Это сама природа наглядный дает урок

Крутится волчок…

В. Сауткин

Рис. 1. Системы координат.

     Земля – волчок. Она «крутится» в гравитационном поле Солнца, вращается вокруг Солнца и увлекает за собой Луну. Все это отражается на поведении ее оси вращения. Но каким образом?

     Говорят, что Солнце, Луна и планеты так воздействуют на земной сфероид, что пытаются поставить его наименьшую ось инерции перпендикулярно плоскости земной орбиты. Это, как мы знаем из опыта, приводит не к изменению наклона оси, а к особому виду движения – прецессии оси вращения.

     Вклады возмущающих тел – Солнца, Луны и планет в поддержание прецессии земной оси аддитивны. Наибольший вклад дает Луна, существенно меньший Солнце и ничтожный – планеты солнечной системы.

     Давайте посмотрим, какое действие на ось вращения Земли оказывает Солнце и тот факт, что Земля движется вокруг Солнца.

     Это называется ограниченная постановка задачи движения твердого тела в центральном гравитационном поле.

     Рассмотрим систему координат Ox'y'z' (Рис. 1), оси которой направлены по главным центральным осям инерции Земли (А=8.014х10³⁷кг·м², B=8.014х10³⁷кг·м², С=8.040х10³⁷кг·м²). Орбитальная система координат Оxyz поворачивается относительно Солнца с постоянной угловой скоростью Ω=1.992x10^-7рад/с. Ось x является продолжением радиус-вектора центра Земли. Земля движется по круговой орбите. Ось вращения Земли направлена по оси z'. Плоскость земной орбиты xOy, плоскость земного экватора x'Oy'. Линия их пересечения ON –линия узлов. Связь между координатам штрихованной и не штрихованной системы осуществляется матрицей направляющих косинусов (она же матрица поворота).

     А связь собственно такая:

                                                                                                                                (2)

     Обозначим компоненты матрицы С буквами греческого алфавита:где v –произвольный вектор: скорость, угловая скорость, радиус-вектор, момент силы.

                                                                                                       (3)

     Уравнение движения в векторной форме можно найти в [1]. Перепишем его в соответствии с Рис.1 и обозначениями (3):

                                                                                       (4)

где J – тензор инерции Земли.

     В учебниках в правой части (4) порой ставят ноль и обнаруживают трехсотдневный цикл колебания Земной оси, которого нет на самом деле, и не может быть понятно почему.

     Распишем (4) по штрихованным осям, направленным по главным центральным осям инерции Земли:

                                                                     (5)

где p, q, r – компоненты абсолютной угловой скорости вращения Земли.

     Для полного описания движения Земли требуется еще три уравнения  с одной оговоркой: поскольку речь идет об абсолютной угловой скорости, в уравнение угла прецессии введена угловая скорость переносного движения.

                                                                            (6)

     Уравнения (6) можно получить, если записать кинематические уравнения Эйлера с учетом орбитального движения Земли [1]:

                                                                             (7)

     Теперь начальные условия:

                                                                                                    (8)

     Мы не учитываем в начале прецессию земной оси. Она в принципе должна появиться в процессе.

     Прецессия земной оси проявляется в движении проекции вектора абсолютной угловой скорости вращения Земли на плоскость эклиптики. Эта проекция определяется двумя составляющими : p(t) и q(t). Посчитаем среднее за Т=5 лет значение этой проекции:

                                                                                   (9)

     Оно равно 1.299х10^-12 рад/с, что составляет примерно 17% от принятой сегодня постоянной прецессии. Это означает, что вклад орбитального движения Земли вокруг Солнца вместе с неоднородностью гравитационного поля Солнца в теле Земли составляет 17% от общего эффекта, включающего действие Луны и планет. Если бы не было Луны прецессионный цикл длился бы более 153000 лет.

     Действие Луны аналогично действию Солнца, за одним исключением: Луна заставляет центр Земли колебаться поперек плоскости земной орбиты. Возможно, такое движение приводит к более тонким, чем прецессия земной оси, эффектам, но это уже совсем другая история.

Источники информации.

1.      Теоретическая механика: учебник для студ. Учреждений высш. Проф. Образования /С.В. Болотин, А.В.Карапетян, Е.И.Кугушев, Д.В. Трещев. – М.: Издательский центр «Академия», 2010.