Поиск угла выполнения баланса ускорений тел для точек либрации L4 (L5) Лагранжа.

1. Введение вращающейся барической системы отсчёта в центре инерции системы вращающихся тел.

     В соответствии со Следствии IV к  3-му Закону у Ньютона в «Началах» вводится определение центра тяжести системы нескольких тел:

  «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения;    поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится  в покое, или движется равномерно и прямолинейно.»

   Такую систему тел, не подверженную внешнему воздействию, называют замкнутой.   Центром инерции системы, для которой рассчитываются расстояния (r_i) от начала произвольной инерциальной системы координат до тел, является, например, точка С, задаваемая радиусом-вектором R_c :

            R_c  = Σ (m_i · r_i)  / Σ m_i ;  где: M = Σ m_i  - масса системы тел  …………….……….… (1)

    При  воздействии однородного поля  тяжести понятие центра инерции совпадает с понятием центра тяжести материального тела:     r_ц.т.  = Σ (G_i · r_i)  /  Σ G_i ;

Если начало системы отсчёта  поместить в центр инерции системы, то  R_c = 0 и тогда из выр.(1) :

 Σ (m_i · r_i) = 0;  сумма моментов масс тел относительно центра инерции барсистемы … (2)  

     В астрономии такой центр инерции принято называть барцентром (или барицентром)). Для нашего дальнейшего рассмотрения введём систему из двух основных космических тел, например, для определённости  Солнца и Земли, относительно которых будем рассматривать ускорения, действующие на относительно небольшие тела с названием L, практически не влияющих своей небольшой массой на движение Земли, расположенные на орбите Земли и вращающиеся по её орбите с той же угловой скоростью вокруг Солнца, как и Земля, но отстоящие от неё на некотором расстоянии на её орбите.  Это постановка задачи Лагранжа, открывшего наличие пяти характерных точек L1-L5 с определёнными  видами устойчивого положения таких тел относительно вращающихся Солнца и Земли.

     В данном комментарии попытаемся проверить наличие баланса ускорений только для точек L4 (L5), расположенных в области вершины правильного треугольника, опирающегося на радиус орбиты Земли.  

     Введём в рассмотрение неинерциальную вращающуюся систему отсчёта,  начало которой поместим в  неподвижный центр инерции системы двух космических тел, расположенный на линии Солнце-Земля, а продольную ось сиcтемы отсчёта OXбар направим в центр масс Земли, а на противоположном направлении этой оси будет находиться центр масс вращающегося Солнца, что будет обосновано ниже.   Такую систему отсчёта, если она не вращается, принято называть центральной инерциальной, однако в нашем случае это будет её разновидность в виде вращающейся неинерциальной  барической системы отсчёта, направленной своей осью OXбар на центр масс Земли и  вращающейся с угловой скоростью ω вращения Земли вокруг Солнца. В аналогичной системе отсчёта Лагранж открыл свои точки либрации для небольших тел L1-L5 с различной степенью их устойчивого положения относительно Земли и Солнца.  В данной постановке нас будет интересовать только точка L4 (L5) с её устойчивым равновесием по Лагранжу, а точнее расчёт угла визирования из центра масс Солнца (между направлением на Землю и точку L4), который считается равным 60 градусам и обозначим этот угол как φ.  Попробуем определить величину этого угла φ для разных соотношений масс Солнца и Земли.   В данном случае под  Землёй  понимаем некоторую условную планету с произвольной массой от минимальной (в солнечной системе планет) плоть до максимально допустимой  (теоретически, равной массе Солнца, т.е. для случая вращения, например, двойной звезды с равными массами звёзд).

2. Поучительная история поиска величины угла φ для либрационной точки L4 (L5)

     Дело в том, что при выводе соотношений для ускорений, действующих на тело L необходимо было решить самый важный и принципиальный вопрос: на какой круговой траектории необходимо разместить тело L, т.к. от этого зависит вид выводимых соотношений для проекций ускорений, а, следовательно, и величина угла φ балансного состояния в точке L4 (L5). Дело в том, что при наличии барсистемы есть две круговых траектории: Солнечная с началом координат в центре масс Солнечной системы отсчёта и Барическая с началом в центре масс (или инерции) системы двух тел (точка О) с меньшим радиусом вращения, чем у Солнечной системы, особенно при приближении массы планеты к массе Солнца, например, для случая двойной звезды с одинаковыми массами звёзд.

      В начале было решено разместить тело L на Солнечной орбите. После вывода выражения для нормальных (перпендикулярных) к радиусу-вектору дальности «Солнце - тело L» ускорений притяжения от Земли и Солнца был получен замечательный результат для точек L4(L5) в виде угла φ_бал = 60 град.   Причём этот результат оказался совершенно не зависящим от величины соотношения масс планеты к массе Солнца (m_p/Mc).  Далее именно вывод этого выражения при размещении тела L на Солнечной орбите будет приведен полностью в данной статье.

      Однако такой результат вызвал некоторые подозрения, поскольку пример двойной звезды (при отношении масс, равным  m_p/Mc =1) как бы давал повод усомниться в этом, поскольку на первый взгляд (как потом оказалось, ошибочный) точка L4, находясь на орбите звёзд,  должна быть видна  под углом φ=45градусов , а не 60 град.  Поэтому был проведён второй вариант вывода выражений, когда тело L лежит на круговой барической орбите, т.е. с радиусом–вектором, исходящим из начала центра инерции системы тел. Анализ новых выражений для этого случая действительно подтвердил зависимость угла φ от соотношения масс планеты и Солнца и для нормальных проекций ускорения и дал ожидаемый результат в 60 град для малых типичных соотношений планет и Солнца и 45 град. для m_p/Mc =1.

     Однако последующая проверка баланса проекций ускорений в продольном направлении на радиус-вектор дальности с учётом величины центробежного ускорения показала, что  при 45 град (для m_p/Mc =1) положение на общей орбите двух звёзд тела L4(L5) является несбалансированным и неустойчивым, т.к. сила притяжения двух звёзд гораздо больше центробежного ускорения в вершине прямоугольного треугольника с углом у основания в  45 градусов и тело L сразу с ускорением стремится в центру инерции системы (в центр вращения звёзд),  причём это положение крайне неустойчиво и при любом боковом отклонении от него тело L будет притянуто любой из звёзд. Простая проверка показала, что для баланса не только в поперечном, но и в продольном направлении тело L должно находиться на орбите с радиусом на ~73% больше, чем радиус орбиты двойной звезды, т.е. опять, под теми же  φ=60град!  Как, говорится, «круг замкнулся» и как в классической философии Гегеля произошло «отрицание отрицания», т.е. возврат к исходному варианту размещения тела L на Солнечной орбите как более правильному.  

     Стало ясно, что в будущих расчётах  придерживаться гипотезы нахождения тел L4(L5) на какой-либо круговой орбите нет особого смысла и необходим третий вариант расчёта выражений для проекций ускорений тела L (на нормаль и вдоль вектора-радиуса барической системы) для случая произвольного положения тела L без его привязки к какой-либо круговой орбите с сохранением величины угловой скорости вращения барсистемы!  При этом в этих выражениях можно существенно варьировать дальность до тела L в широком диапазоне дальности относительно Солнечной орбиты для поиска точек баланса ускорений в обоих направлениях, те. по всей плоскости рисунка с орбитами.   За счёт программирования этих громоздких выражений в программе на персональном компьютере, можно построить изолинии равных ускорений по всей плоскости картинки, как и на известном рисунке в Интернете для всех пяти точек либрации Лагранжа  L1-L5, получив области устойчивости тела L в плоскости орбит тел при условии вращения всей картинки с постоянной угловой скоростью вращения планеты вокруг Солнца, т.е. в неинерциальной барической системе отсчёта.

3. Предварительные соотношения для радиусов вращения тел в барической системе отсчёта  с учётом соотношения масс взаимно вращающихся тел (Солнца и Планеты (Земли)).

   Итак, из выр.(2) для неподвижного центра инерции двух тел получаем, что

M_С ·V_С = – (m_p·V_p); -баланс количества движения Солнца и планеты вокруг центра инерции…(3)

что означает равенство количества движения у двух взаимодействующих тел относительно центра инерции, а знак минус свидетельствует о противоположной направленности векторов скоростей этих тел при их вращении вокруг общего  центра инерции - барцентра.  А поскольку вектора двух тел в каждый момент времени строго противоположны друг другу, то это означает, что  тела вращаются с одной и той же угловой скоростью вращения относительно  барцентра в разные противоположные стороны, поэтому  можно  заменить орбитальные скорости Солнца и планеты на выр.:  V_с = ω ·r_с   и   V_p = ω ·r_p ,   после их подстановки в выр.(3) и сокращения на скорость ω получим выр.(4) для моментов массы тел относительно барцентра,  представляющие собой просто равенство моментов масс тел системы, равное обычному правилу моментов сил для рычага (для этого лишь достаточно умножить на одно и тоже значение гравитационного притяжения из закона взаимного притяжения (обратных квадратов) для этой пары тел):   

M_С ·R_С-Б = – (m_P ·R_Б-Р); - баланс моментов массы двух тел относительно барцентра  ………... (4)

Выразим расстояния от Солнца (R_С-Б) и Земли (R_Б-Р) до барцентра через полное расстояние между Солнцем и Землёй  (R_C), которое равно сумме этих расстояний:

R_C = R_С-Б  + R_Б-Р ; - расстояние от Солнца до планеты через расстояния до центра инерции …… (5)

Если из выр.(5) значение для  R _Б-Р  = (R_C - R _С-Б ) подставить в выр.(4), то получим:

 R_С-Б  = m_Р  / (m_Р + M_С)  · R_C  =  m_{Р отн} · R_C ;   откуда следует, что :

R_{С-Б отн}  = R_С-Б / R_C  = m_{Р отн} ;   - относительное расстояние Солнце-Барцентр ……………...... (6)

 где:  m_{Р отн}  = m_Р  / (m_Р + M_С);  - относительная масса планеты в системе «Солнце-планета» …...…. (7)

Если из выр.(5) значение для R _С-Б  = (R_C - R _Б-Р) подставить в выр.(4), то получим:

 R_Б-Р  =  M_С  / (m_Р + M_С) · R_C  =  M_{С отн}· R_C ; откуда следует, что :

R_{Б-Р отн}  = R_Б-Р / R_C  = M_{С отн} ;  - относительное расстояние Барцентр-Планета ………….…... (8)

где:      M_{С отн}  = M_С / (m_Р + M_С) - относительная масса Солнца в системе «Солнце-планета» .... (9)

 M_{С отн}  = ((M_С + m_Р) – m_Р) / (m_Р + M_С) = (1 – m_{Р отн}) ; - связь относительных масс двух тел … (10)

4. Постановка задачи определения баланса ускорений, действующих на  малое тело L.

     Благодаря правильно выбранной точке размещения начало барической системы отсчёта можно считать  неподвижным относительно звёзд (без линейной скорости и ускорения начала системы отсчёта),  но, в силу нашего выбора, вращающейся с угловой скоростью вращения Земли ω вокруг Солнца в системе координат OXбарYбар.  В этой барической вращающейся системе Солнце и Земля синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг её центра (размещённого в центре инерции системы тел по условию выбора системы отсчёта) со своими радиусами вращения  Солнца (R_С-Б выр.6) и Земли (R_Б-Р выр.8) до барцентра.

     Важно подчеркнуть, что в данном первом варианте постановки малое тело L условно помещено на круговую орбиту относительно центра масс Солнца с расстоянием до него Rc (см. рис.1).  При этом выражения для проекций ускорений, приложенных к телам, рассчитываются во вращающейся с угловой скоростью ω вращения планеты вокруг Солнца в барсистеме относительно радиуса-вектора OL тела L, исходящего из центра инерции системы Солнца и планеты (точки О) к телу L.      

    В такой сиcтеме отсчёта на малое тело L (см. рис.1) действуют только три ускорения: ускорение притяжения от  Солнца (g_C  - вектор красного цвета), от Планеты (Земли) (g_Р - вектор зелёного цвета) и фиктивное «антицетростремительное» так называемое центробежное ускорение  со знаком минус:  (- g_{центроб.L} - вектор чёрного цвета), направленное вдоль по радиусу-вектору OL, т.к. выбранная барическая система является вращающейся и поэтому неинерциальна.   Поскольку будем рассматривать статическую схему ускорений, воздействующих на тело L, то относительную скорость перемещения тела L не будет рассматривать (Vr = 0),  поэтому и Кориолисово ускорение, равное (2ω × Vr), для тела будет нулевым.  

   Знаки для всех проекций ускорений, действующих на тело L,  примем положительными, если  они направлены в начало системы отсчёта, т.е. в точку О на рис.1.  Из центра масс Солнца тело L видно под углом φ относительно горизонтальной оси OX_бар, соединяющей центры масс Солнца и планеты.

  Рассмотрим сумму проекции всех трёх ускорений тела L на  два взаимно перпендикулярных направления:  на радиус–вектор OL, исходящий  из центра О барсистемы к телу L и на перпендикулярное к нему направление. В итоге получим два выражения:

ED – KR = g_Р · sin(ϑ)  -  g_C · sin(ϴ) = 0;  в проекции на нормаль к радиусу-вектору OL ……........... (11)

LD+LR–g_{центроб.L}=0;  или  g_Р ·cos(ϑ) + g_C ·cos(ϴ) –g_{центроб.L}=0; -проекция на радиус-вектор OL... (12)

   Осталось вывести и подставить в выр.(11) и (12) значения для всех трёх ускорений, заменив все промежуточные  углы (кроме искомого угла φ) на исходные параметры из выр.5-10, чтобы получить зависимость искомого угла φ от соотношения масс двух исходных тел Солнца (M_{С отн}) и Земли (m_{Р отн}) и определить величину угла φ, при котором выполнятся выр.(11 и 12) действительно обнулится,  что и будет свидетельствовать о наличии такого угла, при котором выполняется БАЛАНС (компенсация) ускорений, а точка L будет при этом находиться неподвижно относительно Солнца и Земли, находясь на расстоянии Rc до Солнца.   

5. Вывод выражения для угла φ  при проекции ускорений тела L на нормаль к радиусу-вектору его вращения относительно барцентра.

   С учётом исходного предположения о нахождении тела L на круговой орбите относительно Солнца (с радиусом Rc) необходимо найти для  тела L также его расстояние OL от начала барсистемы, вращающейся вокруг точки О (центра инерции системы двух тел),  по радиусу-вектору OL, вдоль которого и направлено центробежное ускорение тела L.  Из двух прямоугольных треугольников Δ-CLM и Δ-OLM следует:

OL = ( LM²   + OM² )^1/2  = ( (R_C·sin(φ))²  + (R_C·cos(φ) – R_С-Б)² ) ^1/2  ;  или с учётом выр.(6 и 7)

OL = R_C·(1–2·cos(φ)·R_{С-Б отн} + R²_{С-Б отн} )^1/2  =  R_C · (1 – 2·cos(φ)· m_{p отн} + m²_{p отн})^1/2  или

OL = R_C · OL_отн ; ……………………………………………………………………….. (13)

где:   OL_отн = (1–2·cos(φ)·m_{p отн} + m²_{p отн})^1/2;  и где…m_{Р отн}= R_С-Б /R_C;…………. (14)

Для нахождение sin(ϴ) от угла ϴ, под которым виден из тела L радиус R_С-Б вращения Солнца вокруг барцентра системы,  найдём из  прямоугольного треугольника Δ-CBO длину катета OB: 

 OB = OC · sin(φ) = R_С-Б · sin(φ); ……………………………………………….......….. (15)

  Из прямоугольного треугольника Δ-OBL с учётом выр.(12) и следует , что :  

sin(ϴ) = OB / OL = m_{Р отн} · sin(φ) / OL_отн ; ……………..…………...…..……………… (16) 

cos(ϴ) = BL / OL = (1_-– cos(φ)·m_{Р отн} ) / OL_отн ; ………..………………………………. (17) 

   При проектировании ускорения от планеты понадобятся значения sin(ϑ) и cos(ϑ) от угла ϑ.  Из равнобедренного Δ-CLP с равными сторонами CL=CP=R_C следует, что внутренний угол CLP при основании LP удовлетворяет соотношению:

   ϴ + ϑ  =  (180⁰  - φ) / 2;  откуда следует, что   ϑ = (90⁰ – (φ/2)) - ϴ; ………………….. (18)

Применим тригонометрические выражения  sin() и cos() для разности двух углов  (90⁰ – (φ/2))  и  ϴ:

sin(ϑ) = sin((90⁰–(φ/2))) · cos(ϴ)  –  cos ((90⁰–(φ/2))) · sin(ϴ);

cos(ϑ) = cos((90⁰–(φ/2))) · cos(ϴ)  +  sin ((90⁰–(φ/2))) · sin(ϴ);

      где: cos((90⁰–(φ/2))) = sin(φ/2);   а sin ((90⁰–(φ/2)))=cos(φ/2); 

sin(ϑ) = cos(φ/2) · cos(ϴ)   –  sin(φ/2) · sin(ϴ); …............................……..……………. (19)

cos(ϑ) = sin(φ/2) · cos(ϴ)  +  cos(φ/2) · sin(ϴ); …….……………………..……………. (20)

 В итоге, получим окончательные выр. для проектирования ускорения планеты относительно радиуса-вектора  (с подстановкой  sin(ϴ) и cos(ϴ) из выр. (16 и 17) в выр.(19 и 20):

sin(ϑ) = cos(φ/2)·(1_-– cos(φ)·m_{Р отн} )  –  sin(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ) / OL_отн ; ……....……… (21)

cos(ϑ) = sin(φ/2)·(1_-– cos(φ)·m_{Р отн} )  + cos(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ) / OL_отн ;……….…….... (22)

    Кроме того, понадобится расстояние LP между планетой и телом L. Из равнобедренного треугольника Δ-CLP  с равными сторонами CL=CP=R_C.  Высота ON, проведенная из вершины C делит угол φ пополам на φ/2 и тогда расстояние  LP  будет равно:

LP = 2·LN = 2·R_C·sin(φ/2) ; ………………………………..………………………...… (23)

  Можем приступать к расчёту проекций ускорения тела L на нормаль к вектору дальности OL (выр.11):

ED – KR = g_Р · sin(ϑ)  -  g_C · sin(ϴ) = 0;  в проекции на нормаль к радиусу-вектору OL ... (11)

Сначала определим выражение для нормальной составляющей ускорения от притяжения планеты ED:

ED = g_Р·sin(ϑ) = (G·m_p /LP²) · [(cos(φ/2)·(1–cos(φ)·m_{Р отн} ) – sin(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ)] / OL_отн;

где:  G =(6,6726) ·10^-11 H·м²·кг^-2 гравитационная постоянная из закона притяжения тел: F=G·m1·m2/R²).

ED = (G·m_p /(4·R²_C·sin²(φ/2))· [(cos(φ/2)·(1–cos(φ)·m_{Р отн} ) – sin(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ)] / OL_отн;

ED = (G·Mc /(R²_C ·OL_отн)) · (m_p/ Mc) ·[(cos(φ/2)·(1–cos(φ)·m_{Р отн} ) – sin(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ)] / [ 4 · sin²(φ/2) ]; ... (24)

Выражение для нормальной составляющей ускорения от притяжения Солнцем KR :

KR= g_C · sin(ϴ) =  (G·Mc /(R²_C·OL_отн))  · m_{Р отн} · sin(φ); ..………......………………..... (25)

После приравнивания ED = KR и сокращения на общий множитель (G·Mc /(R²_C·OL_отн)) получим:

(m_p/Mc)·[(cos(φ/2)·(1–cos(φ)·m_{Р отн}) – sin(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ)] / [4·sin²(φ/2)] = m_{Р отн}·sin(φ); или

(m_p/Mc) · [cos(φ/2) – m_Ротн·(cos(φ/2)·cos(φ) + sin(φ/2)·sin(φ))] = 4·sin²(φ/2) ·m_Ротн· (2·sin(φ/2)·cos(φ/2));  или

 (m_p/Mc) ·[cos(φ/2) – m_{Р отн}·cos(φ – φ/2)] = 8 · sin³(φ/2) · cos(φ/2);  или

(m_p/Mc) · cos(φ/2) · (1 – m_{Р отн})  =  m_{Р отн} · 8 ·sin³(φ/2) ·cos(φ/2); после сокращения на cos(φ/2):

(m_p/Mc) · (1 – m_{Р отн}) / m_{Р отн} = 8·sin³(φ/2);  выр. баланса  нормальных ускорений для тела L… (26)

Упростим вид левой части выр.(26)с учётом  выр.(7):  m_{Р отн} = m_Р /(m_Р + M_С); :

(m_p/Mc)·(1–m_{Р отн})/m_{Р отн} = (m_p/Mc)·(1/m_{Р отн} –1) = (m_p/Mc)·((m_Р+M_С)/m_Р –1) = (m_p/Mc)·(1+Mc/m_Р –1) = 1;

Как видим, левая часть выр. (26) равна 1 и после подстановки 1 в выр.(26) получим окончательно:

1=8·sin³(φ/2);  sin³(φ/2)=1/8; sin³(φ/2)=(1/2)³; sin(φ/2)=1/2; или φ/2=30⁰в итоге: φ_бал=60⁰ … (27)

    Как видим, для тела L баланс проекций ускорений притяжения от Солнца и планеты на нормаль (перпендикуляр) к радиусу-вектору OL дальности тела L, исходящему из центра инерции системы двух тел (барцентра), при введении угла визирования φ из центра масс Солнца на тело L и планету выполняется при величине угла визирования φ_бал=60⁰  (это точки либрации L4(L5) Лагранжа) и, как показали расчёты,  балансировочное значение этого угла φ_бал вообще не зависит от величины соотношения масс планеты и Солнца при условии нахождения тела L на круговой орбите относительно Солнца  (см. рис.1 и равносторонний треугольник Δ–C L4 P  со сторонами, равными расстоянию от Солнца до планеты  R_C ) .

6. Вывод выражения для угла φ  при проекции ускорений тела L на радиус-вектор его вращения относительно начала барцентра в точке О.

  Осталось проверить наличие баланса ускорений в другом продольном направлении в проекции на радиус-вектор дальности в барсистеме (см.выр.(12)).

LD+LR = g_{центроб.L};  или   g_Р · cos(ϑ) + g_C · cos(ϴ) = g_{центроб.L}; – проекция на радиус-вектор OL ... (12)

Сначала определим выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения планеты LD:

LD = g_Р · cos(ϑ) = (G·m_p /LP²) · [sin(φ/2)·(1_-– cos(φ)·m_{Р отн} )  + cos(φ/2)·m_{Р отн}·sin(φ)] / OL_отн ;

LD = (G·m_p /(4·R²_C·sin²(φ/2))) ·[ sin(φ/2) – m_{Р отн} ·[sin(φ/2)·cos(φ) – cos(φ/2)·sin(φ)] ] / OL_отн ;

упростим выр.: [sin(φ/2)·cos(φ) – cos(φ/2)·sin(φ)] = sin(φ/2 – φ) = – sin(φ – φ/2) = – sin(φ/2);  или

LD = (G·Mc /(R²_C·OL_отн)) ·  (m_p/Mc)/(4·sin²(φ/2)) · [ sin(φ/2) – m_{Р отн} · [ – sin(φ/2)] ] ;  или

LD = (G·Mc /(R²_C·OL_отн)) ·  (m_p/Mc)/(4·sin²(φ/2)) · [ sin(φ/2) · (1 + m_{Р отн})] ;  или

LD = (G·Mc /(R²_C·OL_отн)) ·(m_p/Mc)·(1+m_{Р отн})/(4·sin(φ/2)); -прод. ускорение L от планеты... (27)

Выражение для продольной составляющей ускорения от притяжения Солнцем LR :

LR = g_C · cos(ϴ) =  (G·Mc /(R²_C) · (1_-– cos(φ)·m_{Р отн} ) / OL_отн ;  выделим множитель (как и в LD):

LR = (G·Mc /(R²_C·OL_отн)) · (1_-– cos(φ)·m_{Р отн});  -продольное ускорение тела L от Солнца.... (28)

7. Расчёт центробежного ускорения по OL тела L при его нахождении на орбите Солнца

   Определим для  тела L в барсистеме величину центробежного ускорения, которое зависит от расстояния OL до центра инерции (точки О барсистемы). Поскольку барсистема вращается вокруг центра инерции с угловой скоростью вращения планеты (ω) вокруг Солнца, то центробежное ускорение тела L будет равно с учётом выр.(13) для OL:

g_{Lцентроб.} = ω² · OL = ω² · (R_C · OL_отн);  ………………………..………………………….. (29)

  Осталось определить величину угловой скорости  ω  вращения планеты вокруг Солнца. Величина центростремительного ускорения планеты (g_P) с учётом расстояния до Солнца, равному R_C, будет равна :

g_{P центростр.} = G · Mc / R²_C ; …………………..………………………………..………..……. (30)

   А вот величина угловой скорости вращения планеты вокруг Солнца зависит от реального радиуса вращения планеты вокруг центра барсистемы двух тел (Солнца и планеты), равного отрезку OP = R_Б-Р  = M_{С отн}· R_C   (см.выр.9) в барсистеме.    В этой барической вращающейся системе Солнце и Земля синхронно вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра инерции системы двух тел со своими радиусами вращения  Солнца (R_С-Б выр.6) и Земли (R_Б-Р выр.8) до барцентра.

   При вращении планеты по круговой траектории вокруг Солнца центростремительное ускорение определяется (с учётом выр.(10) для относительной массы Солнца (M_{С отн} =(1 – m_{Р отн} )):

g_{P центростр.}= ω²·OP = ω²·R_Б-Р = ω²·R_C ·M_{С отн} = ω² ·R_C·(1–m_{Р отн}); притяжения планеты Солнцем...(31)

Выделим величину угловой скорости вращения планеты и подставим выр.(30) :

ω² = g_{P центростр.} / (R_C·(1–m_{Р отн})) = (G·Mc/R²_C) / (R_C·(1–m_{Р отн})); - квадрат угловой скорости ...(32)

Окончательное выр. для центробежного ускорения тела L за счёт подстановки ω² из выр.(32) в (29):

g_{Lцентроб.} = ω² · (R_C·OL_отн) = (G·Mc/R²_C) / (R_C·(1–m_{Р отн}))  · (R_C·OL_отн); далее

  Выделим общий множитель (G·Mc /(R²_C· OL_отн)), характерный для выр. (27 и 28),:

g_{Lцентроб.} = (G·Mc /(R²_C· OL_отн))  · OL²_отн / (1–m_{Р отн}) ;  или

    Подставим  выр.(14) для OL _отн в квадрате и получим окончательно выражение  для центробежного ускорения тела L при его положении на орбите Солнца(R_C):

 g_{Lцентроб.} = (G·Mc /(R²_C· OL_отн))  · (1 – 2·cos(φ)·m_{p отн} + m²_{p отн}) / (1– m_{Р отн} ); ……………. (33)

   Вывод всех трёх проекций ускорений тела L завершён и осталось лишь проверить наличие баланса ускорений в продольном направлении в виде проекций на радиус-вектор дальности OL в барсистеме (см.выр.(12)) с подстановкой всех трёх проекций ускорений тела L из выр.(27, 28 и 33):

LD + LR – g_{центроб.L}=0;  - проекция всех трёх ускорений тела L на радиус-вектор OL барсистемы... (12)

(G·Mc /(R²_C·OL_отн))·(m_p/Mc)·(1+m_{Р отн})/(4·sin(φ/2)) + (G·Mc /(R²_C·OL_отн))·(1–cos(φ)·m_{Р отн}) –

  (G·Mc /(R²_C·OL_отн))·(1–2·cos(φ)·m_{p отн} + m²_{p отн})/(1– m_{Р отн} ); ............................................  (12)

Сократим все три члена на общий множитель (G·Mc /(R²_C·OL_отн)) :

(m_p/Mc)·(1+m_{Р отн})/(4·sin(φ/2)) + (1–cos(φ)·m_{Р отн}) – (1–2·cos(φ)·m_{p отн}+m²_{p отн})/(1–m_{Р отн} ) =0;

Предварительно преобразуем первый множитель (m_p/Mc), введя в него m_{Р отн} = m_p /(Mc+m_p) :

 (m_p/Mc) = (m_p / (Mc+m_p   – m_p) = m_{Р отн}/(1–m_{Р отн}); ……….……………………………….. (34)

Вставим выр.(34) и приведём все три слагаемых в общему знаменателю  4·sin(φ/2)·(1–m_{Р отн}):

m_Ротн·(1–m_Ротн)·(1+m_Ротн)+4·sin(φ/2)·(1–m_Ротн)·[(1–cos(φ)·m_Ротн)–(1–2·cos(φ)·m_Ротн+m²_Ротн)] = 0; - далее сократим общий множитель (1–m_Ротн) и упростим выр. в [...]

m_{Р отн}·(1+m_{Р отн})  + 4·sin(φ/2)·[ m_{Р отн}·(1+m_{Р отн}) · (cos(φ)-1) ] = 0; 

   Преобразуем (переходом от φ к φ/2)  выражение (cos(φ) - 1) = – 2·sin²(φ/2) получим:

m_{Р отн}·(1+m_{Р отн})  + 4·sin(φ/2) · [ m_{Р отн}·(1+m_{Р отн}) · (– 2·sin²(φ/2)) ]=0;

И после сокращения на общий множитель m_{Р отн}·(1+m_{Р отн}) выражение становится не зависящим от соотношения масс Планеты и Солнца (m_{Р отн)} )! :

1–8·sin³(φ/2)=0;  или  sin³(φ/2) =( 1/2)³; или  sin(φ/2) = 1/2;  или  φ/2=30⁰;  и  φ_бал = 60⁰ … (35)

  Получено окончательное выр.(35), состоящее в том, независимо от соотношения масс планеты и Солнца (m_{Р отн}) баланс всех трёх продольных проекций ускорения тела L выполняется  при значении угла φ_бал = 60⁰ . Иначе говоря при угле φ в 60⁰ сумма проекций от ускорений притяжения тела L  Солнцем и Планетой уравновешивается величиной центробежного ускорения вдоль радиуса-вектора, исходящего из начала барцентра (точки О) к телу L, находящемуся на круговой орбите вокруг Солнца с расстоянием, равным R_C.  

    В итоге, доказано выполнение ПОЛНОГО БАЛАНСА ВСЕХ ТРЁХ УСКОРЕНИЙ, воздействующих на тело L  на круговой орбите относительно Солнца (как по нормали (см.выр.(27)), так и вдоль (выр.35) радиуса-вектора дальности из центра инерции системы двух тел «Солнца и планеты»),  при одном и том же значении угла φ_бал=60⁰ независимо от величины отношения массы планеты к массе Солнца!   

     Как видим, для случая двойной звезды с одинаковыми массами звёзд, вращающимися по общей круговой орбите, тела в точках либрации L4 и L5 вращаются вокруг центра этой круговой орбиты звёзд с той же угловой скоростью вращения, находясь в вершинах двух равносторонних треугольников с радиусом, превышающим общий радиус обеих звёзд на ~73% и соответственно на столько же более высокой орбитальной скоростью.    При наблюдении со стороны на такую двойную звезду при наличии тел L4 и L5 два правильных симметрично расположенных  треугольника вращаются вокруг середины их общей стороны, по концах которой расположены две равных по массе звезды, а в противоположных  вершинах симметричных треугольников могут вращаться тела L4 и L5 с той же угловой скоростью, но с радиусом на 73% большем, чем радиус вращения звёзд, т.е. этакий разносторонний вращающийся крест (с отношением сторон 1,73 : 1), на концах малой стороны которого расположены звёзды, а на концах большой стороны - тела двух либрационных областей L4 и L5, расположенных симметрично относительно линии Солнце-Планета под углами 60 град.

   В данной статье доказан вывод Лагранжа о том, что БАЛАНС ВСЕХ ТРЁХ УСКОРЕНИЙ для тел в точках Лагранжа L4 и L5 (находящимися в вершинах двух равносторонних треугольников, опирающихся симметрично на центры масс Солнца и планеты)   ПОЛНОСТЬЮ ВЫПОЛНЯЕТСЯ в центре области, находящейся на круговой орбите вокруг Солнца с расстоянием, равным R_C , и углом визирования   φ_бал = 60⁰    из центра масс Солнца от планеты к телам L4(L5) и величина угла баланса не зависит от величины отношения массы планеты к массе Солнца.

   Можно заранее предсказать, что устойчивость положения тел L4(L5) в точке либрации будет обеспечиваться только ускорением Кориолиса, которое будет всё время заворачивать вектор скорости движения  тел L4(L5), стремящийся к геометрическому центу притяжения Солнца и планеты с периодом этого вращения, равным периоду вращения планеты вокруг Солнца, искривляя прямолинейную скорость ухода тела к центру притяжения в замкнутую орбиту вокруг центра точки либрации тел L4(L5). Останется лишь выяснить критический максимально допустимый радиус этих орбит, которые уже не замкнутся, а приведут к их раскручиванию по спирали и уходу тел от центра области либрации. 

       Кстати, механика подобного вращения тела L4(L5) в точке либрации весьма похожа на механику вращения Солнца вокруг барцентра, когда за счёт количества движения у планеты (m_p·Vp) Солнце также вынуждено вращаться вокруг центра инерции системы двух тел, стремясь ускорением притяжения сблизиться с планетой по прямой, но наличие соответствующей орбитальной скорости планеты позволяет ей всё время уклоняться от этой встречи, приводя в итоге к круговым орбитам у обоих тел.  Точно также и тела L4(L5)  начинают сближаться с Солнцем и планетой (если тела  отошли от центра устойчивости либрационной области), но благодаря постоянному вращению системы двух тел (Солнца и планеты) вокруг тел с периодом вращения планеты вокруг Солнца (при этом условно можно перенести вектор угловой скорости вращения планеты вокруг Солнца в центр либрации тел), также тела начинают отслеживать своим вектором скорости сближения направление на  постоянно вращающийся вокруг них центр притяжения, что и приводит в появлению замкнутых траекторий вращения вокруг точки либрации с периодом вращения планеты вокруг Солнца. В итоге, центр области либрации тел L4 (L5) становится такой же точкой устойчивого вращения, как «барцентр» является точкой вращения для Солнца.

   Как видим, кориолисово ускорение выполняет роль стабилизирующего удерживающего фактора для тел в точках либрации L4 и L5 (впрочем, как и для всех остальных точек либрации L1-L5), который непрерывно «поворачивает» вектор скорости ухода тел (под углом 90 градусов к нему) от центра области равновесия влево, превращая скорость ухода от центра устойчивости в «орбитальную» скорость вращения вокруг этого центра либрации точек L4 (L5).   Было бы интересно на полной модели динамики движения тел L определить критерий, определяющий  максимально допустимый диаметр области устойчивости вокруг центра либрации, при превышении которого вращение вокруг центра начнёт постепенно раскручиваться с нарастающим по времени радиусом вращения с окончательным уходом тела L в сторону Солнца и планеты.

Георгий 22.04.2020г 20час.00мин. Время моск.

 В следующей статье попробую качественно оценить устойчивость и расстояние для остальных точек либрации L1-L3, раположенных на линии Солнце-Планета.  

P.S.  Поздравляю всех и жителей Ульяновска со знаменательным событием - 150-летием  со дня рождения В.И.Ленина, основателя государства нового социалистического типа, изменившего весь ход истории развития человечества на нашей небольшой планете Земля.  Россия прошла через испытания в первой мировой войне, а возродившись в новом качестве, смогла отстоять своё право на существование и победила во второй мировой, избавив от «коричневой чумы» всё человечество. Видимо, такова мировая судьба России. С наступающим 75-летием Дня Победы!