Цели и задачи третьего этапа.

Целями очередного годичного этапа является решение следующих задач:
- развитие метода многофункциональных подстановок в приложении к задачам нелинейной динамики механических систем и гидродинамики, а так же нелинейной оптики. Построение точных решений новых типов нелинейных уравнений в частных производных;
- развитие теории многозначных решений многомерных нелинейных уравнений и их систем в приложении к задачам моделирования волновой динамики;
- развитие теории ударных ионно-звуковых волн в плазме на основе гидродинамических подстановок типа Коула-Хопфа. Построение на основе точных решений моделей ионно-звуковых волн;
- создание алгоритмов построения эмпирических моделей волновой динамики на основе дискретного варианта обобщенных подстановок Коула-Хопфа.

Аннотация

I. Многофункциональные подстановки

Метод многофункциональных подстановок типа Коула-Хопфа предназначен для построения схемы вычисления точных решений уравнений, интегрируемых методом обратной задачи (МОЗ), опирающийся на метод подстановок, аналогичный методу подстановок Коула-Хопфа для уравнений типа Бюргерса.

Основная идея метода опирается на совпадение уравнений для коэффициентов одевающих операторов в методе преобразований Дарбу (см.) и уравнений для вспомогательных функций в методе обобщенных под становок Коула-Хопфа. Пример, такого совпадения приведен в работе Бызыкчи А.Н. Журавлев В.М. .

I.1 Метод функциональных подстановок типа Коула-Хопфа

Рассмотрим вначале метод обобщенных подстановок типа Коула-Хопфа для скалярных уравнений. В этом случае базовые соотношения для вспомогательной функции $T$ имеют вид:

$$T_x=AT,~~T_{t}=BT,\tag{1.1}\label{Eq1}$$

где $A(x,t)$ и $B(x,t)$ - неизвестные функции, связанные между собой в силу соотношений (1.1), уравнением:

$$A_t-B_x=0.\tag{1.2}\label{Eq2}$$

В силу этого все производные функции $T$ можно выразить рекуррентно через саму функцию  $T$ и функции $A$ и $B$:
$$T^{[n,k]} =\frac{\partial^{n+k} T}{\partial x^n\partial t^k} = A^{[n,k]}T,$$ $$A^{[n+1,k]}=A^{[n,k]}_x+A^{[n,k]}A,\quad A^{[n,k+1]}=A^{[n,k]}_t+A^{[n,k]}B.\tag{1.3}\label{Eq3}$$
и
$$A^{[1,0]} = A,~~ A^{[0,1]} = B.$$

К базовой системе  (1.1) можно добавить произвольное уравнение для $T$, которое в итоге с помощью соотношений  (1.3) превращается в нелинейное уравнение, относительно функций $A$ и $B$. При этом это уравнение образует замкнутую систему вместе с уравнением  (1.2) . В этом случае базовые соотношения  (1.1) можно рассматривать как обобщенные подстановки Коула-Хопфа. Эти подстановки будем называть подстановками первого уровня.

В качестве интегрирующего уравнения для вспомогательной функции $T$ рассмотрим уравнение третьего порядка по $x$ и первого по $t$.

$$T_t=-4T_{xxx}\tag{1.4}\label{Eq4}$$ Используя базовые соотношения (1.1), это соотношение преобразуется к нелинейному уравнению для функции $A(x,t)$ следующего вида: $$A_t+4A_{xxx}+12(A_x)^2+12AA_{xx}+12A^3A_x=0.\tag{1.5}\label{Eq5}$$
Вывод этого уравнения осуществляется по следующей схеме. В уравнение (\ref{Eq4}) подставляются производные функции $T$ из системы базовых соотношений [TMF-2010] (\ref{Eq1}). В результате находим:

$$B=\frac{1}{T}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Big(AT\Big)=-4A_{xx}-8A_xA-4A(A_x+A^2)$$

Подставляя это соотношение в уравнение связи (\ref{Eq2}), приходим к уравнению (\ref{Eq4}). Это уравнение похоже на уравнение мКдВ (модифицированное уравнение Кортвега-Де Вриза):

$$u_t-2\lambda u_x+6u^2u_x-u_{xxx}=0,$$ где $\lambda$ - постоянная. Последнее уравнение, как и уравнение КдВ, интегрируется методом обратной задачи (МОЗ). 

I.2 Метод преобразований Дарбу для уравнений, интегрируемых с помощью МОЗ

Исходным положением МОЗ является представление нелинейного уравнения в виде условия совместности двух (или, вообще говоря, большего числа операторов для уравнений размерности больше 1+1) линейных операторов. Такое представление называется представлением Лакса, а в случае матричных операторов представлением Лакса-Захарова-Шабата (ЛЗШ). Уравнение КдВ: $$u_t+6uu_x+u_{xxx}=0$$ имеет представление Лакса в форме условия совместности двух операторов: $$\hat{L}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+u(x,t).\tag{1.6}\label{Eq6a}$$ $$\hat{A}=\frac{\partial}{\partial t}+4\frac{\partial^3}{\partial x^3}+6u\frac{\partial}{\partial x}+3u_x(x,t).\tag{1.7}\label{Eq6b}$$ Один из методов построения точных решений уравнений, имеющих представление Лакса, основывается на методе преобразований Дарбу. Этот метод (см. Метод преобразований Дарбу) строится на основе теоремы:

Для того, что бы два линейных оператора $\hat{M}$ и $\hat{N}$ обладали хотя бы одной общей собственной функцией необходимо и достаточно что бы существовал такой оператор $\hat{D}$, что коммутатор операторов $\hat{M}$ и $\hat{N}$ можно было бы записать в виде:

$$[\hat{M},\hat{N}]=\hat{D}\hat{N}.$$

Воспользоваться этим методом при построении решений уравнений, имеющих представление ЛЗШ, можно в силу того. что при преобразовании Дарбу одновременно двух операторов представления $\hat{A}$ и $\hat{L}$ новые операторы имеют туже самую форму (\ref{Eq6a}),(\ref{Eq6b}), но с другой функцией $\tilde{u}(x,t)$, т.е. преобразование Дарбу оставляет инвариантной форму операторов представления Лакса. Что бы получить  вычислить в явном виде новую функцию $\tilde{u}(x,t)$, появляющуюся в результате преобразования Дарбу необходимо для заданного оператора $\hat{M}$ найти такой оператор $\hat{N}$, который бы заранее был устроен таким образом, что одна или несколько собственных функций оператора $\hat{M}$ были собственными функциями $\hat{N}$, отвечающими одному его собственному значению. В качестве одного из собственных значений оператора $\hat{N}$ проще всего (без ограничения общности результата) выбирать нулевое значение. Оператор $\hat{N}$ будем называть одевающим оператором.

Рассмотрим  оператор $\hat{A}_0$ представляющий собой частный случай оператора $\hat{A}$ с нулевой функцией $u(x,t)\equiv 0$: $$\hat{A}_0=\frac{\partial}{\partial t}+4\frac{\partial^3}{\partial x^3}.$$ В качестве одевающего оператора рассмотрим оператор $\hat{B}$ следующего вида: $$\hat{B}=\frac{\partial}{\partial x^2}+\xi(x,t).\tag{1.8}\label{Eq8}$$ Функция $\xi(x,t)$ подбирается таким образом, что бы одна из собственных функций оператора $\hat{A}_0$ являлась собственной функцией оператора $\hat{B}$.  Обозначим выделенную собственную функцию оператора $\hat{A}_0$ через $\psi_0(x,t)$. Тогда из условия: $$\hat{B}\psi_0=0$$ находим: $$\xi=-\frac{\partial \ln \psi_0}{\partial x}.$$ Это гарантирует выполнение условий теоремы. Вычисляя коммутатор операторов $\hat{A}_0$ и $\hat{B}$ можем теперь в явном виде вычислить оператор $\hat{D}$. Имеем: $$[\hat{A}_0,\hat{B}]=12\xi_x\frac{\partial^2}{\partial x^2}+12\xi_{xx}\frac{\partial}{\partial x}+4\xi_{xxx}+\xi_t.\tag{1.9}\label{Eq9}$$ В силу теоремы правую часть можно записать в виде: $$\left(a\frac{\partial}{\partial x}+b\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}+\xi\right).$$ Раскрывая скобки в этом выражении, находим: $$a\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\Big(a\xi+b\Big)\frac{\partial}{\partial x}+a\xi_x+b\xi.$$ Сравнивая этот оператор с правой частью операторного равенства (\ref{Eq9}), находим: $$a=12\xi_x,\quad a\xi+b=12\xi_{xx},\quad a\xi-x+b\xi=\xi_t+4\xi_{xxx}.$$  Отсюда: $$a=12\xi_x,\quad b=12\xi_{xx}-12\xi_x\xi.$$ А функция $xi$ при этом будет удовлетворять уравнению:$$\xi_t+4\xi_{xxx}-12(\xi_x)^2-12\xi_{xx}\xi+12\xi_{x}\xi^2=0.\tag{1.10}\label{Eq10}$$ Сравнивая это уравнение с уравнением (\ref{Eq5}), находим, что они совпадают, если положить $A=-\xi$. Таким образом, видно, что метод преобразований Дарбу и метод подстановок типа Коула-Хопфа имеют один и тот же промежуточный результат, что указывает на их глубокую связь. Однако уравнение (\ref{Eq5}) не имеет представления Лакса, а уравнение КдВ из него получается после использования дополнительного условия на $\xi$, которое получается при одевании второго оператора $L-A$-пары. Для этого потребуем, что бы функция $\psi_0(x,t)$ была бы собственной функцией оператора: $$\hat{L}_0=\frac{\partial^2}{\partial x^2},$$ являющегося частной формой оператора $\hat{L}$ при условии $u\equiv 0$. Затем, вычисляя коммутатор оператора   с оператором $\hat{B}$, находим:  $$[\hat{L}_0,\hat{B}]=2\xi_x\frac{\partial}{\partial x}+\xi_{xx}.$$  Правую часть этого соотношения можно теперь (в силу выполнения условий теоремы) записать в виде: $$2\xi_x\Big(\frac{\partial}{\partial x}+\xi\Big).$$ Сравнивая этот оператор с коммутатором, находим, что функция $\xi$ должна удовлетворять еще одному уравнению: $$\xi_{xx}=2\xi\xi_x.\tag{1.11}\label{Eq11}$$ Используя это уравнение,  уравнение (\ref{Eq10}) для $\xi$, полученное при одевании оператора $\hat{A}_0$, можно преобразовать к уравнению КдВ. Действительно: $$\xi_t+\xi_{xxx}+3\frac{\partial}{\partial x}\Big(\xi_{xx}-2\xi\xi_x\Big) -6\Big(\xi_{xx}-2\xi\xi_x\Big)-6(\xi_x)^2=0.$$ Отсюда, используя  уравнение (\ref{Eq11}), приходим к уравнению: $$\xi_t+\xi_{xxx}-12(\xi_x)^2=0,$$ которое эквивалентно уравнению КдВ относительно функции $u=-2\xi_x$: $$u_t+6uu_x+u_{xxx}=0.$$

Обратим внимание на то, что используя соотношение (\ref{Eq11}), из уравнения (\ref{Eq10}) можно получить  множество других нелинейных уравнений, решениями которых будут функции $\xi$, вычисляемые по приведенному выше способу. В частности, $\xi$ удовлетворяет таким уравнениям:  $$\xi_t-2\xi_{xxx}+12\xi_x\xi^2=0;$$ $$\xi_t+4\xi_{xxx}-12(\xi_x)^2-12\xi_x\xi^3=0;\tag{1.12}\label{Eq12}$$ $$\xi_t+4\xi_{xxx}-12(\xi_x)^2-6\xi_{xx}\xi=0$$ Первое уравнение является уравнением мКдВ и имеет представление Лакса. Для выяснения того, что имеют ли второе и третье  уравнения представления Лакса необходимо рассмотреть расширенный вариант метода преобразований Дарбу. 

I.3 Метод преобразований Дарбу для многосолитонных решений

Расширенный вариант метода преобразований Дарбу опирается на использование в процедуре одевания операторов представления ЛЗШ одевающих операторов $\hat{B}_N$ порядка $N$: $$\hat{B}_N=\frac{\partial^N}{\partial x^N}+\xi_{N-1}\frac{\partial^{N-1}}{\partial x^{N-1}}+\cdots+\xi_0.$$ Пусть $\psi_{k}(x,t),$ $k=1,\ldots,N$  - совокупность общих собственных функций операторов $\hat{L}_0$ и $\hat{A}_0$: $$\hat{L}_0\psi_k=\lambda_k \psi_k,\quad \hat{A}_0\psi_k=R(\lambda_k) \psi_k$$ Тогда условие сформулированной теоремы будет выполнено, если все эти функции являются собственными функциями оператора $\hat{B}_N$, отвечающие нулевому собственному значению. Это условие выполняется, если $N$ коэффициентов $\xi_{k}$  $k=0,\ldots,N-1$ удовлетворяют системе линейных уравнений: $$\xi_{N-1}\frac{\partial^{N-1}}{\partial x^{N-1}}\psi_k+\cdots+\xi_0\psi_k=-\frac{\partial^N}{\partial x^N}\psi_k,\quad k=1,\ldots,N.$$ В случае линейной независимости функций $\psi_{k}(x,t),$  эта система имеет единственное решение. В частности, $$\xi_{N-1}=-\frac{\partial \ln \Delta_{N}}{\partial x},$$ где
$$\Delta_{N}=det\left(\begin{array}{cccc}\psi_1 & \psi^{[1]}_{1} & \cdots & \psi^{[N-1]}_{1}\\ \psi_2 & \psi^{[1]}_{2} & \cdots & \psi^{[N-1]}_{2}\\  \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \psi_2 & \psi^{[1]}_{2} & \cdots & \psi^{[N-1]}_{2}\end{array}\right).$$ Вычисляя коммутатор оператора $\hat{B}_N$ c $\hat{A}_0$ по аналогии с (\ref{Eq9}) находим: $$[\hat{A}_0,\hat{B}_N]=12\xi_{N-1,x}\frac{\partial^{N+1}}{\partial x^{N+1}}+\Big(12\xi_{N-1,xx}+12\xi_{N-2,x}\Big)\frac{\partial^{N}}{\partial x^{N}}+$$ $$+\Big(4\xi_{N-1,xxx}+\xi_{N-1,t}+12\xi_{N-2,xx}+12\xi_{N-3,x}\Big)\frac{\partial^{N-1}}{\partial x^{N-1}}+\cdots.\tag{1.13}\label{Eq13}$$ Правую часть этого соотношения можно представить в виде: $$\left(a\frac{\partial}{\partial x}+b\right)\left(\frac{\partial^N}{\partial x^N}+\xi_{N-1}\frac{\partial^{N-1}}{\partial x^{N-1}}+\cdots+\xi_0\right).$$ Сравнивая это соотношение с правой частью (\ref{Eq13}), получаем: $$a=12\xi_{N-1,x},\quad b=12\xi_{N-1,xx}+12\xi_{N-2,x}-12\xi_{N-1}\xi_{N-1,x};$$ $$\xi_{N-1,t}+4\xi_{N-1,xxx}-12\Big(\xi_{N-1,x}\Big)^2-12\xi_{N-1,xx}\xi_{N-1}+12\Big(\xi_{N-1}\Big)^2\xi_{N-1,x}=$$ $$=-12\xi_{N-2,xx}-12\xi_{N-3,x}+12\xi_{N-1}\xi_{N-2,x}+12\xi_{N-1,x}\xi_{N-2}.\tag{1.14}\label{Eq14}$$ В отличие то случая с одевающим оператором первого порядка последнее уравнение в правой части содержит слагаемые, связанные с коэффициентами $\xi_{N-2},\xi_{N-3}$. Поэтому данное уравнение на прямую еще не является уравнением КдВ. Для доказательства того, что последнее уравнение является уравнением КдВ, необходимо учесть уравнения, которые вытекают из второго коммутатора для операторов  $\hat{L}_0$ и $\hat{B}_N$. Имеем $$[\hat{L}_0,\hat{B}_N]=2\xi_{N-1,x}\frac{\partial^N}{\partial x^N}+\Big(\xi_{N-1,xx}+2\xi_{N-2,x}\Big)\frac{\partial^{N-1}}{\partial x^{N-1}}+\Big(\xi_{N-2,xx}+2\xi_{N-3,x}\Big)\frac{\partial^{N-2}}{\partial x^{N-2}}+\cdots.$$ Сравнивая правую часть этого соотношения с оператором: $$2\xi_{N-1,x}\left(\frac{\partial^N}{\partial x^N}+\xi_{N-1}\frac{\partial^{N-1}}{\partial x^{N-1}}+\cdots+\xi_0\right),$$ получаем следующие уравнения: $$\Big(\xi_{N-1,xx}+2\xi_{N-2,x}\Big)=2\xi_{N-1,x}\xi_{N-1},$$ $$\Big(\xi_{N-2,xx}+2\xi_{N-3,x}\Big)=2\xi_{N-1,x}\xi_{N-2}.$$ Исключая из (\ref{Eq14}) с помощью этих соотношений функции $\xi_{N-2}$ и $\xi_{N-3}$, приходим к единственному возможному уравнению для $\xi_{N-1}$, имеющему вид: $$\xi_{N-1,t}+\xi_{N-1,xxx}-12\Big(\xi_{N-1,x}\Big)^2=0.$$ Это уравнение эквивалентно уравнению КдВ для функции: $$u=-2\xi_{N-1,x}=2\frac{\partial^2 \ln \Delta_{N}}{\partial x^2}.\tag{1.15}\label{Eq15}$$ Отсюда следует, что уравнения (\ref{Eq12}) нельзя представить в форме условия коммутативности двух операторов, являющихся некоторой комбинацией операторов $\hat{L}$ и $\hat{A}$. Значит эти уравнения имеют общие решения с уравнением КдВ только в случае одевающего оператора первого порядка, что, как известно, дает только односолитонные решения.

I.4.  Солитонные решения в методе подстановок Коула-Хопфа

Можно ли получить  решения солитонных уравнений в рамках метода подстановок типа Коула-Хопфа? Возвращаясь к методу подстановок Крула-Хопфа, дополним интегрирующее уравнение (\ref{Eq4}) еще одни уравненим для функции $T$. Именно, потребуем, что кроме уравнения (\ref{Eq4}) функция $T$ удовлетворяет уравнению: $$T_{xx}=\lambda T\tag{1.16}\label{Eq16}$$ для некоторого значения $\lambda$.  Это уравнение эквивалентно дополнительному уравнению для функции $A$:  $$A_x+A^2=\lambda.\tag{1.17}\label{Eq17}$$ С помощью этого уравнение, которое после дифференцирования становится эквивалентным (\ref{Eq11}), уравнение (\ref{Eq5}) переходит в уравнение КдВ или любое из уравнений (\ref{Eq12}). В результате устанавливается эквивалентность между методом подстановок Коула-Хопфа и МОЗ в форме метода преобразований Дарбу для случая одевающего оператора первого порядка.

Аналогичные построения можно провести и для других типов уравнений, интегрируемы в рамках МОЗ. Для случая Нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) такие построения были проделаны в работе [Бызыкчи, Журавлев, Вест. СамПГУ, 2013].  Соотвествие между этими методами устанавливается в форме следующей диаграммы: $$\begin{array}{ll}T_t+4T_{xxx}=0 \longrightarrow & \hat{A}_0\psi_0=0\\ T_{xx}-\lambda T=0 \longrightarrow & \hat{L}_0\psi_0=\lambda\psi_0\end{array}$$
$$\left.\begin{array}{l} T_x-AT=0\\ T_t-BT=0\end{array}\right\}\longrightarrow \hat{B}\psi_0=0$$ Из этой диаграммы следует, что одевающий оператор в методе преобразований Дарбу эквивалентен базовым соотношениям в методе подстановок типа Коула-Хопфа, а уравнения на собственные  функции неодетых операторов $\hat{L}_0$ и $\hat{A}_0$ эквивалентны интегрирующим уравнениям в методе подстановок Коула-Хопфа. Следуя этой диаграмме, можно поставить задачу о построении такой модификации метода подстановок типа Коула-Хопфа, которая бы совпадала с МОЗ в форме метода преобразований Дарбу и для одевающих операторов более высокого порядка. 

I.5. Возможно ли построить метод подстановок для многосолитонных решений?