Рассмотрим инерциальную систему отсчета XYZ и подвижную систему отсчета NKz. Последняя подвижна не только относительно инерциальной системы отсчета, но и относительно Земли.

 

Рис. 1.

Запишем теорему об изменении момента количества движения для подвижной системы отсчета NKz:

$\mathbf{\dot L}+\mathbf{\Omega} \times\mathbf{L}=\mathbf {M}$

где $\mathbf{L}$ - кинетический момент Земли,

$\mathbf{\Omega}$ - абсолютная угловая скорость системы координат NKz

$\mathbf {M}$ - момент сил, действующих на Землю

Развернем данное векторное дифференциальное уравнение в систему скалярных уравнений:

$\\ \dot L_N+\Omega_N L_z-\Omega_z L_N= M_N\\\dot L_K+\Omega_z L_N-\Omega_N L_z= M_K\\\dot L_z+\Omega_N L_K-\Omega_K L_z= M_z\\$

Пусть  С – главный момент инерции Земли относительно оси ее вращения, а два других равны А.

Используя Рис. 1, найдем компоненты вектора $ \mathbf L (A\dot\theta,A\dot\psi\sin \theta,C(\dot\varphi+\dot\psi\cos \theta))$

и компоненты вектора $ \mathbf \Omega (\dot\theta,\dot\psi\sin \theta,\dot\psi\cos \theta)$

Продифференцировав и перемножив компоненты этих векторов, придем к следующей системе уравнений:

$\\A\ddot\theta+[C(\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta)-A\dot\psi\cos\theta]\dot\psi\sin\theta=M_N\\A\ddot\psi\sin\theta+2A\dot\psi\dot\theta\cos\theta-C\dot\theta(\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta)=M_K\\C(\ddot\varphi+\ddot\psi\cos\theta-\dot\psi\dot\theta\sin\theta)=M_z$

Угловая скорость осевого вращения Земли существенно больше угловой скорости прецессии, поэтому уравнения можно упростить, отбросив часть слагаемых. Вводя обозначение:

$ \omega=\dot\varphi+\dot\psi\cos\theta$ получим укороченную систему уравнений:

$\\C\omega\dot\psi\sin\theta = M_N \\-C\omega\dot\theta = M_K \\C\dot\omega = M_z$

Рис.2 

Вектор приливного момента от Луны.

Определим  расстояния от центра Луны до приливных горбов:

$\mathbf\rho_1=\mathbf R+\mathbf r\\\mathbf\rho_2=\mathbf R-\mathbf r$

Сила притяжения Луной ближнего горба массой m: $\mathbf F_1=\frac{\mu m} {\rho_1^3}\mathbf\rho_1$

Сила притяжения Луной дальнего горба: $\mathbf F_2=\frac{\mu m} {\rho_2^3}\mathbf\rho_2$

Момент от ближнего горба: $\mathbf M_1=-\mathbf r \times \mathbf F_1$

Момент от дальнего горба: $\mathbf M_2=\mathbf r \times \mathbf F_2$

Вспомогательные вычисления:

$\\-\mathbf r\times \mathbf\rho_1=-\mathbf r\times(\mathbf R + \mathbf r)=-\mathbf r\times \mathbf R\\\mathbf r\times \mathbf\rho_2=\mathbf r\times(\mathbf R - \mathbf r)=\mathbf r\times \mathbf R\\$

Искомый момент: $\mathbf M=\mathbf M_1+\mathbf M_2=\mu m \left (\frac{1}{\rho_2^3}-\frac{1}{\rho_1^3}  \right )\mathbf r\times\mathbf R $

Вектор $\mathbf r\times\mathbf R $  направлен на нас, но $ \mathbf\rho_1 < \mathbf\rho_2$ следовательно, вектор $\mathbf M$ направлен от нас. Приливной момент тормозит вращение Земли. Формула верна и в трех измерениях.
Осталось найти $ M_K$

Рис.3

Вектор приливного момента $\mathbf M$ препендикулярен плоскости, содержащей векторы $\mathbf r$ и $\mathbf R$ 

Не трудно понять, что вектор скорости сноса приливного горба $\mathbf V=\mathbf\omega \times \mathbf R_1$ также лежит в этой плоскости. (Вектор $\mathbf R_1$ - радиус-вектор подлунной точки, совпадающий по направлению с вектором $\mathbf R$). Таким образом, направление вектора $\mathbf M$ в инерциальном пространстве задано векторным произведением единичных векторов $[e_\omega \times e_R]\times e_R $.
Данный факт подтверждается авторитетным источником: Очерки о движении космических тел Автор: В. В. Белецкий. Издательство: Наука Год издания: 1977. Страниц: 432.

Рассмотрим всесторонне движение приливных горбов в зависимости от положение Луны в плоскости эклиптики ХОY (Рис. 3, а-г). Обозначим K' проекцию оси K на плоскость эклиптики. 
Нетрудно убедиться, что проекция вектора $\mathbf M$ на ось K' (а равно и на ось K) положительна при любом положении Луны. 
Подставляя в уравнение:
$C\omega\dot\theta = -M_K$ 
положительное значение $M_K$ убеждаемся в том, что производная угла нутации отрицательна и угол нутации непрерывно убывает. Бинго.