6. Многозначные решения уравнений математической физики

6.1. Уравнения параболического типа

6.1.1. Исходные положения

Основным уравнением теории диффузии (теплопереноса) в линейной среде является уравнение:
$${\hat L} \Psi-J({\bf x},t)=0,\tag{1.1}\label{EqDif}$$ где ${\hat L}$ - линейный параболический оператор:$${\hat L}=\frac{\partial}{\partial t}-D(t)\Delta,\quad \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots\frac{\partial^2}{\partial x_d^2},\tag{1.2}\label{DefhL}$$ $D(t)$ - коэффициент диффузии (возможно, зависящий от времени) и ${\bf x}=(x_1,x_2,\ldots,x_d)$ - декартовы пространственные координаты, а $t$ - время.

​В квантвой теории волновая функция $\psi$ частицы без спина описывается параболическим уравнениям Шредингера: $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+U({\bf x},t)\psi.\tag{1.3}\label{EqSh}$$ Здесь $U(\bf x},t)$ - потенциальная энергия взаимодействия частицы с полем.

Уравнение этого же вида описывает распространение импульсов электромагнитного излучения в оптически неоднородной среде: $$\frac{\partial}{\partial z}\psi=iD(z)\Delta\psi+i n({\bf x},z)\psi.$$ В этой интерпретации $z$ - координата вдоль основного распространения оптического излучения, а ${\bf x}$ - поперечные координаты, ортогональные к основному направлению распространения излучения. Коэффициент $D(z)$ - называется  коэффицентом дисперсии, а $n$ - коэффицент преломления среды, который может зависеть от координат и времени Для все типов этих уравнений, начиная с размерности $d>1$ будет показано, что существуют их многозначные решения. 

6.1.2. Гидродинамика и диффузия

Процесс диффузии в линейной среде можно в целом представить как процесс выравнивая концентрации в пространстве некоторой диффундирующей примеси (или температуры), которая в начальный момент времени имеет локальные максимумы и минимумы. Именно такой характер диффузионных процессов считается классическим. С другой стороны известным фактом является то, что уравнения параболического типа (\ref{EqDif}) связаны с гидродинамическими уравнениями потенциального потока вязкой жидкости. Это легко показать, если введем функцию $\Phi=\ln\Psi$, которая играет роль потенциала вязкого гидродинамического течения. Уравнение (\ref{EqDif}) можно записать в виде уравнения относительно функции $\Phi$: $$\Phi_t = D(t)\Delta \Phi + D(t) \Big((\Phi_x)^2+(\Phi_y)^2\Big)+ U({\bf x},t).\tag{2.1}\label{EqPhi}$$ Рассмотрим градиентное векторное поле ${\bf u}=-2D(t)\nabla \Phi=(u_x,u_y)$. Тогда, вычисляя компоненты градиента от обоих сторон уравнения (\ref{EqPhi}), приходим к следующему уравнению для ${\bf u}(x,y,t)$: $${\bf u}_t + ({\bf u},\nabla){\bf u} = 2D(t)\Delta {\bf u} - {\bf F},\tag{2.2}\label{EqNS}$$ где: $${\bf F} = 2D(t)\nabla U + 2\frac{d\ln D}{dt} {\bf u}.$$ Уравнение (\ref{EqNS}) в точности совпадает с уравнениями вязкого потенциального течения  жидкости в поле объемных сил ${\bf F}$ с коэффициентом кинематической вязкости $2D(t)$. Этот факт переносится на уравнения (\ref{EqDif}) в произвольной координатной размерности. Таким образом, с диффузионным потоком в линейной среде всегда связан некоторый гидродинамический поток, который в некотором смысле можно рассматривать суть процесса переноса диффундирующей примеси. Наличие гидродинамической аналогии в процессе диффузии указывает на возможность существования в диффузионном потоке таких структур, которые характерны именно для гидродинамики, например, наличие особенностей в форме опрокидывающихся волновых фронтов или многозначных решений, которые в гидродинамике обычно интерпретируют как ударные волны. Указанием на такую возможность является нелинейность уравнений Навье-Стокса (\ref{EqNS}), хотя само исходное уравнение диффузии является линейным. При этом обычно считалось, что именно диффузионные процессы предотвращают образование ударных волн в среде.

6.1.3. Уравнения в комплексных координатах

     В записи оператора $\hat{L}$ и уравнения (\ref{EqDif})  перейдем к комплексным координатам $z=x+iy,~\overline{z}=x-iy$. В этом случае уравнение (\ref{EqDif}) будет иметь такой вид: $$\frac{\partial \Psi}{\partial t}-4D(t)\frac{\partial^2 \Psi}{\partial z\partial \overline{z}}=U(z,\overline{z},t)\Psi.\tag{3.1}\label{EqCL}$$ Поскольку это уравнение является линейным, то его общее решение может быть построено с помощью суперпозиции частных решений, отвечающих определенным дополнительным условиям. В качестве частных  решений уравнения (\ref{EqCL}) рассмотрим функции $\Psi({\bf x},z)$ следующего вида: $$\Psi({\bf x},t)=A(z,t)e^{\overline{z}v(z,t)},\tag{3.2}\label{DefPsi}$$ где $A(z,t)$ и $v(z,t)$ - две вспомогательные функции, являющиеся аналитическими функциями комплексной переменной $z=x+iy$. Эти решения являются комплексными, однако вещественная или мнимая часть этих частных решения является также решением этого уравнения. Поэтому из частных решений этого типа можно затем сконструировать и общее вещественное решение исходного уравнения.
    Подставляя функцию $\Psi$ в уравнение (\ref{EqCL}), приходим к условию обращения его в тождество, которое эквивалентно уравнениям для функций $A(z,t)$, $v(z,t)$ и $U(z,\overline{z},t)$: $$U=M(z,t)\overline{z} + N(z,t),$$ $$v_t-4D(t)vv_{z}-M(z,t)=0,\tag{3.3}\label{EqRv}$$ $$A_{t}-\frac{\partial}{\partial z}\Big(4D(t)Av\Big)-N(z,t)A=0.$$ Представим функцию $A$ в виде произведения: $A=QL$, где функция $Q$ удовлетворяет уравнению: $$Q_t-\frac{\partial}{\partial z}\Big(4D(t)Qv\Big)=0.\tag{3.4}\label{EqQ}$$ Тогда последнее уравнение в (\ref{EqRv}) эквивалентно уравнению относительно $\Theta=\ln L$ следующего вида: $$\Theta_t -4D(t)v\Theta_{z} = N(z,t).\tag{3.5}\label{EqL}$$ Поскольку уравнение (\ref{EqQ}) представляет собой дифференциальный закон сохранения, существует функция $S(z,t)$ такая, что: $$Q=\frac{\partial S}{\partial z},~~4D(t)Qv=\frac{\partial S}{\partial t}.\tag{3.6}\label{DefW}$$ Сама функция $S(z,t)$ является решением уравнения: $$\frac{\partial S}{\partial t}-4D(t)v\frac{\partial S}{\partial z}=0.\tag{3.7}\label{EqW}$$ Таким образом, система квазилинейных уравнений первого порядка: $$v_t-4D(t)vv_{z}-M(z,t)=0,$$ $$\Theta_t-4D(t)v\Theta_{z} = N(z,t),\tag{3.8}\label{EqQL}$$ $$\frac{\partial S}{\partial t}-4D(t)v\frac{\partial S}{\partial z}=0,$$ эквивалента исходному уравнению диффузии. Решение этой системы может быть построено с помощью метода характеристик, которые позволяют строить частные решения исходного уравнения (\ref{EqCL}). Результаты применения этого метода к системе (\ref{EqQL}) будут рассмотрены далее, но прежде рассмотрим  связь комплексных решений (\ref{DefPsi}) с гидродинамическими течениями.

6.1.4. Гидродинамическая аналогия для многозначных решений

 Гидродинамический смысл функции $v(z,t)$, участвующей в записи решения (\ref{DefPsi}), вытекает из следующего тождества: $$V=u_x+iu_y=-2D\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}+i\frac{\partial\Phi}{\partial y}\right)=-D\frac{\partial \Phi}{\partial \overline{z}}=-2D(t)v(z,t),\tag{4.1}\label{DefV}$$ где $\Phi = \ln\Psi = \ln A+ v(z,t)\overline{z}$. Таким образом, аналитическая функция $V(z,t)=-2D(t)v(z,t)$ в представленном типе решений - это комплексная скорость гидродинамического потока, сопровождающего процесс диффузии. В связи с этим первое уравнение системы (\ref{EqQL}) можно интерпретировать как уравнение гидродинамического течения, записанного в комплексной форме.  Умножая это уравнение системы (\ref{EqQL}) на множитель $-8D(t)$ и раскладывая результат на мнимую и вещественную часть, приходим к паре уравнений Эйлера (без вязкости) для компонент комплексной скорости $W=8D(t)v(z,t)=w_x+iw_y$ с вектором скорости потока ${\bf W}=(w_x,~w_y)$: $$\frac{\partial w_x}{\partial t}+w_x\frac{\partial w_x}{\partial x}+w_y\frac{\partial w_x}{\partial y}=F_x,$$ $$\frac{\partial w_y}{\partial t}+w_x\frac{\partial w_y}{\partial x}+w_y\frac{\partial w_y}{\partial y}=F_y.\tag{4.2}\label{EqEL}$$ где $F_x$ и $F_y$ - компоненты объемной силы: $$F(z,t)=-8D(t)M(z,t)+8\frac{d\ln D}{dt}v(z,t)=F_x+iF_y.$$ При выводе этих уравнений использовались условия Коши-Римана для аналитической функции $v(z,t)$: $$\frac{\partial w_x}{\partial x}=\frac{\partial w_y}{\partial y},~~\frac{\partial w_x}{\partial y}=-\frac{\partial w_y}{\partial x}.$$ Таким образом, решения типа (\ref{DefPsi}) связаны с невязким потоком жидкости. Более того, в отличие от поля ${\bf u}$ с компонентами $u_x,~u_y$ данный поток является не потенциальным, сжимаемым и завихренным. Действительно, из условия Коши-Римана следует, что либо: $$w_x=\frac{\partial \phi}{\partial x},~~w_y=-\frac{\partial \phi}{\partial y},~~\Delta\phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0,$$ либо $$w_x=\frac{\partial \psi}{\partial y},~~w_y=\frac{\partial \psi}{\partial x},~~\Delta\psi=\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0.$$ В результате имеем: $${\rm div} {\bf W}=\frac{\partial w_x}{\partial x}+\frac{\partial w_y}{\partial y}=\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=2\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial y}\not=0,$$ $$\frac{\partial w_x}{\partial y}-\frac{\partial w_y}{\partial x}=2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x\partial y}=-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}\not=0.$$
     Рассмотрим теперь для простоты случай $D={\rm const}$ и представим функцию $16 D N(z,t)$ в виде производной по $z$ от функции $\Pi(z,t)=-p(x,y,t)-iq(x,y,t)$: $$F(z)=\frac{1}{2}\frac{d\Pi}{dz}=-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)(p+iq)=-\frac{\partial p}{\partial x}+i\frac{\partial p}{\partial y}.\tag{4.3}\label{DefF}$$ Тогда система уравнений примет такой вид: $$\frac{\partial w_x}{\partial t}+w_x\frac{\partial w_x}{\partial x}+w_y\frac{\partial w_x}{\partial y}=-p_x,$$ $$\frac{\partial w_y}{\partial t}+w_x\frac{\partial w_y}{\partial x}+w_y\frac{\partial w_y}{\partial y}=p_y.\tag{4.4}\label{EqELW}$$ где функция $p$ удовлетворяет уравнению Лапласа: $$\Delta p=0.$$
   Объемная сила ${\bf F}=(-p_x,p_y)$ имеет нестандартный вид, что затрудняет использование полученной гидродинамической аналогии в прикладных гидродинамических задачах. Однако, учитывая то, что именно объемная сила такого типа соответствует именно диффузионному процессу, связанному с (\ref{DefPsi}), можно сказать, что диффузию порождает объемная удельная сила специфического вида ${\bf F}=(-p_x,p_y)$ (\ref{DefF}). При этом вещественная суперпозиция решений типа (\ref{DefPsi}), например, вещественная часть  такого решения, будут связаны с вязким потоком, удовлетворяющим уравнениям (\ref{EqNS}). Вместе с тем, имеются и простые варианты выбора объемных сил, которые могут быть связаны непосредственно с гидродинамикой реальной жидкости, в поле реальных объемных сил. Таким простым вариантом выбора функции $p$ является линейная функция координат: $p=a(t) x + b(t) y + c(t)$. В этом случае объемную силу ${\bf F}$ можно интер претировать как удельную силу тяжести в однородном поле тяготения: $${\bf F}=\frac{1}{\rho}{\bf F}=(-a(t),b(t)),\tag{4.4}\label{DefbF}$$ где $\rho$ - плотность сжимаемой среды.
    Единственным недостатком рассматриваемой гидродинамической аналогии является отсутствие в ней уравнения сохранения массы или уравнения неразрывности. Этот недостаток можно восполнить, воспользовавшись уравнением (\ref{EqQ}). Поскольку функция $Q(z,t)$ зависит только от $z$, то комплексно-сопряженная ей функция $Q^*=(Q(z,t))^*=Q^*(z^*,t)$ зависит только от $z^*$. Учитывая это и умножив уравнение (\ref{EqQ}) на $Q^*$, приходим к уравнению: $$\frac{\partial}{\partial t}|Q|^2-\frac{\partial}{\partial z}\left(4Dv|Q|^2\right)=0.$$ Вычисляя вещественную часть этого соотношения, приходим к уравнению неразрывности: $$\frac{\partial}{\partial t}|Q|^2+\frac{\partial}{\partial x}\left(|Q|^2w_x\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(|Q|^2w_y\right)=0,\tag{4.5}\label{Eqrho}$$ что позволяет функцию $\rho=|Q|^2$ интерпретировать как плотность сжимаемой среды. Вычисляя мнимую часть этого соотношения, получаем следующее соотношение: $$\frac{\partial}{\partial y}\left(|Q|^2w_x\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(|Q|^2w_y\right),$$ что эквивалентно существованию функции $\chi$ такой, что выполнены равенства: $$w_x=\frac{1}{|Q|^2}\frac{\partial\chi}{\partial x},~~w_y=\frac{1}{|Q|^2}\frac{\partial\chi}{\partial y},$$ которые дают представление о структуре гидродинамического потока с полем скорости ${\bf W}$.    
    Наличие гидродинамической аналогии в форме уравнений идеальной жидкости указывает  на то, что решения типа (\ref{DefPsi}) могут иметь многозначные решения, поскольку гидродинамика идеальной жидкости допускает решения в форме опрокидывающихся волн, которые описываются многозначными функциями. Это означает, что такие же многозначные решения имеются и у исходного линейного уравнения диффузии, что, вообще говоря, является важным новым фактом. Построение и исследование таких решений и является дальнейшей нашей задачей.

6.1.5. Решение уравнений на характеристиках

Общим способом построения решений системы уравнений (\ref{EqQL}) является метод характеристик. В отличие от классического метода характеристик воспользуемся методом комплексных характеристик. Введем переменную $\tau(t)=4\int D(t)dt$. Тогда уравнение характеристик системы (\ref{EqQL}) будет иметь следующий вид: $$\frac{dz}{d\tau} = -v.\tag{5.1}\label{Eqchar}$$ Если разложить последнее равнение на мнимую и вещественную части, то получим пару вещественных характеристик для двумерного течения с компонентами $(v_x,v_y)$. Поэтому решение задач в форме комплексных уравнений упрощает выкдадки, не меняя сути вычислений с вещественными характеристиками. На характеристиках (\ref{Eqchar}) уравнения для функций $v,~S$ и $\Theta$ примут такой вид: $$\frac{dv}{d\tau} = m(z,\tau),~~ \frac{d\Theta}{d\tau}= n(z,\tau),~~\frac{dS}{d\tau}= 0,\tag{5.2}\label{EqvQW}$$ где $m(z,\tau)=M(z,t)/4D(t),~n(z,\tau)=N(z,t)/4D(t)$. Подставляя $v$ из (\ref{Eqchar}) в первое уравнение системы (\ref{EqvQW}),получаем уравнение характеристик в замкнутой относительно $z$ форме: $$\frac{d^2z}{d\tau^2} = - m(z,\tau).\tag{5.3}\label{Eqz2}$$
     Согласно общей теории метода характеристик [RYa78], если найдены оба интеграла движения $I_1(v,z,\tau)$ и $I_2(v,z,\tau)$ системы уравнений (\ref{Eqchar}) и (\ref{EqvQW}) и, соответственно, (\ref{Eqz2}), то общее решение системы (\ref{EqRv}) и первого уравнения (\ref{EqvQW}) относительно $v$ находится из алгебраического уравнения: $$H\Big(I_1(v,z,\tau),I_2(v,z,\tau)\Big)=0,\tag{5.4}\label{GenSolf}$$ где $H(I_1,I_2)$ - произвольная комплексная функция своих аргументов. Это же уравнение без ограничения общности можно записать в одном из следующих форм, либо в форме: $$I_1=h_1(I_2),\tag{5.5}\label{EqIIa}$$ либо в форме: $$I_2=h_2(I_1),\tag{5.6}\label{EqIIb}$$ где функции $h_1(I)$ и $h_2(I)$ - взаимно-обратны.

​6.2. Многомерные нелинейные уравнения  Клейна-Гордона

6.2.1. Ривертоны и квазилинейные уравнения первого порядка

В соответствии с общим подходом, развитым в работах \cite{ZhTMF13,ZhTMF16}, рассмотрим систему квазилинейных уравнений относительно функции $\phi({\bf x} ,t)$ следующего вида:
$$\frac{\partial\phi}{\partial x^{\alpha}}= B_{\alpha}(\phi)\frac{\partial \phi}{\partial t},\ \alpha=1,\ldots,n,\tag{2.1.1}\label{EqQLn}$$  где $B_{\alpha}(\phi)$ - компоненты  векторного поля ${\bf B}(\phi)$, являющиеся дважды дифференцируемыми функциями  только от $\phi$.  Согласно \cite{ZhTMF13,ZhTMF16} эта система уравнений имеет решения, которые можно записать в форме неявной функции: $$\phi=H\Big(t+\sum\limits_{\alpha=1}^nB_{\alpha}(\phi)x_{\alpha}\Big),
\tag{2.1.2}\label{GSolPhi}$$ где $H(\xi)$ - произвольная дифференцируемая функция одного аргумента, вообще говоря, комплексного. Неявные функции, заданные соотношением (\ref{GSolPhi}) и были названы в \cite{ZhTMF13,ZhTMF16} ${\bf ривертонами}$. Доказательство этого факта строится на исследовании условий совместности системы дифференциальных следствий  (\ref{GSolPhi}) как системы уравнений относительно производных функции $H(\xi)$.

 Пусть $\phi$ - ривертон, т.е. решение системы уравнений (\ref{EqQLn}) вида (\ref{GSolPhi}). Для удобства введем еще одно обозначение, полагая: $u=\phi_t$. Тогда можно формально записать представление компонент градиента функции $\phi$ в следующем виде: $$\frac{\partial\phi}{\partial x_{\alpha}}=B_{\alpha}(\phi)u.\tag{2.1.3}\label{Defdphi}$$ Продифференцируем последнее уравнение по $t$, предполагая здесь и далее дифференцируемость компонент поля ${\bf B}(\phi)$ по $\phi$. В результате получаем следующее соотношение для функции $u({\bf x},t)$: $$u_{,\alpha}=\frac{\partial}{\partial t}\Big(B_{\alpha}u \Big)=B'_{\alpha}u^2+B_{\alpha}u_t,~\alpha=1,\ldots,n\tag{2.1.4}\label{Equa}$$

6.2.2. Свойства функций от ривертонов

Пусть $w=w(\phi,u)$ - некоторая дифференцируемая функция двух аргументов $\phi$ и $u$, не являющаяся постоянной.  Используя (\ref{EqQLn}) и (\ref{Equa}), получаем следующую систему соотношений: $$w_{,\alpha}=B'_{\alpha}F(u)+B_{\alpha}w_{,t},\tag{2.2.1}\label{Eqgta}$$ где $F(u)=u^2w_{,u}$. Здесь и далее: $$w_{,u}=\frac{\partial w(\phi,u)}{\partial u},\quad w_{,\phi}=\frac{\partial w(\phi,u)}{\partial \phi}.$$ Вычисляя теперь дивергенцию от обеих частей уравнения (\ref{Eqgta}), получаем тождество такого вида: $$\Delta w = \sum\limits_{\alpha=1}^n\frac{\partial}{\partial x_{\alpha}}\Big(B'_{\alpha}F(u)+B_{\alpha}w_t\Big).\tag{2.2.2}\label{EqGLiu0}$$ Раскрывая скобки в правой части, уравнение можно привести к следующей форме: $$\Delta w - R w_{,tt} = R''uF(u)+\Omega_1^2\Big(F'(u)u^2-2uF\Big)+\frac{1}{2}R'\Big(2F_{,u}u_t+F_{,\phi}u-2uw_{,t}\Big),\tag{2.2.3}\label{EqGKG}$$  где введено обозначение: $\Omega_1^2(\phi)=\sum\limits_{\alpha=1}^n\Big(B'_{\alpha}\Big)^2$. Здесь были учтены тождества: $$ \sum\limits_{\alpha=1}^nB^{\alpha}B'^{\alpha}= \frac{1}{2}R',$$ $$\sum\limits_{\alpha=1}^nB^{\alpha}B''^{\alpha}=\frac{d}{d\phi}\sum\limits_{\alpha=1}^nB'^{\alpha}B^{\alpha}-\sum\limits_{\alpha=1}^nB'^{\alpha}B'^{\alpha}=\frac{1}{2}R''-\Omega^2.$$ Кроме этого, из (\ref{Eqgta}) следует также и уравнение типа эйконала: $$\sum\limits_{\alpha=1}^n\Big(w_{,\alpha}\Big)^2-R \Big(w_{,t}\Big)^2=\Omega^2 (F(u))^2 + R' F(u)w_t.\tag{2.2.4}\label{EqGEic}$$