В ДАННОЙ РАБОТЕ СОДЕРЖИТСЯ ОШИБКА, ПРИВОДЯЩАЯ К ОБРАТНОМУ РЕЗУЛЬТАТУ. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ ВСЕ ВЕРНО, НО ГДЕ-ТО ПОТЕРЯН ЗНАК.
В ИТОГЕ, ПРАВИЛЬНО СЧИТАТЬ, ЧТО ПРИЛИВЫ УВЕЛИЧИВАЮТ НАКЛОН ЗЕМНОЙ ОСИ К ПЛОСКОСТИ ЭКЛИПТИКИ (А НЕ К НОРМАЛИ)

Рассмотрим систему координат ONKz, подвижную, как в Земле, так и в инерциальном пространстве. Уравнения движения Земли под действием момента сил со стороны Луны в этой системе можно найти в работе [1].

$\\A\ddot\theta+[C(\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta)-A\dot\psi\cos\theta]\dot\psi\sin\theta=M_N\\A\ddot\psi\sin\theta+2A\dot\psi\dot\theta\cos\theta-C\dot\theta(\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta)=M_K\\C(\ddot\varphi+\ddot\psi\cos\theta-\dot\psi\dot\theta\sin\theta)=M_z$     (1)

Рис. 1

Угловая скорость осевого вращения Земли существенно больше угловых скоростей прецессии и нутации, поэтому уравнения (1) можно упростить, отбросив часть слагаемых. Введем обозначение:

$\omega=\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta$     (2)

и получим следующую «укороченную» систему уравнений:

$\\C\omega\dot\psi\sin\theta = M_N \\C\omega\dot\theta = -M_K \\C\dot\omega = M_z$     (3)

Момент, действующий на Землю со стороны Луны, может быть представлен как сумма двух моментов, опрокидывающего и приливного. Опрокидывающий момент возникает, благодаря экваториальным вздутиям Земли, а приливный появляется при сносе приливных горбов суточным вращением Земли.

В работе [2] показано, что опрокидывающий момент от Луны равен:

$\boldsymbol{M_1}=\frac{3\mu}{R^3}{\boldsymbol{\alpha}\times(\boldsymbol{J}\cdot \boldsymbol{\alpha})}$     (4)

где $\boldsymbol{J}$ – тензор инерции Земли,

И зависит от направления вектора $\boldsymbol{R}$, соединяющего центры Луны и Земли, в системе ONKz.

Связь между системами OXYZ и NKz осуществляется матрицей поворота $\boldsymbol{A}$, компоненты которой равны:

$\\a_{11}=\cos\psi \\a_{12}= - \sin\psi \cos\theta \\a_{13} =\sin\psi \sin\theta \\a_{21}=\sin\psi\\a_{22} =\cos\psi \cos\theta \\a_{23}= - \cos\psi \sin\theta \\a_{31}= 0 \\a_{32} =\sin\theta \\a_{33}= \cos\theta$     (5)

Раскрывая (4) получим:

$\\M_N=\frac{3\mu}{R^3}(C-A)a_{12}a_{13}\\M_K=\frac{3\mu}{R^3}(A-C)a_{11}a_{13}\\M_z=0$     (6)

При расчете направляющих косинусов следует иметь ввиду, что координаты Луны в инерциальном пространстве изменяются со временем, т.е. угол прецессии Луны меняется по закону:

$ \psi_m=\psi-\Omega t$,

где $\Omega$ – угловая скорость орбитального движения Луны, которая считается постоянной,

$\psi$ – текущее значение угла прецессии Земли, или угловое расстояние линии узлов ON от оси OХ в инерциальном пространстве (Рис.1).

Таким образом, мы получим :

$\\M_{1N}=-\frac{3\mu}{R^3}(C-A)\sin^2(\psi-\Omega t)\sin\theta\cos\theta\\M_{1K}= -\frac{3\mu}{R^3}(C-A)\cos(\psi-\Omega t)\sin(\psi-\Omega t)\sin\theta\\M_{1z}=0$     (7)

При осреднении $M_{1K}$ обращается в ноль.

Среднее значение компоненты $M_{1N}$ соответственно равно:

$\\\overline{M_{1N}}=-\frac{3\mu}{2R^3}(C-A)\sin\theta\cos\theta$     (8)

 Перейдем теперь к расчету приливного момента.

Рис 2.

Приливный горб, образующийся в подлунной точке, сносится суточным движением Земли на угол $\delta$ (Рис.2). То же происходит и с приливным горбом на противоположной стороне Земли. Расстояния от Луны до приливных горбов равны соответственно:

$\\\boldsymbol{\rho_1}=\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{\rho_2}=\boldsymbol{R}+\boldsymbol{r}$     (9)

Момент от ближайшего к Луне горба равен:

$\boldsymbol {M_n}= -\frac{\mu m}{\rho_1^3} (\boldsymbol{-r}) \times (\boldsymbol{R}-\boldsymbol{r})$     (10)

где $\mu$ – гравитационный параметр Луны,  $m$ - точечная масса, сосредоточенная в вершине приливного горба, создающая момент равный реально действующему.

Момент от дальнего горба равен:

$\boldsymbol {M_f}= -\frac{\mu m}{\rho_2^3} (\boldsymbol{r}) \times (\boldsymbol{R}+\boldsymbol{r})$     (11)

Результирующий момент равен сумме этих двух моментов. Вспоминая, что векторное произведение вектора самого на себя равно нулю, получим:

$\boldsymbol {M_2}= \mu m \left( \frac{1}{\rho_1^3} -\frac{1}{\rho_2^3}\right ) (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{R})$     (12)

Выразим расстояния до приливных горбов через радиус Земли и расстояние между центрами Земли и Луны, пренебрегая квадратом отношения $r/R$:

$\\\frac{1}{\rho_1^3} =\frac{1}{R^3} \left(1+\frac{3\boldsymbol{R}\boldsymbol{r}}{R^2} \right )\\\frac{1}{\rho_2^3} =\frac{1}{R^3} \left(1-\frac{3\boldsymbol{R}\boldsymbol{r}}{R^2} \right )$     (13)

Разность обратных кубов расстояний равна:

$\frac{1}{\rho_1^3}-\frac{1}{\rho_2^3}=\frac{6\boldsymbol{R}\boldsymbol{r}}{R^5}$     (14)

Таким образом, вектор приливного момента равен:

$\boldsymbol{M_2}=\frac{6\mu m}{R^5} (\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{R})(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R})$     (15)

Радиус вектор приливного горба смещен относительно вектора, соединяющего центры Земли и Луны на угол $\delta$. Следовательно, модуль вектора приливного момента равен:

$M_2=\frac{3\mu m r^2\sin2\delta}{R^3}$     (16)

Направление вектора приливного момента определяется векторным произведением $\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R}$. Найдем его компоненты.

Введем матрицу поворота приливного горба:

$\Delta=\begin{pmatrix}\cos\delta &-\sin\delta  &0 \\ \sin\delta& \cos\delta & 0\\ 0&0  &1\end{pmatrix}$     (17)

С ее помощью мы получим радиус-вектор дальнего от Луны приливного горба в системе координат ONKz:

$\begin{pmatrix}r_N\\ r_K\\ r_z\end{pmatrix}=\Delta A^{-1}\begin{pmatrix}r\cos\Omega t\\ r\sin\Omega t\\ 0\end{pmatrix}$     (18)

Запишем вектор, соединяющий центры Земли и Луны в системе ONKz:

 $\begin{pmatrix}R_N\\ R_K\\ R_z\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}R\cos\Omega t\\ R\sin\Omega t\\ 0\end{pmatrix}$     (19)

Скалярное произведение этих векторов равно:

$\boldsymbol{r}\boldsymbol{R}=rR\left(\cos\delta+(1-\cos\delta)a_{13}^{'2}\right)$     (20)

где $a_{13}^{'2}=\sin(\psi-\Omega t)\sin\theta$

Теперь распишем векторное произведение тех же векторов. Так, например, компонента z этого векторного произведения равна:

$(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R})_z=Ra_{12}^{'}(ra_{11}^{'}\cos\delta-ra_{12}^{'}\sin\delta)-Ra_{11}^{'}(ra_{11}^{'}\sin\delta+ra_{12}^{'}\cos\delta)$     (21)

где штрихи у направляющих косинусов означают, что угол прецессии $\psi$ уменьшен на величину $\Omega t$

Аналогично найдем и другие компоненты.

Введем для краткости вектор:

 $\boldsymbol{V}=(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{R})(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{R})$     (22)

Его компоненты в системе ONKz мы получим, тщательно перемножив все синусы и косинусы. Так, например,

$V_N=r^2R^2(a_{11}^{'}a_{13}^{'}\sin\delta\cos\delta- a_{12}^{'}a_{13}^{'}(1-\cos\delta)\cos\delta+a_{11}^{'}a_{13}^{'3}(1-\cos\delta)\sin\delta-a_{12}^{'}a_{13}^{'3}(1-\cos\delta)^2)$     (23)

Нетрудно показать, что первое слагаемое в скобках существенно больше всех остальных, поэтому остальными можно пренебречь. Заметим также, что по свойству направляющих косинусов:

$a_{11}^{'2}+a_{12}^{'2}=1-a_{13}^{'2}$     (24)

Таким образом,

$\begin{pmatrix}V_N\\V_K\\ V_z\end{pmatrix}=r^2R^2\sin\delta\cos\delta\begin{pmatrix}a_{11}^{'}a_{13}^{'}\\a_{12}^{'}a_{13}^{'}\\ -(a_{11}^{'2}+a_{12}^{'2})\end{pmatrix}$     (25)

Подставляя значения направляющих косинусов получим компоненты приливного момента в системе ONKz:

$\begin{pmatrix}M_{2N}\\M_{2K}\\ M_{2z}\end{pmatrix}=\frac{3\mu m r^2}{R^3}\sin2\delta\begin{pmatrix}cos(\psi-\Omega t)\sin(\psi-\Omega t)\sin\theta\\-\sin(\psi-\Omega t)^2\cos\theta\sin\theta\\ -sin^2(\psi-\Omega t)cos^2\theta-cos^2(\psi-\Omega t)\end{pmatrix}$     (26)

Очевидно, что среднее значение первой компоненты равно нулю. Зато вторая компонента, отвечающая за угол нутации, при осреднении не исчезает и равна:

$\\\overline{M_{2K}}=-\frac{3\mu m r^2}{2R^3}\sin2\delta\cos\theta\sin\theta $     (27)

Как мы уже выяснили компонента $\overline{M_{1K}}=0$. Следовательно, среднее значение производной угла нутации зависит только от приливного момента и равно:

$\\\overline{\dot\theta}=-\frac{3\mu m r^2}{2C\omega  R^3}\sin2\delta\cos\theta\sin\theta$     (28)

Правая часть равенства отрицательна, а это означает, что приливной момент уменьшает наклон земной оси.

_______________________________

Источники информации.

1.Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. Монография. – М.: Мир, 1980.

2. http://www.spacephys.ru/gravitatsionno-prilivnoe-vzaimodeistvie-zemli-i-luny-uvelichivaet-naklon-zemnoi-osi