Лаборатория космических исследований

Ульяновская секция Поволжского отделения Российской Академии Космонавтики им. К. Э. Циолковского

Ульяновский Государственный Университет
Проект № 16-42-732113 офим-м РФФИ (1)

I. Метод обобщенных функциональных подстановок в задачах нелинейной диффузии и взаимодействия излучения с веществом

Аннтотация

Проект направлен на развитие и применение метода обобщенных функциональных подстановок в теории нелинейных волновых и диффузионных уравнений к исследованию процессов в нелинейных средах с диффузией под действием внешнего излучения. В проекте предусматривается исследование процессов образования когерентных структур в нелинейных средах с диффузией под действием внешних излучений и процессов самоорганизации. Одним из основных направлений работ будет теоретический анализ точных решений нелинейных уравнений диффузионного типа с помощью метода обобщенных функциональных подстановок типа Коула-Хопфа и его обобщений

Цели и задачи

Проект направлен на решение фундаментальной задачи описания процессов нелинейной диффузии в различных конденсированных средах, в том числе кристаллах, под действием внешнего излучения, приводящих к образования когерентных структур за счет нелинейного взаимодействия и самоорганизации отдельных компонент среды. Задачами проекта являются следующие задачи:
1) Разработка новых вариантов метода функциональных подстановок конкретно для задач нелинейной диффузии в средах, находящихся под действием внешнего нейтронного и лазерного облучения.
2) Выяснение условий образования когерентных структур дефектов в материалах под действием внешнего излучения и за счет самоорганизации среды;
3) Построение аналитических моделей процессов образования когерентных структур в материалах под облучением и сопоставление их с экспериментальными данными.
4) Разработка новых методов асимптотического анализа нелинейных диффузионных уравнений с целью выяснения устойчивости когерентных структур в соответствсующих системах под облучением.

Общий план проведения работ по проекту на  2016 год:

Первый год (2016):
1) Развитие метода обобщенных функциональных подстановок Коула-Хопфа для решения задач нелинейной диффузии. Предположительно будут получены специфические типы матричных подстановок для построения уравнений нелинейной диффузии в размерности пространства 1+2 и 1+3.
2) Разработка варианта метода автомодельных решений уравнений нелинейной диффузии для анализа роста когерентных структур на ранних этапах их образования под действием внешнего излучения или самоорганизации в нелинейной среде. Будут проанализированы условия роста когерентных структур за счет самоорганизации в нелинейной среде с диффузией и найдены условия их возникновения при наличии внешних потоков излучения.
3) Развитие методов асимптотического анализа решений уравнений нелинейной диффузии для выяснения устойчивости когерентных структур. Предполагается, что будут получены критерии возникновения устойчивых когерентных структур при наличии внешних потоков излучения и случайных флуктуаций в системе.

Результаты за 2016 год.

1. Метод функциональных подстановок для уравнений диффузионного типа

Этот раздел содерждит результаты в основном представленные в статье: Журавлев В.М. Изв. ВУЗОВ. Поволжский регионю Серия физико-математическая. 2016

​1.1.  Общая идеология метода функциональных подстановок

Опираясь на результаты работ [1, 2, 3, 4] в качестве исходной системы линейных уравнений, рассмотрим уравнения следующего вида $$T_x=A(x,t)T,~~T_t=B(x,t)T\tag{1.1}\label{Eq11}$$ относительно одной вспомогательной комплексной функции $T(x,t)$  двух вещественных переменных $x$  и $t$   и двух вспомогательных комплексных функции $A(x,t)$  и $B(x,t)$. Дифференцируя однократно первое уравнение по $t$ , а втрое - по $x$, получаем вместе с ними замкнутую однородную алгебраическую систему четырех уравнений относительно функции $T$  и трех первых ее производных: $T_x,~T_t$  и $T_{xt}$. Условием совместности этой системы является уравнение: $$A_t=B_x.\tag{1.2}\label{Eq12}$$ 
В силу этого все производные функции $T(x,t)$  можно выразить рекуррентно через саму функцию $T(x,t)$  или одну любую ее производную по формулам:$$T^{[n,k]}=\frac{\partial^{n+k}T}{\partial x^{n}\partial t^{k}}=A^{[n,k]}T,\tag{1.3}\label{Eq13}$$ где функции $A^{[n,k]}(x,t)$ удовлетворяют рекуррентным соотношениям: $$A^{[n+1,k]}=A^{[n,k]}_x+A^{[n,k]}A,~A^{[n,k+1]}=A^{[n,k]}_t+A^{[n,k]}B\tag{1.3a}\label{Eq13a}$$ и $A^{[1,0]}=A,~A^{[0,1]}=B.$

 
К базовой системе  (1) можно добавить произвольное уравнение относительно $T(x,t)$ , которое в итоге с помощью соотношений (1.3) превращается в нелинейное уравнение, относительно функций $A,B$. При этом это уравнение образует замкнутую систему вместе с уравнением  (1.2).  В этом случае базовые соотношения  (1.1) можно рассматривать как обобщенные подстановки Коула-Хопфа. Эти подстановки будем называть подстановками первого уровня.

1.2. Уравнения Лапласа и гидродинамика

Рассмотрим в качестве замыкающего уравнения для функции $T(x,y)$ уравнение Лапласа: $$T_{xx}+T_{yy}=0,\tag{1.4}\label{}$$ (4) Используя дифференциальные следствия соотношений  (1) , находим связь между функциями $A$ и $B$: $$A_y=B_x,\quad A_x+B_y+A^2+B^2=0.\tag{1.5}\label{Eq15}$$ Система этих уравнений имеет точные решения, которые строятся с помощью обобщенных подстановок типа Коула-Хопфа  (1.1) .
Наиболее простая интерпретация этих уравнений состоит в их связи со стационарными уравнениями Навье-Стокса двумерных потенциальных течений однородной и неоднородной жидкости. Именно, полагая: $$v=-2\nu A=-2\nu T_x/T,\quad w=-2\nu B=-2\nu T_y/T,\tag{1.6}\label{Eq16}$$ где $v,w$  - компоненты вектора скорости потока жидкости, и дифференцируя первое уравнение в  (5) отдельно по $x$ и $y$, а так же используя второе, приходим к паре уравнений: $$vv_x+wv_y=\nu\Delta v,\quad vw_x+ww_y=\nu\Delta w\tag{1.7}\label{17}$$
Это и есть стационарные уравнения Навье-Стокса с кинематической вязкостью $\nu$. Для того, чтобы в такой модели выполнялся закон сохранения массы, в качестве плотности среды $\rho$ следует выбрать функцию $\rho=T(x,y)$. Действительно, в этом случае уравнение  (1.4) можно записать в виде уравнения неразрывности: $$\frac{\partial}{\partial x}\Big(\rho v\Big)+\frac{\partial}{\partial y}\Big(\rho w\Big)=0,\tag{1.8}$$ а уравнения  (7) можно переписать так: $$vv_x+wv_y=\frac{2\nu}{\rho}\nabla\Big(\rho \nabla v),\quad vw_x+ww_y=\frac{2\nu}{\rho}\nabla\Big(\rho \nabla w).$$ 
 В этом случае кинематическая вязкость жидкости равна удвоенной исходной вязкости
.

1.3. Подстановки второго уровня

Полученная интерпретация уравнений  (1.5) оказывается не единственной. Эти уравнения обладают внутренней скрытой структурой второго уровня, которая выявляется лишь при специальном представлении функций $A$ и $B$. Рассмотрим следующую замену переменных: $$A=u(x,y)\cos(\phi(x,y)),\quad B=u(x,y)\sin(\phi(x,y)).\tag{1.9}\label{Eq19}$$
Подставляя эти соотношения в уравнения  (1.2) и  (1.5) , получаем: $$(u_x+u\phi_y)\sin(\phi)-(u_y-u\phi_x)\cos(\phi)=0$$$$(u_y-u\phi_x)\sin(\phi)-(u_x+u\phi_y)\cos(\phi)+u^2=0.$$

Рассматривая эту систему как систему алгебраических уравнений относительно $p=u_x+u\phi_y$  и $q=u_y-u\phi_x$ , находим их решение: $$\theta_x+\phi_y=-u\cos\phi=-A,\tag{1.10}$$$$\theta_y-\phi_x=-u\sin\phi=-B.\tag{1.11}$$ Здесь $\theta=\ln u$ . Из этой системы перекрестным дифференцированием, используя  (1.5) , получаем следующие уравнения: $$\phi_{xx}+\phi_{yy}=0,\tag{1.12}$$ $$\theta_{xx}+\theta_{yy}=u^2=e^{2\theta}.\tag{1.13}$$ Первое из этих уравнений есть вновь уравнение Лапласа, а второе - уравнение Лиувилля! Эти уравнения и отражают скрытую динамическую симметрию уравнений  (1.5) , которая заключается в наличии прямых обобщенных подстановок Коула-Хопфа для решений уравнений  (1.12) и  (1.13) , связывающих их с решениями уравнения  (1.4) : $$\theta=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial\ln T}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\ln T}{\partial y}\right)^2\right),\tag{1.14}$$ $$\phi={\rm arctg}\left(\frac{T_{y}}{T_{x}}\right).\tag{1.15}$$ Эти подстановки будем называть подстановками второго уровня.

Динамическая структура уравнений не исчерпывается подстановками  (14) и  (15) , которые можно назвать простейшими. В класс таких простейших подстановок можно включить еще и подстановку, которая получается следующим образом. Представим функцию $\theta$   в следующем виде: $$\theta=\psi-\ln T,\tag{1.16}$$ где $$\psi=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)^2\right),\tag{1.17}$$ Тогда, используя  (1.4) , находим: $$\Delta\theta-e^{2\theta}=\Delta\psi-\Delta\ln T-e^{2\theta}=\Delta\psi=0.$$ Здесь использовано тождество: $$\Delta\ln T=\frac{\Delta T}{T}-\left(\frac{T_x}{T}\right)^2-\left(\frac{T_y}{T}\right)^2=-e^{2\theta}.$$ Таким образом, функция $\psi$ также является гармонической: $$\Delta\psi=0.$$ Это позволяет рассматривать в качестве подстановки типа Коула-Хопфа и соотношение  (1.17) , которое связывает две гармонические функции $T$ и $\psi$.
 
1.4. Рекуррентные цепочки подстановок
 
Совокупность простейших подстановок второго уровня  (14) - (17) генерирует бесконечное множество более сложных подстановок, которые можно получить опираясь на тот факт, что функции $\phi$ и $\psi$ являются гармоническими функциями, как и исходная функция $T$. Поэтому эти функции могут быть использованы в качестве источника тех же подстановок  (14) - (17) . Эту процедуру можно повторять неограниченное число раз. В результате мы получаем бесконечную цепочку преобразований решений уравнения Лапласа в новые решения уравнений Лапласа и уравнение Лиувилля, которые вычисляются рекуррентно по следующим правилам: $$\theta^{[n+1]}[\eta]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial\ln \eta^{[n]}}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\ln \eta^{[n]}}{\partial y}\right)^2\right),$$ $$\phi^{[n+1]}[\eta]={\rm arctg}\left(\frac{\eta^{[n]}_{y}}{\eta^{[n]}_{x}}\right).\tag{1.18}\label{DefFn1}$$$$\psi^{[n+1]}[\eta]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial \eta^{[n]}}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \eta^{[n]}}{\partial y}\right)^2\right).$$  где $\eta^{[n]}$   означает либо  $\phi^{[n]}$, либо $\psi^{[n]}$  в зависимости от выбора источника очередного шага рекуррентного процесса. В качестве начальных условий следует использовать любое решение уравнение Лапласа: $$\eta^{[0]}=\phi^{[0]}=\psi^{[0]}=T.$$ В частности, функции: $$\theta^{[2]}[\phi]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial\ln \phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\ln \phi}{\partial y}\right)^2\right),$$$$\phi^{[2]}[\phi]={\rm arctg}\left(\frac{\phi_{y}}{\phi_{x}}\right).\tag{1.19}$$$$\psi^{[2]}[\phi]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right).$$  вновь являются решениями уравнения Лиувилля (1.13 ) и Лапласа (1.12), соответственно. Аналогично, функции $$\theta^{[2]}[\psi]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial\ln \psi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\ln \psi}{\partial y}\right)^2\right),$$ $$\phi^{[2]}[\psi]={\rm arctg}\left(\frac{\phi_{y}}{\psi_{x}}\right).\tag{1.20}$$ $$\psi^{[2]}[\psi]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)^2\right).$$ так же являются решениями уравнения Лиувилля (1.13 ) и Лапласа (1.12 ).
Общими свойствами функции для каждого шага рекуррентного процесса являются следующие соотношения:$$\theta^{(n+1)}[\eta] = \psi^{(n+1)}[\eta] - \ln \phi^{(n)}[\eta],~~~\Delta \ln \eta^{(n)} =  - e^{2\theta^{(n+1)[\eta]}}.\tag{1.21}\label{Conn}$$
Степень сложности каждого элемента рассматриваемой цепочки отображений возрастает с номером шага рекуррентного процесса и определяется тем, как функции на этом шаге связаны с начальной функцией  $T(x,y)$ этого процесса. В частности, на втором шаге рекуррентного процесса функции $\theta^{[2]}[\phi]$, $\phi^{[2]}[\phi]$  и $\psi^{[2]}[\phi]$ связаны с $T$ следующим образом:$$\phi^{[2]}[\phi]={\rm arctg}\left(\frac{\phi_{y}}{\phi_{x}}\right)={\rm arctg}\left(\frac{T_{yy}T_x-T_{xy}T_y}{T_{yx}T_{x}-T_{xx}T_{y}}\right)$$$$\psi^{[2]}[\phi]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(T_{yy}T_x-T_{xy}T_y\right)^2+\left(T_{yx}T_{x}-T_{xx}T_{y}\right)^2\right)-\ln\left((T_x)^2+(T_y)^2\right)$$$$\theta^{[2]}[\phi]=\frac{1}{2}\ln\left(\left(T_{yy}T_x-T_{xy}T_y\right)^2+\left(T_{yx}T_{x}-T_{xx}T_{y}\right)^2\right)-\ln\left((T_x)^2+(T_y)^2\right)-\ln\Big[{\rm arctg}\Big(T_y/T_x\Big)\Big].$$  

В результате имеем:
Утверждение 2. Для каждого шага $n$ цепочки преобразований (\ref{DefFn1}) функции $\phi^{(n)}[\eta],~\psi^{(n)}[\eta]$ и $\gt^{(n)}[\eta]$ при любом выборе гармонической функции-источника $\eta$, эти функции являются решениями уравнений Лапласа и Лиувилля, соответственно. Сами эти функции выражаются через производных функции $T$ порядка не выше $n$.
 
1.5. Неоднородное уравнение Лиувилля
 
    Построенные решения позволяют получить в обобщённой форме  ряд результатов, которые ранее были получены в работах \cite{S1,S2}. Рассмотрим функцию $\chi = \theta + \alpha \ln T$. Используя свойства функций $\gt$ и $T$, находим, что функция $\chi$ удовлетворяет следующему соотношению: $$\Delta \chi = \Delta\theta + \alpha\Delta \ln T = e^{2\theta} - \alpha e^{2\theta} = (1-\alpha)e^{\chi -\alpha \ln T} = (1 - \alpha) T^{-2\alpha} e^{2\chi}.$$ Отсюда следует, что функция $\chi$ удовлетворяет неоднородному уравнению Лиувилля:$$\Delta \chi = (1 - \alpha) T^{-2\alpha} e^{\chi},$$ в котором функция $T$ является гармонической функцией. Этот результат можно обобщить, если воспользоваться соотношениями (\ref{Conn}). яется гармонической функцией. Этот результат можно обобщить, если воспользоваться соотношениями (\ref{Conn}). Для каждого шага цепочки рассмотрим функцию $$\chi^{(n+1)}[\eta] = \theta^{(n+1)}[\eta] + \alpha \ln \eta^{(n)}.$$ Тогда, используя (\ref{Conn}), прямыми вычислениями находим, что функция $\chi^{(n+1)}$ удовлетворяет уравнению:$$\Delta \chi^{(n+1)}[\eta] = (1-\alpha)\Big[\eta^{(n)}\Big]^{-2\alpha}e^{2\chi^{(n+1)}[\eta]}.$$ В частности: $$\Delta\chi_1^{(2)} = (1-\alpha)\left({\rm arctg}\left(\frac{T_y}{T_x}\right)\right)^{-2\alpha} e^{2\chi_1^{(2)}},$$$$\Delta\chi_2^{(2)} = (1-\alpha)\left(\ln\left((T_x)^2+(T_y)^2\right)\right)^{-2\alpha} e^{2\chi_2^{(2)}}.$$ При $\alpha = -1/2$ в правой части неоднородного уравнения Лиувилля в качестве неоднородного множителя входит соответствующая гармоническая функция, что фактически эквивалентно нелинейному автономному уравнению следующего вида: $$\Delta \Big[e^{-2\chi^{(n)}}\Delta \chi^{(n)}\Big] =0.$$

Этот результат имеет следующее обобщение. Воспользуемся следующим тождеством: $$\Delta F(T) = F'(T) \Delta T + F''\Big((T_x)^2+(T_y)^2\Big) = T^2F''(T)e^{2\theta},\tag{1.22}\label{EquivF}$$ которое выполняется для любой гармонической функции $T$. Рассмотрим функцию: $$\xi = \theta + F(T).$$ Тогда, используя тождество (\ref{EquivF}), получаем:$$\Delta \xi = e^{2\xi}\Big(1 + T^2 F''(T)\Big)e^{-2F(T)}.$$ Аналогичное преобразование можно построить для каждого шага цепочки (\ref{DefFn1}).
Утверждение 3. Для каждого шага $n$ цепочки (\ref{DefFn1})  функция $$\xi^{(n)}[\eta] = \theta^{(n)}[\eta] + F(\eta),\tag{1.23}\label{Defxin}$$ удовлетворяет неоднородному уравнению Лиувилля: $$\Delta\xi^{(n)}[\eta] = e^{ \xi^{(n)}[\eta]}\Big(1 + \eta^2 F''(\eta)\Big)e^{-2F(\eta)}.$$
Следствие. В случае, если функция $F(\eta)$ удовлетворяет уравнению: $$\Big(1 + \eta^2 F''(\eta)\Big)e^{-2F(\eta)} = C,$$ где $C$ отличная от нуля постоянная, соотношение (\ref{Defxin}) является преобразованием решений уравнений Лиувилля в себя, а в случае $C = 0$ - преобразованием решений уравнения Лиувилля в уравнение Лапласа.

3. Подстановки, связанные с уравнением Гельмгольца 

Найденная богатая структура преобразований уравнения Лапласа в уравнение Лиувилля и в себя может распространятся частично и на другие типы линейных уравнений.
    Рассмотрим в качестве такого обобщения замыкающее уравнение Гельмгольца: $$T_{xx}+T_{yy} = \gamma^2 T,\tag{1.24}\label{EqTKG}$$ где $\gamma$ - постоянная. Замыкающее уравнение в виде коэффициентов  $A,B$ теперь будет иметь такой вид: $$A_x+B_x+A^2+B^2 = \gamma^2.$$
По аналогии с предыдущим случаем ищем решение для $A,B$ в том же виде (1.9):
$$A=u\cos(\phi),~~B=u\sin(\phi).$$ В этом случае имеем:$$\Big(u_x+u\phi_y\Big)\sin\phi - \Big(u_y-u\phi_x\Big)\cos\phi =0,$$$$\Big(u_x+u\phi_y\Big)\cos\phi + \Big(u_y-u\phi_x\Big)\sin\phi + u^2-\gamma^2 =0.$$ Полагая $$u_x+u\phi_y = R^2\cos\phi,~~~u_y-u\phi_x = R^2\sin\phi,\tag{1.25}\label{DefR}$$ приходим к следующему соотношению:$$R^2+u^2 = \gamma^2.$$ Отсюда следует, что существует такая функция $\chi$, что:$$R= \gamma\cos\chi, u = \gamma \sin\chi.$$ Это означает, что вещественные решения для $u$ и $R$, соответствующие (\ref{DefR}), являются ограниченными: $|R|<\gamma$, $|u|<\gamma$.  Исключая из (\ref{DefR}) функцию $R$, находим: $$\frac{1}{u}u_x+\phi_y = - \Big(u-\frac{\gamma^2}{u}\Big)\cos\phi,\tag{1.26a}$$$$\frac{1}{u} u_y-\phi_x = - \Big(u-\frac{\gamma^2}{u}\Big)\sin\phi.\tag{1.26b}\label{Eq26}$$ Последние соотношения нельзя привести к (1.10)-(1.11). Однако мы можем их преобразовать к комплексифицированной форме. Именно, умножая  (1.26b) на мнимую единицу и вычитая полученный результат из  (1.26a), приходим к следующему уравнению: $$\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right)\Big(\theta+i\phi\Big)=\left(\gamma^2-u^2\right)e^{-\theta-i\phi}.\tag{1.27}\label{EqCu}$$ Введем обозначение: $w=\theta+i\phi$. Тогда уравнение (1.27) можно преобразовать к следующему виду: $$\frac{\partial}{\partial z}w=\left(\gamma^2-u^2\right)e^{-w},$$ где $$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}$$ - производная по комплексной переменной $z=x+iy$. Введем еще одно обозначенние, полагая: $\Psi=e^{w}$. В этом случае уравнение для $w$ примет такой вид: $$\Psi_{z}=\gamma^2-|\Psi|^2.\tag{1.28}\label{EqPsi}$$