Как известно, Луна удаляется от Земли. Когда это началось, и как долго это будет происходить? И что будет потом? На эти вопросы нет однозначного ответа. Вращательная энергия Земли посредством приливного взаимодействия передается Луне, и та удаляется. Приливное трение «съедает» огромное количество механической энергии, поэтому полная механическая энергия системы Земля-Луна не сохраняется.  Однако, выполняется закон сохранения момента импульса. Он не чувствителен к диссипативным процессам!

Представим себе два одинаковых диска, один из которых раскрутили, а потом прижали ко второму. Первый диск будет скользить по второму, постепенно приводя его в движение, но теряя при этом в скорости вращения. В какой-то момент угловые скорости обоих дисков станут равными, и диски будут вращаться как одно целое (Рис. 1).

Рис. 1

Закон сохранения механической энергии в данном случае не выполняется, поскольку трение рассеивает часть механической энергии в тепло. Зато выполняется закон сохранения момента импульса, который и позволит нам рассчитать потери энергии и конечную скорость вращения дисков.

 В начале, первый диск обладает моментом импульса

 $L=I\omega_1$  (1)

и кинетической энергией

$T_1=\frac{1}{2}I\omega_1^2$. (2)

В конце суммарный момент импульса дисков равен

$L=2I\omega$, (3)

а их энергия равна

$T_2=I\omega^2$ (4)

Запишем закон сохранения момента импульса:

$I\omega_1=2I\omega$ (5)

Следовательно,

$\omega=\frac{\omega_1}{2}$. (6)

На трении будет потеряна

$\Delta T=T_1-T_2=\frac{1}{2}I\omega_1^2-\frac{1}{4}I\omega_1^2=\frac{1}{2}T_1$  (7)

ровно половина кинетической энергии первого диска.

Обратимся теперь к системе Земля-Луна. Допустим, что Луна движется по круговой (точнее очень близкой к круговой в любой момент времени) орбите вокруг Земли, и не испытывает никаких гравитационных воздействий, кроме приливного взаимодействия с Землей. Ось вращения Земли о ось орбитального движения Луны совпадают.

 В такой модели Луна удаляется от Земли, угловая скорость ее орбитального движения и угловая скорость вращения Земли уменьшаются, пока не станут равными в резонансе 1:1.

Запишем закон сохранения момента импульса для системы Земля-Луна:

$C\omega_0+M r_0^2\omega_1=C\omega+M r^2\omega$,  (8)

где $C=8.039\cdot10^{37} $ кг м² - момент инерции Земли, $\omega_0=7.292\cdot10^{-5}$ - угловая скорость вращения Земли в настоящее время, $M= 7.3477\cdot10^{22}$ кг - масса Луны, $r_0 = 3.844\cdot10^8$ м - среднее расстояние от Земли до Луны в настоящее время, $\omega_1= 2.649\cdot10^{-6}$ рад/с - угловая скорость орбитального движения Луны в настоящее время, $\omega$ - резонансная угловая скорость вращения Земли (и обращения Луны по орбите), $r$ - расстояние Земля-Луна в момент достижения резонанса 1:1.

Разделим левую и правую часть (8) на $ r_0^2 \omega_1 $ и вводя обозначение

$L=\frac{C \omega_0 }{ r_0^2\omega_1}+M$  (9)

получим

$L=\frac{C}{r_0^2}\frac{\omega}{\omega_1}+M\frac{r^2}{r_0^2}\frac{\omega}{\omega_1}$.  (10)

Введем новые обозначения

$х=\frac{r}{r_0}$, $y=\frac{\omega}{\omega_1}$  (11)

Согласно третьему закону Кеплера

$\frac{r_0^3}{r^3}=\frac{\omega^2}{\omega_1^2}$  (12)

или, в наших новых обозначениях

$y=x^{-3/2}$  (13)

Подставляя $x$ и $y$ в (10), получим:

$L=\frac{C}{r_0^2} y+M x^2 y$  (14)

или

$L=\frac{C}{r_0^2} x^{-3/2}+M x^{1/2}$  (15)

Это выражение эквивалентно уравнению четвертой степени относительно $x$.

График функции

$f(x)=L-\frac{C}{r_0^2} x^{-3/2}-M x^{1/2}$   (16)

можно видеть на Рис. 2.

Рис. 2.

Найдем корни уравнения $f(x)=0$ численно:

$x_1=1.44$, $x_2=0.04$

Таким образом, Луна сможет удалиться не более чем на $ 5.532\cdot10^8$ м, что намного меньше сферы действия Земли относительно Солнца ($9.25\cdot10^8$ м).

Сутки при этом станут в 47 раз длиннее, чем сейчас и будут равны лунному месяцу.

Интересно, что резонанс 1:1 возможен с точки зрения математики и на расстоянии в 2.3 земных радиуса, при угловой скорости Земли в  5 раз большей, чем сейчас (т.е. сутки менее 5 часов).

Такая ситуация сомнительна или даже невозможна с точки зрения физики, поскольку Луна была бы разорвана приливными силами, а Земля силами инерции. Другое дело, если Земля и Луна представляли собой тогда аморфные тела – два сгустка материи, вращающиеся как одно целое. 

Тот же закон сохранения момента импульса (10) поможет нам заглянуть в прошлое.

Обозначим $\omega_m$ - угловую скорость орбитального движения Луны, а $\omega_e$ - угловую скорость вращения Земли.

По закону сохранения момента импульса:

$\omega_e=\omega_1 r_0^2\left ( \frac{L-M x^{1/2}}{C} \right )$     (17)

По третьему закону Кеплера:

$\omega_m=\omega_1 x^{-3/2}$     (18)

Зависимость этих угловых скоростей показана на Рис. 3.

Рис. 3.

Глядя, на эти графики, можно подумать, что чудовищные приливные силы довольно быстро отдалили Луну от Земли и сейчас мы наблюдаем угасание процесса ее ухода. Повторюсь, что данная ситуация маловероятна.

Также можно видеть, что после прохождения точки резонанса 1:1 Земля начнет вращаться в обратную сторону. Это тоже маловероятно, поскольку в точке резонанса перестанет действовать механизм передачи момента импульса от Земли к Луне, исчеснет трансверсальная сила от приливных горбов, разгоняющая Луну.