X. Где пусто, и где густо?

   Идеи Клиффорда о том, "что в физическом мире не происходит ничего, кроме волнообразных перемещений искривленности пространства от точки к точке", очень просты по сути, но требуют множества уточнений для того, чтобы связать их с тем, как мы видим и изучаем наш физический мир. Давайте проанализируем смысл высказываний Клиффорда и сопоставим их с тем, что мы уже знаем о мире.

       Во-первых, Клиффорд утверждает, что по сути нет никаких различий между теми областями пространства, где находится материя, или там, где мы видим пустоту. Все это одна сущность, которую можно назвать пространством. С другой стороны, между областями с материей и с пустотой имеется существенная разница. Например, плотная материя, такая, как твердое тело, может абсолютно не пропускать свет, в то время как пустое пространство свет пропускает беспрепятственно. Область пустого пространства без материи (видимой) не притягивает материальные тела за счет силы тяготения, а области с материей притягивают. Можно назвать еще множество других отличительных признаков таких областей. Чем же могут определяться такие различия?

     С точки зрения Клиффорда, поскольку обе области есть одна и таже сущность - физическое пространство, их различия могут быть описаны только в рамках свойств самого физического пространства. Но чем же определяются свойства самого физического пространства? Кажется, что ответ совершенно очевиден - свойства пространства определяются его геометрией, т.е. совокупностью всех расстояний между точками этого пространства. Однако мы забываем об еще одной сущности, которую пришлось вводить физикам в XIX веке -  поле! Поле - это некоторая материальная сущность, не совпадающая по сути c самим пространством, но имеющая свой отличительный количественный признак в каждой его точке. В отличие от материи непосредственно поле мы не можем "видеть" где-то в отдалении. Например, материя светится или наоборот поглощает свет, а поле само по себе не "светится" без присутствия материи. Поэтому о поле мы можем судить лишь по тому, как это поле воздействует на материю в точке ее нахождения. Следовательно, поле очень похоже на само физическое пространство. Иногда даже дают такое определение: "поле - это состояние пространства". 

      На самом деле, между этими двумя понятиями есть существенная разница. Принципиальным здесь является следующий момент. Если мы прибегаем к понятию поля, то пространство само по себе может быть евклидовым - "прямым, плоским", а все различия, которыми обладают его области, заполненные материей, и без нее, должны объясняться свойствами этого поля. Это более привычный для физиков подход и более простой по существу. Действительно, ведь все расстояния в евклидовом пространстве измеряются по обычным прямым. Кроме того, поля обладают с математической точки зрения гораздо большим многообразием свойств, чем тот набор свойств, который представляет геометрия, даже риманова. Поэтому полевой подход был бы более предпочтителен для физиков с точки зрения "экономии мышления". Однако есть несколько важнейших отличий между геометрическим и полевым подходами, которые можно проверить в эксперименте. Мы сейчас не будем приводить аргументы в пользу именно геометрического подхода. Это будет сделано в дальнейшем. Но сосредоточимся именно на нем. Тем более, что именно такой подход был избран Эйнштейном для построения Общей теории относительности.

      В геометрическом подходе все свойства пространства определяются его геометрией.  Отсюда сразу следует, что физическое пространство не может быть евклидовым ("прямым" или плоским). Как мы уже знаем у евклидова пространства все свойства везде одинаковы.  Следовательно, с точки зрения Клиффорда простраство должно быть кривым. Наиболее простыми кривыми пространствами являются римановы пространства. основное их отличие от евклидова пространства - их кривизна, которая  может меняться от точки к точке и даже переходить от точки к точке наподобие волны. Следовательно, мы можем считать, что отличие между областями, где находится материя и там где ее нет, определяется величиной кривизны пространства. Там, где материи больше - кривизна пространства больше, а в пустом пространстве, где лучи света движутся по прямым линиям, пространство практически не отличается от евклидова. Однако возникает вопрос, а какие количественные характеристики материи и, возможно, ее движения определяют величину кривизны пространства?  Первый ответ на этот вопрос был дан Альбертом Эйнштейном в рамках Общей теории относительности.   

XI. Чем определяется кривизна пространства?

Альберт Эйнштейн создал при участии других ученых (Лоренц, Пуанкаре, Минковский и др.) в начале XX века новую теорию, которую стали называть Специальной теорией относительности (СТО). Эта теория провозгласила - скорость света максимальна и недостижима для всех материальных тел. С этой скоростью распространяются только электромагнитные волны, причем  величина этой скорости распространения в пустом пространстве  не зависит от того, с какой постоянной скоростью  движется наблюдатель. Следствием этого постулата является то, что при необходимости сравнивать показания приборов в разных системах отсчета, например, на Земле и в космическом корабле, если он движется со скоростью, близкой к скорости света, смешиваются измерения длины и времени.

      Представим себе космический корабль, летящий к другим звездам со скоростью, близкой к скорости света. Центру управления полетами (ЦУП) необходимо договориться  с космонавтами о том, когда в следующий раз выходить на связь. Как это часто бывает в фантастических рассказах и романах, космонавты основную часть полета проводят во сне.  Поэтому ЦУП предполагает, что космонавты должны проснуться в тот момент, когда корабль достигнет  определенной звезды - цели полета. Космонавтам и ЦУПу необходимо расчитать и согласовать моменты времени, когда будет включен будильник на борту космического корабля при заданном растоянии от звезды. Пусть $x$ - расстояние до корабля от Земли, а $t$ - время полета космического корабля по часам в ЦУПе.  Согласно СТО моменты времени включения будильника по часам на борту корабля и расстояние, на котором окажетстя корабль в этот момент от Земли по данным самих космонавтов будут вычисляться с помощью  преобразований, которые придумал еще в XIX веке Лоренц. Они имеют вид:

$$\begin{array}{l} \displaystyle{\tilde{x}=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\\ \displaystyle{\tilde{t}=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} \end{array} $$

      Наиболее важным здесь является то, что момент времени $\tilde{t}$, когда на борту корабля сигнал будильника включится, зависит не только от момента времени $t$ в ЦУПе, но и от того, на каком расстоянии $x$ от ЦУПа находится корабль.

      Такое положение дел заставляет думать, что измерение длин всегда взаимосвязано со временем, а измерение времени с расстояниями. Их невозможно отделить. Можно сказать, что пространство и время образуют общую сущность - пространство-время. Это пространство-время в СТО "прямое", но устроено иначе, чем обычное пространство  расстояний в мире, окружающем нас. Для него было придумано название - псевдо-евклидово пространство четырех измерений (3 пространственные координаты и время)  или пространство Минковского. Такое объединение выглядит очень непривычно. Действительно, мы всегда можем отличить в обычной жизни прибор для измерения времени - часы, от прибора для измерения времени - линейки. И как бы мы быстро не двигались, часы у нас на руке не превращаются в линейку, а линейка в часы. Этот парадокс не единственный в СТО. Есть парадокс близнецов, есть другие парадоксальные соотношения. Для ознакомления с рядом трудностей СТО (и ОТО) можно познакомиться, читая книгу "Новый взгляд на теорию относительности" Л. Бриллюэна, о которой уже говорилось в данных заметках.
Все это наводит на мысль, что, хотя СТО во многом права, но она должна будет заменена на другую теорию. Пока нет прямых указаний, как это сделать, но многим, например, кажется, что скорость света не предел.  В дальнейшем мы обсудим такую возможность.

     Однако СТО с самого начала содержала некоторые проблемы,  которые необходимо было решать сразу, не откладывая на потом. Решение этих задач и привело Эйнштейна к созданию ОТО. Дело в том, что СТО  дает исчерпывающее описание  только того, как меняется облик физических процессов, если смотреть на них из разных инерциальных систем отсчета.  Но в реальности наблюдатель может двигаться ускоренно, может вращаться, а может двигаться по очень замысловатому закону. В классической механике особых проблем при выводе уравнений движения в неинерциальных системах нет. В этих системах, в отличие от инерциальных, приходится вводить некоторые дополнительные силы, которые называются силами инерции. Человек реально испытывает эти силы. Такие силы вжимают пилота современного истребителя в кресло при сложных маневрах. Эти силы заставляют вас цепляться за поручни в трамваях и автобусах, когда они тормозят или резко увеличивают скорость. Но в СТО дело обстоит несколько иначе, чем в классической механике.

     Рассмотрим в качестве примера то, как выглядят законы СТО в равномерно вращающейся системе отсчета.  Во вращающейся системе отсчета точки, находящиеся на различных расстояниях от центра вращения, движутся с различными скоростями. Если система вращается со скоростью $\Omega$, то на расстоянии $r$ от центра вращения линейная скорость точек, которые неподвижны с точки зрения невращающегося наблюдателя, будет равна $V(r) = \Omega r$.  Но в этом случае, как записать преобразования Лоренца? Ведь получается, что на различных расстояниях $r$ от центра вращения координаты будут меняться по-разному! Это означает, что часы будут идти с различной скоростью на различных расстояниях от центра, а стандартные линейки будут иметь различную длину. Но такая ситуация как раз характерна для пространств Римана, имеющих кривизну! В римановых пространствах стандартные линейки (эталоны длины) имеют различную длину в разных точках пространства, предписываемую законами данной геометрии.  Но это замечательно!

     Мы впервые столкнулись с ситуацией, когда сами физические законы требуют введения пространства с различными геометрическими свойствами в разных его точках. И именно этот факт в конце концов и привел к созданию ОТО. Вращающаяся система отсчета - это одна из самых простых неинерциальных систем. А что будет, если наблюдатель движется по очень сложному закону?  На эти вопросы и должна была отвечать ОТО.

      Однако с самого начала при решении проблем движения в неинерциальных системах отсчета Эйнштейну было необходимо разобраться с одной странной ситуацией. Проблема состоит в следующем.  Пусть некий наблюдатель свободно падает в гравитационном поле, например, движется в корабле по орбите вокруг Земли. Как известно, на борту такого космического корабля наблюдается невесомость, т.е отсутствие каких-либо сил инерции, которые  являются привычным физическим признаком инерциальной системы отсчета. Однако траектория движения такого корабля является эллипсом или окружностью, а это является основным геометрическим признаком неинерциальной системы отсчета.

       Ведь согласно первому закону Ньютона, если на тело не действуют какие-либо силы, то тело движется равномерно и прямолинейно! Получается, что мы имеем ситуацию, когда на тело не действуют силы, но тело движется по криволинейной траектории. Это означает, что с физической точки зрения система, связанная со свободно падающим телом - инерциальная, а с геометрической - неинерциальная.  Это наблюдение позволило Эйнштейну предположить, что Первый закон Ньютона следует обобщить.

XII. Общая теория относительности или как материя искривляет пространство

      Обобщение первого закона Ньютона должно учитывать тот факт, что траектории свободно падающих тел могут быть очень разнообразными. Эти траектории, согласно теории тяготения Ньютона, определяются тем, как в пространстве распределена масса вещества.  Но такие траектории в классической механике определяются уже вторым законом Ньютона:

$$ma = F.$$

Для точности заметим, что последняя формула является следствием второго закона Ньютона, а не самим законом Ньютона. Поэтому получается, что теперь мы не можем вообще разделить первый и второй закон Ньютона. Они должны теперь формулироваться вместе.

     Есть еще одна важная проблема. Можно поставить вопрос, а почему собственно при свободном падении тела в поле тяготения в собственной системе отсчета никаких сил мы не ощущаем? Ответ на этот вопрос очень прост - потому, что в законе Всемирного тяготения и во втором законе Ньютона масса тел одна и та же!  Эти два закона относятся к описанию совершенно разных явлений и имеют разную сущность, но по каким-то причинам числовое значение масс в этих законах одно и тоже. В том, что в эти формулы могут входить массы, хоть немного отличающиеся по величине задумался еще сам Ньютон, но проверку этого факта удалось провести с достаточной точностью лишь в конце XIX века.

     Такую проверку осуществил Л.Этвеш с учениками. В историю физики эти работы вошли под названием эксперимент Этвеша.  Познакомиться с этим экспериментом подробнее можно по статье известного физика-теоретика Дикке, опубликованной на русском языке в УФН в 1963 году . Этот эксперимент проводится и в настоящее время со все возрастающей точностью. Результат этих экспериментов неизменно таков - с доступной нам точностью масса, входящая во второй закон Ньютона (инертная масса), и  масса, входящая в закон тяготения Ньютона (гравитационная масса), равны.   С точки же зрения нашей проблемы этот результат можно интерпретировать так. В свободно падающей в гравитационном поле системе отсчета, движущейся ускоренно и по кривой траектории по отношению к удаленным звездам, возникает сила инерции, которая из-за равенства инертной и гравитационной масс в точности равна силе тяготения, но направлена строго в противоположном направлении. Поэтому эти две силы точно компенсируют друг друга, и в такой системе отсчета наблюдатель не ощущает никаких сил.

     Этот экспериментальный факт очень важен и Эйнштейн включил его в качестве одного из постулатов в создаваемую им теорию. В современной ОТО этот постулат носит название принцип эквивалентности масс.  Роль этого принципа в ОТО такова - если когда-нибудь удастся обнаружить отличие между инертной и гравитационной массами, то Общую теорию относительности придется менять. Она справедлива в нынешнем виде только до тех пор пока  эти массы равны.

     Установив важный принцип, мы можем развивать теорию дальше.  Цепочка наших рассуждений теперь такова. Свободно падающие в гравитационном поле тела движутся по кривым траекторим, но сами тела не испытывают никакого воздействия. Поэтому можно предположить, что кривизна траектории объясняется в этом случае не каким-то внешним воздействием, а самим искривлением пространства. Если пространство неевклидово, то в нем и нет прямых в обычном смысле.

     Но чем определяется кривизна траекторий согласно Всемирному закону тяготения?  -  Распределением массы вещества в пространстве. Это означает, что масса прямым образом искривляет пространство. Действительно, если тело, имеет по велчине скорость большую второй космической скорости для звезды или планеты, то оно будет свободно падая в поле тяготения этого тела, неограниченно удаляться от него. При этом  оно будет двигаться по траектории, которая со временем становится близкой к прямой. Это означает. что кривизна исчезает при удалении от массивных тел и увеличивается при приближении. Таким образом, мы установили, что между массой и кривизной пространства есть прямая связь. Но нам нужна точная формула. Причем надо решить вопрос о какой кривизне идет речь. О внутренней кривизне Римана или внешней кривизне Гаусса? Выбор был сделан Эйнштейном на основе соображений, которые мы уже обсуждали. У нас нет возможности увидеть наше пространство со стороны. Поэтому естественно предположить, что наблюдаемой кривизной является внутренняя. Но как связана масса и кривизна?

      Эта проблема оказалась очень сложной. Прямых измерений кривизны пространства мы до сих пор получить не можем и довольствуемся предсказаниями теории о движении тел и сравнением этих предсказаний с экспериментом. Поэтому Эйнштейну предстояло угадать вид уравнений новой теории, исходя из того, что дает классическая физика и из каких-то очень общих, почти философских соображений. Классическая физика указывает на закон Всемирного тяготения, поэтому этот закон должен выполняться и в новой теории при определенных упрощающих условиях. Все остальное очень туманно. Несколько подсказок Эйнштейн нашел  в математике и СТО, которую он построил раньше. 

     Математика начала XIX века представила стараниями Гильберта и Шмидта важный способ вычислять структуру римановых пространств, которые в "среднем" обладают наименьшей кривизной. Но в классической механике есть аналогичный принцип. Он говорит, что все тела движутся таким образом, что среднее значение разности кинетической и потенциальной энергии тел оказывается всегда минимальным. Этот принцип называется принципом наименьшего действия. Если предположить, что кривизна связана с энергией тел, то тогда вычисления Гильберта и Шмидта указывают на то, что реальное физическое пространство в присутствии материи искривляется  в каком-то смысле минимальным образом. Однако мы уже установили, что кривизна пространства согласно закону Всемирного тяготения должна быть связана не с энергией, а с массой тел. Тут на помощь как раз и приходит СТО. В Специальной теории относительности Эйнштейном была получена замечательная формула:

$$E=m c^2.$$

      Из этой формулы следует, что масса и энергия представляют собой одну и ту же сущность. А раз так, то у нас нет проблем для отождествления массы и энергии в новой теории. Да будет так! Математика еще раз пришла на помощь в вопросе получения нужных уравнений. Оказалось, что если вычислять минимальную среднюю разность обобщенных кинетической и потенциальной энергий материи в совокупности с минимальной средней кривизной пространства, таким же способом, как это было сделано Гильбертом и Шмидтом, то получаются очень красивые, но и очень сложные уравнения.  Эти уравнения были получены Эйнштейном и носят его имя. Мы их выписывать не будем, а лишь поговорим об общих следствиях из этих уравнений.

     После вывода этих уравнений оказалось, что из них очень легко можно получить закон Всемирного тяготения в предположении, что материя не очень сильно искривляет пространство. Для этого оказалось достаточно подобрать одну константу в уравнениях  Эйнштейна так, чтобы в законе Всемирного тяготения, который получается из уравнений Эйнштейна, стояла постоянная тяготения Ньютона. Однако, при этом пришлось пожертвовать важным принципом, который был провозглашен Клиффордом - "В мире нет ничего, кроме кривизны".

      При выводе  уравнений Всемирного тяготения Ньютона из уравнений Эйнштейна невозможно просто отождествить материю и кривизну пространства. Они в ОТО существуют независимо. Для того, чтобы описать движение материи по рецептам Эйнштейна, необходимо указать вид материи и ее характеристики, после этого вычислить энергию и другие характеристики ее движения, а уж после этого определить то, как будет меняться кривизна пространства. 

     Вместе с тем построенная теория оказалась способной предсказывать эффекты, которые можно было проверить на практике, чем и занялись ученые в начале XX века и занимаются до сих пор.  ОТО предсказала существование новых удивительных   объектов среди тех, которые мы можем наблюдать на небе.

    Были предсказаны "черные дыры"  и  "кротовые норы". Теория предсказала, что Вселенная, равномерно заполненная обычным веществом, должна расширяться одинаково во все стороны, а в прошлом должна была представлять собой очень маленький, очень плотный и горячий объект. Этот вывод получил назавание теории Большого взрыва. Первым такую теорию построил советский ученый Фридман. К настоящему времени предсказанное уравнениями Эйнштейна расширение Вселенной открыто. Это сделал американский астроном Э.Хаббл в 20-х годах XX века.

     Считается, что в Космосе обнаружены объекты очень похожие на "черные дыры", которые ввел в ОТО Шварцшильд. "Кротовые норы" не открыты, но считается, что их существование вполне возможно. Был проведен целый ряд экспериментов по проверке ОТО в лабораториях. Эти эксперименты, если частью и не подтвердили ОТО абсолютно, но показали, что их результаты не противоречат ОТО.  Но самое главное,  ОТО стала основанием для создания новых теорий, связывающих кривизну пространства с материей. В том числе, предпринимались и предпринимаются попытки построить теорию, подобную ОТО, но в которой бы реализовывался принцип Клиффорда. Одной из таких теорий и является топологическая квантовая теория, к обоснованию которой мы теперь и перейдем.

Продолжение следует...