$ Тогда для элементов матрицы $\hat{T}$ имеем следующие уравнения: $$p_{xt}=\lambda r_{xx},\hspace{1cm} r_{xt}=-\lambda p_{xx}$$ $$q_{xt}=\lambda s_{xx},\hspace{1cm}s_{xt}=-\lambda q_{xx}$$. Отсюда следует, что все четыре функции $p,q,r,s$ удовлетворяют одному и тому же уравнению: $$\frac{\partial}{\partial x}\Big(p_{tt}+\lambda^2p_{xx}\Big)=0$$б но лишь две из них являются произвольными решениями этого уравнения. Две другие выражаются через них. При этом функции $a,b,u,v$ вычисляются следующим образом: $$a=-\frac{p_{xx}s_{x}-q_{xx}r_{x}}{p_xs_x-r_xq_x},\hspace{1cm}b=-\frac{p_{x}s_{xx}-q_{x}r_{xx}}{p_xs_x-r_xq_x}$$ $$u=\frac{p_{xx}q_{x}-q_{xx}p_{x}}{p_xs_x-r_xq_x},\hspace{1cm}v=\frac{s_{xx}r_{x}-s_{x}r_{xx}}{p_xs_x-r_xq_x}.$$

I.5.2.B  Пример 2.

Вторым примером может служить замыкающее уравнение следующего вида: $$\hat{T}_{xx} +\hat{C} \hat{T}_t=0.$$ Это уравнение соответствует связи: $\hat{V}=\hat{C}\hat{U}$, где $\hat{С}$ - как и прежде, постоянная матрица. Исключая с помощью этого соотношения функцию $\hat{V}$ из условия совместности (5.1), приходим к уравнению следующего вида: $$\hat{C}^{-1}\Big(\hat{U}_t - [\hat{C},\hat{U}]\hat{U}^2\Big) +2\hat{U}_x\hat{U}+\frac{\partial}{\partial x}\Big(\hat{U}^2\Big)-\hat{U}_{xx}=0,$$ относительно матрицы $\hat{U}$. Используя для матрицы $\hat{U}$ представление (5.2), приходим к следующим уравнениям для функций $A$ и $B$, имеющиv  тот же вид, что и в предыдущем примере: $$A_t+i\lambda A_{xx}-i\lambda AB^*_x+i\lambda M_x+i\lambda H/2=0,$$ $$B_t-i\lambda B_{xx}+i\lambda BA^*_x+i\lambda N_x+ i\lambda G/2=0.$$ Здесь:$$M=A^*B^*-A^2/2-|A|^2,\hspace{1cm}N=A^*B^*-B^2/2-|B|^2,$$ $$H=A\Big[|A|^2+|B|^2-BA\Big]+A^*\Big[|A|^2+|B|^2+(A+A^*)(B-B^*)-BA^*\Big],$$ $$G=B\Big[|A|^2-|B|^2+BA\Big]-B^*\Big[|A|^2-|B|^2+(A-A^*)(B+B^*)-BA^*\Big].$$ Эта система уравнений может использоваться для описания оптических волн в среде с уцбической нелинейностью. 

II. Гидродинамические подстановки Коула-Хопфа

II.1 Гидродинамические подстановки
[
Журавлев В.М. Точные решения в динамике сжимаемой жидкости и функциональные подстановки типа Коула-Хопфа. Сб. Инновационные технологии. Под ред. проф. С.В. Булярского. Ульяновск. Изд. УлГУ, 2010 г., С. 77-93]

Пусть $u(x,t)$ - скорость одномерного гидродинамического потока. Представим  эту функцию в следующем виде: $$u(x,t)= -\frac{\theta_{t}}{\theta_{x}},$$ где $\theta(x,t)$ - вспомогательная функция. Эта функция представляет собой физический параметр среды, переносящийся вдлоь линий тока без изменияний (пассивная примесь): $$\theta_{t}+u(x,t)\theta_{x}=0. \hspace{3cm}(1.1)$$ Таким параметром для идеальной жидкости может служить энтропия.

Дифференцируя уравнение (1.1) по $x$, приходим к следующему соотношению: $$\frac{\partial}{\partial t}\theta_{x}+\frac{\partial}{\partial x}\Big(u\theta_x\Big)=0.$$ Это уравнение имеет вид дифференциального закона сохранения, эквивалентного закону сохранения массы, если плотность среды $\rho(x,t)$ положить равной $\theta_x$ ($\rho=\theta_x$): $$\frac{\partial}{\partial t}\rho+\frac{\partial}{\partial x}\Big(u\rho\Big)=0.\hspace{2.5cm}(1.2)$$ При таком отождествлении закон сохранения массы выполняется тождественно при любой функции $\theta(x,t)$. Обратим внимание на то, что следствием (1.1) является еще одно формальное тождество: $$\left[\frac{\partial}{\partial t}+u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\right]F(\theta)=\frac{d F(\theta)}{d\theta}\Big(\theta_{t}+u\theta_{x}\Big)=0.\hspace{3cm}(1.3)$$ Это ождество означает, что вместе с параметром $\theta$ вдоль линий тока поток переносит без изменений и любую функцию этого параметра среды.

Следствием закона сохранения массы (1.2) является следующее соотношение: $$\frac{\partial \ln \rho}{\partial t}+u\frac{\partial \ln \rho}{\partial x}= - u_x\hspace{2cm}(1.4)$$ Дифференцируя это соотношение по $x$ и совершив несложные преобразования, находим еще одно тождественое следствие из (1.2): $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\right)\frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x}= - \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big).\hspace{3cm}(1.5)$$ Воспользуемся этими тождествами для построения решения для скорости гидродинамического  потока сжимаемой вязкой жидкости.

Совместно с (1.1) рассмотрим представление скорости $u(x,t)$ в следующем виде: $$u(x,t) = F(\theta) - \nu \frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x},\hspace{3cm}(1.6)$$ где $F(\theta)$ - произвольная дифференцируемая функция $\theta$. Поскольку $u(x,t)$ и $\theta(x,t)$ уже связаны соотношением (1.1), то не определенная до сих пор функция $\theta(x,t)$ должна теперь удовлетворять уравнению: $$\theta_t + F(\theta)\theta_x= \nu \theta_{xx}.\hspace{3cm}(1.7)$$ Смысл введения нового представления для функции $u(x,t)$ состоит в том, что функция  такого вида удовлетворяет уравнению Навье-Стокса. Действительно, имеем: $$u_t+uu_x=\left(\frac{\partial}{\partial t}+u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}\right)\Big[F(\theta) - \nu \frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x}\Big]$$. Используя теперь тождества (1.3) и (1.5), последнее соотношение преобразуем к следующему виду: $$u_t+uu_x = \nu \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big),\hspace{3cm}(1.8)$$ которое представлет собой уравнение Навье-Стокса одномерного течения сжимаемой жидкости с кинематическим коэффицентом вязкости равным $\nu$. Это означает, что любое решение $\theta$ уравнение (1.7) призаданной функции $F(\theta)$ определяет с помощью соотношений (1.1) или (1.6) функцию $u(x,t)$ и с помощью соотношения $\rho=\theta_x$ функцию $\rho$, которые являются решением уравнений (1.8) и (1.2), описывающих полностью поток вязкой сжимаемой жидкости. Соотношения (1.1) и (1.6) вместе с соотношением $\rho=\theta_x$ можно рассматривать как функциональные подстановки, сводящие уравнение Навье-Стокса (1.8) к уравнению (1.7).

В полученном представлении выбор функции $F(\theta)$ определяется начальными условиями. Если в начальный момент времени заданы две функции $\rho_0(x)=\rho(x,0)$ и $u_0(x)=u(x,0)$, то начальное распределение для функции $\theta$ - $\theta_0(x)=\theta(x,0)$, и функция $F(\theta)$  находятся из следующих условий:  $$ \frac{\partial \theta_0(x)}{\partial x}=\rho(x,0) $$
$$F(\theta_0(x)) =u_0(x) + \nu \frac{\partial \ln \theta_0(x)}{\partial x},$$ Важным свойством полученного представления является возможность построить достаточно большой класс точных решений задачи о вязком сжимаемом потоке для некоторых типов нальных условий. Одним из таких общих классов точных решений связан с такими условиями, для которых функция $F(\theta)$ имеет вид линейной функции, т.е. $$F(\theta)=\alpha+\beta \theta$$. Здесь $\alpha, \beta$ - произвольные постоянные. Для таких условий уравнение (1.7) представляет собой уравнение Бюргерса: $$\theta_t + (\alpha+\beta\theta)\theta_x= \nu \theta_{xx}.\hspace{3cm}(1.9)$$.  Все решения последнего уравнения с помщью классической подстановки Коула-Хопфа: $$\theta=-\frac{2\nu}{\beta}\frac{\partial}{\partial x}\Phi(t,x-\alpha t),$$ приводится к уравнению теплопроводности: $$\Phi_t=\nu\Phi_{\xi\xi},$$ где $\xi=x-\alpha t$.

II.2 Волны в самогравитирующей среде

II.2.1 Одномерный случай

V. M. Zhuravlev and D.A.Zinov’ev. Nonlinear Waves in Self-Gravitating Compressible Fluid
and Generalized Cole−Hopf Substitutions. Physics of Wave Phenomena, 2011, Vol. 19, No. 4, pp. 313–317

Задача о динамике самогравитирующей среды в одномерном пространстве сводится к решению следующей системы уравнений: $$u_t + uu_x = \nu \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big) - \phi_x$$ $$\rho_t+(\rho u)_x=0;$$ $$\phi_{xx} = 4\pi G \rho.$$ Первые два уравнения - это уравнения динамики пыли в поле тяготения, потенциал которого описывается третьим уравнением - уравнением Пуассона. Для построения решений этой системы воспользуемся методом, изложенным в предыдущем разделе.

Согласно методу гидродинамических подстановок имеем: $\rho=\theta_x$. В этом случае уравнение Пуассона можно записать в следующем виде: $$\phi_{xx}=4\pi G\theta_{x}.$$  Интегрируя это уравнение по $x$, находим: $$\phi_x=4\pi G \theta + g_0(t),$$ где $g_0(t)$ - произвольная функция времени, характеризующая ускорение системы в некотрой фиксированной точке пространства, например, на бесконечности. В результате первое уравнение исходной системы принимает следующий вид: $$u_t + uu_x = \nu \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho u_x\Big) -4\pi G \theta - g_0(t).\hspace{3cm}(2.1)$$

По аналогии с предыдущим разделом рассмотрим вместо (1.6) представление для функции $u(x,t)$ следующего вида: $$u(x,t) = F(\theta)+tH(\theta)+v_0(t) - \nu \frac{\partial \ln (\rho)}{\partial x}.\hspace{3cm}(2.2)$$ Здесь $\dot{v}_0=-g_0(t)$. Подставляя (2.2) в (2.1), легко проверить, что это уравнение обращается в тождество при условии, что $H(\theta)=-4\pi G \theta$. Следовательно, вместо уравнения (1.7) для функции $\theta$ в данном случае получаем уравнение следующего вида: $$\theta_t +\Big(F(\theta)-4\pi t \theta-v_0(t)\Big)\theta_x= \nu \theta_{xx}.\hspace{3cm}(2.3)$$

В случае отсутствия вязкости уравнение для функции $\theta$ принимает вид квазилинейного уравнения первого порядка: $$\theta_t +\Big(F(\theta)-4\pi G t \theta-v_0(t)\Big)\theta_x= 0.\hspace{3cm}(2.4)$$ Это уравнение уже допускает точные решения. Общий интеграл для этого уравнения имеет следующимй вид: $$H\Big(\theta,x-F(\theta)t+2\pi G t^2 \theta+q_0(t)\Big)=0,\hspace{3cm}(2,5)$$ где $H(\xi,\eta)$ - произвольная дифференцируемая функция, а $\dot{q}_0=v_0(t)$. Действительно,  дифференцируя соотношение (2.5) по $x$ и $t$, находим: $$H_{x}=H_{\xi}\theta_x+H_{\eta}\Big(1-(\acute{F}(\theta)t-2\pi G t^2 )\theta_x\Big)=0$$ $$H_{t}=H_{\xi}\theta_t-H_{\eta}\Big((\acute{F}(\theta)t-2\pi G t^2 )\theta_t+F(\theta)-4\pi G t \theta-v_0(t)\Big)=0.$$ рассматривая эти уравнения как систему двух линейных алгебраических уравнений относительно  производных функции $H_{\xi}$ и $H_{\eta}$, приходим к услвоию их совместности в форме уравнения (2.4). Таким образом, любое решение алгебраического уравнения (2.5) относительно функции $\theta(x,t)$ является решением уравнения (2.4).

II.2.2 Цилиндрические и сферические волны
 

По аналогии с одномерным течением идеальной сжимаемой среды решается задача о цилиндрических и сферических волнах в само гравитирующей среде. Уравнения динамики такой среды можно представить в следующем виде: $$u_t + uu_r =-\phi_r$$ $$\rho_t+\frac{1}{r^n}\frac{\partial}{\partial r}\Big( r^n\rho u\Big)=0;$$ $$\frac{1}{r^n}\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^n\phi_r\Big) = 4\pi G \rho.$$ При $n=0$ эта система переходит у уравнение для олномерного течния, при $n=1$ течение обладает цилиндрической симметрией, а при $n=2$ - сферической.

Введем функцию $\varrho = r^n\rho$, которая представлет собой с точностью до постоянного множителя радиальную плотность среды, т.е. массу отнесенную к бесконечно тонкому цилидрическому ($n=1$) или сферическому ($n=2$) слою среды. В результате система уравнений примет следующий вид: $$u_t + uu_r =-\phi_r;$$
$$\varrho_t+\frac{\partial}{\partial r}\Big(\varrho u\Big)=0;$$
$$\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^n\phi_r\Big) = 4\pi G \varrho.$$ Вид этой системы позволяет применить для построения ее решений метод гидродинамических подстановок, изложенный выше.

Введем следующие подстановки: $$u=-\theta_t/\theta_r$$ $$\varrho = \theta_r$$. Тогда уравнение Пуассона сводится к уравнению следующего вида: $$\phi_r = \frac{1}{r^n} \Big(4\pi G \theta + g_0(t)\Big). \hspace{3cm}(2.6)$$ Рассмотрим случай $g_0\equiv 0$. Используя это соотношение, преобразуем первре уравнение в системе. Находим: $$u_t + uu_r =-\frac{4\pi G}{r^n}\gt-\frac{1}{r^n} g_0(t).\hspace{3cm}(2.7)$$ Решение этого уравнения для $u(r,t)$ будем искать в таком виде: $$u = f(r)[Q(\theta) + v_0(t)].\hspace{3cm}(2.8)$$  Подставляя это соотношение в (2.7), находим условия при которых оно обращается в тождество: $$\acute{f}f=-r^n$$ $$Q^2(\theta)=4\pi G \theta.$$ Отсюда следует, что для обращения (2.7) в тождество достаточно выбрать: $$Q(\theta)=\sqrt{4\pi G\theta}$$ и $$f(r)=\pm \left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}\sqrt{r^{-1}_0+ r^{-1}},~~n=2\\ \sqrt{2}\sqrt{\ln r_0 - \ln r},~~n=1.\end{array}\right.$$ Здесь $r_0$-постоянная интегрирования. При этом функция $\theta(r,t)$ должна удовлетворять уравнениям: $$\theta_t \pm \Big(\sqrt{8\pi G} \sqrt{r^{-1}_0+r^{-1}}\sqrt{\theta}\Big)\theta_r = 0.\hspace{0.5cm}n=2$$ $$\theta_t \pm \Big(\sqrt{8\pi G} \sqrt{\ln r_0 - \ln r}\sqrt{\theta}\Big)\theta_r = 0.\hspace{0.5cm}n=1$$ Эти уравнения имеют интегралы движения.