Последнее время приходилось часто по разным поводам объяснять  метод преобразований Дарбу. Поэтому решил изложить кратко основную информацию по этому методу. Для начала привожу краткий перечень литературы, в которой излагаются основы метода  и варианты его использования в различных прикладных задачах. Комментарии и сам метод изложу позже..

Метод был разработан выдающимся французским математиком  XIX века Жáном Гастóном Дарбý (фр. Jean Gaston Darboux; 14 августа 1842, Ним, Лангедок-Руссильон — 23 февраля 1917, Париж)  для решения задач в геометрии.

1. Darboux G., Sur un proposition relative aux equations lineares, C. R. Acad. Sci. Paris 94 (1882), 1456–1459.(arxiv.org:physics/9908003.)

2. G. Darboux, Compt. Legons sur la theorie generale des surfaces et les application geometriques du calcul infinitesimate, Paris: Guatier-Villar et Fils, 522 (1889).

В конце 40-х годов метод был использован Баргманном В. для построения так называемых безотражательных потенциалов Баргманна в одномерной теории рассеяния в квантовой теории.  Такие потенциалаы получаются простым преобразованием Дарбу из решений уравнения Шредингера с нулевым потенциалом:

3. Bargmann V. - Phys. Rev., 1949, v. 75, p. 301

В частности, из отсутствия отражения у таких потенциалов и аддитивной процедуре построения таких безотражательных дабавок к отражающим потенциалам возниает проблема не однозначности решения обратной задачи рассеяния, т.е восстановления вида рассеивающего потенциала по коэффициентам отражения.

Несколько позже метод был усовершенствован Крамом для получения более сложных типов потенциалов.

4. Crum M. //Quart. J. of Math., 6, (1955)

В 70-х годах в связи с бурным развитием в те годы метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) в применении к уравнениям нелинейной волновой динамики Матвеевым В.Б. был предложен альтернативный МОЗР метод построения решений солитонного типа с помощью преобразований Дарбу.

5. Matveev V.B. //Lett.in Math.Phys., 3 , (1979)

6. Matveev V.B., Salle M.A. Darboux Transformations and Solitons. Berlin: Springer,
1990. 120 p.

Об использовании метода Дарбу для решения некоторых задач нелинейной динамики кое-что есть в моей монографии на этом сайте: http://www.spacephys.ru/system/files/zhvictorm/files/MONO.pdf

В следующих работах метод Дарбу использован для детального анализа различных квантовых систем с потенциалами, которые отличаются на потенциал, полученный с помощью преобразования Дарбу. При этом изменяется  спектр такого оператора. Из спектра удаляются фиксированные точки, в частности, уровни энергии. Это позволяет конструировать системы со специальным  спектром.

1. Захарьев Б.Н. Дискретная и непрерывная квантовая механика, точно решаемые модели (уроки квантовой интуиции II). // ЭЧАЯ. 1992. Т. 23. № 5. С. 1387.

2. Захарьев Б.Н., Сузько А.А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. Переработанное английское издание: Heidelberg: Springer-Verlag, 1990.

3. Захарьев Б.Н., Костов Н., Плеханов Е.Б. Точно решаемые одно- и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции I) // ЭЧАЯ. 1990. Т. 21. № 4. С. 914.

4. Захарьев Б.Н. Уроки квантовой интуиции. Дубна: Изд. отдел ОИЯИ, 1996.

5. Багров В. Г., Самсонов Б.Ф., ЭЧАЯ, 28:4 (1997), 951

Метод преобразований Дарбу в кратком изложении

Для понимания истоков метода надо вспомнить теоремы о коммутирующих операторах.

Теорема 1.   Два линейных оператора $\hat{\bf L}$ и $\hat{A}$ обладают полным набором общих собственных функций тогда и только тогда, когда их коммутатор равен нулю:

$[\hat{\bf L},\hat{\bf A}]=0$.

Теорема 2.   Два линейных оператора $\hat{\bf L}$ и $\hat{\bf A}$ обладают хотябы одной общей собственной функцией тогда и только тогда, когда существует такой оператор $\hat{\bf D}$, что их коммутатор равен:

$\Big[\hat{\bf L},\hat{\bf A}\Big]=\hat{\bf D}\hat{\bf A}$.                    (1)

Первая теорема используется в квантовой теории и поэтому всем хорошо известна.  Нам понадобится именно вторая теорема, которая здесь приводится без доказательств. Важно подчеркнуть, что слова - тогда и только тогда означают, что справедливы и прямое и обратное утверждения теоремы. Доказывать эти теоремы мы не будем. Их можно найти в стандратных учебниках. Если не учитывать раличные тонкости, которые могут возникнуть при их доказательстве, то сами доказательства можно построить и самостоятельно, что очень полезно. Воспользуемся следствиями второй теоремы.

Пусть $\psi(\lambda,x)$ - собственные функции оператора $\hat{\bf L}$:

$\hat{\bf L}\psi(\lambda,x)=\lambda\psi(\lambda,x).$                                 (2)

Операторное равенство (1) означает, что применение оператров в правой и левой частях этого равенста к любой функции из пространства функций, на котором определено действие рассматриваемых линейных операторов, будет давать один и тотже результат. Поэтому выполнено, в  частности, равенство:

$\Big[\hat{\bf L},\hat{\bf A}\Big]\psi(\lambda,x)=\hat{\bf D}\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)$             

Раскрывая скобки в последнем соотношении, получаем:

$\hat{\bf L}\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)-\hat{\bf A}\hat{\bf L}\psi(\lambda,x)=\hat{\bf D}\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)$

Используя (2), последнее соотношение можно переписать в следующем виде:

$\hat{\bf L}\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)-\lambda\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)=\hat{\bf D}\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)$                      (3)

Введем функции $\phi(\lambda,x)$ следуюшим образом:

$\phi(\lambda,x)=\hat{\bf A}\psi(\lambda,x)$.

Тогда соотношение (3) можно записать так:

$\left(\hat{\bf L}-\hat{\bf D}\right)\phi(\lambda,x)=\lambda\phi(\lambda,x)$                      (4)

Следовательно, функции $\phi(\lambda,x)$ являются собственными функциями нового оператора $\hat{\bf L_1}=\hat{\bf L}-\hat{\bf D}$. Это и есть основной элемент излагаемой теории. Правда в таком виде пока совершенно не ясно то, как можно его использовать на практике. Основная идея дальнейших построений состоит в том, чтобы из решений уравнения на собственные функции оператора $\hat{\bf L}$ построить решения этой задачи для оператора $\hat{\bf L_1}$, вычислив каким-либо образом операторы $\hat{\bf A}$ и $\hat{\bf D}$. Весь вопрос состоит в том, можно ли сделать это как-то достаточно просто? Оказывается можно!

В качестве примера рассмотрим стационарный оператор  Шредингера $\hat{\bf L}$:

$$\displaystyle{{\hat{\bf L}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+u_0(x),}$$

где $u_0(x)$ - некоторый исходный потенциал, для котрого собственные функции уже известны. Простейшим примером может служить оператор с потенциалом $u_0(x)=0$.

Согласно Теореме 2 и желанию получить решения нового уравнения мы должны найти оператор $\hat{\bf A}$, который заведомо имел бы одну собственную функцию из общего набора собственных функций оператора $\hat{\bf L}$. Пусть такой функцией будет $\psi(k_0,x)$, соответствующая собственному числу $\lambda_0=k^2_0$. Для удобства собственные числа оператора Шредингера полезно представлять в виде квадрата другого числа, в данном случае $k$: $\lambda=k^2$. Самый простой способ построить оператор, имеющей своей собственной функцией функцию $\psi(k_0,x)$, состоит в том, что бы взять в качестве $\hat{\bf A}$ дифференциальный оператор первого порядка:

$$\displaystyle{\hat{\bf A}=\frac{\partial}{\partial x}+\xi(x)},$$ который содержит в качестве коэффициента одну произвольную функцию $\xi(x)$. Остается выбрать эту функцию таким образом, что бы выполнялось соотношение:

$$\displaystyle{\hat{\bf A}\psi(k_0,x)=\left(\frac{\partial}{\partial x}+\xi(x)\right)\psi(k_0,x)}=0.$$

Последнее означает, что оператор имеет в качестве собственной функции функцию $\psi(k_0,x)$ с нулевым собственным значением. Отсюда можно вычислить функцию, для котрой это условие выполняется тождественно. Именно:

$$\displaystyle{\xi(x) = -\frac{1}{\psi(k_0,x)}\frac{\partial \psi(k_0,x)}{\partial x}= -\frac{\partial \ln \psi(k_0,x)}{\partial x} } \qquad \qquad (5)$$

Следовательно, мы построили оператор $\hat{\bf A}$, имеющий одну общую собственную функцию с оператором $\hat{\bf L}$. Остается теперь только один вопрос - Как найти оператор $\hat{\bf D}$?

Оператор $\hat{\bf D}$ вычисляется с помощью прямого вычисления коммутатора оператора $\hat{\bf L}$ и построенного оператора $\hat{\bf A}$:

$$\displaystyle{\left[{\hat{\bf L},\hat{\bf A}]=\left[\frac{\partial^2}{\partial x^2}+u_0(x),\frac{\partial}{\partial x}+\xi(x)\right]=2\frac{d\xi}{dx}\frac{\partial}{\partial x}+\frac{d^2\xi}{dx^2}-\frac{d u_0}{dx}$$

Как видно, коммутатор равен оператору первого порядка. Мы предполагаем, что функция $\xi$ вычисляется из требования (5), означающего, что оператор $\hat{\bf A}$ имеет в качестве собственной функции функцию $\psi(k_0,x)$. Поэтому оператор в правой части в силу Теоремы 2 должен иметь вид произведения операторов $\hat{\bf D}$ и $\hat{\bf A}$. Это возможно только в том случае, если выполнены два равенства. Первое - оператор $\hat{\bf D}$ Равен оператору умножения на функцию $2\xi'(x)$ апостроф означет производную по переменной $x$), т.е.: $$ \hat{\bf D} = 2\frac{d\xi}{dx}. $$ Втрое равенство: $$ \frac{d^2\xi}{dx^2}-\frac{d u_0}{dx} = 2\xi\frac{d\xi}{dx}. $$ Это означает, что функция $\xi(x)$, вычисленная с помощью соотношения (5), при заданной функции $u_0(x)$ тождественно удовлетворяет последнему нелинейному уравнению. Именно это обстоятельство используется в методе обратной задачи в применении к теории нелинейных волн.

Отсюда мы находим вид нового оператора $\hat{\bf L_1}$  и вид его собственных функций  $\phi(k,x)$:

$$\displaystyle{{\hat{\bf L_1}=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+u_0(x)-2\frac{d\xi}{dx},}$$ $$\displaystyle{ \phi(k,x) = \hat{\bf A}\psi(k,x)=\left(\frac{\partial}{\partial x}+\xi(x)\right)\psi(k,x)}.\qquad \qqyad (6)$$

Новый оператор $\hat{\bf L_1}$ представлет собой оператор Шредингера с потенциалом: $$u_1(x)=u_0--2\frac{d\xi}{dx}=u_0(x)+2\frac{d^2\ln\psi(k_0,x)}{dx^2}\qquad \qquad (7)$$

Важным своством построенного оператора является то, что в его спектре отсутсвует точка, соотвествующая собственному числу $\lambda_0=k_0^2$. Это является следствием требования (5), с помощью котрого вычислялся оператор $\hat{\bf A}$. Поэтому: $\phi(k_0,x)=\hat{\bf A}\psi(k_0,x)=0$. Процедуру построения оператора $\hat{\bf L_1}$ можно повторять множество раз, отталкиваясь от вновь построенного оператора. Это возможно поскольку на каждом шаге все собственные функции нового оператора строятся в явном виде. При этом каждый раз из спектра ``выкалывается'' очередная точка. После N шагов получается потенциал, который имеет спектр исходного потенциала, за исключением N точек. В частности, такую процедуру можно применить к гармоничесому осциллятору. В результате можно найти спектр с эквидистантными уровнями, из списка которых исключено конечное число уровней.

Рассмотрим простые примеры.

Пример 1.

Рассмотрим в качестве исходного оператор Шредингера с нулевым потенциалом. В этом случае все его собственные функции известны. Именно: $$ \psi(k,x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}. $$ В качестве выделенного числа $\lambda_0$ выберем отрицательное собственное число, т.е. $\lambda_0=-q^2_0$, $k_0=ik_0$. В качестве выделенной собственной функции $\psi(k_0,x)$ выберем функцию $\psi(k_0,x)=A\ch(q_0,x)=A(e^{q_0 x}+e^{-q_0 x})/2$.

Пользуясь формулами (6) и (7), получаем:
$$\displaystyle{\xi(x) = -\frac{1}{\psi(k_0,x)}\frac{\partial \psi(k_0,x)}{\partial x}= q_0\th(q_0 x) } $$

$$\displaystyle{u_1(x) = 2\frac{\partial^2 \ln\psi(k_0,x)}{\partial x^2}= \frac{2q^2_0}{\ch^2(q_0 x)} } $$

$$\displaystyle{\phi(k,x) = A\left(ik-q_0\th(q_0 x) \right)e^{ikx} - B\left(ik+q_0\th(q_0x) \right)e^{-ikx}} $$