Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет
Проект № 16-42-732119 офим-м РФФИ (6)

6. Многозначные решения уравнений математической физики

6.1. Уравнения параболического типа

Основным уравнением теории диффузии (теплопереноса) в линейной среде является уравнение:
$${\hat L} \Psi-J({\bf x},t)=0,\tag{1.1}\label{EqDif}$$ где ${\hat L}$ - линейный параболический оператор:$${\hat L}=\frac{\partial}{\partial t}-D(t)\Delta,\quad \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots\frac{\partial^2}{\partial x_d^2},\tag{1.2}\label{DefhL}$$ $D(t)$ - коэффициент диффузии (возможно, зависящий от времени) и ${\bf x}=(x_1,x_2,\ldots,x_d)$ - декартовы пространственные координаты, а $t$ - время.

​В квантвой теории волновая функция $\psi$ частицы без спина описывается параболическим уравнениям Шредингера: $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+U({\bf x},t)\psi.\tag{1.3}\label{EqSh}$$ Здесь $U(\bf x},t)$ - потенциальная энергия взаимодействия частицы с полем.

Уравнение этого же вида описывает распространение импульсов электромагнитного излучения в оптически неоднородной среде: $$\frac{\partial}{\partial z}\psi=iD(z)\Delta\psi+i n({\bf x},z)\psi.$$ В этой интерпретации $z$ - координата вдоль основного распространения оптического излучения, а ${\bf x}$ - поперечные координаты, ортогональные к основному направлению распространения излучения. Коэффициент $D(z)$ - называется  коэффицентом дисперсии, а $n$ - коэффицент преломления среды, который может зависеть от координат и времени Для все типов этих уравнений, начиная с размерности $d>1$ будет показано, что существуют их многозначные решения. 

6.2. Гидродинамическая аналогия

Процесс диффузии в линейной среде можно в целом представить как процесс выравнивая концентрации в пространстве некоторой диффундирующей примеси (или температуры), которая в начальный момент времени имеет локальные максимумы и минимумы. Именно такой характер диффузионных процессов считается классическим. С другой стороны известным фактом является то, что уравнения параболического типа (\ref{EqDif}) связаны с гидродинамическими уравнениями потенциального потока вязкой жидкости. Это легко показать, если введем функцию $\Phi=\ln\Psi$, которая играет роль потенциала вязкого гидродинамического течения. Уравнение (\ref{EqDif}) можно записать в виде уравнения относительно функции $\Phi$: $$\Phi_t = D(t)\Delta \Phi + D(t) \Big((\Phi_x)^2+(\Phi_y)^2\Big)+ U({\bf x},t).\tag{2.1}\label{EqPhi}$$ Рассмотрим градиентное векторное поле ${\bf u}=-2D(t)\nabla \Phi=(u_x,u_y)$. Тогда, вычисляя компоненты градиента от обоих сторон уравнения (\ref{EqPhi}), приходим к следующему уравнению для ${\bf u}(x,y,t)$: $${\bf u}_t + ({\bf u},\nabla){\bf u} = 2D(t)\Delta {\bf u} - {\bf F},\tag{2.2}\label{EqNS}$$ где: $${\bf F} = 2D(t)\nabla U + 2\frac{d\ln D}{dt} {\bf u}.$$ Уравнение (\ref{EqNS}) в точности совпадает с уравнениями вязкого потенциального течения  жидкости в поле объемных сил ${\bf F}$ с коэффициентом кинематической вязкости $2D(t)$. Этот факт переносится на уравнения (\ref{EqDif}) в произвольной координатной размерности. Таким образом, с диффузионным потоком в линейной среде всегда связан некоторый гидродинамический поток, который в некотором смысле можно рассматривать суть процесса переноса диффундирующей примеси. Наличие гидродинамической аналогии в процессе диффузии указывает на возможность существования в диффузионном потоке таких структур, которые характерны именно для гидродинамики, например, наличие особенностей в форме опрокидывающихся волновых фронтов или многозначных решений, которые в гидродинамике обычно интерпретируют как ударные волны. Указанием на такую возможность является нелинейность уравнений Навье-Стокса (\ref{EqNS}), хотя само исходное уравнение диффузии является линейным. При этом обычно считалось, что именно диффузионные процессы предотвращают образование ударных волн в среде.

6.3. Уравнения в комплексных координатах

В записи оператора ${\hat L}$ и уравнения (\ref{EqDif}) перейдем к комплексным координатам $z=x+iy,~\overline{z}=x-iy$. В этом случае уравнение (\ref{EqDif}) будет иметь такой вид: $$\frac{\partial \Psi}{\partial t}-4D(t)\frac{\partial^2 \Psi}{\partial z\partial \overline{z}} =U(z,\overline{z},t)\Psi.\tag{3.1}\label{EqCL}$$ Поскольку это уравнение является линейным, то его общее решение может быть построено с помощью суперпозиции частных решений, отвечающих определенным дополнительным условиям. В качестве частных решений уравнения (\ref{EqCL}) рассмотрим функции $\Psi({\bf   x},z)$ следующего вида: $$\Psi({\bf x},t)=A(z,t)e^{\overline{z}v(z,t)},\tag{3.2}\label{DefPsi}$$ где $A(z,t)$ и $v(z,t)$ - две вспомогательные функции, являющиеся аналитическими функциями комплексной переменной $z=x+iy$. Эти решения являются комплексными, однако вещественная или мнимая часть этих частных решения является решением этого уравнения. Поэтому из частных решений этого типа можно затем сконструировать и общее решение исходного уравнения.

 

​7. Многомерные нелинейные уравнения  Клейна-Гордона

В соответствии с общим подходом, развитым в работах \cite{ZhTMF13,ZhTMF16}, рассмотрим систему квазилинейных уравнений относительно функции $\phi({\bf x} ,t)$ следующего вида:
$$\frac{\partial\phi}{\partial x^{\alpha}}= B_{\alpha}(\phi)\frac{\partial \phi}{\partial t},\ \alpha=1,\ldots,n,\tag{7.1}\label{EqQLn}$$  где $B_{\alpha}(\phi)$ - компоненты  векторного поля ${\bf B}(\phi)$, являющиеся дважды дифференцируемыми функциями  только от $\phi$.  Согласно \cite{ZhTMF13,ZhTMF16} эта система уравнений имеет решения, которые можно записать в форме неявной функции: $$\phi=H\Big(t+\sum\limits_{\alpha=1}^nB_{\alpha}(\phi)x_{\alpha}\Big),
\tag{7.2}\label{GSolPhi}$$ где $H(\xi)$ - произвольная дифференцируемая функция одного аргумента, вообще говоря, комплексного. Неявные функции, заданные соотношением (\ref{GSolPhi}) и были названы в \cite{ZhTMF13,ZhTMF16} ${\bf ривертонами}$. Доказательство этого факта строится на исследовании условий совместности системы дифференциальных следствий  (\ref{GSolPhi}) как системы уравнений относительно производных функции $H(\xi)$.

 Пусть $\phi$ - ривертон, т.е. решение системы уравнений (\ref{EqQLn}) вида (\ref{GSolPhi}). Для удобства введем еще одно обозначение, полагая: $u=\phi_t$. Тогда можно формально записать представление компонент градиента функции $\phi$ в следующем виде: $$\frac{\partial\phi}{\partial x_{\alpha}}=B_{\alpha}(\phi)u.\tag{7.3}\label{Defdphi}$$ Продифференцируем последнее уравнение по $t$, предполагая здесь и далее дифференцируемость компонент поля ${\bf B}(\phi)$ по $\phi$. В результате получаем следующее соотношение для функции $u({\bf x},t)$: $$u_{,\alpha}=\frac{\partial}{\partial t}\Big(B_{\alpha}u \Big)=B'_{\alpha}u^2+B_{\alpha}u_t,~\alpha=1,\ldots,n\tag{7.4}\label{Equa}$$

Пусть $w=w(\phi,u)$ - некоторая дифференцируемая функция двух аргументов $\phi$ и $u$, не являющаяся постоянной.  Используя (\ref{EqQLn}) и (\ref{Equa}), получаем следующую систему соотношений: $$w_{,\alpha}=B'_{\alpha}F(u)+B_{\alpha}w_{,t},\tag{7.5}\label{Eqgta}$$ где $F(u)=u^2w_{,u}$. Здесь и далее: $$w_{,u}=\frac{\partial w(\phi,u)}{\partial u},\quad w_{,\phi}=\frac{\partial w(\phi,u)}{\partial \phi}.$$ Вычисляя теперь дивергенцию от обеих частей уравнения (\ref{Eqgta}), получаем тождество такого вида: $$\Delta w = \sum\limits_{\alpha=1}^n\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\Big(B'_{\alpha}F(u)+B_{\alpha}w_t\Big).\tag{7.6}\label{EqGLiu0}$$ Раскрывая скобки в правой части, уравнение можно привести к следующей форме: $$\Delta w - R w_{,tt} = R''uF(u)+\Omega_1^2\Big(F'(u)u^2-2uF\Big)+\frac{1}{2}R'\Big(2F_{,u}u_t+F_{,\phi}u-2uw_{,t}\Big),\tag{7.7}\label{EqGKG}$$  где введено обозначение: $\Omega_1^2(\phi)=\sum\limits_{\alpha=1}^n\Big(B'_{\alpha}\Big)^2$. Здесь были учтены тождества: $$ \sum\limits_{\alpha=1}^nB^{\alpha}B'^{\alpha}= \frac{1}{2}R',$$ $$\sum\limits_{\alpha=1}^nB^{\alpha}B''^{\alpha}=\frac{d}{d\phi}\sum\limits_{\alpha=1}^nB'^{\alpha}B^{\alpha}-\sum\limits_{\alpha=1}^nB'^{\alpha}B'^{\alpha}=\frac{1}{2}R''-\Omega^2.$$ Кроме этого, из (\ref{Eqgta}) следует также и уравнение типа эйконала: $$\sum\limits_{\alpha=1}^n\Big(w_{,\alpha}\Big)^2-R \Big(w_{,t}\Big)^2=\Omega^2 (F(u))^2 + R' F(u)w_t.\tag{7.8}\label{EqGEic}$$